Home | Chr. Huygens | Oeuvres XI | >

[ 271 ]

## Theorema's over de kwadratuur

### van hyperbool, ellips en cirkel

##### bij gegeven zwaartepunten van delen

1651
[ 273 ]

## Voorbericht Het is niet onmogelijk dat de 'Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro' in volgorde van ontwerp voorafgingen aan de verhandeling 'De iis quae liquido supernatant' [Over dingen die drijven]. Toch, alles bijeengenomen, veronderstellen we eerder het tegendeel 1). En aangezien we in elk geval van de 'Theoremata' geen voorwerk bezitten, maar alleen het gedrukte werk van 1651, hebben we gemeend ze hier te moeten zetten, na het werk van 1650. Evenals de verhandeling 'De iis, etc.' werden de 'Theoremata' zeer waarschijnlijk geïnspireerd 1) Huygens was al in 1648 bezig met de cirkelkwadratuur van Gregorius van St. Vincent, maar nog slechts oppervlakkig. Hij stelde een diepgaander onderzoek in n.a.v. de theoremata, "niet zo lang geleden bedacht" zoals hij op 28 dec. 1651 aan Golius schreef bij het zenden van zijn boekje.

[ 274 ]

door studie van het werk van Archimedes 2), die in zijn werk 'De aequiponderantibus' [Over evenwichten] het zwaartepunt had bepaald van een parabolisch segment 3). Die van hyperbolische en elliptische segmenten werden er niet in behandeld en Huygens zal zich aan het werk gezet hebben om ze te zoeken. In zijn voorwoord vertelt hij ons zelf 4) dat hij er eerst toe kwam aan te tonen dat bij de hyperbool de bepaling van het zwaartepunt afhangt van de kwadratuur van deze kromme. Er volgde uit dat andersom de hyperbool te kwadrateren zou zijn als men dit punt kon construeren; maar, zoals Huygens ons verklaart, dit verband met de kwadratuur van de hyperbool was niet het doel, maar slechts het resultaat van zijn onderzoekingen 5). Vervolgens slaagde hij erin een betere weg uit te stippelen die het voordeel had eveneens te slagen met cirkel- en ellipssegmenten. Inderdaad is het centrale theorema 6) van de 'Theoremata' geldig voor de drie segmenten en het bewijs wordt gegeven voor alledrie tegelijk. Deze uitmuntende overeenstemming heeft dan ook grote indruk op Huygens gemaakt, zoals uit zijn voorwoord blijkt. Het is waarschijnlijk pas na voltooiing van de kleine verhandeling tot en met 'Theorema VII', dat hij kennis nam van het werk van Della Faille, dat hij met zoveel lof noemt in zijn voorwoord 7) en in een brief aan Gregorius van St. Vincent van 8 november 1651 8); wat aanleiding gaf tot toevoeging van 'Theorema VIII' 2) De brieven No. 107 van dec. 1651 aan Golius en No. 117 van jan. 1652 aan de Sarasa getuigen van de grote bewondering die Huygens had voor Archimedes, die hij boven alle andere meetkundigen stelde, met Apollonius als tweede. 3) ... P. 133-139 van de Latijnse tekst, ed. Basel 1544, aangehaald in noot 1 van p. 137 van T. I. ... brief No. 53 [Ned.], p. 98 van T. I ... [Engl. 1897]. 4) Zie p. 283 van dit deel. 5) Zie dezelfde blz als bij noot 4. 6) 'Theorema V', p. 297 van dit deel. Huygens leert erin een driehoek te construeren waarvan het moment t.o.v. de middellijn van de kegelsnede, evenwijdig aan de koorde van het segment, gelijk is aan dat van het segment. Toen sprong in het oog dat zwaartepuntsbepaling van hyperbolische of elliptische segmenten afhankelijk was van de kwadratuur van de hyperbool of van de cirkel. 7)  Zie p. 285 van dit deel.   Zie p. 154 van T. I.

[ 275 ]

waarin het voornaamste resultaat 9) van Della Faille afgeleid wordt van het zojuist genoemde 'Theorema VII'. Op 20 september 1651 werd het manuscript van de 'Theoremata' aan de schrijver teruggestuurd door van Schooten, die het had onderzocht 10). Van Schooten had er veel lof voor en spoorde Huygens aan het zo spoedig mogelijk te publiceren. Huygens antwoordde met brief No. 97 van oktober 1651 11), waarin hij van Schooten hartelijk bedankt voor het aanwijzen van enkele onoplettendheden in de opstelling en afronding van de bewijsmethode. Daarop kondigde hij Gregorius van St. Vincent zijn besluit aan, in een brief van 25 oktober 12), na hem een kort overzicht van zijn 'Theoremata' te hebben gegeven, ze te laten verschijnen tegelijk met zijn kritiek van de kwadratuur van Gregorius. Op 11 november 1651 verwachtte Huygens dagelijks de door van Sichem gegraveerde figuren 13). Tenslotte werden op 26 december exemplaren van het gedrukte werk, met de 'Theoremata' en de de 'Exetasis' [Onderzoek], verzonden aan Gregorius 14) en aan andere geleerden 15). 9) Huygens kende dit misschien uit de brief van Mersenne van 12 okt. 1646 aan zijn vader [<] ... 10) Zie p. 145 van T. I. 11) T. I, p. 148. [Daar een noot m.b.t. mijn vertaling.] 12) T. I, p. 151. 13) Zie de brief aan van Schooten, p. 156 van T. I. 14) Brief No. 106. 15) Lijst van personen die dit eerste werk van Huygens ontvingen, bij deze gelegenheid of later, voorzover te reconstrueren uit de briefwisseling: Gregorius (T. I, p. 160); de Sarasa (p. 160, 169, 170); Della Faille (p. 160, 164, 168, 171); Golius (p. 161); van Schooten (p. 162); Pell (p. 162), broer Constantijn Huygens (p. 162, 163); van Gutschoven (p. 162, 166); Roberval (p. 162); Seghers (p. 167, 168, 173); Cl. Richard (p. 168, 171); Tacquet (p. 168, 171); Brereton (p. 176); Hobbes (p. 182); Cavendish (p. 182); Wallis? (p. 182); Carcavy (p. 429, 439, 446, 494); Milon [Mylon] (p. 429); Fermat (p. 439, 446, 494); maar de laatste drie pas in 1656; de anderen in december 1651 of in 1652. [ Een dergelijke lijst voor De circuli magnitudine (1654): T. XII, p. 99; voor Horologium (1658): T. II, p. 209; voor Systema Saturnium (1659): T. II, p. 453 (en 488: Chanut); voor Horologium oscillatorium (1673): T. VII, p. 321; voor Astroscopia compendiaria (1684): T. XXI, p. 197; voor Traité de la Lumière: T, IX, p. 379.] Al in 1647 of begin 1648, gedurende zijn verblijf in Breda, was Huygens nieuwsgierig gemaakt door een omvangrijk boek,

[ 276 ]

in bezit van de hoogleraar Pell, dat volgens de titel de kwadratuur van de cirkel en van kegelsneden zou bevatten; maar professor Pell "die het me nooit heeft willen lenen, en me ook niet een definitieve uitspraak heeft willen geven, ook al heeft hij het al vrij lang" en eveneens alle andere wiskundigen met wie hij erover had gesproken "bleken verhinderd de problemen die ze ermee hadden weg te werken, en ze durfden niet beslist te zeggen of [Gregorius] op de kwadratuur is gestuit of niet". Gedurende de paasvakantie kreeg Huygens het boek eindelijk in handen en in zijn brief aan Mersenne van 20 april 1648 16), waaruit we zojuist enkele passages hebben geciteerd, vertelt hij hem het resultaat van zijn onderzoek van het boek en vooral van de eerste van de vier cirkelkwadraturen die Gregorius beweerde te hebben gegeven. Toch geeft hij in deze brief nog niet aan, zoals hij zal doen in de 'Exetasis' 17), waar precies de redenering, die tot deze kwadratuur leidt, onherstelbaar mis gaat 18). Daarna meldt de 'Correspondance' ons niets over de 'Exetasis' voor oktober 1651, wanneer de briefwisseling met Gregorius begint. Voor meer informatie verwijzen we naar deze correspondentie 19) evenals naar die met van Schooten 20) over de 'Exetasis'. 16) Brief No. 47b, antwoord: No. 49. 17) En ook in stuk No. 98. 18) In de brief zoekt hij de fout in 'Prop. 43', maar deze is waar. Vgl. het 'Kort overzicht' hierna, bij § 8. 19) [ I, 147 e.v.] Vgl. p. 286 [287], n. 13. 20) Brief No. 97 e.v.

[ 277 ]

### Kort overzicht van de eerste cirkelkwadratuur van Gregorius van St. Vincent We denken dat het nuttig is voor het begrip van de 'Exetasis', aan dit 'Voorbericht' een samenvatting toe te voegen van de cirkelkwadratuur waarvan de 'Exetasis' de weerlegging bevat. We hebben deze verdeeld in paragrafen om in de noten verwijzingen te kunnen maken. 1. We beginnen met 'Prop. 53' (p. 1133) waarin Gregorius aantoont dat de cirkel te kwadrateren zal zijn als men aan de volgende twee voorwaarden kan voldoen: 1e. dat men twee cirkelbogen CD en EF 21) kan construeren, waarvan de projecties HI en KL op eenzelfde middellijn gelijk zijn en die onderling en met de omtrek van de cirkel een eenvoudige verhouding hebben. 2e. dat men de verhouding kan construeren van de oppervlakken CDIH en EFLK 22). 2. Nu is gemakkelijk aan te tonen dat de eerste voorwaarde kan worden vervuld. Gregorius heeft het gedaan met zijn 'Prop. 22' (p. 1111) en Huygens geeft er een heel eenvoudig voorbeeld van in zijn eerste figuur van zijn 'Exetasis' 23), waarin CH = 60°, HE = 30°. 3. Alles hangt dus af van de tweede voorwaarde, dat wil zeggen van de bepaling van de verhouding tussen de oppervlakken CDIH en EFLK, een verhouding die Gregorius in 'Prop. 52' (p. 1133) vervangt door die van de lichamen GP en G'P' 21) die hij verkrijgt door de parabolen AGNZ en BP'O'Y, met toppen in A en B, de bewerking te laten ondergaan die hij noemt: "ducere planum in planum" [een vlak vermenigvuldigen met een vlak, p. 704]. 21) Zie de figuur van de volgende pagina. [Grieks alfabet.] 22) Als deze voorwaarden vervuld zijn: neem pσ, qσ, rσ als oppervlakken ('aires') van de hele cirkel en de sectoren DMC en FME (zie fig.), evenredig met de cirkelomtrek en bogen DC en EF, dan geldt:

Nu is met de laatste gelijkheid de gemeenschappelijke maat σ te berekenen en te construeren, dus ook het oppervlak van de cirkel zelf. 23) Zie p. 319 van dit deel.

[ 278 ]

4. Laat ons eerst zeggen dat deze bewerking er uit bestaat het vierkant AZ, met de lijnen erin, te draaien om de rechte AB totdat het loodrecht staat op het vlak van vierkant BY; vervolgens met τα en τη als zijden een rechthoek te maken en tenslotte deze rechthoek zodanig te laten bewegen dat hij loodrecht blijft op as AB terwijl het punt τ de as AB beschrijft en de punten α en η de krommen ANZ en YPB. Zo moet voor het lichaam GP de rechthoek αη bewogen worden van positie GO tot positie NP.

5. Als we dan stellen AM = MB = r ; AY = ZB = 2r ; Mτ = x ; Mτ' = x' ; heeft men en men vindt voor het volume van lichaam GP: dx, waaruit volgt dat dit volume gelijk is aan dat van een rechte cilinder met als basis de figuur CDIH en als hoogte AB. Dit is het 'Corollarium' van 'Prop. 51' (p. 1132) van Gregorius 24). 6. Het probleem komt er dus op neer twee lijnen te construeren (met behulp van liniaal en passer) die de verhouding tussen de lichamen GP en G'P' weergeven. En Gregorius denkt tot de oplossing van dit probleem te zijn gekomen door vergelijking van de lichamen 24) Onnodig te zeggen dat het bewijs van Gregorius zuiver meetkundig is en geheel op de manier van de ouden.

[ 279 ]

GP en G'P' met de lichamen SV, S'V', RX en R'X' die men verkrijgt door de rechten AZ en BY en de parabolen AQZ en BXY, met toppen in A en B, te onderwerpen aan de bewerking 'optrekken van vlak op vlak'. 7. Deze oplossing van Gregorius is samengevat in zijn 'Prop. 44' (p. 1126), waar hij beweert: 1e. dat de verhouding van de lichamen RX en R'X' evenveel keren de verhouding van de lichamen SV en S'V' moet bevatten, als deze de verhouding van de lichamen GP en G'P' bevat. 2e. dat de verhouding van de lichamen RX en R'X' en die van de lichamen SV en S'V' te construeren zijn. 8. De waarheid van de tweede bewering, waarvoor hij verwijst naar 'Prop. 43' (p. 1125), is gemakkelijk aan te tonen, aangezien men de kubatuur kan vinden van de lichamen RX en SV 25). Gregorius behandelt deze kubaturen respectievelijk in 'Prop. 42' (p. 1124) van 'Lib. 10' dat ons bezig houdt, en in 'Prop. 5' (p. 708) van 'Lib. 7: De ductu plani in planum', en Huygens doet het ook in de 'Exetasis' 26). 9. Het gaat er dus alleen nog om de eerste bewering te verifiëren en de exacte betekenis te kennen van het woord 'bevatten'. Nu is gemakkelijk te vinden, als we de betreffende lichamen beschouwen als oneindig dunne plakjes van gelijke dikte, HI = KL:

[sol.: solidum - lichaam] Dus we hebben:

| ; |

en we kunnen zeggen dat de verhouding van RX tot R'X' twee keer*) de verhouding van SV tot S'V' bevat, en dat evenzo deze laatste evenveel keer de verhouding van GP tot G'P' bevat 27); maar het is duidelijk 1e. dat deze bewering niet meer geldt voor 25) Deze kubaturen zijn te herleiden tot resp. de integralen 26) Zie p. 329-337 van dit deel. [ *) Twee keer de verhouding 1/3 betekende toen niet: verhouding 2/3, maar: verhouding 1/9. ] 27) Deze resultaten zijn door Gregorius aangetoond in 'Prop. 31-34' (p. 1116-1117), d.w.z. niet voor oneindig dunne plakjes, maar voor de rechthoekige sneden die ze voortbrengen; wat op hetzelfde neerkomt.

[ 280 ]

lichamen van eindige dikte; 2e. dat in dit laatste geval de uitdrukking 'bevatten' zijn oorspronkelijke, zo eenvoudige, betekenis verliest, en dat een nieuwe definitie noodzakelijk wordt 28). 10. De eerste bewering van § 7, in 'Prop. 40' (p. 1113) van Gregorius, is dus niet waar. De basis ervan is 'Prop. 39' (p. 1121) waarvan het bewijs bijna onbegrijpelijk is 29); maar dat de volgende strekking heeft: dat, als de bedoelde bewering waar is voor lichamen met respectievelijk een dikte van Hτ = Kτ' en τ I = τ'L, dit dus eveneens het geval is voor hun som, met dikte HI = KL. Het is in deze laatste stelling, zoals Huygens aangeeft in de 'Exetasis' 30), dat de fout is gelegen, die de kwadratuur van Gregorius ondeugdelijk maakt. 28) Vanuit modern gezichtspunt bezien zou de keuze voor een nieuwe definitie niet twijfelachtig zijn. Als de stelling van Gregorius juist was, zou er een waarde n moeten zijn (geheel, gebroken, of irrationaal), waarvoor tegelijk zou gelden: en Dit zou leiden tot het verband: maar het is duidelijk dat dit niet klopt. [Vgl. T. XII, p. 242: Sarasa.] 29) Vergelijk noot 8 op p. 317 van dit deel. 30) Zie p. 317 van dit deel.

Home | Christiaan Huygens | XI | Theorema's (1651) - Voorbericht (top) | >