Home | Chr. Huygens | < Oeuvres XI

Voorwoord, Theor. I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, Onderzoek

[ 281 ]

#### Christiaan Huygens, Const.z.

## Theorema's over de kwadratuur

### van hyperbool, ellips en cirkel

##### bij gegeven zwaartepunten van gedeelten

Waarmee is verbonden

### Onderzoek van de cirkelmeting

#### van de z.gel. heer Gregorius van S. Vincent,

uitgegeven in 1647.
Leiden, uitgeverij der Elzeviers, 1651.

[ 283 ]

Aan de lezer. Over Kegelsneden en de Cirkel leggen wij iets nieuws voor, geachte lezer, althans indien iets zo genoemd kan worden dat er altijd is geweest, in een eeuwige wet vastgelegd, en zoals het nu is vastgesteld. Zoals iets dat onlangs is gedolven: iemand noemt het nieuw goud. Zoals nieuwe sterren aan de hemel die, in vorige eeuwen onbekend, door kunstvaardigheid van de onzen worden zichtbaar gemaakt. En werkelijk geen enkel Meetkundig Theorema doet daarvoor onder in ouderdom, maar wij kennen nieuwheid toe aan elk afzonderlijk, naar gelang ze zich aan ons aanbieden en duidelijk worden. Dus moeten we ook zeggen dat vóór Archimedes de Parabool vierderde van de ingeschreven driehoek 1) is geweest; en met niet minder onveranderlijke waarheid hadden gedeelten van de overige Kegelsneden en van de Cirkel [p. ii] altijd de eigenschappen, die we nu daarover bekend maken, ook al staat vast dat ze tot nu toe door niemand, althans van wie het tot ons is gekomen, zijn doorgrond of bepaald. We geven evenwel niet een dergelijke bepaling als die genoemde van Archimedes, en de natuur der dingen schijnt zelfs geen hoop te hebben overgelaten, na zoveel mislukte pogingen van de meest scherpzinnige mensen, dat zoiets ooit is te verwachten van de figuren die we hebben uitgezocht om te behandelen. Maar we verklaren te hebben geleverd wat ook in de titel is uitgedrukt, en nog iets meer, als men toestaat dat we vooruitlopen op het oordeel van de welwillende lezer. Het herleiden namelijk, uit gegeven zwaartepunten, van Hyperbolen, Ellipsen en Cirkels tot vierkanten, is niet het doel van deze Theorema's, maar slechts een gevolg; en ze moeten voornamelijk daarom bevallen, omdat ze een tot op zekere hoogte bepaalde verhouding van drie Gedeelten tot de ingeschreven driehoeken aanwijzen 2). Die bij de Hyperbool was ik het eerst op het spoor, [p. iii] langs een duidelijk vastgestelde weg, maar één met belemmeringen en een moeilijke 3); toen ik vervolgens naar een kortere aan het zoeken was, kwam ik terecht op deze, die ook betrekking had op de Ellips en de Cirkel; en die gelijkmatige en wonderlijke overeenstemming bij verwante figuren kwam juist van pas. En dat deze hierbij niet overal plaats vindt, komt alleen door de nieuwste van de Stellingen, die 4) om zo te zeggen boventallig is, en opgenomen buiten wat ik me had voorgenomen, 1) Zie noot 4 van p. 58 van dit deel. [Opera, 1544, p. 154; Engl. 1897; Wikipedia.] 2) Zie Theorema's VI en VII, p. 305 van dit deel. 3) Van dit voorafgaande werk is geen spoor gevonden. 4) Theorema VIII, p. 309.

[ 285 ]

en waarvan alleen dit aan mij behoort te worden toegeschreven, dat ik heb laten zien dat deze stelling op een vrij elegante wijze uit de voorgaande kan worden afgeleid. Vroeger is hierin immers onze voorloper geweest — en hij gaf negentien jaar geleden het uitstekende Theorema met bewijs — de zeer scherpzinnige Meetkundige J. Della Faille 5), gelukkig, althans mijns inziens, omdat hij eerder dan anderen had doorzien, hoe de Kwadratuur afhankelijk was van het zwaartepunt van sectoren 6); en terwijl ik erken dat hij bijzondere lof heeft verdiend ten aanzien van de Cirkel, ben ik met de ontdekking [p. iv] van een dergelijk verband bij de overgebleven segmenten ervan niet zó blij geweest, als toen ik dat zelfde verband bij gedeelten van de Hyperbool had waargenomen, en iets had gevonden waarover een zo groot man ook zelf wel moet hebben nagedacht. Zeldzaam zijn overigens altijd de beschouwers geweest die deze figuur, vergeleken met de Cirkel, heeft gekregen; en daarvan hebben we als gevolg of als aanwijzing dat, terwijl verschillende dingen zijn nagegaan die noodzakelijk gegeven moesten zijn om ook de Kwadratuur van de Cirkel te geven — zoals de exacte lengte van de omtrek 7), de raaklijn van de Spiraal van Archimedes 8), het eindpunt van de Quadratrix van Dinostratus 9), of ook de raaklijn van dezelfde Quadratrix naar het andere eindpunt (zoals ik me herinner eens te hebben bewezen 10)) en enige andere dingen die aan nieuwere schrijvers te danken zijn — toch blijkt niets door iemand te zijn bepaald waarmee, onder ook maar enige voorwaarde, de Hyperbool kan worden vergeleken met een door rechte lijnen omvat oppervlak. Weliswaar heeft in onze tijd en weinige jaren geleden de zeergeleerde heer Gregorius van St. Vincent 11), over wie ik hierna nog iets [p. v] heb te zeggen, met een werkelijk voorbeeldige en nieuwe methode beide Quadraturen ondernomen, en geloofd 5) T. I, p. 153 en 158; het werk van 1632, p. 36: Prop. XXXIV zoals Huygens' Theorema VIII. 6) Della Faille, voorwoord: "E Centro grauitatis quadratam ab Archimede parabolen ...". [Dat de parabool door Archimedes is gekwadrateerd met het zwaartepunt ...] 7) Vgl. p. 50 van dit deel. 8) Prop. 18 van Archimedes, 'De lineis spiralibus', p. 111 van ed. Basel 1544. [Engl.] 9) Pappus, Mathematicae collectiones (ed. Commandino, 1588), p. 57 e.v. [ Zie Jeanine Daems, 'De Kwadratrix', in Pythagoras, 1 feb. 2017.] 10) Niet bekend, maar zie T. X, p. 440, n. 19: constructie uit 1659 [raaklijn in willekeurig punt; als B naar A gaat wordt DG een kwart van de cirkelomtrek]. 11) Zie T. I, p. 53 [en p. 147-].

[ 287 ]

ze volgens deze methode met een bewijs zo goed als voltooid te hebben. Maar toen ik het zeer omvangrijke werk 12) dat hij hierover heeft uitgegeven bestudeerde, nadat mijn Theorema's waren opgeschreven (ik was er zeker van dat, als hij hetgene had verkregen waarop hij zijn aandacht had gericht, ik tenminste de zwaartepunten zou leveren), begreep ik tenslotte dat dit moeilijk bereikbare met meer scherpzinnigheid dan succes was geprobeerd, nadat ik ook een redenering had gevonden waarmee dit heel duidelijk getoond kon worden, naar ik vertrouw. En aangezien in deze tijd onder zoveel uitnemende Meetkundigen er nog geen opgemerkt kon worden die zich deze taak toevertrouwde, en het dus zou kunnen gebeuren dat er in het vervolg langdurige twijfel zou blijven omtrent bewijzen die allerzekerst behoorden te zijn, heb ik gemeend dat ik iets zou doen dat zowel tot nut van het algemeen zou zijn als niet onverenigbaar met de redenering van het voorgenomen onderwerp, als ik hier tegelijk dingen zou laten verschijnen die in een duistere zaak nieuw licht leken te brengen. [p. vi] Doch ik was in het geheel niet zo lichtzinnig om afbreuk te doen aan de autoriteit van een gezaghebbend en geleerd man, maar aangezet door het belang van de zaak heb ik gedacht vrijmoedig en zonder aanstoot te kunnen voorleggen wat ik te weten was gekomen. Met des te meer vertrouwen ook, nadat hij zichzelf in brieven, waarvan tussen ons enige uitwisseling is 13), openlijk een voorganger en aanspoorder betoonde 14) om, als ik soms iets had opgesteld, dat aan allen mee te delen. Deze buitengewone oprechtheid heb ik gaarne en dankbaar aanvaard, zoals deze verdient, en ik hoop door de ingetogen kritiek voldoende te hebben kenbaar gemaakt, hoezeer ik er prijs op stel door de zeergeleerde heer als vriend te worden beschouwd. En aan de andere kant maakt de uiterste vriendelijkheid, waarmee hij me tot nu toe heeft ontvangen, dat ik niet anders verwacht dan dat hij antwoordt met gematigdheid en zonder enige bitterheid op mijn stuk 15), als iets ertoe heeft geleid dat er een weerwoord op moet komen, ofwel dat hij, overtuigd door zeer duidelijke redenen, even gaarne door ons werk als hierna door dat van een ander inziet en omarmt wat juister is. 12) Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (Antw. 1647), met meer dan 1200 blz. 13) Zie T. I, p. 147-: 6 brieven van 6 okt. t/m 21 nov. 1651, en meer na verschijning van het boek meer. 14) Zie brief No. 99 en het begin van brief No. 101. 15) Gregorius heeft niet zelf een weerwoord gegeven, maar een leerling kwam met een verdediging: Fr. Xav. Aynscom, Expositio ac deductio geometrica quadraturarum circuli, R. P. Gregorii a S. Vincentio, Antw. 1656. Huygens publiceerde een antwoord. [T. XII, p. 239 e.v. Zie ook van Gutschoven aan Huygens, 10 febr. 1653.]

[ 289 ] | [ 1651 ]

#### Christiaan Huygens, Const.z.

## Theorema's over de kwadratuur

### van hyperbool, ellips en cirkel

##### bij gegeven zwaartepunten van gedeelten

Theorema I.

Bij een segment van een hyperbool, of een segment van een ellips of van een cirkel, niet groter dan de helft van de ellips of van de cirkel, kan een figuur worden omgeschreven met parallelogrammen die gelijke breedte hebben, die buiten het segment uitsteekt met een oppervlakte die kleiner is dan iedere mogelijke die gegeven wordt. [p. 2] Gegeven zij het segment ABC, met als middellijn BD. Laat op de basis AC een parallelogram AE geplaatst worden, met twee zijden evenwijdig en gelijk aan de middellijn BD, zodat de overgebleven zijde het segment raakt in de top. Als dit parallelogram voortdurend wordt verdeeld in twee gelijke delen, zal tenslotte een deel overblijven dat kleiner is dan een gegeven oppervlakte; laat dit zijn het parallelogram BF, en laat de basis AC worden verdeeld in gedeelten gelijk aan die DF, met de punten G, H, K enz. en verder daar vandaan naar de kegelsnede getrokken worden de rechten GL, HM, KN enz. [evenwijdig aan middellijn BD] 1) en de parallelogrammen DO, GP, HQ, KR enz voltooid worden. Ik zeg dat de figuur, samengesteld uit al deze parallelogrammen, (die hierna genoemd zal worden de met ordinaten omgeschreven figuur) het segment ABC overtreft met een oppervlakte kleiner dan de gegeven oppervlakte. Immers, laat verbonden worden AN, NM, LB, BS, enz., dan zal de op deze wijze in het segment ingeschreven figuur ook een rechtlijnige zijn; en het overschot van de omgeschreven figuur die is samengesteld uit parallelogrammen, boven de ingeschreven figuur, zal groter zijn dan dat boven segment ABC. En het overschot van de omgeschrevene boven de ingeschrevene bestaat uit driehoeken, waarvan degene die aan de ene kant van de middellijn zijn, zoals ARN, NMQ, MPL en LOB, [p. 3] 1) Zie de 'Errata' aan het eind (p. 337). [1651, p. 43.]

[ 291 ]

gelijk zijn aan de helft van parallelogram OD of BF, omdat de basis van elk gelijk is aan basis DF, en de hoogten van alle samen aan de hoogte van parallelogram BF. Om dezelfde reden zijn de driehoeken aan de andere kant van de middellijn gelijk aan de helft van parallelogram BF. Dus is de som van alle driehoeken, oftewel het genoemde overschot, gelijk aan parallelogram BF, en daarom kleiner dan de gegeven oppervlakte. Maar kleiner dan hetzelfde overschot was nog het overschot van de omgeschreven figuur boven segment ABC; dan is dit overschot veel kleiner dan de gegeven oppervlakte. En het blijkt dat gedaan kan worden wat werd voorgesteld. Theorema II. Bij een gegeven segment van een hyperbool, of segment van een ellips of cirkel, niet groter dan de helft van ellips of cirkel, en bij een gegeven driehoek die de basis gelijk heeft aan die van het segment, kan bij elk van beide een figuur worden omgeschreven met parallelogrammen, alle van dezelfde breedte, zodanig dat de som van beide overschotten waarmee de omgeschreven figuren het segment en de driehoek te boven gaan, kleiner is dan iedere mogelijke gegeven oppervlakte. Gegeven het segment ABC en de driehoek DEF, met gelijke basen AC en DF; en de middellijn van het segment is BG, in de driehoek evenwel is het de lijn EH, getrokken van de top naar het midden van de basis. Doch laat beide, BG en EH, hetzij loodrecht op hun basis staan, hetzij evenveel hellend; en in de zelfde verhouding die BG heeft tot EH, wordt de gegeven oppervlakte verdeeld, en de delen zijn K en L. Nu wordt evenals tevoren om het segment ABC een figuur met ordinaten omgeschreven, die het segment overtreft met een kleiner overschot dan de oppervlakte K is. En om driehoek DEF wordt een figuur omgeschreven [p. 4] die uit evenveel parallelogrammen bestaat, als er zijn in de omgeschreven figuur van segment ABC.

Aangezien dus de basis van het segment en die van de driehoek gelijk zijn, blijkt wel dat alle parallelogrammen eenzelfde breedte zullen hebben. Vervolgens, daar het parallelogram

[ 293 ]

|  |  | *) Uit constr. **) 14.5 Elem. 2)
BM tot ER staat als BG tot EH, dat is als K tot L, en daar BM kleiner is dan K *), zal ook ER kleiner zijn dan L **). Maar alle driehoeken waaruit het overschot bestaat van de omgeschreven figuur, boven driehoek DEF, zijn gelijk aan parallelogram ER, dus dit overschot is kleiner dan de oppervlakte L. En ook is het overschot waarmee de omgeschreven figuur het segment ABC overtreft kleiner dan de oppervlakte K. Dus beide overschotten samen zullen kleiner zijn dan de gegeven oppervlakte KL. En het staat vast dat gedaan kan worden wat werd voorgesteld. Theorema III. Als bij een segment van een hyperbool, of een segment van een ellips of cirkel, niet groter dan de helft van de ellips of de helft van de cirkel, een figuur met ordinaten wordt omgeschreven, zal het zwaartepunt van die figuur liggen op de middellijn van het segment. [p. 5] Laat daarvan een willekeurig segment zijn ABC, met middellijn BD; en laat daarbij zoals hierboven een figuur met ordinaten omgeschreven worden. Aangetoond moet worden dat het zwaartepunt van deze figuur ligt op middellijn BD. Laat getrokken worden de lijnen HK, NR en PS, die de bovenzijden verbinden van de parallelogrammen die aan weerskanten even ver verwijderd zijn van de middellijn van het segment. Aangezien dan FH en LK evenwijdig zijn aan de middellijn BD, en DF en DL gelijk zijn, moet de lijn HK, die FH met LK verbindt, door middellijn BD doormidden worden gesneden; derhalve is deze HK
|  | *) 5 lib. 2 Con. 3) **) 9. lib. I. Arch. de Æquipond. 4)
evenwijdig aan basis AC *), en EHKG is een rechte lijn. Dus EC is een parallelogram; en hiervan worden de overstaande zijden doormidden gedeeld door middellijn BD, zodat het zwaartepunt van het parallelogram er op zal liggen **). Om dezelfde reden zullen HM, NO en PQ parallelogrammen zijn, en de zwaartepunten van elk op de lijn BD liggen. Dus is het ook noodzakelijk dat het zwaartepunt van de figuur die uit alle genoemde parallelogrammen is samengesteld op dezelfde BD gevonden wordt. Dus het staat vast dat 2) Zie p. 502 van Clavius, Euclidis Elementorum libri XV [Ff. 1607]. 3) Zie p. 45v van Apollonius, Conicorum libri quattuor, ed. Commandino, 1566. [Engl. 1896: alleen I, 15.] Ellips: 'Prop. 6', met "non per centrum transeuntem" [niet door het middelpunt gaand]. 4) Zie p. 128 van de eerste Archimedes-editie, Basel 1544.

[ 295 ]

van de bij het segment met ordinaten omgeschreven figuur het zwaartepunt ligt op de middellijn BD van het segment. Wat te bewijzen was. [p. 6] Theorema IV. Van een segment van hyperbool, van een ellips, en van een cirkel, ligt het zwaartepunt op de middellijn van het segment. Gegeven een segment ABC van een hyperbool, of van een ellips of cirkel, eerst niet groter dan de helft van de figuur verondersteld; de diameter ervan is BD. Aangetoond moet worden dat het zwaartepunt van segment ABC op BD wordt gevonden. Stel namelijk, als het mogelijk is, dat het buiten de middellijn in E ligt, en EH wordt getrokken evenwijdig aan BD. Dan zal, bij een voortdurend doormidden delen van DC, tenslotte een lijn overblijven die kleiner is dan DH; laat deze DF zijn, en laat bij het segment een figuur met ordinaten omgeschreven worden met parallelogrammen, die de basis gelijk hebben aan de lijn DF, en laat BA en BC getrokken worden. Van de om het segment omgeschreven figuur ligt dan het zwaartepunt op de middellijn BD van het segment. Laat dit K zijn, en laat EK worden verbonden en verlengd, en laat AL, evenwijdig aan BD, hem in L ontmoeten. Omdat nu segment ABC groter is dan driehoek ABC, en het overschot waarmee de omgeschreven figuur het segment overtreft, kleiner is dan parallelogram BF, [p. 7]
|  | *) Theor. I. **) 8. lib. I. Arch. de aequipond. 6)
zoals hierboven is bewezen *), zal er een grotere verhouding zijn van segment ABC tot het genoemde overschot, dan van driehoek ABC tot parallelogram BF, dat wil zeggen groter dan die van AD tot DF [en veel groter dan die van AD tot DH] 5), of dan die van LK tot KE. Laat dan MK tot KE zijn zoals segment ABC tot het overschot waarmee dit wordt overtroffen door de met ordinaten omgeschreven figuur. Dus aangezien K het zwaartepunt is van de om het segment omgeschreven figuur, en E het zwaartepunt van dit segment, zal M het zwaartepunt zijn van alle oppervlakken die dat overschot uitmaken **). Wat niet zo kan zijn; want als door M een lijn wordt getrokken evenwijdig aan middellijn BD, zullen alle genoemde oppervlakken aan één kant liggen. Duidelijk is dus dat het zwaartepunt van segment ABC ligt op de middellijn BD van het segment 7). 5) Zie de 'Errata' aan het eind (p. 337 van dit deel). 6) Ed. Basel, 1544, p. 128. 7) Archimedes gebruikt deze bewijsmethode voor de parabool, in 'de Aequipond.' 4. lib. II, zie ed. 1544, p. 135 [Engl.]. Huygens deed dit in 'Prop. 4 en 6' van App. IV bij 'De iis quae liquido supernatant': p. 207-210 van dit deel.

[ 297 ]

Laat nu ABC een segment zijn van een ellips of cirkel, groter dan de helft van de figuur. laat de figuur worden voltooid, en BD doorgetrokken totdat hij de kegelsnede ontmoet in E; dan zal ED de middellijn zijn van het segment AEC, en BDE de middellijn van de gehele figuur. En aangezien het zwaartepunt van de hele figuur op BDE ligt (dit staat immers vast uit het eerder bewezene, als de hele figuur wordt verdeeld in twee gelijke delen met een middellijn die evenwijdig is aan AC), [p. 8]
|  | *) 8 lib. I. Archim. de Æquipond.
en het zwaartepunt van het kleinste segment AEC op dezelfde BDE, zoals zojuist is aangetoond, zal ook het zwaartepunt van het overige segment ABC op BDE liggen *); wat te bewijzen was. Hulpstelling. 8) Gegeven de lijn EB, waarbij aan beide uiteinden worden toegevoegd de twee gelijke ES en BP, en bovendien een andere PD. Ik zeg dat hetgene waarmee de rechthoek EDB*) uitgaat boven EPB, gelijk is aan de rechthoek SDP. Rechthoek EDB is namelijk gelijk aan deze twee: de rechthoek EDP en de rechthoek op ED en PB; waarvan de laatste de rechthoek EPB te boven gaat met de rechthoek DPB. Dan is het overschot van rechthoek EDB boven rechthoek EPB gelijk aan deze twee: de rechthoek EDP, en DBP. Maar rechthoek EDP met rechthoek DPB erbij, dat is met de rechthoek op ES en DP erbij, maakt hem gelijk aan de rechthoek SDP. Duidelijk is dan dat het overschot van rechthoek EDB boven EPB gelijk is aan rechthoek SDP. Gegeven 9) is weer de lijn EB, waarbij nu aan beide uiteinden afgenomen worden de twee gelijke ES en BP, en bovendien een andere PD. Ik zeg andermaal dat hetgene waarmee de rechthoek EDB uitgaat boven EPB, gelijk is aan de rechthoek SDP. Rechthoek EDB is namelijk gelijk aan deze twee: de rechthoek EDP en de rechthoek op ED en PB; en van deze is weer EDP gelijk aan twee, namelijk de rechthoek SDP, en die welke wordt omvat door ES en DP, oftewel de rechthoek DPB. [p. 9] Dan is rechthoek EDB gelijk aan deze drie rechthoeken: SDP, DPB, en de rechthoek op ED en PB; van deze zijn echter de twee laatste gelijk aan rechthoek EPB; dus is rechthoek EDB gelijk aan twee, namelijk rechthoek SDP en EPB, waaruit blijkt dat het overschot van rechthoek EDB boven rechthoek EPB gelijk is aan rechthoek SDP. Theorema V. Gegeven een segment van een hyperbool, of een ellips- of cirkelsegment, niet groter dan de helft van de figuur; als op de middellijn een driehoek wordt geplaatst op zo'n manier, dat hij de top heeft 8) In het exemplaar van de 'Theoremata' dat we bezitten heeft Huygens hier in de marge geschreven: "Ditzelfde heb ik anders bewezen gevonden bij Pappus, lib. 7. Prop. 24". Zie Mathematicae collectiones (ed. Commandino) p. 174r. [ *) Met rechthoek EDB wordt bedoeld: ED × DB.] 9) In hetzelfde exemplaar heeft Huygens hier in de marge toegevoegd: "Zie dezelfde, lib. 7. Prop. 57.": Commandino, p. 194r.

[ 299 ]

in het middelpunt van de figuur, en de basis gelijk en evenwijdig aan de basis van het segment; en de lijn die vanaf de top tot het midden van de basis reikt zo lang, dat ermee een vierkant gemaakt kan worden, gelijk aan de rechthoek met als zijden de lijnstukken tussen de basis van het segment en de uiteinden van de middellijn van de figuur 10). Dan zal de grootheid die wordt samengesteld uit het segment en de genoemde driehoek zijn zwaartepunt hebben in de top van de driehoek, namelijk in het middelpunt van de figuur.

Gegeven een segement van een hyperbool, of een ellips- of cirkelsegment niet groter dan de helft van de figuur, ABC. De middellijn ervan is BD, en de middellijn van de figuur BE, in het midden waarvan het middelpunt F van de figuur ligt. En laat genomen worden FG die een vierkant kan maken gelijk aan de rechthoek BDE; en als getrokken is KGH, gelijk en evenwijdig aan basis AC, en die in G doormidden wordt gedeeld, worden verbonden KF en FH 11). Te bewijzen is dat punt F het zwaartepunt is van de grootheid die bestaat uit segment ABC en driehoek KFH. [p. 10] Als het niet in F is, laat het dan als het mogelijk is eerst aan die kant van punt F liggen die naar het segment ABC gericht is, en laat het in punt L zijn; nu staat vast dat het op de rechte BDG zal liggen, omdat hierop de beide zwaartepunten liggen van het segment en driehoek KFH. Laat verbonden worden AB en BC, en de verhouding die GF tot FL heeft, die moet hebben de grootheid samengesteld uit [p. 11] de driehoeken ABC en KFH tot een of andere oppervlakte M; en laat een met ordinaten omgeschreven figuur gemaakt worden bij het segment en bij driehoek KFH, met parallelogrammen die alle gelijke breedte hebben,
|  | *) Theor. 2.
zó dat de twee overschotten samen, waarmee deze figuren het segment ABC en de driehoek KFH te boven gaan, kleiner zijn dan oppervlakte M *). Dan hebben de twee driehoeken ABC en KFH samen een grotere verhouding tot de twee genoemde overschotten of overblijfsels, dan tot M, dat is dan die van GF tot FL; en daarom is de verhouding van segment ABC samen met driehoek KFH tot diezelfde overblijfsels veel groter dan 10) D.w.z.: FG2 = BD × DE, als B en E de uiteinden zijn van diameter BE van hyperbool of ellips. 11) Hier heeft Huygens nog in de marge geschreven: "Opmerkenswaardig is dat KF en FH bij de hyperbool de asymptoten zijn."

[ 301 ]

die van GF tot FL. Laat dus NF tot FL zijn zoals segment ABC samen met driehoek KFH tot de twee overblijfsels, dan zal het uiteinde N vallen voorbij de basis KH van de driehoek. Laat nu door F getrokken worden OΞ°) evenwijdig aan basis AC of KH; en laat van twee willekeurige parallelogrammen, die in het segment en in driehoek KFH even ver van de middellijn af liggen, zoals RQ en ΣT, de zwaartepunten zijn V en X; daar doorheen wordt getrokken de rechte ZΛΔΩ, die de lijn OΞ snijdt in Υ; en getrokken wordt RP evenwijdig aan de basis AC, en gelijk aan het naar de top afgesneden lijnstuk PB wordt genomen ES, vanaf het andere uiteinde E van de middellijn van de figuur. Aangezien dus CD en RP als ordinaat op de middellijn van de figuur zijn gezet, zal gelden: zoals de rechthoek BDE tot de rechthoek BPE, zo is het vierkant op CD tot het vierkant
|  | *) 21 lib. 1. Con. 12)
op RP *); maar zoals CD tot RP, dat is, zoals HG tot ΨG, zo is HF tot ΣF, en zo is ZΥ tot ΛΥ, dus zoals het vierkant op CD tot het vierkant op RP, dat is zoals rechthoek BDE tot BPE, zo is het vierkant op ZΥ tot het vierkant op ΛΥ. En daarom ook, door omzetting van de verhouding, zoals rechthoek BDE tot het verschil van de rechthoeken BDE en BPE, zo is het vierkant op ZΥ tot het verschil van de vierkanten op ZΥ en op ΛΥ. Doch het verschil tussen de rechthoeken BDE en BPE is gelijk aan de rechthoek SDP, zoals in de voorgaande hulpstelling is bewezen 13); en het verschil van de vierkanten op ZΥ en op ΛΥ is gelijk aan het vierkant op ZΛ en twee rechthoeken [p. 12] ZΛΥ **), of wat hetzelfde is, aan de rechthoeken ZΛX en ZΛΥ beide tweemaal genomen, dat is, aan tweemaal de rechthoek op ZΛ en XΥ.
|  | **) 4. lib. 2. Elem. 14) ***) Uit constr. †) 14.5. Elem. 15)
Dus zoals rechthoek BDE tot rechthoek SDP, zo is het vierkant op ZΥ tot het dubbele van de rechthoek op XΥ en ZΛ; derhalve, met rechthoek BDE gelijk aan het vierkant op FG ***) en daarom ook aan het vierkant op ZΥ, zal ook rechthoek SDP gelijk zijn aan het dubbele van de rechthoek op XΥ en ZΛ †). En punt F deelt BE middendoor, en BP en ES zijn gelijk, zodat ook FP en FS gelijk zullen zijn, en dientengevolge, met aan beide toegevoegd FD, zal SD gelijk zijn aan de hele PFD 16) dat is aan ΔΥΩ. Maar ΔΥΩ is het dubbele van het lijnstuk VΥ, omdat hij tweemaal ΥΔ èn ΔV bevat bij de hyperbool, bij de ellips en de cirkel echter tweemaal VΩ èn ΩΥ; dus is ook SD het dubbele van VΥ, en daarom is rechthoek SDP [p. 13] gelijk aan het dubbele van de rechthoek [ °) Ξ is de hoofdletter xi van het Griekse alfabet. Noot 10bis zegt nog: de figuur heeft Y i.p.v. Υ.] 12) Zie p. 19r van de Apollonius-editie van Commandino, 1566. 13) Het eerste deel van het 'lemma' is van toepassing op de hyperbool, het tweede op de ellips. 14) Clavius, p. 172. 15) Zie noot 2 op p. 292 [293]. 16) D.w.z. PF + FD.

[ 303 ]

op ΥV en ΩΔ. Maar aangetoond is dat dezelfde rechthoek SDP gelijk is aan het dubbele van de rechthoek op XΥ en ZΛ; dus is de rechthoek op ΥV en ΩΔ gelijk aan de rechthoek op XΥ en ZΛ. Daarom is ΥV tot ΥX
|  | *) 16. lib. 6. Elem. 17) **) 7. lib. 1. Archim. de Æquipond. 18)
als ΛZ tot ΩΔ *); maar zoals ΛZ tot ΩΔ is, zo is het parallelogram ΣT tot RQ; daarom is ook ΥV tot ΥX als parallelogram ΣT tot parallelogram RQ. Nu zijn de punten X en V de zwaartepunten van de genoemde parallelogrammen, dus het zwaartepunt van de grootheid bestaande uit beide parallelogrammen is het punt Υ **). Met dezelfde redenering kan voor alle overige parallelogrammen aangetoond worden, [p. 14] dat van twee willekeurige tegenover elkaar liggende het zwaartepunt op de lijn OΞ ligt. Dus van de gehele grootheid, die is samengesteld uit de twee met ordinaten omgeschreven figuren, moet het zwaartepunt noodzakelijkerwijze op dezelfde OΞ worden gevonden. Maar van dezelfde samengestelde grootheid ligt het zwaartepunt ook op de rechte BDG, aangezien daarop de zwaartepunten van beide omgeschreven
|  | ***) Theor. 3. †) 8. lib. 1. Archim. de Æquipond. 19)
figuren liggen ***); dus is van de grootheid samengesteld uit de twee genoemde figuren het zwaartepunt juist het punt F. Nu is gesteld dat punt L het zwaartepunt was van die grootheid die wordt samengesteld met het segment ABC en de driehoek KFH; dus van het overige van de grootheid, samengesteld uit de twee overblijfsels die in de omgeschreven figuren overblijven, [p. 15] zal het zwaartepunt liggen op het verlengde van LF, waar deze zo wordt beëindigd, dat het toegevoegde deel dezelfde verhouding heeft tot FL als segment ABC samen met driehoek KFH tot de genoemde twee overblijfsels †). En dit uiteinde is N; en dus is punt N het zwaartepunt van de twee overblijfsels. Wat niet kan. Want als door N een rechte wordt getrokken evenwijdig aan de basis KH, zullen alle oppervlakken waaruit beide overblijfsels bestaan aan één kant liggen. Dus is punt L niet het zwaartepunt van de grootheid, samengesteld uit het segment ABC en de driehoek KFH. Maar het zal ook niet aan de andere kant van punt F liggen. Want als we dit zeggen, zal het met een volkomen gelijkend bewijs erop uitlopen dat van de twee overblijfsels [p. 16] die, als segment ABC en driehoek KFH weggenomen worden, in de omgeschreven figuren over zijn, het zwaartepunt buiten segment ABC ligt; wat even absurd is. Overblijft dus dat het juist punt F is, wat te bewijzen was. 17) Clavius, p. 567. 18) Ed. Basel 1544, p. 127. 19) Ibid., p. 128.

[ 305 ]

Theorema VI. Elk segment van een hyperbool heeft de volgende verhouding tot de ingeschreven driehoek met dezelfde basis en dezelfde hoogte: als tweederde van de som van de middellijn van de hyperbool en de middellijn van het segment, tot het lijnstuk getrokken uit het middelpunt van de kegelsnede naar het zwaartepunt van het segment. Gegeven een segment van een hyperbool, en de daarin op de genoemde wijze ingeschreven driehoek ABC. En de middellijn van het segment is BD, en het 'latus transversum' oftewel de middellijn van de kegelsnede is BE, op het midden waarvan het middelpunt F van de kegelsnede ligt. En aangenomen wordt dat punt L het zwaartepunt is van het segment. Ik zeg dat het segment tot de ingeschreven driehoek ABC dezelfde verhouding heeft als tweederde van de gehele ED tot FL. Laat immers, zoals in het voorgaande, de driehoek KFH worden geplaatst op de middellijn; namelijk zodanig dat het vierkant op FG gelijk is aan de rechthoek EDB, en dat basis KH aan basis AC gelijk en evenwijdig is. En laat het zwaartepunt van deze driehoek M zijn, namelijk met FM genomen gelijk aan tweederde
|  | *) 14. lib. 1. Arch. de aequip. 20) **) 7. lib. 1. Archim. de Æquip. 21) ***) Theor. 5. †) 23. lib. 5. Elem. 22)
van lijnstuk FG *). Dan is driehoek KFH tot driehoek ABC als FG tot BD; maar zoals FG tot BD, zo is ED tot FG, omdat het vierkant op FG gelijk is aan de rechthoek EDB; en zoals ED tot FG, zo is tweederde van ED tot tweederde van FG, dat is FM; dus driehoek KFH staat tot driehoek ABC [p. 17] als tweederde van ED tot FM. Nu is het hyperboolsegment ABC tot driehoek KFH als FK tot FL **), aangezien er evenwicht is van het segment en driehoek KFH in punt F ***), en de zwaartepunten van elk zijn de punten L en M; volgens de regel van de veranderde evenredigheid zal dan het segment tot driehoek ABC zijn als tweederde van lijnstuk ED tot FL †). Wat te bewijzen was. Theorema VII. Elk segment van een ellips of van een cirkel heeft tot de ingeschreven driehoek, met dezelfde basis en dezelfde hoogte, de volgende verhouding: als 20) Ed. Basel 1544, p. 132. 21) Ibid. p. 127. 22) Clavius, p. 515. Het lijkt vrij duister, maar uit het bewijs blijkt: bij drie grootheden a, b en c (zoals hier segment ABC, driehoek KFH en driehoek ABC) en drie andere d, e en f (hier 2/3 ED, FM en FL) geldt dat als a : b = e : f, en tegelijk b : c = d : e, dan is a : c = d : f.

[ 307 ]

tweederde van de middellijn van het overige segment, tot het lijnstuk getrokken uit het middelpunt van de figuur naar het zwaartepunt van het segment. [p. 18]

Gegeven een segment van een ellips of van een cirkel, eerst niet groter dan de helft van de figuur, en de ingeschreven driehoek ABC, met dezelfde basis en dezelfde hoogte als het segment; de middellijn van het segment is BD, en als deze wordt doorgetrokken is duidelijk dat hij door het middelpunt van de figuur zal gaan; laat dit F zijn, en de middellijn van het overige segment DE. En neem aan dat het zwaartepunt van segment ABC het punt L is. Ik zeg dan dat het segment tot zijn ingeschreven driehoek de verhouding heeft van tweederde ED tot FL. Laat immers zoals hierboven geplaatst worden de driehoek KFH, namelijk met de basis KH gelijk en evenwijdig aan basis AC, en FG, die van de top naar het midden van de basis reikt, kan een vierkant maken gelijk aan de rechthoek BDE 23). En het zwaartepunt van driehoek KFH is het punt M, namelijk met FM gelijk genomen aan tweederde van
|  | *) 14. lib. 1. Arch. de aequip. **) 7. lib. 1. Archim. de Æquip. ***) Theor. 5. †) 23. lib. 5. Elem.
lijnstuk FG *). Dan is driehoek KFH tot driehoek ABC als FG tot BD; en zoals FG tot BD, zo is ED tot FG, omdat het vierkant op FG gelijk is aan rechthoek BDE; en zoals ED tot FG, zo is tweederde van ED tot tweederde van FG, dat is [p. 19] tot FM. Dus driehoek KFH staat tot driehoek ABC zoals tweederde van ED tot FM. Nu is segment ABC tot driehoek KFH als FM tot FL **), aangezien hun evenwicht in punt F is ***), en hun zwaartepunten de punten L en M zijn. Dus volgens de regel van de veranderde evenredigheid zal segment ABC tot driehoek ABC zijn zoals tweederde van ED tot FL †). Laat nu het segment ABC groter zijn dan de helft van de figuur. Ik zeg weer dat het tot de ingeschreven driehoek de verhouding heeft van tweederde van ED tot FL.

Als immers het zwaartepunt van het overige segment AEC het punt H is, en 23) Zie noot 10, p. 298 [299].

[ 309 ]

als getrokken worden AE en EC, dan zal door wat we zojuist hebben aangetoond het segment AEC tot de driehoek AEC zijn als tweederde van BD tot FH. Maar zoals driehoek AEC tot driehoek ABC, zo is ED tot BD, oftewel tweederde van ED tot tweederde van BD; volgens de regel van de veranderde evenredigheid zal dan gelden: zoals segment AEC tot driehoek ABC, zo is
|  | *) 23. lib. 5. Elem. 22) **) 8. lib. I. Arch. de aequipond. 24)
tweederde van ED tot FH *). Maar zoals segment ABC [p. 20] tot segment AEC zo is FH tot FL **), aangezien het zwaartepunt van de hele figuur F is, en de zwaartepunten van de genoemde segmenten L en H. Dus zal weer volgens de regel van de veranderde evenredigheid gelden: segment ABC staat tot driehoek ABC zoals tweederde van ED tot FL. Dus van elk segment van een Ellips of van een cirkel enz. Wat te bewijzen was. 24) Zie noot 6, p. 294 [295]. Theorema VIII. In een halve cirkel, en in elke willekeurige sector, heeft de boog de volgende verhouding tot tweederde van de koorde: als de halve middellijn tot het lijnstuk dat uit het middelpunt getrokken wordt naar het zwaartepunt van de sector. Gegeven eerst de halve cirkel ABC, beschreven om het middelpunt D, en doormidden gesneden door de rechte DB, waarop het zwaartepunt E van de halve cirkel
|  | ***) Theor. 4. †) Theor. 7.
ligt ***). Ik zeg dat boog ABC zich verhoudt tot tweederde van AC, zoals BD tot DE. Want laat AB en BC getrokken worden. Dan geldt: zoals de halve cirkel tot de driehoek ABC, zo is tweederde van BD tot DE †), BD is immers gelijk aan de middellijn van het overige segment. Maar ook: zoals de halve cirkel, dat is, zoals de driehoek die de basis gelijk heeft aan boog ABC en de hoogte BD, tot driehoek ABC, zo is boog ABC tot de rechte AC; dus zoals boog ABC tot AC, zo is tweederde van BD tot DE, en door verwisseling, zoals boog ABC tot tweederde van BD, zo is AC tot DE, of zo is 2/3 AC tot 2/3 DE, waaruit weer [p. 21] door verwisseling volgt: zoals boog ABC tot 2/3 AC, zo is 2/3 BD tot 2/3 DE, oftewel zo is BD tot DE. Gegeven vervolgens de sector DABC, kleiner dan een halve cirkel, doormidden gesneden door de rechte

[ 311 ]

DB, waarop als zwaartepunt van de sector gesteld wordt het punt E, en getrokken wordt de koorde AC. Ik zeg weer dat de boog AC tot tweederde van de rechte AC de verhouding heeft van BD tot DE. Want als verbonden worden AB en BC, en de middellijn van de hele cirkel is KDB, die verlengd wordt tot in Q, zodanig dat QF tot BF is zoals segment ACB tot driehoek ABC, [p. 22] en verbonden worden AQ en QC; dan zal de driehoek AQC gelijk zijn aan segment ACB. We nemen vervolgens aan dat G het zwaartepunt is van driehoek ACD, en H dat van segment ACB; en zoals DQ tot QF is, zo moet HD tot DR zijn. Omdat dus geldt: zoals segment ACB of driehoek AQC is tot driehoek ABC, dat is zoals QF tot BF, zo is
|  | *) Theor. 7. **) 16. lib. 6. Elem. 25) ***) 16. lib. 6. Elem.
2/3 KF tot DH *), daarom zal de rechthoek op QF en DH gelijk zijn aan tweederde van de rechthoek KFB **), dat is aan tweederde van het vierkant op AF; maar dezelfde rechthoek op QF en DH is gelijk aan de rechthoek QDR, [p. 23] omdat zoals QD tot QF, zo hebben we DH tot DR gemaakt; dus rechthoek QDR is gelijk aan tweederde van het vierkant op AF, en daarom geldt: zoals QD tot AF, zo is 2/3 AF tot DR ***). Maar zoals QD tot AF, zo is ook de rechthoek op QD en AF, waaraan gelijk is de vierhoek DAQC, dat is sector DABC, tot het vierkant op AF; dus is ook sector DABC tot het vierkant op AF, als 2/3 AF tot DR. Aangezien verder E het zwaartepunt is van de hele sector, H het zwaartepunt van segment ACB, en G van driehoek ACD, staat vast: zoals driehoek ACD tot segment ACB oftewel tot driehoek AQC, dat is zoals DF tot FQ,
|  | †) 8. lib. 1. Arch. de Æquipond. 24) ††) 19. lib. 5. Elem. 26)
zo is HE tot EG †); en daarom, door omzetting en samenstelling van de verhouding, zal gelden: zoals DQ tot DF, zo is GH tot HE. Maar omdat we het zo gemaakt hebben dat zoals DQ tot QF, zo HD tot DR, zal ook door omzetting van de verhouding gelden: zoals DQ tot DF, zo is HD tot HR; dus HD is tot HR als GH tot HE; en daarom is ook de rest GD tot de rest ER, zoals HD tot HR ††), dat is 25) Zie noot 17, p. 302 [303]. 26) Clavius, p. 510.

[ 313 ]

zoals DQ tot DF. Doch zoals DQ tot DF, zo is vierhoek DAQC, waaraan sector DABC gelijk is, tot driehoek ACD; dus sector DABC staat tot driehoek ACD als GD tot ER. Nu is driehoek ACD tot het vierkant op DF, als AF tot DF, of als 2/3 AF tot 2/3 DF, dat is DG. Dus volgens de regel van de veranderde evenredigheid geldt: zoals sector DABC tot het vierkant op DF,
|  | †††) 23. lib. 5. Elem. 27) §) 24. lib. 5. Elem. 28)
zo is 2/3 AF tot ER †††), en door omzetting: het vierkant op DF is tot sector DABC als ER tot 2/3 AF. Doch hiervoor is aangetoond dat het vierkant op AF tot de sector DABC is als DR tot 2/3 AF; dus de twee vierkanten samen, op DF en op AF, oftewel één vierkant op DA, tot sector DABC is als ER en RD samen, dat is de hele ED, tot 2/3 AF §). En ook is het vierkant op DA tot sector DABC als lijnstuk DA tot boog AB, omdat namelijk sector DABC gelijk is aan een rechthoek met de basis gelijk aan boog AB en hoogte DA; dus zoals DA tot boog AB, zo is ED tot 2/3 AF; en door verwisseling: boog AB staat tot 2/3 AF, of boog ABC tot 2/3 AC, als DA of BD tot DE. [p. 24]
Gegeven nu opnieuw de sector DABC, groter dan dan een halve cirkel, en gesteld het voorgaande, en de cirkel BAFC wordt voltooid, en de middellijn van de hele is BDF, waarop ook het zwaartepunt zal liggen van de overige sector DAFC *), neem aan G.
|  |  | *) 8. lib. 1. Arch. de Æquipond. 29) **) 8. lib. 1. Arch. de Æquipond. 24) ***) 23. lib. 5. Elem. 27)
Omdat dus het zwaartepunt van de hele cirkel D is, terwijl de zwaartepunten van de twee sectoren E en G zijn, zal gelden: zoals sector DABC tot sector DAFC, dat is zoals boog ABC tot boog AFC, zo is GD tot DE **). Maar zoals boog AFC tot 2/3 AC, zo is DF tot DG, zoals kort hiervoor is bewezen; dus volgens de regel van de veranderde evenredigheid geldt: zoals boog ABC tot 2/3 AC, zo zal DF of BD tot DE zijn ***). Het staat daarom vast dat in een halve cirkel en in elke willekeurige sector, enz. Wat te bewijzen was. 27) Zie noot 22, p. 304 [305]. 28) Clavius, p. 516. 29) Of liever: Theor. 4.

[ 315 ] | [ 1651 ]

Exetasis Cyclometriae

### Onderzoek van de cirkelmeting

van de zeergeleerde heer

### Gregorius van S. Vincent, S. J.

Uitgegeven in 1647. 1)

Ongeveer vijftien jaar geleden heeft de zeergeleerde en in de Meetkunde zeer bekende heer Gregorius van St. Vincent 2) vier manieren voorgesteld om de cirkel te kwadrateren, en zelfs heeft hij één ervan ook toegepast op de kwadratuur van de Hyperbool; dat deze door hem beter dan de andere wordt geacht is uit veel aanwijzingen op te maken. Eén aanwijzing is in het bijzonder, dat hij de kwadraturen van twee verschillende figuren met deze zelfde heeft bewezen, een andere dat deze manier veel duidelijker is dan de overige drie, en daarom minder aan dwaling onderhevig moest lijken; ook enigszins omdat hij deze op de eerste plaats heeft gezet. En tenslotte is dit de belangrijkste aanwijzing, dat hij aan het begin van het gehele werk in zijn voorwoord aan de lezer — waarin hij de geschiedenis en de voortgang van zijn uitvinding kort heeft uiteengezet — geen andere dan deze ene heeft vermeld 3). Doch hij kan ook een andere reden hebben gehad om daar aan de laatste drie kwadraturen stilzwijgend voorbij te gaan, namelijk deze, [p. 26] dat hij wist dat ze alle vier uit dezelfde beginselen waren afgeleid en bewezen. Maar mij lijkt wel de ene of de andere van deze overwegingen voldoende te zijn, om te overtuigen dat één discussie 1) Zie T. I, p. 53 [Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni]. 2) [ Zie I, p. 147-]. 3) De betreffende passages beginnen met "Inde igitur rursus ad nova consilia conversus ..." [onderaan 1e blz] en "Hisce itaque rite expositis ..." [2e blz].

[ 317 ]

die de eerste kwadratuur zou weerleggen voor alle zou gelden, de overige meeslepend. Als we namelijk een fout zullen hebben aangetoond in degene die minder duisterheid heeft, zie ik niet om welke reden een beter succes te verwachten is in de drie volgende, die in een zeer dichte nevel zijn gehuld, en die de schrijver zelf wel schijnt achter te stellen bij die ene. De beginselen waarvan ik heb gezegd dat ze gemeenschappelijk zijn aan alle kwadraturen, zijn nieuwe vondsten over Meetkundige Evenredigheden of over Evenredigheden van verhoudingen 4), en over het Vermenigvuldigen van een vlak met een vlak 5). Weliswaar zal ik deze helemaal niet bestrijden, want ik vind zowel dat we in de Meetkunde ook alle mogelijke vaste lichamen mogen beschouwen, als dat we alle andere dingen kunnen aanwenden waarvan we maar denken dat ze enige hulp geven bij onderzoek van het ware. Toch kan ik niet nalaten één ding te zeggen: dat de zeergeleerde heer niet voldoende gelukkig is geweest in het toepassen van enkele vondsten op het gebied van Evenredigheden op de Kwadratuur, en dat hieruit mijns inziens bij hem de oorzaak van de fout is gevolgd. Het eerst van al had ik dit waargenomen in propos. 39 van lib. 10 van Opus Geometricum 6). Toen ik namelijk de willekeurig genomen getallen 2, 3, 4, 5 had opgeschreven; daarna hun kwadraten 4, 9, 16, 25; en de kwadraten der kwadraten 16, 81, 256, 625; zag ik dat bij deze twaalf hetzelfde bewijs past dat beschreven staat in de genoemde prop. 39 voor evenzoveel parallelepipeda. En daar het besluit toch geen geschikte verklaring toeliet 7), twijfelde ik er niet aan of zijn argumentatie bevatte evenzeer iets absurds als de mijne, die ik in dezelfde woorden had opgesteld 8). 4) Het gaat om 'Liber 8, De Proportionalitatibus geometricis' (p. 865-954). 5) Zie § 4 van 'Kort overzicht', op p. 278; over 'Liber 7, De ductu plani in planum' (p. 703-864). 6) Hier heeft Huygens in het exemplaar dat we bezitten met pen aangetekend: "In deze prop. 39 heeft ook Descartes een verkeerde redenering aangewezen in een brief aan van Schooten". Vgl. T. I, p. 258-259 [F. van Schooten aan Chr. H. (13 dec. 1653), en Descartes aan F. v. S. (9 apr. 1649) Ned.]. De aantekening is dus van na 13 dec. 1653. 7) Vgl. § 10 van 'Kort overzicht', p. 280. Inderdaad, als 2, 3, 4, 5 voorstellen de volumes van (zie fig. p. 278) Rδ, γX, Rδ', γ'X', en 4, 9, 16, 25 die van Sε, βV, S'ε', β'V' en 16, 81, 256, 625 van Gη, αP, G'η', α'P', gelijk aan resp. die van de 12 parallelepipeda, dan bevatten de verhoudingen Gη/G'η' = 16/256 en αP/α'P' = 81/625 resp. even vaak (2 ×) de verhoudingen Sε/S'ε' = 4/16 en βV/β'V' = 9/25, als deze de verhoudingen Rδ/R'δ' = 2/4 en γX/γ'X' = 3/5 bevatten. Maar bij 2 aan 2 sommeren van de lichamen zou het bewijs van Gregorius vereisen dat GP/G'P' = 97/881 even vaak de verhouding SV/S'V' = 13/41 zou bevatten als deze de verhouding RX/R'X' = 5/9 bevat. Dit is niet zo, dus het bewijs is fout. 8) Het bewijs van 'Prop. 39' (p. 1121-1123) dat men krijgt door de parallelepipeda te vervangen door de getallen: "Aan te tonen is dus dat de verhouding (16+81)/(256+625) zo vaak door vermenigvuldiging de verhouding (4+9)/(16+25) bevat als deze bevat (2+3)/(4+5), wat ik als volgt aantoon. De verhouding (16+81)/(256+625) is dezelfde als 16/(256+625) samen met 81/(256+625) volgens Prop. 8. Evenzo is de verhouding (4+9)/(16+25) dezelfde als 4/(16+25) met 9/(16+25). Tenslotte is de verhouding (2+3)/(4+5) dezelfde als 2/(4+5) met 3/(4+5). Maar de verhouding 16/256 vermenigvuldigt 4/16 even vaak als de verhouding 4/16 de verhouding 2/4 bevat, en zo vervolgens: 16/625 bevat even vaak 4/25 als deze 2/5; en zo volgend: 81/256 bevat even vaak 9/16 als deze 3/4. Tenslotte bevat de verhouding 81/625 ook 9/25 zo vaak als deze 3/5. Dus is duidelijk dat (16+81)/(256+625) even vaak (4+9)/(16+25) bevat als deze (2+3)/(4+5). Wat te bewijzen was."

[ 319 ]

Doch het laatste deel van het bewijs 9) was juist, en toonde daarom het falen in het vorige aan. Maar bevreesd dat voor ons hieruit een ingewikkeld en uitvoerig betoog zou ontstaan, [p. 27] heb ik me tot andere vondsten gewend en tenslotte boden zich degene aan, waarbij ik besloot ze hier in weinig woorden op schrift te stellen 10). Geen enkele der stellingen van de zeergeleerde heer wordt hierdoor betwist; maar integendeel, na vele ervan in orde te hebben bevonden en omgezet voor mijn gebruik, zal ik de zaak zo ver afleiden dat — aangezien hij zegt dat het niet onmogelijk is zijn kwadratuur ten einde te brengen, en daardoor inderdaad een rechte lijn te vinden die gelijk is aan een cirkel — ik zal laten zien hoe dit in het vervolg heel gemakkelijk wordt bereikt. Daarna zal ik, zijn voetspoor volgend waarop hij ons tot nu toe is voorgegaan, aantonen dat daarmee geenszins tot het gewenste doel kan worden gekomen, maar dat het moet ophouden bij zeer absurde gevolgtrekkingen. En laten we nu tot de zaak komen. Gegeven een cirkel met middelpunt F en middellijn CD. En als de straal FC doormidden is gedeeld in G, worden loodrecht daarop getrokken FE en GH. Ik zeg dat, als gegeven is de verhouding van het segment CHG tot het segment GHEF, ook de verhouding van de cirkel tot zijn ingeschreven regelmatige zeshoek gegeven is 11). Laat namelijk verbonden worden FH en HC, en het is duidelijk dat de driehoek FHC gelijkzijdig is; evenzo dat de boog CE van het kwadrant driemaal de boog HE is. Als dus gegeven is de verhouding van segment CHG tot segment GHEF, zal ook door samenstelling gegeven zijn de verhouding van kwadrant FEC tot segment GHEF. Maar ook gegeven is de verhouding van de sector FHE tot kwadrant FEC, dus wordt ook de verhouding gegeven van segment GHEF tot sector FHE; en evenzo is ook de verhouding te geven van segment GHEF tot de driehoek FHG; daarom zal ook de verhouding van sector FHE tot driehoek FHG gegeven zijn. Maar aan deze verhouding is gelijk de verhouding van sector FHC tot driehoek FHC (aangezien deze [p. 28] het dubbele zijn van elk van de voorgaande); en dezelfde is de verhouding van de cirkel tot de regelmatige zeshoek die er wordt ingeschreven. Dus blijkt dat ook deze gegeven is; wat te bewijzen was. Laat nu gegeven zijn drie lijnen AB, CD en EF 12) elk gelijk aan de middellijn van de cirkel CD; en op elk ervan worden twee vierkanten geconstrueerd. Daarna worden met als toppen A en B de halve parabolen AVG en BTH beschreven, waarvan de basen zijn de zijden van de vierkanten BG en AH. In de twee volgende vierkanten worden de diagonalen CI en DK getrokken. Maar in de laatste worden weer halve parabolen beschreven, EΣL en FΠM, waarvan de toppen E en F zijn, en de assen zijn de zijden van de vierkanten EΨ en FΩ, en de basen ΨL en ΩM. Verder, nadat de lijnen die in het begin gesteld werden zijn doormidden gedeeld in N, O en P, en de helften weer doormidden 9) D.w.z. het deel van het kwadratuurbewijs na 'Prop. 39'. 10) Na de precieze plaats te hebben aangewezen waar Gregorius' bewijs mis ging, laat Huygens zien hoe het tot absurde gevolgen leidt. 11) Vergelijk § 1 en 2 van "Kort overzicht' op p. 277. 12) Zie de figuren van p. 321. De twee vierkanten zijn door Huygens verwisseld (zonder gevolg).

[ 321 ]

in Q, R en S, worden door de punten van de verdelingen getrokken TV, YX, ZΓ, ΔΘ, ΠΣ en ΛΞ, evenwijdig aan zijden van de vierkanten. De zeergeleerde heer toont dus aan in het bewijs van prop. 52 in boek 10 van Opus Geometricum 13), en het is zeer juist, dat in de bovenstaande cirkel segment CHG tot segment GHEF dezelfde verhouding heeft als hier het lichaam dat ontstaat door het vermenigvuldigen van vlak AYQ met vlak AHXQ, tot het lichaam ontstaan uit het vermenigvuldigen van vlak QYVN met vlak QXTN; immers, zoals hij op het vlak in zijn tekening de gelijke lijnen hi en kl 14) neemt, zo zijn bij ons op de cirkel gelijk genomen CG en GF, en aan deze zijn AQ en QN gelijk. En 15) opdat nu ook de bewijsmethode zelf bekend wordt, deze is als volgt. In prop. 51 van lib. 10 wordt aangetoond 16) dat het lichaam dat ontstaat door vermenigvuldigen van de halve parabool ABG met de halve parabool ABH gelijk is aan de halve cilinder met als basis de halve cirkel CED [p. 29] en als hoogte CD. Vervolgens wordt in het Corollarium van dezelfde propositie geleerd dat ook hetzelfde geldt voor de afzonderlijke delen, als voor de hele lichamen. Namelijk het lichaam dat ontstaat door [p. 30] vermenigvuldigen van vlak QYVN met vlak QXTN is ook gelijk aan het gedeelte van de genoemde cilinder dat op segment GHEF staat; en evenzo is het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak AYQ met vlak AHXQ gelijk aan het gedeelte van dezelfde halve cilinder dat staat op segment CHG 17). Waarvan wel dit daaruit vaststaat, dat anders deze twee lichamen samen genomen, dat is het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak AVN met vlak AHTN, niet gelijk zouden zijn aan de helft van de genoemde halve cilinder; en dientengevolge zou ook onwaar zijn wat erkend wordt, namelijk dat het lichaam uit vermenigvuldiging van de halve parabool ABG met de halve parabool ABH gelijk is aan de gehele halve cilinder. Het blijkt dus, aangezien 13) Vergelijk § 3 - 5 van 'Kort overzicht', p. 277-278. 14) Lees HI en KL en zie de figuur van het 'Kort overzicht', p. 278. 15) De 2 volgende alinea's stonden niet in de 1e versie, zie brief aan van Schooten, 28 dec. 1651. 16) Vergelijk § 5 van 'Kort overzicht', p. 278. 17) De redenering die volgt dient alleen om aan te tonen dat 'Prop. 51' niet alleen geldt voor GP (fig. van p. 278) maar ook voor AO (AGH op AYOH).

[ 323 ]

de delen van de halve cilinder onderling dezelfde verhouding hebben als de basen waarop ze staan, dat zeker is wat we gezegd hebben: cirkelsegment CHG staat tot GHEF als het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak AYQ met vlak AHXQ tot het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak QYVN met vlak QXTN. Ik heb dit zo vereenvoudigd willen beschrijven, opdat niet bij iemand die misschien niet bekend is met de aard van de bewijzen die de zeergeleerde heer gebruikt, twijfel zou kunnen blijven bestaan omdat, waar hij in genoemde prop. 52 van boek 10 twee cirkelsegmenten beschouwt die ongeveer zoals GHEF zijn, ik voor één ervan het segment CHG heb genomen; en omdat ik op de lijn AB vanaf het uiteinde A gelijke stukken AQ en QN nam. Doch deze dingen kunnen de zeergeleerde heer zelf niet tegenhouden, noch hier, noch in het volgende; omdat wanneer hij in genoemde prop. 52 en 44 van boek 10 18) voorschrijft op de lijn ab gelijk aan elkaar te nemen hi en kl 19), hij weet dat dit geen beperking toelaat; zoals ook in de corresponderende tekening bij prop. 39 van boek 10, overal wordt op de lijn ab genomen ik, die in twee gelijke stukken im en mk verdeeld wordt. Hetzelfde gebeurt in de volgende prop. 40 20). Doch ik keer terug tot het gestelde en nu staat wel vast, als gegeven wordt de verhouding van het lichaam dat ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak AYQ met vlak AHXQ, tot het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak QYVN met vlak QXTN, dat daardoor ook gegeven is de verhouding van segment CHG tot [p. 31] segment GHEF, en dat derhalve dan dadelijk 18) Zie § 3 en 7 van 'Kort overzicht', p. 277 en 279. 19) Lees AB, HI en KL, zie de figuur bij 'Kort overzicht', p. 278. 20) Zie § 10, p. 280 van 'Kort overzicht'. Een lijnstuk zoals IK wordt doormidden gedeeld door punt M.

[ 325 ]

gevonden kan worden welke verhouding de cirkel heeft tot de regelmatig ingeschreven zeshoek. [p. 32] Laat ons nu kortheidshalve dat, wat naar gezegd ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak AYQ met vlak AHXQ, lichaam HY noemen. Evenzo wat ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak QYVN met vlak QXTN, lichaam XV. Op gelijke wijze noemen we wat voortkomt uit vermenigvuldiging van vlak CΘR met vlak CKΔR, lichaam KΘ; en met dezelfde kortheid hebben we het over de lichamen ΔΓ, MΞ en ΛΣ, waarvan nu voldoende is te begrijpen wat ze voorstellen. Nu dit zo is vastgesteld, is te weten dat alle hoop en het fundament om de Kwadratuur te bereiken voor de zeergeleerde heer daarin gelegen is, dat hij meent dat de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV (en ik heb er al op gewezen dat slechts deze als enige verlangd wordt) gemakkelijk gevonden kan worden, als bekend zijn deze twee verhoudingen, namelijk de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, en de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ 21). Het volgende zal dan immers worden aangevoerd: Bekend is de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, evenzo de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, dus is ook bekend hoe vaak de eerste verhouding de laatste bevat. Doch zo vaak als de eerste de laatste bevat, zo vaak bevat deze zelf, namelijk de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, de verhouding van lichaam HY tot XV; dus ook deze verhouding zal bekend zijn. Hoe dit te begrijpen is zal even verderop beter te zien zijn, waar we dezelfde argumentatie zullen herhalen. Ondertussen weet ik zeker dat niets van dit genoemde door de zeergeleerde heer zal worden ontkend, als hij slechts overweegt dat op de lijn AB de stukken AQ en QN even lang zijn genomen, en aan deze gelijk CR en RO, ES en SP. Als ik hem dus zal aangeven welke verhouding er is van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, evenzo welke verhouding er is van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, en als hij zelfs dan niet kan zeggen welke verhouding lichaam HY heeft tot lichaam XV, moet hij inderdaad toegeven dat hij beide Kwadraturen, zowel van de Cirkel als van de Hyperbool, tevergeefs heeft geprobeerd; aangezien hij dan zal zien dat Propositie 44 van lib. 10 van Opus Geometricum 21) volstrekt op niets uitloopt, en deze zal hol en zinledig zijn, tenzij uit de bekende verhoudingen van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, en van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, bekend wordt de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV. [p. 33] Van de Hyperbool evenwel, aangezien prop. 146 22) van hetzelfde lib. 10, waarop deze kwadratuur steunt, de zelfde is als de genoemde prop. 44 en met dezelfde woorden wordt toegepast op de Hyperbool. [p. 34] Maar indien hij met deze twee gegeven verhoudingen hierna de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV heeft kunnen vinden, dan kan hij geloven dat hij de Cirkel werkelijk heeft gekwadrateerd. Zo zal immers de verhouding bekend zijn van segment CHG op de cirkel tot segment GHEF, en de rest is gemakkelijk af te maken. Dan zal ik nu zeggen wat die verhoudingen zijn. En wel van de eerste, dat is de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ, zeg ik dat deze dezelfde is als die van getal 53 tot 203. En de andere, de verhouding van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, is die van 5 tot 11. En van beide zal ik het hieronder bewijzen. Doch eerst zal ik ook aantonen wat ik in het begin beloofde, dat als deze verhoudingen bekend zijn, toch de verhouding van lichaam HY tot lichaam XV, althans met wat ons tot nog toe 21) Vergelijk § 7 van 'Kort overzicht', p. 279. 22) Zie p. 1222 van het werk van Gregorius.

[ 327 ]

geleerd is door de z.gel. heer, niet kan worden gevonden. Immers, als hij uit de gegeven verhoudingen, van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ en van lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ, de derde verhouding wil vinden, van lichaam HY tot lichaam XV, zal hij op de volgende manier redeneren, zoals is te zien aan het hierboven aangehaalde bewijs van prop. 44, waarvan duidelijk is dat het past bij dit geval. Hij zal namelijk zeggen dat bekend zijn de eerste en de tweede verhouding (deze zijn hier: 53 tot 203, en 5 tot 11) en dat dus ook bekend is hoe vaak de eerste de tweede bevat. Maar zo vaak als de eerste de tweede bevat, zo vaak bevat de tweede de derde (dit beweert hij in prop. 40 van lib. 10 van Op. Geom.) 23). Dus is ook bekend hoe vaak de tweede de derde bevat. En daarom, omdat de tweede bekend is, zal ook de derde bekend zijn, namelijk die welke lichaam HY heeft tot lichaam XV. Dientengevolge zal het nu op hem neerkomen dit te definiëren: hoe vaak hiervan de eerste verhouding de tweede bevat; dat wil zeggen, hoe vaak de verhouding van 53 tot 203 de verhouding van 5 tot 11 bevat. Maar in welke zin zal hij dan het woord bevatten hier uitleggen? Soms in die zin dat hij hetzelfde bedoelt als elders bevatten bij vermenigvuldiging? 24) En dat gezegd wordt dat de verhouding van 53 tot 203 de verhouding van 5 tot 11 òf tweemaal vermenigvuldigt (dat is dat de eerste [p. 36] het kwadraat van de laatste is, want zo lijkt bevatten te moeten worden opgevat in de zojuist aangehaalde propositie 40 van lib. 10) of driemaal, viermaal of ook vaker. En dit kan zeker niet zo zijn, want de verhouding van 53 tot 203 is van de verhouding van 5 tot 11 noch het dubbele, noch het drievoudige of verder meervoudige, daar pas de verhouding van 53 tot 256 13/25 het dubbele*) is van de verhouding van 5 tot 11. Of zal hij het woord Bevatten in die zin opvatten, die het heeft in propositie 125 van lib. 8 van Op. Geom.? 25) Dat kan ik echter nauwelijks veronderstellen; maar zelfs indien hij het wilde zal daaruit iets absurds volgen. Want volgens deze interpretatie geldt: zo vaak als de verhouding van 53 tot 203 de verhouding van 5 tot 11 bevat, zo vaak zal deze de verhouding van 5075 tot 6413 bevatten 26); en dit zal duidelijk zijn voor wie de onderlinge verhoudingen van deze getallen onderzoekt, volgens de genoemde regel van propositie 125. Dan zou de verhouding van het lichaam HY tot het lichaam XV, dat is de verhouding van het in het begin voorgestelde cirkelsegment CHG tot het segment GHEF, dezelfde zijn als die van 5075 tot 6413. En daarom: als segment CHG zou bestaan uit 5075 delen, dan zou segment GHEF bestaan uit 6413 van zulke delen; en derhalve het kwadrant FCE uit 11488; en de sector FHE (die het derde deel is van het kwadrant) uit 3829 1/3 ; en de driehoek GHF uit 2583 2/3 . Zoals nu sector FHE is tot driehoek GHF, zo is sector 23) Zie § 10 van 'Kort overzicht', p. 280. 24) Vgl. de passage in noot 8, p. 317 hiervoor, en § 9 van 'Kort overzicht', p. 279. [ *) Het 'dubbele van een verhouding' nemen wil zeggen: de breuk kwadrateren.] 25) Op p. 930: verhouding A/B delen door verhouding C/D geeft: zoals D tot C, zo is B tot E (zodat E = BC/D, dus A/B : C/D = A : E). 26) Want 53/203 : 5/11 = 5/11 : 5075/6413.

[ 329 ]

FHC tot driehoek FCH, en zo is de cirkel CD tot zijn regelmatige ingeschreven zeshoek. Dus geldt ook: van zulke delen als cirkel CD er 3829 1/3 zou hebben, zou de ingeschreven zeshoek er 2583 2/3 hebben. Doch als de ingeschreven zeshoek er 2583 2/3 heeft, dan zou de omgeschreven regelmatige zeshoek 3444 8/9 van zulke delen hebben, aangezien deze van de ingeschreven zeshoek het vierderde deel is. Dus van zulke delen als de cirkel er 3829 1/3 zou hebben, zou de omgeschreven zeshoek er 3444 8/9 hebben, en zo zou deze kleiner zijn dan de cirkel zelf, wat absurd is. We hebben dus duidelijk gemaakt dat van twee interpretaties [p. 37] van het woord Bevatten geen van beide in ons geval kan worden aangewend. En een andere dan deze heeft hij in zijn werk niet gegeven; hij heeft dus niet een manier meegedeeld om te bepalen hoe vaak [de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ de verhouding bevat van lichaam] 27) KΘ tot lichaam ΔΓ, en dus kon ook niet bepaald worden hoe vaak deze verhouding die van lichaam HY tot lichaam XV bevat. En daarom is helder dat deze verhouding, zelfs als die twee vorige verhoudingen gegeven zijn, niet door de vondsten van de zeergel. heer kunnen worden gekend; en dat hij dus tevergeefs heeft gehoopt op deze wijze de kwadratuur van de Cirkel te bereiken. Nu blijft slechts over dat ik duidelijk maak wat in het voorgaande is gesteld, ik heb immers gezegd dat ik zou aantonen dat het lichaam MΞ zich tot het lichaam ΛΣ zou verhouden als 53 tot 203; evenzo dat lichaam KΘ tot lichaam ΔΓ de verhouding van 5 tot 11 zou hebben. Doch aangezien voor het bewijs van het eerste hiervan nodig is dat we bekend hebben, welke Verhouding er is van de Parabolische ungula [hoef] tot zijn Cilinder, die op dezelfde basis staat en dezelfde hoogte heeft; daarom zullen we bij het verklaren van deze Verhouding de Verhandeling van de zeergel. heer, die hij over deze ungula in Pars 5 van lib. 9 28) heeft voorgelegd, met één uitstekend Theorema vermeerderd weergeven, en ik verbaas me erover dat hij dit niet heeft gevonden, daar het gemakkelijk wordt afgeleid uit wat hij al had laten zien, zoals nu terstond zal blijken. Voorzover hier nodig zal zijn wordt zijn figuur herhaald, die staat bij propositie 99 29) van lib. 9. Gegeven een Parabolische Cilinder, met als tegenovergestelde basen de parabolen ABD en VCE; waarvan is afgesneden de Ungula ABCD, met dezelfde basis en hoogte. Ik zeg dat de Cilinder tot deze Ungula de verhouding heeft van twee en een half, oftewel die van 5 tot 2. Met overname van het andere uit dezelfde figuur, is FB de middellijn van parabool ABD, en AB en BD zijn rechte lijnen. [p. 38] Als verder de rechte BC op het oppervlak van de cilinder wordt getrokken, en het vierde deel CQ daarvan wordt genomen, wordt met vlak PQN de ungula PQCN afgesneden, en we trekken CA en CD. 27) Zie de 'Errata' aan het eind (p. 337) met noot 41 [42]. [1651, p. 37: correct gedrukt in ex. MPIWG.] 28) Op p. 1020-1037 van het werk van Gregorius, onder het opschrift: "Beschouwt een parabolische ungula; bovendien vergelijkt het een cilindrische en een sferische ungula met een parabool en met een parabolische cilinder". 29) De figuur staat op p. 1032 van Gregorius' werk in prop. 97 maar dient ook voor prop. 99 (p. 1033).

[ 331 ]

Tenslotte is aan de hele cilinder toegevoegd de pyramide ADγC, gelijk aan het deel BXDEC dat van de cilinder wordt afgesneden door het vlak BDEC. En tot zover zal het ons wel voldoende zijn de constructie van de z.gel. heer herhaald te hebben. Doch hij heeft de twee volgende dingen bewezen, zoals is te zien in de genoemde prop. 99 van lib. 10. Namelijk dat ungula ABCD zich tot ungula PQCN verhoudt als 32 tot 1 30). Evenzo dat deze ungula PQCN tot de hele pyramide AγDBC (die is samengesteld uit de twee pyramiden ADBC en ADγC) is als 1 tot 30 31). Dan zal eveneens gelden dat ungula ABCD tot pyramide AγDBC is als 32 tot 30, dat is als 16 tot 15. Verder, aangezien het segment BDX een achtste deel van de parabool is 32), zal ook het lichamelijke segment BXDEC of de hieraan gelijke pyramide ADγC een achtste zijn van de hele parabolische cilinder AVCEDB. Maar de andere pyramide ADBC is gelijk aan twee achtste of een vierde van dezelfde parabolische cilinder (die is namelijk een derde deel van zijn prisma dat gelijk is aan drie vierde van deze cilinder, zoals uit de kwadratuur van de parabool vaststaat); dus de hele pyramide AγDBC is gelijk aan drie achtste van de parabolische cilinder AVCEDB. De parabolische cilinder AVECDB zal dan tot pyramide AγDBC zijn als 8 tot 3, dat is als 40 tot 15; [p. 39] maar aangetoond is dat dezelfde pyramide AγDBC tot ungula ABCD is als 15 tot 16. Dus zal eveneens gelden dat de parabolische cilinder AVCEDB tot ungula ABCD is als 40 tot 16, dat is als 5 tot 2; wat te bewijzen was. De dingen die naar ik hier heb gezegd zijn aangetoond door de z.gel. heer, zijn zeer juist, en daarom is er geen reden om aan de waarheid van dit Theorema te twijfelen. Ik zou er ook een ander bewijs 33) van kunnen geven, hiervan zeer verschillend, als ik me niet naar het volgende zou haasten. 30) Methode, in prop. 95 en 86: verdeel AD en PN in een gelijk en vrij groot aantal gelijke delen, neem αβ en α'β' als overeenkomstige delen. Deel ungula ABDC met vlakken evenwijdig aan vlak BγC door α en β, en PQNC evenzo met vlakken door α' en β'. Vergelijk dan de overeenkomstige driehoekige plakken. De dikten α'β' en αβ zijn als PN tot AD, dus als 2 : 1 (omdat APCND een parabool is); maar hun driehoekige basen (die gelijkvormig zijn) zijn als CB2 tot CQ2, dus 16 tot 1. Inhouden dus als 32 : 1. [Zie ook de aantekening naast p. 38 in ex. UvA.] 31) Het bewijs in prop. 99 hangt af van vorige en is zeer ingewikkeld; Huygens zal zijn eigen theorema hebben gebruikt, waarvan het bewijs niet bekend is. De juistheid van het verband is makkelijk te verifiëren. Als A de oppervlakte is van paraboolsegment ABD, h hoogte BC, x de afstand van C tot een vlakke doorsnede evenwijdig aan het segment, dan is het volume van ungula ADBC dus dat van ungula PQNC is 1/32 × 2/5 Ah = 1/80 Ah. Verder: pyramide ADBC is 1/3 × 3/4 Ah = 1/4 Ah en de pyramide ADγC is 1/8 Ah (gelijk aan cilinder BXDCE met basis BXD = 1/8 A, zie volgende noot). De som van de pyramiden is dus 3/8 Ah = 30 × 1/80 Ah = 30 keer ungula PQCN. 32) Driehoek ABD is 3/4 van paraboolsegment ABD, dus segment BXD is de helft van 1/4 ervan. 33) Niet gevonden.

[ 333 ]

Met herhaling dan van het laatste deel van de tekening die we hierboven hebben beschreven 34): aangetoond moet worden dat het lichaam MΞ, dat is wat ontstaat door vermenigvuldigen van het vlak EΞS met het vlak EMΛS, tot lichaam ΛΣ, dat is wat ontstaat door vermenigvuldigen van vlak SΞΣP met vlak SΛΠP, de verhouding van 53 tot 203 heeft. Laat op EF de parabool EΠF worden beschreven, met de as PΠ, die naar vaststaat een vierde deel is van die EF of ME. Dan zal parabool EΠF dezelfde zijn als die de z.gel. heer in prop. 41 35) en 42 van lib. 10 aanduidt met de letters ARB. En hij zegt in de genoemde prop. 42, en het is zeer juist, dat het lichaam dat voortkomt uit vermenigvuldiging van vlak EΣLF met vlak FΠME gelijk is aan het lichaam dat ontstaat uit de parabool EΠF met zichzelf vermenigvuldigd. Zoals ook wat hij toevoegt in Corollarium 1, namelijk dat het lichaam uit vlak SΞΣP op vlak SΛΠP gelijk is aan het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak SΦΠP met zichzelf 36); [p. 40] zodat het lichaam uit vlak EΞS op vlak EMΛS evenzo gelijk zal zijn aan het lichaam uit vlak EΦS met zichzelf vermenigvuldigd. We moeten dus aantonen dat het lichaam ontstaan uit vlak EΦS tot het lichaam uit vlak SΦΠP, beide met zichzelf vermenigvuldigd, is als 53 tot 203. Gegeven de parabolische ungula AEFΠ, waarvan de basis, de parabool EΠF, genomen is uit de vorige figuur, en op dezelfde manier als daar verdeeld door de lijnen ΠP en ΦS. Verder moet de hoogte van de ungula AΠ het dubbele zijn van de basismiddellijn ΠP. Dit zal dan die ungula zijn die, zoals hij bedoelt in de genoemde prop. 42 van lib. 10 en het corollarium 2 ervan, ontstaat uit het vermenigvuldigen van parabool EΠF met zichzelf. Hij heeft namelijk dezelfde overweging gebruikt als in het Scholium van propos. 19 van lib. 9 37). Want anders zou beter gezegd kunnen worden dat uit een zodanig vermenigvuldigen een dubbele ungula voortkomt, elk met hoogte gelijk aan middellijn ΠP. Als daarna een vlak is getrokken door AΠP, en evenwijdig eraan een ander DΦS langs de lijn ΦS, dan zal het door deze twee vlakken begrensde deel van de ungula gelijk zijn aan het lichaam dat ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak SΦΠP met zichzelf; en het deel EDSΦ gelijk aan het lichaam dat ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak EΦS met zichzelf. En daarom is nu nog slechts te bewijzen dat het deel EDSΦ tot het deel ΦAP is als 53 tot 203. Laat ΦN evenwijdig zijn aan EP, en NC evenwijdig aan ΠA. Dan zal, aangezien uit de eigenschap van de Parabool volgt dat PN is ¾ ΠP, ook PC zijn ¾ AP. Maar SD is eveneens gelijk aan ¾ ΠP,
|  | *) 11. 16. Elem. 38)
daar hij aan deze evenwijdig is *), en EAF een parabool is. 34) Zie p. 323 en 325 hiervoor. 35) Beschrijf in Huygens' figuur een halve cirkel met FE als middellijn, neem A als punt waar een lijn ΛΞ evenwijdig aan MΨ deze cirkel snijdt. Dan zegt Prop. 41 (p. 1124) dat punt Φ een parabool beschrijft als SΦ = SA2 : ME. 36) Als PS = x en PE = r, is volgens de vorige noot SΦ = (r2 – x2) : 2 r; maar ook is SΞ = (r – x)2 : 2r terwijl ΛS = (r + x)2 : 2r; dus SΦ2 = SΞ × ΛS; waaruit volgt dat de lichamen gelijke doorsneden hebben als ze gesneden worden met vlakken loodrecht op EF. 37) D.w.z. door overal het vierkant op ΦS te vervangen door de rechthoekige driehoek met hoogte ΦD, tweemaal die van het vierkant. 38) Clavius [Post. libri IX], p. 400.

[ 335 ]

Dus als CD is getrokken, zal deze gelijk en evenwijdig zijn aan de lijnstukken PS en NΦ. Laat langs DC het vlak DBC getrokken worden evenwijdig aan de basis EΠF, en er komt een halve parabool BDC gelijk en evenwijdig aan de halve parabool ΠΦN; [p. 41] dan zal ΦBN een halve parabolische cilinder zijn, en DACB een gehalveerde ungula. Nu is deze gelijk, zoals we eerder aantoonden, aan twee vijfde van de gehalveerde cilinder met basis DBC en hoogte BA. Dus daar de halve cilinder ΦBN de hoogte BΠ heeft, het drievoudige van die BA, zal de halve ungula DACB tot de halve cilinder ΦBN zijn als 2 tot 15, dat is als 8 tot 60. Als verder getrokken wordt ΦΠ, staat vast dat de halve parabool ΠΦN tot de driehoek ΠΦN is als 4 tot 3; maar driehoek ΠΦN is tot rechthoek ΦP als 1 tot 6 (de basis ΠV [ΠN] is immers een derde deel van die NP), dat is als 3 tot 18. Dus eveneens zal gelden dat de halve parabool ΠΦN tot rechthoek ΦP is als 4 tot 18. Daarom is ook de halve cilinder ΦBN tot het parallelepipedum van dezelfde hoogte, op basis ΦP, als 4 tot 18. Doch de helft van genoemd parallelepipedum is het prisma DNS; dus de halve cilinder ΦBN is tot prisma DNS als 4 tot 9, dat is als 60 tot 135. Als dan de halve ungula DACB uit 8 delen bestond, had de halve parabolische cilinder ΦBN er 60 (zoals boven is aangetoond) en prisma DNS zal er 135 hebben. En daarom zal het lichaam AΠSD, dat uit deze drie wordt samengesteld, er 203 hebben. Nu is de halve ungula ADCB tot de halve ungula EAPΠ als 1 tot 32, zoals de z.gel. heer heeft bewezen in prop. 95 van lib. 9 39). Dus van zulke delen de halve ungula ADCB er 8 heeft, zal de halve ungula EAPΠ er 256 hebben. Doch we hebben gezegd dat van zulke delen het deellichaam AΠSD er 203 heeft. Dus de halve ungula EAPΠ is tot deel AΠSD als 256 tot 203; en door verdeling: het overige deel EDSΦ is tot deel AΠSD als 53 tot 203; wat te bewijzen was. We hebben dus aangetoond dat ook dat lichaam, dat naar we boven hebben gezegd ontstaat uit vermenigvuldiging van vlak EΞS met vlak EMΛΣ, tot het lichaam ontstaan uit vermenigvuldiging van vlak SΞΣP met vlak SΛΠP, die verhouding heeft van 53 tot 203 40). Tenslotte gaan we naar het andere bewijs dat we beloofd hebben, [p. 42] en het is aan te tonen met herhaling van het middelste deel van de drievoudige tekening die hierboven is beschreven: dat het lichaam ontstaan uit vermenigvuldiging van vlak CΘR met vlak CKΔR tot het lichaam uit vermenigvuldiging van vlak RΘΓO met vlak RΔZO de verhouding heeft van 5 tot 11. Laat op de zijde CD van driehoek CDI loodrecht de driehoek CKD worden opgericht, en KI verbonden. Nu zal de pyramide CDIK dat lichaam zijn dat bedoeld wordt te ontstaan uit vermenigvuldiging van driehoek CDI met driehoek CDK. [p. 43] 39) Zie noot 30. 40) Op p. 339 van T. I is een afleiding te vinden van J. Wallis, volgens zijn 'rekenkundige' methode [Arithmetica infinitorum, 1656], van dit verband, zoals ook van dat van 5 : 11 waarmee Huygens zich nu gaat bezighouden.

[ 337 ] | [ 1651, 43 ]

Immers als de pyramide gesneden wordt met een vlak AZOΓ langs OΓ, dat loodrecht staat op de basis CDI, zal de doorsnede een vierkant zijn, dat is de rechthoek die ontstaat uit de lijnstukken ΓO en OZ; dezelfde doorsnede zal de pyramide doormidden delen. Als deze evenzo gesneden wordt met een vlak EΔRΘ evenwijdig aan het voorgaande, langs lijnstuk RΘ, zal daaruit de rechthoek ER te voorschijn komen, zoals omvat door de lijnstukken ΘR en RΔ. We moeten dus aantonen dat het lichaam KCREΔ tot het lichaam ΔAOΘΔ is als 5 tot 11. Laat langs EΔ getrokken worden het vlak ΔEB evenwijdig aan basis CDI; dat snijdt de pyramide BEΔK af, gelijkvormig met de hele pyramide CIDK, die daarom tot deze de drievoudige verhouding*) zal hebben van de homologe zijden BΔ tot CD. Maar BΔ, als zijnde gelijk aan CR, is het vierde deel van de zijde CD. Dus van zoveel delen als pyramide BEΔK er één is, zal pyramide CIDK er 64 hebben; en de helft hiervan, dat is lichaam KAOC, zal er 32 hebben. En van zulke delen als pyramide BEΔK er één is, daarvan heeft prisma BER er ook 9; aangezien ze de gemeenschappelijke basis BEΔ hebben, en de hoogte van het prisma BC driemaal de hoogte BK van pyramide is. Dus het lichaam KCREΔ dat uit deze twee wordt samengesteld, zal 10 van zulke delen hebben, waarvan het lichaam KAOC er 32 heeft. Het blijkt dus dat dit laatste tot het vorige is als 16 tot 5; en daarom, bij verdelen en omzetten, dat lichaam KCREΔ tot lichaam ΔAOΘΔ is als 5 tot 11. Wat te bewijzen was. E R R A T A. Pag. 2. lin. 10. na KN &c. ontbreekt, evenwijdig aan middellijn BD. Pag. 7. lin. 4 post hypocol. 41) invullen en veel groter dan AD tot DH 42). F I N I S. [ *) D.w.z. evenredig met de derde macht.] 41) In het exemplaar dat we bezitten is het woord 'hypocol.' met pen doorgestreept en vervangen door 'DF' [in ex. MPIWG: gedrukt 'DF' — vgl. noot 27 op p. 329]. 42) Aan deze 'errata' heeft Huygens in het exemplaar dat we bezitten nog met pen toegevoegd: pag. 20, lin. 11 komma weghalen voor ad. Pag. 37. lin. 4, lees: hoe vaak de verhouding van lichaam MΞ tot lichaam ΛΣ de verhouding bevat van lichaam ... In de tekst is met deze gedrukte en geschreven 'errata' rekening gehouden, zie de noten 1 (p. 288), 5 (p. 294) en 27 (p. 328). [ De Latijnse tekst in Oeuvres complètes is bijna foutloos; één drukfout werd gevonden (die niet bij de correcties op p. 368 staat): op p. 335, regel 9, moet ΠV worden vervangen door ΠN.]

Home | Christiaan Huygens | XI | < Theorema's over de kwadratuur (top)