Home | Chr. Huygens | Oeuvres XX | Muziek - Voorbericht | >

Muziek , overzicht , I: consonantie , A: oorsprong van zang

[ 15 ]

# Muziek

[ 17 ]

## Algemeen voorbericht. Ik luister niet naar wie zich beroept op autoriteit 1). Zoals deze spreuk duidelijk uitdrukt wil Huygens in zijn theoretische beschouwingen over muziek, evenals in die over andere takken van de menselijke kennnis, zich niet onderwerpen aan de autoriteit van een ander, ondanks het vele lezen en het graag converseren met competente mensen — we denken aan zijn conversatie van 1662 met de gebroeders Hemony 2) — alles welbeschouwd vertrouwt hij op zijn eigen oordeel. Wat is er meer in overeenstemming met de laatste zin van de Principia Philisophiae [Ned.] van Descartes — eveneens geïnteresseerd, het zij terloops gezegd, in de muziektheorie 3) — waar de filosoof, na zijn systeem te hebben opgehemeld, tot slot zegt:
Maar niettemin zou ik willen dat ... niets ... door wie dan ook wordt geloofd, dan datgene waarvan een evidente en onweerlegbare reden hem zal overtuigen.
We willen hier niet in een discussie treden over de vraag tot in hoeverre de 'ratio' moet steunen op de 'experientie' 4). Daar Huygens geen aanhanger is van een 1) Portefeuille 'Musica' [HUG 27], f. 18v, ook aangehaald op p. 162 hierna (noot 26). 2) P. 28-29 hier onder [en T. 4, p. 193: brief aan broer Lodewijk, korte vermelding]. 3) Zie wat gezegd wordt in de lange noot op p. 34 hier onder, over enkele plaatsen van zijn correspondentie met Mersenne en Constantijn Huygens, waar hij o.a. kort handelt over Simon Stevin, uitvinder of heruitvinder (bij toeval, kan men zeggen; zie het vervolg van de tekst; vergelijk ook p. 27 en noot 9 van p. 32 hierna) van wat men tegenwoordig noemt de gelijkzwevende stemming. 4) Vergelijk regel 10 [en n.8] van p. 31 van T. 18.

[ 18 ]

onbegrensd rationalisme zoals men soms tegenkomt bij Plato 5), erkent hij graag dat de regels van de muziek oorspronkelijk zijn ontdekt door ondervinding 6). Elders zegt hij zelfs dat men slechts "toevallig nieuwe uitvindingen doet" 7). Er is aan toe te voegen dat dergelijke toevallen zich bijna alleen voordoen bij onderzoekers 8), en ook dat het vaak grotendeels ideeën van anderen zijn waaruit deze toevallen voortkomen 9); vergelijk wat Huygens zegt op de aangehaalde pagina 10) over het nut van tentoonstellingen 11). Muziek makend vanaf zijn kinderjaren 12), geeft Huygens in verscheidene van zijn brieven, b.v. in die geschreven te Parijs tijdens zijn verblijf van 1655 13), blijk van zijn belangstelling voor deze kunst. Vanaf 1661, datum van de 'Divisio Monochordi' (p. 49 hierna), een maand nadat hij een geschrift van Hemony onder ogen had gehad, zien we hem zich aktief bezig houden met de theorie 14). Overigens kunnen enkele van zijn theoretische notities niet van voor 1691 zijn; in dit jaar verscheen het boek van Werckmeister dat hij bespreekt 15). Het is ook in 1691 dat gedrukt werd zijn studie over de Harmonische Cyclus 16), veel eerder ondernomen. We herinneren eraan dat deze algemeen bekend staat onder de naam 5) Zie noot 5 van p. 355 van T. 19. ['Politeia', 7.7 ('... tais chordais pragmata ...'), Engl.; "... tease and torture the strings ...", met 2 alinea's ervoor: "There is a perfection which all knowledge ought to reach ..."; en verderop: "discovery of the absolute by the light of reason only". Zie ook T. 18, p. 31, n.11, over "the mind's eye".] 6) Zie de eerste alinea van p. 116, evenals regels 14-16 van p. 154 ["ondervinding en noodzaak"], r.4 van onder op p. 155 en r. 12 van p. 168 hierna: "Gevonden bij ondervinding, daarna de rede". Op deze laatste plaats gaat het om de vondst van een bepaalde temperatuur die (volgens Huygens) Zarlino en Salinas elkaar betwisten. Zie over deze 'twist' de 2e alinea van p. 116. Zie ook over 'ondervinding' en 'rede' de laatste alinea van p. 170 ["scire per causas"; mmer in T. 3, p. 444, extra noot]. 7) T. 19, p. 265, regel 6. 8) Vergelijk noot 2 van p. 365 van T. 19 (ondervinding van Galileï: een mes schrapen over koper gaf tonen, gevonden "bij toeval"). 9) "& ... regardant par hazard ces iours passez en la Statique de Stevin..." (brief van Descartes aan Mersenne van 13 juli 1638; Oeuvres, ed. Adam et Tannery, II, p. 247). 10) T. 19, p. 265, regel 18-20. 11) Het gaat om het tentoonstellen van modellen van nuttige machines, niet over kerkklokken (p. 17, n.2 en p. 26, n.1) of muziekinstrumenten zoals 'archicymbalum' (p. 113 en 157) en klavieren met gespleten toetsen (p. 154, n.2 en 160, n.21). 12) T. 1, p. 541 [onderaan (1639): in het zingen meer bedreven dan zijn oudere broer] en 543 (brieven van leraar Bruno). Zie ook noot 5 van p. 356 van T. 19 [meer in T. 22, p. 401]. 13) T. 1, p. 361, 372, enz. 14) Vergelijk het gedeelte van de brief aan Moray van 1 aug. 1661 [T. 3, p. 307], stuk 2 op p. 12 hiervoor. 15) Portef. 'Musica' [HUG 27], f. 20; § 9 van p. 133 hierna. 16) Stuk 6 F op p. 164 hierna, met verwijzing naar T. 10.

[ 19 ]

'Nieuwe Harmonische Cyclus', volgens de Latijnse vertaling in de editie van 's Gravesande van 1724. Na 1691 wilde Huygens niets meer publiceren, hoewel hij er een moment over gedacht heeft en de gelegenheid had het te doen, o.a. in de Acta Eruditorum 17). Voor andere bijzonderheden, deels chronologische, wordt de lezer verwezen naar de Voorberichten van de verschillende stukken die grotendeels zijn ontleend aan de portefeuille 'Musica' en die eindelijk de figuur van Huygens als musicoloog met enige precisie doen kennen, 250 jaar na zijn dood. 17) T. 10, p. 225, 229, 230, 285, 298 [onderaan, Huygens aan Leibniz: "ik heb niet genoeg tijd om het stuk in het Latijn te vertalen"]. Al deze pagina's zijn van 1692.

[ 21 ]

## Muziek I. Theorie van consonantie. [p. 23]
| Voorbericht.
A. | Oorsprong van zang. Verband tussen lengten van consonante snaren volgens Pythagoras enz.
B. | Andere overwegingen over de diatonische stemming, met consonante intervallen. De moderne chromatische halve tonen.
II. Verdeling van het monochord. [p. 41]
| Voorbericht.
A. | Kopie van een geschrift van de gebroeders Hemony getiteld 'Vanden Beijaert'. [p. 48]
B. | Verdeling van het monochord I.
C. | Verdeling van het monochord II.
| Appendix bij Stuk C.
III. Stukken over oude en moderne zang. [p. 61]
| Voorbericht.
A. | Het juiste tempo.
B. | De verschillende toonsoorten.
C. | Verschillen in hoogte ten opzichte van tonen van instrumenten, voortkomend uit juistheid van zang.
D. | Kenden de ouden meerstemmige zang?
E. | Verdienste van de ‘Belgen’, volgens Guicciardini, bij het vaststellen of herstellen van meerstemmige zang.
IV. Notities bij geschriften van oude musicologen. [p. 83]
| Voorbericht.
| Notities bij geschriften van oude musicologen.
| Appendix.

[ 22 ]

V. Notities bij geschriften van moderne musicologen. [p. 107]
| Voorbericht.
| Notities bij geschriften van moderne musicologen.
VI. De (Nieuwe) Harmonische Cyclus. [p. 139]
| Voorbericht.
A. | Verdeling van het octaaf in 31 gelijke intervallen (met logaritmen).
B. | Tabel: "Verdeling van het octaaf in 31 gelijke delen".
C. | Commentaar op een tabel.
D. | Concept-brief aan Basnage de Beauval.
E. | Harmonische Cyclus door verdeling van het octaaf in 31 diësen, gelijke intervallen.
F. | Brief aan Basnage de Beauval over de Harmonische Cyclus.
G. | Enkele notities met betrekking tot de verdeling van het octaaf in 31 gelijke intervallen.
| Appendix I: Het idee van de 'perikuklôsis' enz. (programma van Stuk E).
| Appendix II: Vergelijkende tabel van 11 of 30 middelevenredigen volgens verschillende rekenaars. [Eind: p. 173.]

[ 23 ]

### I. Theorie van consonantie.

[ 25 ]

Voorbericht. In de twee stukken die volgen, over de data warvan we het dadelijk zullen hebben, behandelt Huygens het klassieke probleem van consonante intervallen, dat altijd de aandacht van musicologen had getrokken, sinds Pythagoras kan men zeggen, aannemend dat het waar is wat de historie of liever de legende aan hem toeschrijft. Aannemend dat het strikt juist is dat consonanties van intervallen overeenkomen met de verhoudingen van kleine gehele getallen (te interpreteren als verhoudingen van de snaarlengten, zowel als omgekeerde verhoudingen van de trillingsfrequenties ervan), zoekt hij naar de oorzaak van het genot dat consonante intervallen ons geven bij het periodiek en zeer frequent samenvallen van de fasen van de twee trillingsbewegingen van de lucht die het geluid overbrengt; dit kan overigens even goed voortkomen uit andere instrumenten dan die met snaren. Meer precies komt zijn theorie van consonantie (Stuk I, A) neer op het volgende. Om de consonantie-graad te bepalen van twee tonen waarvan de frequenties zijn in de verhouding van p : q (p < q), moet worden beschouwd de rij frequentieverhoudingen 2p : q 4p : q 8p : q . . . dat wil zeggen: de verhoudingen van de 'replieken', of boven-octaven, van de hoogste toon van het beschouwde interval met zijn laagste toon; de consonantie hangt volgens Huygens af van het voorkomen in deze rij, van verhoudingen die kunnen worden uitgedrukt als breuken met de noemer 1 of 2. De grote terts moet dus beschouowd worden als meer consonant dan de kwart, aangezien in de rij 5 : 4   10 : 4   20 : 4   . . .

[ 26 ]

de tweede en de derde verhouding kunnen worden geschreven als 5 : 2 en 5 : 1, zodat in deze rij verhoudingen kleinere noemers te vinden zijn dan in de rij overeenkomend met de kwart 4 : 3   8 : 3   16 : 3   . . . waarin alle breuken onherleidbaar zijn. Opgemerkt dient te worden dat Huygens in dit Stuk er blijk van geeft het bestaan van de harmonische boventonen te kennen — al beschreven door Mersenne 1) — en dat hij zelfs een zeker verband legt tussen dit verschijnsel en dat van consonantie. Inderdaad, aangezien de boventonen die met de grondtoon een interval vormen van een of meer octaven, maken precies de 'replieken' die voldoen aan het criterium van de bovenbedoelde herleidbaarheid van de karakteristieke verhoudingen, ze dragen bij tot het voortbrengen van consonantie. Huygens gelooft te kunnen conatateren — hier, zoals in verscheidene andere Stukken — dat de Ouden ("een vrij vreemde zaak") in het algemeen 2) slechts als consonant interval hebben erkend het octaaf, de kwint en de kwart, evenals die welke eruit voortkomen door toevoeging van een octaaf; maar niet de tertsen en sexten ("die", voegt hij eraan toe, "hoewel miskend toch gebruikt werden in hun zang van opeenvolgende tonen, evenals in die van tegenwoordig"). Mersenne zei ongeveer hetzelfde in het 'Livre Premier des Consonances', dat deel uitmaakt van Harmonie Universelle; hij schrijft (Prop. 29): "Het schijnt dat de Grieken geenszins deze 2 Tertsen, noch de Sexten, tot de Consonanten hebben gerekend, want allen vanaf Aristoxenos tot aan Ptolemaeus, Aristides, Bryennius*), en verscheidene andere zowel Griekse als Latijnse schrijvers, hebben slechts 1) Zie op p. 59-60 van T. 1 de brief aan Constantijn Huygens van 12 jan. 1647. In Harmonie Universelle, 'Traitez de la Nature des Sons, et des Mouvemens de toutes Sortes de Corps' ['Livre 4 des Instrumens a chordes'], p. 208, Prop. 11: 'Determiner pourquoy une chorde touchée à vuide fait plusieurs sons en mesme temps', zegt Mersenne veel proeven hierover te hebben gedaan.
| Deeltonen van een snaar (Wikipedia)
In Corollaire 1 beweert hij "dat het geluid van elke snaar des te harmonieuzer en aangenamer is, naarmate deze een groter aantal verschillende geluiden tegelijkertijd laat horen". In Corollaire 2 zegt hij o.a.: "vaak heb ik ondervonden dat het glijden van de vinger over de rand van een glas twee of drie geluiden tegelijkertijd maakt, zoals ik zal zeggen in het boek van de Klokken, die evenzo meer geluiden maken". Vergelijk noot 13 van p. 36 hierna. We weten niet of Huygens er in geslaagd is, in 1675 of later, de "vermengde trillingen van snaren" te zien (T. 19, p. 366). 2) Vergelijk de laatste alinea van p. 114 hierna (met noot 20), waar ronduit blijkt dat Huygens hier geen verschil maakt tussen de Griekse musicologen van verschillende tijden. Op deze plaats bekritiseert hij Mersenne, maar zonder hem te citeren. Zie nog over dit onderwerp het citaat van Mersenne in noot 21, p. 114. *) Het manuscript van Manuel Bryennius, Grieks musicoloog van de 14e eeuw, werd pas gepubliceers (door J. Wallis) tegen het eind van de 17e eeuw [1699].

[ 27 ]

het Octaaf, de Kwint, de Kwart, en hun replieken als Consonanten erkend, zoals men ziet in de boeken die ze ons hebben nagelaten". Blijkbaar was de tegenstelling tussen de gezichtspunten van de oude Grieken aan de ene kant, en die van onze zestiende en onze zeventiende eeuw aan de andere kant, niet zo scherp als het lijkt in de uitspraken van Huygens. Het is zeker, wat hij ook zegt, dat men het in de oudheid niet absoluut eens was op dit punt: Ptolemaeus verwijt de pythagoreëers de grote terts niet tot de rij intervallen (octaaf enz.) te hebben gerekend, waarvan sprake was in het begin van de vorige alinea. Het is naar ons inzicht niet voldoende. om het Griekse denken te karakteriseren,alleen de begrippen consonantie en dissonantie te beschouwen. Ptolemaeus maakt in elk geval een fijner onderscheid 3): hij stelt in de eerste plaats de emmele [harmoniërende] intervallen, d.w.z. die waarvan de twee tonen, achtereenvolgens gehoord, aangenaam zijn voor het gehoor, tegenover de ekmele [niet harmoniërende] die deze eigenschap niet hebben; in de tweede plaats de symfone intervallen, d.w.z. die waarvan de twee tonen schijnen samen te smelten, tegenover de diafone waarbij ze voor het gehoor hun eigenheid bewaren. Van deze vier soorten lijken alleen de niet harmoniërende de naam dissonant te verdienen; dus bij Ptolemaeus maken de tertsen, evenals de grote toon en de kleine toon, er geen deel van uit. In een brief aan Mersenne van maart 1622 4) schreef J. Titelouze:
degenen die pythagoreïsche musici waren, hadden en gebruikten slechts de consonanties bevat in het 4 [tetrachord], en de leerlingen van Ptolemaeus bedienden zich van alle die zich konden bevinden in het 6 [hexachord]. Zie over de senarius p. 162 hierna [n.27 en n.30].
In § 3 van Stuk A neemt Huygens stelling tegen Stevin, die in zijn Hypomnemata mathematica van 1608 (om alleen de Latijnse editie van dit jaar te noemen) het had gedurfd te beweren dat de Grieken zich vergist hadden door de verhouding 3 : 2 te beschouwen als een precieze uitdrukking van de kwint die aangenaam is voor het oor*); wat te verklaren is met het feit dat Stevin beweerde dat alle twaalf halve tonen van de toonladder gekarakteriseerd werden door een enkele verhouding. Het is bekend dat in de praktijk deze 'gelijkzwevende stemming' het op den duur heeft gewonnen bij de bouw van instrumenten; wat niet wil zeggen dat Stevin theoretisch gelijk had. We komen in noot 9 van p. 32 — waar o.a. sprake is van een manuscript van Stevin — terug op deze kwestie, die al is aangeroerd in 3) 'Harmonika', 1, cap. 4-7. [Ed. Wallis, 1682, p. 15-29; met op p. 18 (ed. Düring, 1930, p. 10): Lat.: 'Concinni', 'Inconcinni' en 'Consoni', 'Dissoni'; Gr.: 'Emmeleis', 'Ekmeleis' en 'Sumphônous', 'Diaphônous'.]
Concinni vero (seu cantui apti) sunt, qui, invicem conjuncti, accidunt ad aures grati; Inconcinni vero, qui non ita se habent. Consonos (Symphonos) porro dicunt, a Sonituum pulcherrimo, (Phone scilicet seu) Voce, nomen sumentes, qui similem perceptionem auribus inferunt; & Dissonos, qui secus se habent. [ De Harmoniërende nu (of voor gezang geschikte) zijn die, welke aan elkaar gevoegd, de oren aangenaam treffen; en de Niet-harmoniërende, die dit niet doen. Verder worden Consonant (Symfoon) genoemd, die van de heel mooie (Phônè in het Grieks, of) Klank, hun naam hebben, die welke de oren een dergelijke waarneming geven; en Dissonant, die waarbij het anders is.]
4) Correspondance du P. Marin Mersenne II [I], 1933, ed. M.me P. Tannery et C. de Waard (p. 73). [ 2 maart 1622, tekst in: Titelouze Jehan (musicologie.org); manuscript: BNF.] [ *) Zie Wijzentijd - Vernieuwing, p. 22: "ghedwaelde rammelingen ... stelling des redens der vijfde van 3 tot 2".]

[ 28 ]

noot 3 van p. 17 en waarmee o.a. Mersenne zich bezig houdt in zijn Questions theologiques, physiques, morales et mathematiques van 1634*), evenals in zijn Harmonie Universelle en elders. Zie ook het Voorbericht over de 'Harmonische Cyclus', waar we opnieuw de invloed bespreken die het door Stevin gegeven voorbeeld kan hebben gehad op Huygens [p. 143]. Overigens wordt de invloed van het genoemde manuscript onthuld, denken we, op een al gepubliceerde plaats van het nu gepresenteerde Stuk 1, A (dat een geheel vormt met Stuk II over het geluid, gepubliceerd in 1937 in T. 19, p. 361-365); dit — of liever wat Huygens verkeerd zegt, of deze fout nu te wijten is aan de invloed van Stevin of niet — maakt het ons mogelijk de datum van het Stuk met een zekere waarschijnlijkheid vast te stellen. De laatste alinea van noot 3 van p. 362 van T. 19 liet al zien dat het waarschijnlijk van voor het jaar 1672 is; daarin heeft Huygens het over een "regel van de smelters" #), in strijd met wat Huygens dacht te kunnen uitspreken in het Stuk, als hij het heeft over het verhaal van de hamers van Pythagoras. We hebben in de genoemde noot gezegd niet te begrijpen hoe Huygens in het Stuk, ondanks Mersenne 5), met de schrijver vasthoudt aan dit verhaal, "dat het waar is dat van twee gelijkvormige stukken metaal datgene dat het dubbele gewicht heeft van het andere een octaaf lager klinkt". Nu geloven we het te begrijpen: het is omdat Stevin in zijn geschrift dat Huygens kende het verhaal van de hamers vertelt zonder het te bekritiseren 6); hij zegt, wat lijkt aan te tonen dat hij inderdaad gelooft aan de werkelijkheid ervan, of althans de mogelijkheid: "Dergelijcke voorder besoeckende op speeltuygens gespannen snaren bevant daerin het selve regel te houden", d.w.z. "Dergelijke effecten vervolgens [d.w.z. na de hamers te hebben gewogen] onderzoekend op gespannen snaren van muziekinstrumenten, bevond hij [Pythagoras] dat daarbij dezelfde regel geldt". Wie zijn nu die 'smelters' die Huygens de ogen hebben geopend? Zonder twijfel de gebroeders Hemony, of liever een van beiden, met wie Huygens een lang gesprek had [ *) Question 33 ('Waartoe de verhoudingen van de Meetkunde dienen'), p. 155 en 157:
... degenen die in de Muziek de gelijkheid van tonen en halve tonen volgen, zijn gedwongen 11 middelevenredige lijnen te vinden tussen de 2 die het octaaf maken ... ... de eenheid, die het derde deel is van de kwart van 12, dat wil zeggen van 3, gevoegd bij 3 maakt 4 die 1/3 van 12 is; wat voor de Musici kan dienen voor het interval, of de verhouding Diatessaron, die ze noemen Kwart ...]
[ #) Add. & Corr. p. 618, bij p. 170:] zie T. 19, p. 362, n. 3 (eind), met verwijzing naar T. 13, p. 804: "de regel van de smelters, die de middellijn van klokken verdubbelen als ze er een willen hebben op het octaaf van een andere". 5) En ondanks Faber Stapulensis (Jacques Lefèvre d'Étaples) [c. 1455 - c. 1536] die Huygens overigens niet noemt. Wel stonden de muziekwerken van deze schrijver, evenals die van andere musicologen waarover hij niet spreekt, in de bibliotheek van zijn vader, volgens de veilingcatalogus na diens overlijden in 1687 [4:568]. [ Add. & Corr. p. 617:] De veilingcatalogus van de boeken van Chr. Huygens noemt het ook (math. 4:119): Jac. Fabri, Musica, Paris 1552. We merken nog op dat we verscheidene andere plaatsen hadden kunnen aanhalen waar Mersenne zegt dat het verhaal van de hamers een fabeltje is. Zie b.v. p. 146 (Theor. 18) van Traité de l'Harmonie Universelle van 1627. [ Het verhaal van de hamers is niet gevonden in Faber, Musica, 1552 (en 1551), maar volgens noot 3 van p. 362 van T. 19 gaat het om een manuscript, genoemd door Mersenne, Cogitata (1644), p. 364, in 'Monitum I. De Campanis ...', waarin op p. 362 staat: "... Ioannes Faber à secretis Cardinalis de Giury, in tertio suae triplicis Musicae libro" en op p. 361 (Monitum): "... legi triplicem Musicam Petri Fabri à secretis Cardinalis de Giury, Episcopis Lingonensis". Bisschop van Langres en 'Cardinal de Givry' (vanaf 1533) was: Claude de Longwy, 1481-1561.] 6) 'Byvough der Singconst', I. Hooftstick. [Zie hier ook wat E. J. Dijksterhuis erover zegt in Simon Stevin (1943), p. 276.]

[ 29 ]

al in 1662 7). Bijgevolg lijkt Stuk I, A ons te zijn van voor dit gesprek. Het kan zijn van 1661 zoals de 'Verdeling van het Monochord': zie het volgende Voorbericht, waar eveneens sprake is van de Hemony-broers. — We zeggen niets over Stuk I, B, dat van later datum kan zijn. Tot slot halen we uitdrukkelijk op wat al is aangeduid in het begin van dit Voorbericht [p. 25], te weten de propositie van Huygens 8), voortaan de verhoudingen die overeenkomen met de verschillende intervallen niet te beschouwen als verhoudingen van lengten van snaren (van dezelfde aard en gelijk gespannen), maar als verhoudingen van trilingsfrequenties, daar in de zeventiende eeuw was vastgesteld dat deze verhoudingen onderling omgekeerd evenredig zijn 9). Overigens is het mogelijk dat dit verband al veel eerder is vermoed: als men de werken van de Griekse theoretici leest, wordt men er dikwijls toe gebracht zich af te vragen of het in hun gedachten het kleinste getal van de verhouding is dat overeenkomt met de hoogste toon, of veeleer (ondanks de beschouwing van de snaarlengten) het grootste van de twee getallen. 7) Noot 2 van p. 17 hierboven. 8) Noot 11 van p. 35. Mersenne zei eveneens in 'Traité des Instruments a chordes', in Harmonie universelle (deel 2, boek 3, prop. 18, Corollaire II) [p. 148]:
Als men de toon wil bepalen van de stem, waarop men wil dat de noot, of de voorgestelde partij, gezongen moet worden, is er geen algemener en zekerder middel dan een eigen naam te geven aan elke toon, die genomen kan worden van het aantal slagen tegen de lucht [vgl. r. 8 van p. 391 van T. 19] die allerlei tonen of geluiden maken ... opgemerkt moet worden dat de getallen van de trillingen kunnen dienen in plaats van de noten, of van de gewone Tabulatuur van stemmen en instrumenten.
9) Zie op p. 364-365 van T. 19, § 2 (met noot 1): dit Stuk over geluid van T. 19 vormt één geheel met Stuk A hierna, zoals we hebben gezegd in de tekst, en nog een keer herhaald in § 3 en 4 van het Stuk, waarbij we de lezer verwijzen naar T. 19. Zie ook de tweede alinea van noot 10 van p. 35 hierna.

[ 30 ]

A. Oorsprong van zang. Verbanden tussen lengten van consonante snaren volgens Pythagoras enz. § 1 1). De oorsprong van het zingen komt van de samenklanken, ik bedoel zowel van het zingen van een enkele stem of instrument, als van het meerstemmige gezang dat men tegenwoordig uitoefent. Want het genoegen dat men vindt in in het horen van samenklanken bestaat niet alleen met betrekking tot twee geluiden die tegelijkertijd samenklinken, maar is er evenzeer bij het horen van die tonen na elkaar. En zoals dissonantie onaangenaam is voor het gehoor als twee geluiden tegelijk worden gehoord, zo is ze het ook als deze zelfde geluiden achtereenvolgens worden voortgebracht, hoewel de grofheid niet helemaal zo groot is. Wat dus heeft gemaakt dat de mensen overal op aarde met dezelfde intervallen zingen, dat is geen toeval, noch een zeer vreemde zaak, maar al die intervallen zijn bepaald door de consonanten, en daar de muziek genoegen moest geven en geen verdriet, kon ze niet gezongen worden met andere intervallen dan deze. § 2. Wanneer men zingt V R M F S L C V², 2) zijn er de tonen V M F S L V² die alle een consonant maken met de eerste V. En verscheidene ook onderling. En dat maakt ten eerste dat het voor het oor aangenaam is na elkaar te horen die, welke een consonant maken met de onmiddellijk voorafgaande, zoals V M S V² F L V² S V. Ten tweede houdt het er ook van, ze na elkaar te horen, hoewel ze niet consonant zijn met de onmiddellijk voorafgaande, maar met de voorlaatste of zelfs andere vorige, vooral wanneer ze enige indruk hebben gemaakt. Zo geeft bij het zingen van V S F M F S L S S V de derde toon F een goed effect omdat deze consonant is met de eerste V. En de 4e toon M tegen de voorgaande S en V; en de volgende F tegen de voorgaande F (want hier is eenstemmigheid in plaats van consonantie) en tegen de V. De tweede S tegen de voorgaande MSV. En de L tegen FMV. Nu moeten de eerste muzikale geluiden geweest zijn die, welke samen 1) Portefeuille 'Musica' [HUG 27], f. 56 e.v. De eerste alinea van § 1, evenals verscheidene andere brokjes van Stuk 1, A, zijn al gepubliceerd in T. 19 (p. 361 e.v.) onder de titel: 'Verbanden tussen lengten van consonante snaren volgens Pythagoras, en verbanden tussen de getallen van hun trillingen volgens Galileï en andere geleerden'. We verwijzen de lezer naar T. 19 voor het grootste deel van de al gedrukte alinea's. 2) Vergelijk noot 1 van p. 362 van T. 19. De tekens van de diatonische ladder V, R, M, F, S, L, C, V² komen dus respectievelijk overeen met C, D, E, F, G, A, B, c, of met DO, RE, MI, FA, SOL, LA, SI, do. [De door Huygens genoemde C is dus onze B.] Bijgevolg is C = Bes.

[ 31 ]

de meest opvallende consonanten maken, zoals het octaaf, de kwint en de kwart, als volgt: V F S V 2. En dit is inderdaad te zien aan het feit dat de eerste Lieren slechts deze vier snaren hebben gehad, en dat de gehele Oudheid slechts deze eerste consonanten heeft erkend 3). Vervolgens hebben de kwint van S naar R omhoog of de kwart van S omlaag de tonen van de R aangewezen, en de kwint van R naar L de L. En de kwart omlaag LM de M en van M de kwint omhoog de C [zie n.2]. En ziedaar alle tonen van het octaaf waarmee de stem bij het zingen stijgt. Dat deze tonen deze oorsprong hebben, is er deels de oorzaak van geweest dat de ouden niet hebben overwogen dat de grote en kleine terts ens de sexten consonanten waren. Hoewel miskend zijn ze toch gebruikt in hun gezang van opeenvolgende tonen, evenals in dat van tegenwoordig. Het is waar dat het een nogal vreemde zaak is, dat ze niet vonden dat akkoorden met een afstand van deze intervallen van tertsen en sexten een aangenaam geluid maakten evenals de kwinten en de kwarten, en dat terwijl men nu geen akkoord maakt waar geen terts of sext in komt, men in hun tijd niet vond dat ze de naam consonant zouden verdienen. Maar we zullen later over de oorzaak hiervan spreken 4). Wat betreft de oorsprong van de halve tonen, dat wil zeggen de andere tonen die wij soms zingen en die verschillend zijn van de voorgaande, het was noodzakelijk dat de C 5) als eerste werd gevonden, doordat men vond dat het stijgen van F tot aan C een slecht effect gaf wanneer de indruk van F in het oor bleef, die helemaal niet consonant is met C, en alleen met de S 6), die er zelf niet aan vooraf gegaan kon zijn. Maar stijgen via FSLC was nog veel aangenamer, omdat de C consonant is met S en met F,waarmee hij de kwart maakt; die een van hun eerst bekende intervallen was, wat maakt dat makkelijk dat geluid van de C werd gevonden. De andere geluiden die men chromatisch noemt kunnen gevonden zijn met cadensen op de plaatsen waar men een hele toon moest dalen, zoals S\F/S, LSL en RVR 6 bis), want de stem is van nature geneigd zich niet zover van een toon te verwijderen waarop ze meteen terug moet komen, zodat men deze tonen vermindert. Maar dat er juist grote halve tonen van gemaakt zijn, daar zijn twee redenen voor, de ene dat de geluiden F*, S*, V* 7) die zijn welke consonant zijn 3) In de marge: hoe is het mogelijk dat ze VM en VL niet als consonant namen. RF, RC. De aangegeven intervallen, die de ouden volgens deze mening niet als consonant hebben beschouwd, zijn, zoals Huygens ook zal zeggen in de eerste alinea van p. 37 (noot 15, hier onder) de grote terts, de kleine sext, de kleine terts en de grote sext. 4) We zien niet dat Huygens zich aan deze belofte heeft gehoouden. 5) Zie de vorige noot 2. 6) Met andere woorden: B vormt een consonant interval met S, maar niet met F. 6 bis) Zie over de accenten noot 4 van p. 77 hierna. [Het accent / (boven F) geeft een stijging aan, \ (boven S) een daling.] 7) Dat wil zeggen Fis, Gis, Cis.

[ 32 ]

met verscheidene van de natuurlijke geluiden van het octaaf, zoals F* met R, L en C, en S* met M en C; wat het gevolgde gezang verzacht en aanpast evenals de samenklank zoals hiervoor gezegd is. De andere reden is dat men al gewend was aan de intervallen van grote halve tonen bij het zingen van FMF, en VCV. Vervolgens heeft men nog toegevoegd de M, niet zozeer om de grote halve toon te hebben boven de R, als wel om de kleine terts boven de V te hebben en de grote onder de S, wat tegelijk de grote sext geeft tegen V² en de kleine sext tegen S omlaag. Men voegt er soms nog andere tonen aan toe en niet zonder reden, waarover we hierna zullen spreken 8). § 3. Aangezien de intervallen bij het zingen hun oorsprong hebben van consonanten, is het nodig ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zie p. 362-364 van T. 19 (Huygens heeft het er o.a. over het verhaal van de hamers van Pythagoras; zie hierover het Voorbericht [p. 28]), tot aan de alinea die eindigt met "de verhouding ervan met andere getallen is die van 5 tot 2" [T. 19, p. 364]. Op dee bladzijden is sprake van de 'replieken' waarop Huygens doelt aan het eind van de voorgaande paragraaf [p. 30]; zie de volgende alinea. En zo maken snaren van 3 tot 2 de kwint, en zal er ook consonantie zijn van 6 tot 2 of van 3 tot 1, die men de twaalfde noemt, en het is een 'repliek' van de kwint. En de reden waarom dit voorkomt is dezelfde die de zoetheid van de andere consonanten maakt, waarover we het zullen hebben. Het staat vast door ondervinding, en degenen die maar een beetje oor hebben voor muziek kunnen het niet ontkennen, dat de consonanten volgens de bovengenoemde verhoudingen heel volmaakt zijn en beter dan wanneer men zich verwijdert van deze werkelijke getalverhoudingen. En degenen die het gewaagd hebben het tegendeel te beweren en dat de kwint niet bestond in de verhouding van 3 tot 2, of die niet een gehoor hadden dat in staat was erover te oordelen, of geloofden een reden ervoor te hebben, die concludeerden verkeerd [In de marge:] Stevin. 9). waarover we hierna zullen spreken 10). 8) Het gaat om de 'replieken' waarvan sprake is in § 3 die volgt. 9) Huygens doelt hier blijkbaar op de theorie van intervallen die Stevin ontwikkelt in zijn werk 'Vande Spiegeling der Singconst', voor het eerst gedrukt door D. Bierens de Haan — zie over hem p. V van T. 1 — in Verslagen en mededeelingen der Koninklijke Akademie Afd. Natuurkunde, Amsterdam 1884 en ook apart ('Réimpression') in hetzelfde jaar en dezelfde stad met de onuitgegeven verhandeling 'Vande molens'. Stevin verdeelt het octaaf in 12 gelijke intervallen, gekarakteriseerd door de verhouding 12√2 : 1, met andere woorden: hij bedenkt, hoewel zonder bezig te zijn met een temperatuur, wat men later heeft genoemd de gelijkzwevende stemming. In de 'Bijvough der Singconst', I Hooftstick, 'Dat de everedenheijt der geluijden met haer lichamen, bij de Griecken niet recht getroffen en is', zegt hij uitdrukkelijk dat de Grieken voor de verhouding van de kwint ten onrechte de waarde 3 : 2 hebben gebruikt, dichtbij de ware waarde ["volcommen reden"] 2 : 12√32. We merken op dat het door Bierens de Haan gepubliceerde manuscript van Stevins verhandeling deel uitmaakt van een verzameling manuscripten — Vol. 47 genoemd in noot 1 van p. 516 van T. 18 — herkomstig van Constantijn Huygens sr. In een brief aan Mersenne van 1 april 1640 (ed. Worp, T. 3) spreekt deze laatste over "stukken van zijn hand [van Stevin] die nog niet het licht hebben gezien en die in mijn bezit zijn", Christiaan Huygens heeft dus heel goed kennis kunnen nemen van dit geschrift hoewel het geen plaats heeft gekregen in de Wisconstige Ghedachtenissen van Stevin, noch in de Latijnse vertaling van hetzelfde jaar 1608, Hypomnemata Mathematica, waarvoor het bestemd was (genoemd in het overzicht). [Vyfde Stuck, ook op p. 107.] Deze hypothese, hoe plausibel ook — we hebben het al laten uitkomen in ons Voorbericht, sprekend over de kwestie van de hamers van Pythagoras [p. 28] — is hier overigens min of meer overbodig, aangezien Stevin zijn systeem al kort had aangegeven in zijn 'Eertclootschrift', dat deel uitmaakt van zowel de Wisconstige Ghedachtenissen [p. 21] als van de Hypomnemata (I Liber Geographiae, p. 19). Deze passage is ook te vinden in de Oeuvres Mathematiques de Simon Stevin augmentées par Albert Girard van 1634 (p. 112 in 'Premier Livre de la Géographie'). Stevin spreekt er van de
groote gemeene oude raserie inde stof der Singconst {Matheriæ Musicae.} vande redens der toonen, waer in de palen der vijfde gestelt sijn van 3 tot 2 ... ... ware halftoonen die wy uyter natuer al evegroot singen ...
Van toen af aan waren deze mening van Stevin en het systeem dat hij eruit afleidde algemeen bekend. Mersenne noemt ze in zijn 'Preface, & Advertissement au Lecteur' van de 'Traitez des Consonances, des Dissonances, des Genres, des Modes & de la Composition', in Harmonie Universelle van 1636; Hij zegt:
Iedereen is vrij een mening te volgen zoals die wil, om de waarschijnlijkste redenen, bij voorbeeld: degenen die liever eraan willen vasthouden dat alle tonen en halve tonen gelijk moeten zijn ... zoals Stevin doet aan het begin van het eerste boek van zijn Geografie, en de Aristoxenianen van Italië met verscheidene anderen*), en niet ongelijk, zoals Ptolemaeus ze stelt, het zal ze niet aan redenen ontbreken; en het zal moeilijk zijn hun te bewijzen dat de Kwint juist in de verhouding van anderhalf is, en de toon in de verhouding van negen-achtste, ofwel dat er een duizendste aan ontbreekt, enz. *) Elders brengt Mersenne meer uitdrukkelijk de gedachte van Aristoxenos en de Aristoxenianen naar voren: zie de laatste alinea van deze noot; zie bovendien over het systeem van Aristoxenes noot 5 van p. 78 hierna, evenals noot 16 van p. 113 en noot 69 van p. 121 — waar sprake is van Vincenzo Galilei.
Ook in 1634, dus iets eerder, in Les Questions theologiques, physiques, morales et mathematiques, sprak Mersenne in zijn antwoord op 'Question XXXIII. A quoy servent les raisons, & les proportions de la Geometrie, etc.' over: "degenen die gelijkheid van tonen volgen, en van halve tonen in de Muziek", die "gedwongen zijn 11 middelevenredige lijnen te vinden tussen de 2 die het octaaf maken". [Zie Voorbericht, p. 28.] Ook Descartes wist van dit systeem. In zijn brieven aan Mersenne van 1634 heeft hij het drie keer over "uw musici, die de verhoudingen van consonanten ontkennen", "die ontkennen dat er verschil is tussen de halve tonen" (Oeuvres de Descartes, ed. Adam et Tannery, T. I, p. 286, 288, 295) en in een brief van 1 november 1635 aan Constantijn Huygens [p. 331] spreekt hij over
toch goede musici die nog niet willen geloven dat de consonanten verklaard moeten worden met rationale getallen, wat als ik me goed herinner de fout van Stevin was, die niettemin bekwaam was in iets anders.
Het is misschien Isaac Beeckman die de aandacht van Descartes heeft getrokken naar dit onderwerp, hem bekend sinds 1614. In een brief aan Mersenne van 1 oktober 1629 schrijft Beeckman:
Daarom heb ik die mening van onze Stevin over zes tonen in voortdurende evenredigheid, vroeger door mij zeer nauwgezet aangehangen, al vele jaren geleden geheel en al verworpen.
Beeckman had trouwens in 1624 de gelegenheid gehad het hierboven genoemde manuscript van Stevin te raadplegen. We ontlenen deze informatie aan p. 274 en 286 van T. 2 van 1936 van de Correspondance du P. Marin Mersenne, gepubliceerd door Mme Paul Tannery, uitgegeven en geannoteerd door Cornelis de Waard. Anders dan Huygens die misschien een fijner gehoor had, keurde Mersenne het systeem van de Aristoxenianen en van Stevin in de praktijk niet af. Hij schrijft (Harmonie Universelle, p. 132, Livre Second. Des Dissonances, Prop 11: 'Expliquer les intervalles Harmoniques consonans & dissonans qui ne peuvent s'exprimer par nombres'):
deze verdeling van het octaaf*) kan voldoen voor allerlei soorten Muziek, met Stemmen zowel als Instrumenten; want als men juistheid wil, ziet men deze in de 2e kolom, die het octaaf verdeelt in 7 grote halve tonen, 3 gemiddelde en 2 kleine*) ... het oor kan het verschil ervan zo goed als niet opmerken. *) Dat zijn de op zeer weinig na correcte getallen (resp. met gelijke en met ongelijke halve tonen): 100000, 105946, 112246, 118921, 125993, 133481, 141422, 149830, 158741, 168179, 178172, 188771, 200000. 100000, 106666, 112500, 120000, 125000, 133333, 140947, 150000, 160000, 166666, 177777, 187500, 200000.
Elders in Harmonie Universelle ('Livre Premier des Instrumens', Prop. 14) leert Mersenne ons dat de aangehaalde 13 evenredige getallen voor hem zijn berekend door "Monsieur Beaugrand, tres excellent Geometre". Hij spreekt op deze plaats over de mogelijkheid ze te gebruiken "om de hals van de Luit te verdelen, van de Viool, van de Cistre enz.". Verder, op p. 21 van 'Nouvelles Observations Physiques & Mathematiques', geeft Mersenne (8e Observation) de "11 getallen die de 11 middelevenredigen vertegenwoordigen ... die de heer Gallé heeft berekend", te weten 100000000000, 94387431198, 89090418365 ... 50000000000. Op p. 384 (Prop. 38 van 'Livre Sixiesme des Orgues' — instrumenten waarover het ook gaat, Prop 45 van p. 408, over "verdelen van het octaaf ... in twaalf gelijke halve tonen" —) schreef Mersenne:
De heer Boulliau, een van de uitnemendste Astronomen van onze eeuw ... heeft mij een Harmonische tabel gegeven die het verdient in deze verhandeling te worden opgenomen, omdat hij de gehele Muziektheorie bevat ... hij bevat de genoemde wortels zo nauwkeurig, dat de breuken die volgen op de hele getallen gaan tot de eerste en tweede onderverdelingen.
In feite laat de nauwkeurigheid iets te wensen over. Het gaat om 11 meetkundige middelevenredigen tussen de getallen 2 en 4, geschreven in het sexagesimale stelsel [60-tallig], te weten 2°7′12″, 2°14′52″, 2°22′33″, 2°31′12″, 2°40′5″, 2°49′39″, 2°59′32″, 3°10′5″, 3°21′50″, 3°33′43″, 3°46′20″ [kolom VI in de tabel op p. 385]. Zie over de getallen van Beaugrand, Boulliau, en Gallé: Aanhangsel II, p. 171 hierna [daar ook meer over Jean Gallé]. Wat betreft de Aristoxenianen, Mersenne spreekt ervan o.a. op p. 67 en 70 van 'Livre Second des Instrumens' (Prop. 7) in deze termen:
... aangezien Aristoxenos en zijn leerlingen de toon hebben verdeeld in 2 gelijke halve tonen ... en verscheidenen deze verdeling gebruiken op de hals van de Luit en van de Viool, wil ik hier de praktijk van deze verdeling tonen ... Degenen die andere manieren wensen om het Octaaf te verdelen, en de hals van de Luit, en van Violen in 12 gelijke halve tonen, kunnen Zarlino bekijken in het 4e boek van zijn Supplement, hoofdstuk 30, waar hij deze verdeling toepast op de hals van de Luit, en Salinas, zijn tijdgenoot, in zijn 3e boek hoofdstuk 31, zodat het bijna 60 jaar geleden is dat de uitvinding van gelijke halve tonen van Aristoxenos vernieuwd is door deze twee Musici.
Zie over Zarlino en Salinas p. 45 hierna. Raadpleeg ook noot 1 van p. 171. [ T. 21, Add., p. 187:] Huygens heeft niet aangehaald: D. Rembrandtsz. van Nierop, Wis-konstige Musyka ..., Amst. 1659 (txt), waarin men dezelfde kritiek op de theorie van Stevin vindt in de deel 4, VII. 'De redens der toonen na Symon Stevin', VIII, 'Aenmerckinge op de redens der toonen van Symon Stevin' [met op p. 67: "hoe dat 'er meer slagen gelijck vallen / hoe dat de mee-klanck volmaeckter of vermaeckelijcker is"]. Het is waar dat we niet kunnen bewijzen dat Huygens dit werkje kende. [ Onderdeel van Mathematische Calculatie, Amst. 1659 (zie titelpagina), en dit komt voor in de veilingcatalogus van Huygens' boeken, 1695, p. 13, octavo 53.] 10) Huygens komt kort terug op deze kwestie in het Stuk van p. 168. [ App. I bij 'Nouveau Cycle', p. 169: "Dat zonder twijfel de verdelingen van 3 tot 2, 4 tot 3, 5 tot 4, 6 tot 5 de beste consonanten geven die er kunnen zijn. Tegen Stevin."] Een brief aan S. Stevin van Abraham Verheijen, organist te Nijmegen — die gevoegd was bij het in de vorige noot genoemde manuscript en gepubliceerd door Bierens de Haan samen met het manuscript — laat zien dat de schrijver zijn instemming betuigt met de theorie van Stevin. In de vorige noot heeft men gezien dat Beeckman gedurende verscheidene jaren dezelfde mening had. We merken op dat Stevin nog niet wist, zoals Huygens, dat de trillingsfrequenties omgekeerd evenredig zijn met de lengten van de snaren (van dezelfde aard en gelijk gespannen). Het moment waarop Beeckman ophield Stevins theorie te geloven moet geweest zijn toen hij besefte dat dit zo is (zie noot 1 van p. 364 van T. 19).

[ 33 ]

§ 4. Wanneer men de trillingen van snaren onderzoekt, wat naar ik meen Galilei voor het eerst heeft gedaan ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zie p. 364-365 van T. 19 tot aan het eind van dat stuk, d.w.z. tot de woorden: "die moeten loodrecht gespannen worden met een gewicht aan het eind".

[ 34 ]

§ 5. Welke consonanten aangenamer worden geacht dan andere. En of er niet nog andere consonanten zijn dan die nu onder dit getal worden gerekend. Men bevindt dat sommige consonanten aangenamer zijn dan andere, en dat die het meest behagen die zijn, waarvan de slagen het vaakst tegelijk komen, met uitzondering echter van eenstemmigheid, waarvan alle slagen tegelijk komen en die

[ 35 ]

daarom geen andere uitwerking heeft dan een enkele toon; en ook van het octaaf en de boven-octaven ervan, omdat het lijkt op eenstemmigheid 11). Behalve die wordt de 12, of de 5 boven het octaaf, het aangenaamst bevonden, waarvan de verhouding is van 3 tot 1, zodat bij elke slag van de lucht bij de lage toon, de hoge er 3 maakt, terwijl bij de 5e de drie slagen van de hoge toon tegelijk komen met slechts 2 slagen van de lage toon, en dat maakt dat de 12 aangenamer is dan de 5. Na de 12e is de volgende in zoetheid de 17e of de grote terts boven 11) In de marge de volgende opmrkingen: onderscheid moet worden gemaakt tussen hoe mooi ze klinken wanneer ze alleen worden gehoord of begeleid door andere of gevolgd of voorgegaan door andere. men kan de 6 horen op zo'n plaats of na zo'n ander akkoord dat die helemaal geen consonant zal schijnen te zijn. waarom niet meer consonanten: van 7 tot 1. (Zie hierover nog de laatste alinea van het Stuk.) de getallen omkeren en ze beschouwen naar het aantal slagen. In deze laatste regel, waarop we ook de aandacht van de lezer vestigen in ons Voorbericht [p. 29], stelt Huygens dus voor, de intervallen te karakteriseren door de verhoudingen van de frequenties van de tonen, in plaats van die van de snaarlengten.

[ 36 ]

twee octaven, waarvan de verhouding is van 5 tot 1, en bijgevolg worden de 5 slagen van de hoge toon gemaakt tegen elke slag van de lage toon. In de 10e die de grote terts is boven een octaaf komen 5 slagen van de hoge toon tegelijk met slechts 2 van de lage, en in de grote terts zelf worden dezelfde 5 slagen gemaakt tegen 4 van de lage toon, wat deze minder mooi maakt dan de 10e, en deze weer minder mooi dan de 17 of tweede repliek van de terts 12). Wanneer je volgens deze stelregel de kwart vergelijkt met de grote terts, zou je zeggen dat de laatste minder aangenaam zou moeten zijn dan de kwart, want elke 3e slag komt tegelijk met een 4e in de kwart; en in de terts komt elke 4e slag tegelijk met een 5e. En toch schijnt de kwart het minst goed van de twee. Hetzelfde is in het algemeen overal te zien, dat van twee consonanten die, waarvan de eerste of tweede repliek een veelvoud wordt, beter schijnt dan de andere. En de reden lijkt te zijn dat men bij het horen van een toon veronderstelt, en op de een of andere manier lijkt te horen, het hogere octaaf ervan, of zelfs het dubbel-octaaf. En men hoort het werkelijk bij het aanslaan van een snaar, of een grote klok, en zelfs de 12e en de 17e 12). Zodat men, zoals de replieken van deze consonanten een veelvoud van elkaar zijn, waarvan de samenkomsten van slagen veelvuldiger zijn dan de andere, de consonantie zelfs inschat naar het mooi klinken van deze replieken. Zo komt het dus, aangezien de replieken van de terts de 10e en de 17e zijn, waarvan de ene bij 2 slagen van het lage geluid en de andere er bij elke 5 heeft van het hoge geluid, die daarom beter zijn dan de kwart, waarin het samenkomen slechts gebeurt om de 3 slagen van het lage geluid, en evenzo bij alle replieken ervan; dat men de grote terts zelf beter vindt dan de kwart 14). De voorkeur voor andere consonanten is volgens dezelfde regels te onderzoeken, en het is nuttig deze graden van mooi klinken te kennen, hoewel het waar is dat niet alle smaken geheel overeenstemmen in dit oordeel. Wat wel duidelijk blijkt 12) In de marge: het geluid komt veel maar van het bovenblad en van het lichaam van het instrument dan van de snaren. (Vergelijk p. 370 van T. 19.) 13) Op deze plaats bewijst Huygens het verschijnsel van de harmonische boventonen te kennen. Vergelijk noot 1 van p. 26 hier boven. Zijn waarnemingen hebben, voor een grondtoon met frequentie n, betrekking op de boventonen met frequenties 2 n (octaaf), 3 n (12e, kwint van octaaf), 4 n (dubbel octaaf) en 5n (17e, grote terts van dubbel octaaf). Zie nog over Huygens en klokken: p. 265 en 339 van T. 17. 14) Het is opmerkelijk dat Huygens, om de beschouwing van replieken te motiveren, zich beroepend op het verschijnsel van boventonen waarvan ze deel uitmaken, ter verklaring van consonantie slechts rekening houdt met de boventonen die octaven of boven-octaven vormen met de grondtoon. Als hij alle boventonen in beschouwing had genomen, bevat in de reeks: 2 p : q 3 p : q enz. evenals die van de toon met frequentie q, dan zou hij een theorie hebben verkregen die niet veel afweek van de veel recentere van Helmholtz (Die Lehre von den Tonempfindungen, Zweite Abtheilung, Zehnter Abschnitt. Dritte Auflage, Braunschweig 1870, p. 284 e.v.). [ H. 10: Zwevingen van boventonen. Engl. On the sensations of tone, Lond. 1885 (2e ed.), p. 197.]

[ 37 ]

uit het feit dat de ouden niet alleen vonden dat de tertsen en de sexten geen consonanten waren 15), maar ook dat ze de kwart als een van de voornaamste erkenden. Het is hierbij goed te onderzoeken of er niet andere consonanten zijn dan die we hierboven hebben bepaald en of er enige reden is om het te bevestigen. Want misschien zouden wij dezelfde fout kunnen maken als de ouden. De verhoudingen van getallen die de consonanten samenstellen worden geacht te zijn die van een van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, tot een ander van deze zelfde rij, daarbij ook inbegrepen het dubbele en de helft van deze getallen of zelfs andere veelvouden en getallen deelbaar door 2, wat niets anders doet dan de consonant toevoegen aan een of meer octaven, ofwel deze er afnemen. Het getal 7 hoort hier niet bij, noch een ander priemgetal of getal dat is samengesteld uit priemgetallen 16). En sommigen 17) schrijven dit toe aan de volmaaktheid van het getal 6, dat ze daarom harmonisch noemen. Toch zal men alles welbeschouwd en zonder vooroordeel vinden dat het getal 7, vergeleken met andere, ook in staat is een consonant voort te brengen 18), maar dat de voortgebrachte consonanten niet passen bij de al vastgestelde, en dat ze niet zo goed zijn 19). 15) Vergelijk noot 3 van p. 31 hier boven, en de regels 4-5 van p. 79, evenals § 2 van p. 114 hierna, de regels 8-7 van beneden op p. 153 en r. 3-5 van p. 162. 16) Te weten de priemgeallen groter dan 6. 17) Zie noot 30 van p. 162. 18) Vergelijk de laatste alinea van p. 161 hierna. 19) In de marge: argument van de trompet en tromba marina.
| Trompet-tonen, 1-8
Deze opmerking is ongetwijfeld van toepassing op de natuurtonen van de trompet, vaak genoemd door Mersenne, b.v. in 'Traitez des Consonances', Livre 1, 'Des Consonances', p. 3 en p. 87. Het is niet duidelijk, of Huygens bedoelt dat men een argument kan halen tegen het toelaten van het getal 7 bij de consonanten, uit het feit dat de zevende toon van de rij niet in harmonie is met de grondtoon van de trompet, ofwel integendeel bedoelt dat het bestaan van deze harmonische een argument is voor zijn stelling. De tromba marina is een instrument met één snaar dat de tonen van een trompet kan imiteren. Mersenne heeft het erover in zijn 'Traité des Instrumens' dat eveneens deel uitmaakt van Harmonie universelle (Livre 4, 'Traité des instrumens à chordes', Prop. 14, p. 217 e.v.). [Getekend op p. 218.] [ Dagboek van Chr. Huygens in Parijs, 30 jan. 1661: "M.le Petit bezocht, ik liet haar spelen op de tromba marina, en leerde dat dit instrument niet meer en niet minder tonen heeft dan de trompet".]

[ 38 ]

B. Andere overwegingen over de diatonische stemming, met consonante intervallen. De moderne chromatische halve tonen. Bij 1) alle volken zingt men met dezelfde intervallen tussen tonen en halve tonen (ik spreek in de eerste plaats over diatonische tonen) en op dezelfde wijze vermengd. Wat niet toevallig zo is, en ook niet om een reden die moeilijk te vinden is. Zie hier hoe ik het uitleg. De bekoring van zang bestaat vooral in de waarneming van consonanten. Ik bedoel de zang die met een enkele stem wordt gemaakt of met enkelvoudige tonen van een instrument, evenals die welke is samengesteld uit meer stemmen of geluiden die men tegelijk hoort. Want al volgen bij eenstemmige zang de geluiden na elkaar, en komen ze niet op hetzelfde tijdstip aan bij het oor, de herinnering vult het aan, zodat het even aangenaam is twee tonen te horen die bijvoorbeeld een kwint maken, na elkaar gezongen, als wanneer men ze allebei samen zou horen. En deze voorstelling van de herinnering gaat niet slechts tot de voorlaatste toon, maar tot 2, drie of 4 voorgaande, en nog verder als een van deze tonen dikwijls herhaald wordt en daardoor sterk in het geheugen geprent is. Het is dus om deze reden dat men bij stijgen naar de kwint, zoals van Ut*) naar Sol, langs de tonen Mi en Fa gaat. Want Mi is consonant met Ut, daar Ut - Mi de grote terts is van 5 tot 4. En evenzo is de Fa consonant met Ut, daar Ut - Fa de kwart is van 4 tot 3. Maar bij deze overgang is de Mi nog aangenamer dan de Fa, doordat de Mi consonant is met de Sol waar men heen wil, en die men zich daarom al voorstelt. Want de voorstelling van consonanten is er inderdaad niet alleen voor het verleden, maar ook op een of andere wijze voor de toekomst. Daarvan komt het dat men ook van Ut naar Re gaat als eerste interval, wanneer men naar de kwint bij Sol gaat, of alleen naar de kwart bij Fa, omdat Re - Fa een consonant is, te weten de kleine terts van 6 tot 5. Want het zou tegen de borst stuiten als men in plaats van te zingen Ut Re Mi Fa, een andere toon zou willen invullen in plaats van Re, die niet consonant zou zijn met Fa noch met een van de andere tonen. Ik zeg noch met een van de andere, omdat men ervoor zou kunnen invullen Ut, en zingen Ut Ut Mi Fa, omdat Ut met Mi de kleine terts maakt. Maar men gaat niet naar deze chromatische toon, zowel om de kleinheid van het interval Ut - Ut als omdat de Ut helemaal niet consonant is met de volgende tonen of met de Re; want deze maakt de kwart tegen de Sol, de kwint tegen de La en de sext tegen de Ci [Si]. Maar Ut alleen de sext tegen La. Het is gemakkelijk te bewijzen met dergelijke redenen als de zojuist genoemde, waarom 1) Portefeuille 'Musica' [HUG 27], f. 62 en 63. [ *) De 'Ut' is onze 'Do', zie 'Ut queant laxis', met vertalingen hier bij Musyka van D. Rembrantsz van Nierop, die ook 'Ci' zet voor de Si.]

[ 39 ]

men vanaf de Sol naar de La gaat, aangezien deze consonant is met Fa, met Mi, met Re en met Ut. Na de La gaat men naar Ci of Ci waarvan de eerste, evenals de andere, 3 consonanten 2) heeft onder de voorgaande tonen; want Ci - Sol is de grote terts, Ci - Mi de kwint, Ci - Re de grote sext. Maar Ci - Sol is de kleine terts, Ci - Fa de kwart, Ci - Re de kleine sext. Nu zijn de eerste 3 consonanten van de Ci beter dan de 3 laatste van de Ci. dat is waarom men liever via de Ci gaat. Bovendien zijn er als men dit doet twee opeenvolgende kwarten in het octaaf, die gelijkelijk verdeeld zijn in 2 tonen en een halve toon, te weten Ut Re Mi Fa en Sol La Ci Ut. Dat zijn hier diatonische tonen als ook de Ci meetelt, zoals de ouden deden, zoals we elders zullen zeggen 3). Onze toegevoegde halve tonen, die men chromatisch 4) kan noemen, zijn eveneens gebaseerd op cononsanten. Want Ut - Mi maakt de kleine terts, Mi - Sol de grote terts, Mi - Ci de kwint, Mi - Ut ² de grote sext, evenzo Re Fa de grote terts, Fa - La de kleine terts, Fa - Ci de kwart, Fa - Re de kleine sext. Verder Mi - Sol de grote terts, Sol - Ci de kleine terts, Sol - Mi de kleine sext. 2) In de marge: 3 tonen zelden opeenvolgend, en hoe. er kan geen andere zang zijn. consonante halve tonen. vreemde vondst, die zang van de oude enharmonische soort en van de chromatische, we zullen er elders over spreken. Tweede alinea van p. 97 hierna? Zie ook de tweede alinea van p. 102. 3) In de marge: dat er maar twee toonsoorten zijn. (Vergelijk Stuk B. 'Les divers modes' op p. 69.) waarbij de 3e mi, la, mi is voor ernstige klachten. mi, ci, mi zou niet met de fa kunnen zijn, maar wel met fa: (?). maar dan hetzelfde als re, fa, la, re. anders enkele valse intervallen. plagale, wat dat is. (Zie over plagale toonsoorten het al aangehaalde Stuk B. 'Les divers modes'.) 4) Zie over het verschil tussen de ouden en de modernen in dit verband de tweede alinea van p. 102.

Home | Huygens | XX | Muziek - Voorbericht (top) | >