Home | Chr. Huygens | Oeuvres XVI >

[ 1 ]
DE MOTU CORPORUM EX PERCUSSIONE

### Over beweging van lichamen na een stoot

[ 3 ]

## Voorbericht Algemeen overzicht van het ontstaan van de verhandeling. Bekend is de grote vriendschap die de vader van Christiaan Huygens verbond met Descartes en de diepe bewondering die deze bij hem opwekte 1). Deze bewondering werd gedeeld door de jonge Christiaan, die de Franse filosoof ongetwijfeld meer dan eens ontmoette in zijn vaderlijk huis, en het overwicht van deze krachtige persoonlijkheid onderging. Zo beschreef Christiaan Huygens tegen het eind van zijn leven de invloed die Descartes op hem had uitgeoefend in zijn jeugd 2):

De heer Descartes had de manier gevonden om zijn gissingen en verzinsels te laten aannemen voor waarheden. En aan degenen die zijn 'Beginselen van de filosofie' 3) lazen overkwam zoiets als aan degenen die romans lezen, die behagen en dezelfde indruk maken

1) Zie over de relaties tussen Constantijn Huygens en Descartes p. 113-116 van T. XII, 1910, van de Oeuvres de Descartes gepubliceerd door Adam en Tannery. 2) Zie p. 403 van ons T. X. 3) Principia philosophiae [Ned. 1657], genoemd in noot 4 van p. 546 van T. II, verscheen in juli 1644, toeh Huygens, geboren op 14 april 1629, 15 jaar was; zie p. 358 van T. XII van Oeuvres de Descartes.

[ 4 ]

als waarheidsgetrouwe verhalen. De nieuwheid van de vormen van zijn kleine deeltjes en van de wervels maken het werk zeer aantrekkelijk. Het kwam me voor, toen ik dit boek van de Beginselen de eerste keer las, dat alles zich vanzelf ontrolde, en als ik er een moeilijkheid in tegenkwam dacht ik dat het een tekortkoming van mij was dat ik zijn gedachten niet goed begreep. Ik was nog maar 15 of 16 jaar. Maar nadat ik sindsdien van tijd tot tijd dingen had ontdekt die zichtbaar onjuist waren, en andere die heel weinig waarschijnlijk waren, ben ik sterk teruggekomen van de vooringenomenheid waarin ik was geweest ...

In mei 1645, op een leeftijd van 16 jaar, ging Christiaan naar de Leidse universiteit, waar hij de wiskundige Frans van Schooten ontmoette, die het jaar daarop zijn vader, met dezelfde naam, opvolgde als professor in de wiskunde aan de ingenieursschool verbonden met de universiteit. Deze man van ongeveer dertig jaar, een groot bewonderaar van Descartes, werd leraar en weldra vriend van Christiaan. Hij beschouwde het als zijn voornaamste roeping de nieuwe wiskundige methoden en ontdekkingen van de Franse filosoof te onderwijzen aan zijn leerlingen, en vooral aan de uitnemendste onder hen 1). In 1650 gaf Huygens nog een veelzeggend blijk van zijn nog maar net bereikte bewondering voor Descartes in de verzen die hij aan zijn gedachtenis wijdt en die eindigen met de strofe 2): Natuur, ga in de rouw en kom, beklaag als eerste Descartes, de Grote, toon ons je vertwijfeling; toen hij het licht verloor, was 't met jouw licht gedaan, wij hebben jou slechts kunnen zien met deze toorts. In 1652 blijkt de terugslag in het denken van Huygens ten aanzien van Descartes aan het licht te komen. Op 17 januari 1652 schrijft hij aan van Gutschoven 3) dat hij twijfelt aan de waarheid van 1) We bezitten nog het Manuscript geschreven door van Schooten dat gebruikt is bij Huygens' studie; zie p. 7-20 van ons T. XI. 2) Zie p. 125 van T. I. 3) Zie p. 167 van T. I.

[ 5 ]

de regels van Descartes over de botsing van lichamen 4), uitgezonderd de eerste, om niet te zeggen dat hij ze ervan verdenkt onjuist te zijn. Hij zou zijn redenen kunnen aanvoeren, vooral tegen 4) Deze regels zijn als volgt [<], in de Franse vertaling van 1647, geautoriseerd door Descartes (zie noot 4 van p. 101) [...] [<] [ Hier volgen ze in het Nederlands van J. H. Glazemaker, 1657, p. 74:]

D' eerste regel. Ten eersten; indien deze twee lighamen, te weten B en C, even gelijk waren, en met gelijke gezwintheit lijnrecht tegen malkander bewogen wierden, zo zouden zy, malkander treffende, beide gelijkelijk weêrom stuiten, en yder weêr naar de zyde keren, van daar hy gekomen was, zonder iets van hun snelte te verliezen [...] De tweede regel. Ten tweeden; indien B maar een weinig groter was dan C, en indien zy malkander met gelijke gezwintheit ontmoetten, zo zou C alléen weêr naar de zijde stuiten, van daar hy gekomen was; en zy zouden daar na beide gelijk in hun beweging naar deze zelve zijde volharden. [...] De darde regel. Ten darden; indien deze twee lighamen van gelijke grootte waren, maar dat B een weinig snelder bewogen wierd dan C, zo zou, na dat zy malkander ontmoet hadden, niet alleenlijk C alleen weêrom stuiten, en zy beide te zamen voortgaan, gelijk te voren, naar de zyde, daar af C gekomen zou wezen, maar het zou ook nootzakelijk zijn dat B de helft van zijn groter snelte aan C meêdeelde [...] De vierde regel. Ten vierden, indien 't lighaam C een weinig groter was dan B, en stil lag, [...] zo zou 't lighaam B, met hoe grote snelte het tegen 't lighaam C aanquam, nooit kracht hebben om het te bewegen, maar genootzaakt zijn weêr naar de zelve zijde te stuiten, van daar het gekomen was. [...] De vijfde regel. Ten vijfden; indien, in tegendeel, het lighaam C een weinig minder dan B was, zo zou B niet zo langsamelijk op C (de welk ik noch stel volkomentlijk stil te wezen) konnen aankomen, of hy zou macht hebben van C voort te drijven, en daar aan het deel van zijn beweging over te geven, 't welk nodig zou zijn om te maken dat zy daar na met gelijke gezwintheit voortgingen [...] De zeste regel. Ten zesten; indien 't lighaam C in stilte, en volmaaktelijk even groot was als 't lighaam B, 't welk zich naar C beweegt, zo zou nootzakelijk C ten deel door B voortgedreven worden, en B weêrom doen stuiten; in voegen dat, zo B naar C gekomen was met vier trappen van snelte {Gradus celeritatis.}, B aan C een trap zou moeten overgeven, en met drie trappen weêr naar de zijde keren, van daar hy gekomen zou wezen. [...] De zevende regel. Eindelijk, indien B en C naar een zelve zijde bewogen wierden, en indien C de voorgang heeft, maar tragelijker voortgaat dan B, en dit zodanig, dat B eindelijk C achterhaalt, zo kan gebeuren dat B een deel van zijn snelheit aan C overgeven zal, om hem voor zich voort te drijven en het kan ook gebeuren dat B geheel niets van zijn snelte aan C meêdeelen, maar met zijn gehele beweging {Motus.} naar de zijde, van daar hy gekomen is, weêrom stuiten zal, te weten niet alleenlijk als C kleinder is dan B, maar ook als hy groter is, en indien 't geen, in 't welk de grootheit van C de gene van B overtreft, zo zal B nimmer weêr te rug stuiten, maar C voortdrijven, met een deel van zijn snelheit aan hem over te geven: in tegendeel, indien 't geen, in 't welk de grootheit van C de gene van B overtreft, groter is dan 't geen, in 't welk de snelte van B de gene van C overtreft, zo moet B weêrom stuiten, zonder iets van zijn beweging aan C meê te delen; eindelijk, indien d'overmaat der grootheit {Excessus magnitudinis.}, die in C is, volkomelijk gelijk is met d'overmaat van gezwintheit {Excessus celeritatis.}, die in C [B] is, zo moet B een deel van zijn beweging aan C overgeven, en met d'overige weêrom stuiten [...]

Het is duidelijk dat verscheidene van deze regels, met name de vierde, in strijd zijn met de simpelste proef. Maar het feit dat Descartes ze heeft aangenomen, wordt iets minder onbegrijpelijk omdat hij deze regels beschouwde als theoretische regels die slechts heel zelden in de praktijk worden verwezenlijkt. Zo zegt hij n.a.v. de vierde regel, dat het voor verwezenlijking ervan nodig is dat lichaam C

niet alleenlijk geen schijnbare beweging had, maar ook van geen lucht, noch van geen andere weke lighamen (de welken, gelijk ik hier na zeggen zal, de harde lighamen, die zy omringen, bereiden tot lichtelijk te konnen bewogen worden) omringt was

en hij komt nog een keer op deze beperking terug [Glazemaker p. 79-85] (zie de artikelen 53-59, p. 93-99 van de paginering van het laatste deel van T. IX van de uitgave van Adam en Tannery); zie nog noot 7 van p. 101.

[ 6 ]

de vierde 1), maar hij vreest dat dit zijn correspondent niet voldoende interesseert. Om het verschil tussen zijn zienswijzen en die van Descartes te verduidelijken wijst hij in oktober 1652 2) van Schooten op het geval waarin de twee lichamen in tegengestelde richting bewegen terwijl het product van massa en snelheid voor beide dezelfde waarde heeft. Volgens hem, Huygens, zullen de twee lichamen terugstuiten, elk naar de kant vanwaar ze gekomen zijn, met dezelfde snelheid die ze hadden voor hun ontmoeting; volgens Descartes, die dit geval in zijn regels had weggelaten, zou het kleinste zelfs niet het vermogen hebben het grootste in beweging te brengen als dit in rust was. En de oplossing die Huygens hier aanduidt is nu precies die, waarvan hij, in het manuscript van 1652 waarover we weldra zullen spreken, verzekert 3) dat hij de oplossing van alle andere gevallen eruit kan afleiden 4). Tenslotte geeft hij op 16 december 1653 aan Kinner von Löwenthurn 5) zijn oplossing te kennen van het geval van twee gelijke lichamen die botsen terwijl het ene in rust is, en hij stelt hem het geval voor waarin het bewegende lichaam een dubbel zo groot lichaam in rust tegenkomt. Voorzover hij weet heeft niemand een aanvaardbare oplossing gegeven voor dit laatste geval, althans niet een die overeenkomt met de redeneringen die hij over dit onderwerp had opgezet. Manuscript van 1652. Dat is wat de briefwisseling van Huygens ons leert over zijn eerste onderzoekingen aangaande de botsing van lichamen. Laten we nu bezien wat de manuscripten ons openbaren. Er is er slechts één waarvan men kan zeggen dat het al van 1652 is. Het is het eerste blad, van vier bladzijden, van een uitgebreider manuscript waarvan de bladzijden door Huygens genummerd werden. Dit blad heeft ons de eerste drie delen van Aanhangsel I 6) geleverd. Ongetwijfeld bevat het de eerste onderzoekingen over de botsing van harde lichamen. Men ziet er Huygens in het begin een verkeerde weg inslaan 7) om onmiddellijk op zijn schreden terug te keren en een betere weg te kiezen; bovendien vindt men midden op de derde bladzijde, in facsimile gereproduceerd aan het eind van dit deel, het concept van een brief aan van Schooten 8) door deze beantwoord op 1) Vergelijk (p. 39) Prop. III en vooral noot 1 van p. 38/39 [Deze propositie bevat een weerlegging van de 4e regel van Descartes ...]. 2) Zie de brief van 29 oktober 1652, p. 186 van T. I [met bovenstaande figuur]. 3) Zie de 2e en 3e alinea van p. 96. Daar is te zien dat Huygens zelfs erover heeft gedacht zijn oplossing van dit geval tot axioma te verheffen. In de definitieve verhandeling is het Prop. VIII (p. 53). Deze geeft de doorslag bij de afleiding van de algemene oplossing in Prop. IX (p. 65-71); vergelijk p. 65-67. 4) In zijn antwoord van 4 nov. 1652 (p.187-188 van T. I) probeert van Schooten aan te vullen wat bij Descartes ontbrak. Waarschijnlijk naar analogie met de vierde regel van Descartes, beweert hij dat het grootste lichaam niets van zijn snelheid zal verliezen en dat het kleinste zal terugstuiten met de snelheid van voor de botsing. Huygens geeft op 7 nov. 1652 (p. 457 van T. III) de heel vernuftige weerlegging. [ Alan Gabbey noemt Spinoza, Renati Des Cartes Principiorum philosphiae ..., Pars II, Prop. XXVI (1663, p. 72): goede oplossing. Zie Studies on Christiaan Huygens, ed. H.J.M. Bos e.a. (1980), p. 193, n.12.] 5) Zie de brief van 16 dec. 1653, p. 260 van T. I. 6) Zie p. 92-99. [HUG 26A, 9r-9bis v.] 7) Zie 2e en 3e alinea van p. 92. 8) Zie 1e alinea van p; 99.

[ 7 ]

28 juli 1652 9). Waarom zou dit concept op deze plaats zijn geschreven als de rest van de bladzijde niet al bezet was? Op dit blad nu, dat dus van 1652 moet zijn, komt men al verscheidene van de belangrijkste theorema's tegen van de toekomstige verhandeling over de botsing van harde lichamen 10). In de eerste plaats het Relativiteitsprincipe 11), waarvan Huygens zoveel profijt heeft getrokken en dat constateert (om het beeld te gebruiken dat door Huygens bij voorkeur werd gekozen) dat de zaken zich evenzo afspelen in een boot die zich beweegt met constante snelheid, als op de oever. Vervolgens het mooie Theorema dat zegt, dat bij een botsing van harde lichamen de snelheid van verwijdering gelijk is aan die van het naderen 12). Tenslotte, wat heel opmerkelijk is, het Theorema van behoud van de 'levende kracht' 13). Laten we opmerken dat niets op het blad wijst op de manier waarop dit laatste theorema verkregen is. Het lijkt zeer onwaarschijnlijk dat de weg is gevolgd die is uitgestippeld in de verhandeling 14): naar onze mening blijft niets anders over dan de door ons in noot 10 van p. 95 uitgesproken gissing. Maar we zullen hierna op deze vraag terugkomen 15). Bovendien vindt men op de derde pagina van het blad berekeningen gebaseerd op het Principe van behoud van de hoeveelheid beweging [wet van behoud van impuls] 16). Het is weinig waarschijnlijk dat Huygens in deze tijd aan dit principe al de juiste vorm had gegeven 9) Zie p. 183-184 van ons T. I. 10) We merken op dat het steeds gaat over een rechte botsing (of liever: centrale botsing). We kennen maar één plaats in de manuscripten (zie p. 117-118) waar Huygens de indirecte of scheve botsing behandelt. Wel is wat hij daar geeft gelijkwaardig met een volledige oplossing van het geval van twee harde bollen, afgezien van wrijving. 11) Zie p. 93-95. 12) Zie de cursief gedrukte zin van p. 92, de 1e alinea van het 2e deel (p. 94) en p. 96-97. 13) [mv², het dubbele ervan is de kinetische energie.] Zie de laatste alinea van p. 95. 14) Zie p. 73-77. 15) Zie p. 21-23. 16) Zie p. 98.

[ 8 ]

die hij later wel ontdekte 1), maar hoewel hij al wist dat het principe zoals uitgelegd in de opvatting van Descartes niet waar is 2), veronderstelde hij, niet zonder reden, dat het in veel gevallen kan worden toegepast zonder een fout te veroorzaken 3). Hij was begonnen er veel waarde aan te hechten en heeft het nooit geheel verworpen 4). Wat Huygens in 1652 had gevonden was in elk geval voldoende om alle gevallen op te lossen van centrale botsing van harde lichamen 5) en men kan zich afvragen waarom hij niet toen al is overgegaan tot publicatie van zijn resultaten. Het is zeker niet de tegenovergestelde mening van van Schooten, die hem heeft tegengehouden. In zijn brief van 25 oktober 1654 6) zegt deze dat hij nauwelijks kan geloven dat een zo subliem en scherpzinnig genie iets zou hebben gepubliceerd dat niet in overeenstemming met de waarheid zou zijn. Hij raadt Huygens af zich met dit onderwerp bezig te houden om niet zijn tijd en zijn werk nutteloos te besteden; maar Huygens antwoordt hem 7) dat hij wel weet dat van Schooten zijn mening over de regels van Descartes niet deelt; maar als hij kennis had genomen van wat hij, Huygens, over dit onderwerp al op schrift had gesteld, niet zonder moeite, zou hij wel anders oordelen. Want als de regels van Descartes, met uitzondering van de eerste, niet alle fout zijn en strijdig met zijn eigen principes, dan zou hij, Huygens, niet meer kunnen onderscheiden wat waar is of onwaar. De werkelijke reden van het uitstel onthult Huygens zelf ons in een manuscript dat dateert van een van zijn laatste levensjaren 7b). Hij zegt er dat hij 1) Zie noot 2 van p. 102. 2) Zie 3e alinea van p. 95. 3) Te weten als alle snelheden, voor en na de botsing, dezelfde richting hebben, zoals o.a. bij een groter lichaam dat een kleiner in rust tegenkomt. De berekeningen van het derde deel (p. 98) zijn dus juist, zelfs als x en y absolute waarden zijn, mits B (zie n. 2 van p. 98) kleiner is dan A. En van de twee oplossingen in de 1e alinea van p. 96 zal de eerste berekend zijn, de tweede afgeleid van de eerste door, volgens het relativiteitsprincipe, bij alle snelheden er een op te tellen zodat het grootste lichaam snelheid 0 krijgt. 4) Vgl. p. 102, 131 en 146, noot 9. Op p. 106 en 140-141 geeft hij twee hypotheses die hij later in de verhandeling gebruikte, waarvan hij erkent ze te hebben ontleend aan het door Descartes geformuleerde principe. 5) Getuige (p. 132-133) het begin van het elfde deel, waar het meest algemene probleem door Huygens wordt opgelost met behulp van twee theorema's die hem in 1652 bekend waren. 6) Zie p. 301 van T. I. 7) Zie p. 303 en ook p. 312-313, 317, 410-411 en vooral 441 van T. I. 7b) We zullen het in dit deel publiceren onder de 'Manuscrits ultérieurs ...' [p. 187 e.v.]

[ 9 ]

publicatie van wat hij had gevonden in 1652 en 1654 had uitgesteld, aangezien er behalve de botsingswetten nog andere dingen betreffende de aard van beweging overbleven, die hij nog niet voldoende had uitgediept en die langdurige overdenking vereisten 8). Aantekeningen van 1654. Sporen van deze overdenking komt men tegen in het vervolg van het manuscript genoemd op p. 6 9). Het ging over de aard en het vermogen van de krachten die bij de botsing optreden 10). Geen enkel instrument, zegt hij 11), overtreft in doeltreffendheid de hamer, die van dit vermogen gebruik maakt. Zonder hamer zou geen gebouw gebouwd, geen wig, geen spijker ingedreven, bijna geen arbeid verricht kunnen worden. Is het dus niet de moeite waard het onbegrensde vermogen van de stootkracht te leren kennen, zo groot dat één man voorzien van een hamer een bol zo groot als de aarde in beweging zou kunnen brengen. Galilei, die hij hierbij voortdurend aanhaalt 12), was hem in dit onderzoek voorgegaan maar hij had niet veel meer gedaan dan uitweiden over de moeilijkheid van 8) "Dat ik al vanaf 1652/54 ware wetten heb gevonden met betrekking tot harde of weerstand biedende lichamen, maar er niet iets over heb willen publiceren, omdat ..." [p. 204, n. 2] 9) Dit vervolg staat in Aanhangsel I, p. 99-136 [HUG 26A, 13r-26v]. Zie over de datering van 1654: n.7 van p. 99; het moet zeker voorafgegaan zijn aan het manuscript van 1656 (Aanhangsel II), terwijl de briefwisseling van 1655 geen aanwijzing bevat dat Huygens in dit jaar met het onderwerp bezig was. 10) Zie p. 99-100, 104-105, 111-113, 124, en ook n. 10 van p. 117 die Huygens' zorg toont om alles te noteren dat licht kan werpen op de aard van stootkracht. Bovendien is aan te nemen dat hetzelfde doel voor ogen stond bij het interessante onderzoek met tussengeplaatste lichamen; zie (p. 81-91) Prop. XII en XIII van de verhandeling. 11) Zie p. 104-105. 12) Zie p. 99, 100, 105, 112 en 113.

[ 10 ]

het onderwerp 1). Huygens is er evenmin in geslaagd het mechanisme van de stootkracht te doorgronden. De onvolmaakte staat van de dynamica was er de oorzaak van. Theorema's die voor ons, leerlingen in de school van de klassieke mechanica waarvan Newton de grondlegger was, de meest elementaire schijnen, waren toen onbekend, en Huygens heeft ze niet kunnen ontdekken. Het gaat om de gelijkheid van de stoot Fdt ontvangen in een bepaalde richting en de toename van de hoeveelheid beweging in dezelfde richting 2), zoals ook om de gelijkheid van actie en reactie 3). Het zijn theorema's waaruit Huygens gemakkelijk het grote effect van de stootkracht had kunnen afleiden als gevolg van de korte tijd waarin deze wordt uitgevoerd, en bovendien de ware formule van het behoud van hoeveelheid beweging, die hij tenslotte inderdaad vond, maar, zoals we hierna 4) zullen aantonen, zonder gewaarwording van de algemeenheid en de fundamentele betekenis van dit principe voor de dynamica. Manuscript van 1656. In 1656 5) onderneemt Huygens de lastige taak van het opmaken van zijn verhandeling met axioma's of hypothesen, lemma's, theorema's of proposities 6), voorzien van meetkundige bewijzen op de manier van de ouden, zoals hij toen nodig vond of tenminste zeer wenselijk. Op 20 juli kon hij aan de Roberval schrijven dat zijn werk klaar was 7). In noot 1 van p. 137 hebben we de redenen gegeven die ons doen geloven dat het manuscript van dit werk datgene is waaraan we ontleend hebben Aanhangsel II (p. 137-149) [HUG 26A, 39r-56v]. De keuze van de hypothesen was al gemaakt sinds 1652. Hij zet ze uiteen 8) in zijn voorwoord 9) waarvan hij slechts een schets geeft, maar men vindt ze, genummerd, in het definitieve manuscript 10) dat is weergegeven in de verhandeling. Hypothesen I, III en IV 11) zijn gemakkelijk te aanvaarden, II en V 12) sluiten zachte 1) Zie p. 112-113 en voor Huygens' mening erover de 1e alinea van p. 138. 2) Vgl. Lex. II, p. 12 van Philosophiae naturalis principia mathematica (1687) van Newton. 3) Zie Lex. III, p. 13 van Principia. 4) Vergelijk p. 24-25. 5) Zie T. I, p. 448 en 457. 6) En problemen om op te lossen; zie p. 117, n. 12. 7) Zie p. 457 van T. I. 8) Zie p. 140-141. 9) Zie p. 137 n. 2. 10) Zie p. 30, n. 1. 11) Zie p. 31, 33, en 39. 12) Zie p. 31 en 41. Hypothese V is opmerkelijk omdat het geval zich slechts kan voordoen als de algebraïsche som der twee hoeveelheden beweging nul is. De inhoud is dat als de snelheid van één van beide lichamen bij de botsing niet verandert in absolute waarde, het ook zo moet zijn met het andere. Als nu v'A = ± v A (zie de notatie van p. 67, n. 1) moet wegens behoud van de 'levende kracht' gelden: v'B = ± v B. Van de 4 mogelijkheden kunnen er 3 verworpen worden (bij botsing moet de relatieve snelheid van teken veranderen en niet van grootte, geen snelheid kan gelijk blijven in grootte en richting). Dus v'A = − v A en v'B = − v B, maar dan komt er m A v A + m B v B = 0.

[ 11 ]

of half-harde lichamen uit. Samen met het principe dat het gemeenschappelijke zwaartepunt niet kan stijgen door de werking van de zwaarte alleen, zijn ze voldoende, of nagenoeg 13), voor de soms heel ingewikkelde bewijzen van de proposities. Wat deze proposities aangaat, behalve die welke we eerder hebben genoemd als in 1652 al aan hem bekend, de meest opmerkelijke zijn prop. V (p. 47) over de omkeerbaarheid van de botsing, prop. IX (p. 65) met de volledige oplossing van de centrale botsing van harde lichamen, en de mooie prop. XII (p. 81) en XIII (p. 87) over het effect van het tussenplaatsen van een of meer lichamen in rust tussen een lichaam in beweging en een ander in rust. Manuscript. Het definitieve manuscript van de verhandeling, geschreven door een andere hand dan die van Huygens, is grotendeels een bijna letterlijke kopie van dat van 1656 14). Maar het laat bepaalde verschillen zien met dit laatste, waarvan we die van enig belang onder de aandacht brengen: 1°. Het voorwoord is weggelaten in het definitieve manuscript. Volgens de schets die te vinden is in het manuscript van 1656, had het, behalve de zojuist genoemde hypothesen, een overzicht moeten bevatten van de eerdere werken van Galilei en van Descartes en de redenen die Huygens ertoe hebben gebracht zijn onderzoekingen te beginnen. Het had moeten worden aangevuld met behulp van de in 1654 gemaakte aantekeningen 15). 2°. Huygens voert het verzinsel in van twee mannen, de een in een boot, de ander op de oever 16), die hun handen bijeenbrengen en hun bewegingen combineren om 13) Zie p. 43, n. 5. 14) Vgl. p. 143, n. 19. 15) Vgl. p. 137, n. 2. 16) Frontispice van p. 29 en bewijs van Prop. I, p. 33-37. [ Figuur niet van Huygens zelf.]

[ 12 ]

bollen te verplaatsen die met elkaar botsen. Deze kunstgreep komt men voor het eerst tegen in een notitie 1) door Huygens gestuurd aan de Royal Society op 5 januari 1669 2). Volgens de brief daarbij moest de kunstgreep dienen om zelfs de meest sceptische mensen te overtuigen van de juistheid van het relativiteitsprincipe 3). Voor het gebruik ervan was een omwerking nodig van de bewijzen van de drie eerste en de negende propositie van de verhandeling 4). Deze bewijzen zijn daardoor minder beknopt geworden, maar er kan aan getwijfeld worden of ze overtuigender zijn dan ze eerst waren 5). 3°. Op twee verschillende plaatsen zijn er toevoegingen. We hebben erop gewezen in de noten 4 van p. 69 en 1 van p. 90/91. 4°. Er is een op het eerste gezicht heel verrassende weglating. Deze heeft betrekking op prop. VI (p. 49) waarin Huygens de fout van Descartes uiteenzet over de opvatting van het principe van behoud van hoeveelheid beweging. Deze propositie komt overeen met 'Theorema 7' (p. 147) van het manuscript van 1656, maar in dit laatste manuscript beperkt Huygens zich er niet toe de fout van Descartes aan te tonen, hij wijst vervolgens aan met welke wijziging zijn principe kan worden rechtgezet 6). De volledige en gewilde weglating van deze aanwijzing in de verhandeling zelf maakt de indruk van een onbillijkheid jegens Descartes. Eén van ons heeft geprobeerd deze houding van Huygens te verklaren uit de wens een welgerichte stoot toe te brengen aan de autoriteit van Descartes, die een belemmering dreigde te worden voor de vooruitgang van de 1) Zie p. 336-343 van T. VI. 2) Zie de brief aan Oldenburg, p. 334-335 van T. VI. 3) Zie p. 335 van T. VI: "U zult enig verschil zien ... hun tegenwerpingen en discussies [het gaat om de discussies in de Académie des Sciences van 4, 11, en 18 jan. 1668; zie n.6 van p. 157] hebben me verplicht allerlei kunstgrepen te zoeken om hen te overtuigen ..." We voegen toe dat de kunstgreep in dit stuk ook is gebruikt in de bewijzen van de andere proposities, maar in een iets andere vorm. Die van de 2e en 3e komen bijna letterlijk overeen met die van de verhandeling (p. 37-41), en evenzo dat van de 4e met de eerste drie alinea's (p. 65-69, t/m "Dus staat het gestelde vast") van het bewijs van prop. IX. De tweede vorm kreeg dus in de verhandeling de voorkeur en eerdere ontwerpen van de naar Londen gezonden notitie tonen dat deze zelfs aan de andere voorafging. We vonden het overigens niet nodig deze ontwerpen te reproduceren. 4) Zie p. 33-41 en 67-69. 5) Vgl. de bewijzen van prop. I op p. 93-94 en 109-110 met p. 33-37. 6) Zie p. 146, n. 9.

[ 13 ]

wetenschap 7). Dat is mogelijk 8), maar er is een andere verklaring, op grond van de aard zelf van de verhandeling die hij zich voorstelde te publiceren. In deze verhandeling wordt niets naar voren gebracht dat niet is bewezen door een streng bewijs, gebaseerd op welgedefinieerde hypothesen. Nu is het zeker dat Huygens een dergelijk bewijs van het theorema van behoud van hoeveelheid beweging had kunnen opstellen in zijn ware vorm. Daarvoor was het voldoende uit te gaan van zijn algemene oplossing van het probleem van de centrale botsing van harde lichamen 9), zoals hij had gedaan voor prop. XI (p. 73-77) over het behoud van de 'levende kracht'. Toch zou dit van hem een zekere inspanning hebben gevraagd, waarvoor hem waarschijnlijk de inspiratie ontbrak, bezet als hij steeds was met nieuwe plannen en nieuwe ontdekkingen, die hem verscheidene malen hebben belet belangrijke resultaten te publiceren die hem minder sterk waren gaan interesseren 10). En het is ongetwijfeld deze zelfde 7) Zie p. 1417-1418 van het artikel 'Christian Huygens' wissenschaftliche Lehrjahre', door D. J. Korteweg, verschenen in het Internationale Wochenschrift für Wissenschaft, Kunst und Technik, 3 (1909), p. 1391-1396; 1411-1426. Ook Jaarboek der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Amsterdam. 1909, p. 13, 'Een en ander over de Huygens-uitgave en over den invloed van Descartes op Christiaan Huygens'. 8) Ziehier inderdaad de mening van Huygens, in 1693 (zie p. 405 van T.X) over de invloed uitgeoefend door de geschriften van Descartes: "Hij had ons zijn natuurkundig systeem moeten voorleggen als een proeve ... Maar doordat hij wilde doen geloven de waarheid gevonden te hebben ... heeft hij iets gedaan dat zeer nadelig is voor de vooruitgang van de natuurfilosofie. ..." 9) Een dergelijk bewijs zou natuurlijk nog niet de algemene betekenis van het theorema hebben doen uitkomen; het zou slechts bewezen zijn voor de centrale botsing van harde lichamen. 10) Zie voor een opvallend voorbeeld over zijn 'Dioptrica' (evenals 'De motu' pas in de Opera postuma verschenen) p. iii-vii en xviii-xix van T. XIII; zie ook Huygens' brief aan de la Hire van 26 sept. 1686 (p. 95-96 van T. IX), met de lange lijst van nog niet verschenen werken van 1667-1680, waarvan een aantal waarschijnlijk niet tijdens zijn leven zou zijn verschenen zonder tussenkomst van De la Hire en Fatio de Duilliers (T. IX, p. 190).

[ 14 ]

reden die hem heeft belet in zijn verhandeling bepaalde andere resultaten op te nemen, verkregen na 1656, te weten zijn volledige en gemotiveerde oplossingen van de problemen van de centrale botsing van zachte en half-harde lichamen 1). We weten niet wanneer het definitieve manuscript werd opgesteld, dat in 1703 is gebruikt voor de publicatie van de verhandeling in de Opuscula postuma 2), en door welke hand het werd geschreven onder leiding van Huygens 3). We weten alleen dat het van na 1673 moet zijn 4), het jaar waarin Horologium oscillatorium verscheen. In 1669 publiceerde Huygens zijn 'Regles du mouvement dans la rencontre des corps' in het Journal des Sçavans 5) zonder er enig bewijs bij te geven. De omstandigheden die deze publicatie hebben meegebracht zullen we verhalen in het volgende voorbericht. Hier willen we nog aantekenen dat Huygens drie jaar voor zijn dood het plan niet had opgegeven de bewijzen van zijn regels te laten verschijnen, aangezien hij op 11 juli 1692 aan Leibniz schreef 6): "Over het onderwerp beweging heb ik heel wat nieuwe dingen en paradoxen te geven, die men zal zien, wanneer ik mijn bewijzen zal publiceren van de Regels van stoot, vroeger gepubliceerd in de tijdschriften van Parijs en van Londen". Huygens' harde lichamen. Harde lichamen, met de eigenschappen die Huygens eraan toekent, bestaan niet in de natuur. Als we ons immers twee volmaakt elastische lichamen voorstellen en veronderstellen dat hun botsing een volkomen adiabatisch proces is, dan moeten deze lichamen trillingen uitvoeren als ze uit elkaar gaan, uitgezonderd in heel speciale gevallen, en deze trillingen zullen een kleiner of groter (maar eindig) deel opnemen van hun bewegingsenergie, zodat na de botsing de som van de 'levende krachten' van hun voortgaande bewegingen niet meer zal zijn wat hij eerst was 7). 1) Zie p. 161-167. 2) Vergelijk p. 30/31, noot 1. 3) Zeker is dat het niet het handschrift is van Niquet (T. XIII, p. vii) en niet van Fatio (T. IX, p. 190) [van Papin volgens Yoder (2013), HUG 26A, 91r-108v]. 4) Vergelijk p. 52/53, n. 3. 5) Zie p. 179-181. 6) Zie p. 302 van T. X. 7) Evenzo zal de relatieve snelheid waarmee hun zwaartepunten uit elkaar gaan in grootte niet gelijk zijn aan die waarmee ze elkaar naderden. Deze resultaten zijn dus in strijd met twee karakterisiteke eigenschappen van de harde lichamen van Huygens; zie prop. IV (p. 43) en XI (p. 73).

[ 15 ]

De kwestie kan bijna streng worden behandeld voor het geval van de centrale botsing van twee homogene en isotrope cilinders met gelijke doorsneden die elkaar bedekken op het tijdstip van de botsing, mits hun lengten l A en l B voldoende groot zijn ten opzichte van de afmetingen van de doorsneden, en men de wet van Hooke aanneemt. Laten we namelijk veronderstellen dat de cilinders A en B 8) (met l A gelijk aan of groter dan l B) eerst gelijke en tegengestelde snelheden hebben, waarvan de absolute waarde v is, terwijl de assen bewegen langs een zelfde rechte, en dat op het tijdstip t = 0 de uiterste vlakken tegen elkaar komen in het punt x = 0. Als de positieve kant van de x-as gericht is naar cilinder B, die we om de gedachte te bepalen rechts van A veronderstellen, en als men c neemt voor de voortplantingssnelheid van de golven van indrukking of uitzetting, krijgt de oplossing de volgende vorm: Na een kort tijdsinterval t zal het deel van cilinder B tussen de vlakken x = 0 en x = ct tot rust gebracht zijn en er zal in dit deel per eenheid van lengte een indrukking v : c zijn ontstaan. Anderzijds zal het deel voorbij het vlak x = ct zich nog in natuurlijke toestand bevinden en de snelheid − v behouden hebben. Op het tijdstip t = l B : c bevindt de hele cilinder B zich in rust met de genoemde indrukking, die nu zal verdwijnen vanaf het rechter uiteinde. Zolang t ligt tussen l B : c en 2l B : c kan men zeggen dat het deel van de cilinder tussen x = l B en x = 2l B − ct zijn natuurlijke lengte heeft hernomen; tegelijkertijd zal dit deel de snelheid + v hebben gekregen. Het deel tussen x = 0 en x = 2l B − ct is echter nog in rust, met de indrukking v : c per eenheid van lengte. Tenslotte heeft op tijdstip t = 2l B : c de hele cilinder de snelheid + v gekregen, terwijl de indrukking verdwenen is over de hele lengte. Laat nu l B = l A zijn. Dan zullen in cilinder A geheel analoge verschijnselen plaats vinden en de twee lichamen zullen weer in de natuurlijke toestand zijn gekomen op hetzelfde tijdstip t = 2l A : c = 2l B : c. Aangezien ze op dit tijdstip de snelheden − v en + v zullen hebben 8) Om het eenvoudig te houden: cilinders van hetzelfde materiaal.

[ 16 ]

zullen ze met deze snelheden uit elkaar gaan. Het resultaat van de botsing komt dus overeen met de theorie van Huygens 1). Zo is het niet bij l B < l A. Dan zal op het tijdstip t = 2l B : c waarop cilinder B de beschreven toestand bereikte, het deel van A aangrenzend aan B zich nog in rust bevinden. Alle druk die het uitoefent op B zal dus ophouden en hoewel de cilinders nog niet uiteengaan 2) kan de botsing worden beschouwd als beëindigd. Cilinder B, korter dan A, gedraagt zich dus alsof hij onder dezelfde omstandigheden een cilinder van gelijke lengte l B had ontmoet. In het meer algemene geval, waarin we de snelheden voor de botsing aanduiden met v A en v B en die erna met v'A en v'B, leidt men uit deze resultaten gemakkelijk af voor gelijke cilinders: v'B = v A en v'A = v B 3) en voor ongelijke cilinders v'B = v A, maar (wegens behoud van hoeveelheid beweging) v'A = [(l A − l B) v A + l B v B] : l A. Zo vindt men voor het verlies aan energie van de voortgaande beweging der cilinders door de botsing: T − T' = ½ρ(l A v A² + l B v B²) − ½ρ(l A v'A² + l B v'B²) = ½ρ l B(l A − l B)(v A − v B)² : l A waarin ρ voorstelt de massa per lengte-eenheid. Daaruit volgt:
T − T' | = | l B(l A − l B)(v A − v B)²
T | l A(l A v A² + l B v B²)
In het geval v A = − v B en l A = 2 l B vindt men bijvoorbeeld 2/3 voor deze verhouding 4). Het voorafgaande is natuurlijk beperkt tot translatiesnelheden v die klein zijn ten opzichte van de voortplantingssnelheid c. Zodra de breuk v : c, en dientengevolge de ontstane indrukking in de cilinders enigszins 1) Vergelijk hypothese I (p. 31). Men kan niet concluderen dat het evenzo is met willekeurige gelijke lichamen; als de gelijke cilinders b.v. stangen loodrecht op hun as hebben, zullen deze stangen in het algemeen trillingen uitvoeren na het uiteengaan van de cilinders. 2) Omdat zodra de tegendruk van B op A ophoudt, het deel van A aangrenzend aan B weer in zijn natuurlijke toestand komt en snelheid + v opneemt, zodat het uiteengaan pas gebeurt op tijdstip t = 2l A : c. 3) Vergelijk (p. 37) prop. II. 4) In het opmerkelijk geval l A v A = − l B v B waarin de algebraïsche som der hoeveelheden beweging nul is, heeft men T' : T = l B² : l A², dus voor een gegeven waarde van T, kan T' heel klein worden als l B : l A klein is.

[ 17 ]

aanzienlijk worden geldt de wet van Hooke niet meer en zijn bepaalde in de berekeningen gebruikte vereenvoudigingen niet meer geoorloofd. De oplossing die we zojuist hebben geschetst werd gevonden in 1826 door Cauchy 5), maar het blijkt dat ze gedurende enige tijd bijna volkomen werd vervangen door de oplossing van hetzelfde probleem door Poisson 6) waarin de cilinders na de botsing alleen uiteen zullen gaan in het geval dat l B = l A is. De fout in de redenering van Poisson werd aangewezen door de Saint-Venant 7), die de oplossing van Cauchy verder uitwerkte en bevond dat ze juist was. Bovendien, en dit is opmerkelijk, werd de goede oplossing opnieuw onafhankelijk gevonden door F. Neumann 8), door Thomson en Tait 9) en door A. Ritter 10). Ook al is deze oplossing slechts heel onvolmaakt bevestigd door experimenten 11), ze bewijst tenminste dat het verlies aan 'levende kracht' van de voortgaande beweging, 5) Zie zijn 'Mémoire sur le choc des corps élastiques', Nouveau Bulletin des Sciences, par la Société Philomathique de Paris, 1826, p. 180-182. 6) Zie §499-504 (p. 331-343) van T. II van Traité de Mécanique par S. D. Poisson, Paris, Bachelier, 1833. 7) 'Mémoire sur le choc longitudinal de deux barres élastiques ...', Journal de mathématiques pures et appliquées, 2e sér. T. XII, 1867, p. 237-376. 8) F. Neumann, 'Vorlesungen über die Theorie der Elastizität der festen Körper und des Lichtäthers', Leipzig, 1885, p. 332-347. Volgens het voorwoord van O.E. Meyer was de lezing al in 1858. 9) Zie p. 280-282, art. 303-306, Vol. I, Part. I, van Treatise on natural philosophy, new ed., Cambridge, 1879, ook in 1e ed. 1867. 10) 'Beitrag zur Theorie des elastischen Stosses', Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891, p. 1383-1386.

[ 18 ]

veroorzaakt door de trillingen die de botsing opwekt, aanzienlijk kan zijn in het geval van cilinders en dat dientengevolge de theorie van Huygens hierin geen rekenschap kan geven van de verschijnselen. Gelukkig komt men tot een heel andere conclusie als men de botsing beschouwt van lichamen met een bol oppervlak, die elkaar bij hun ontmoeting maar over een klein oppervlak aanraken. In dit geval kan de theorie van Huygens worden gehandhaafd, als men alleen veronderstelt dat de snelheden van de lichamen heel klein zijn ten opzichte van de snelheden waarmee de elastische golven zich erin voortplanten. Dat is trouwens een veronderstelling zonder welke de theorie uiterst ingewikkeld zou worden. Om de theorie van Huygens te rechtvaardigen in de gevallen waarover het nu gaat, kunnen we ons baseren op de resultaten verkregen door H. Hertz 1) in zijn onderzoekingen over het contact van elastische lichamen. Daarvoor zal het voldoende zijn hier bollen te beschouwen, met gelijke stralen en van hetzelfde materiaal; men zal gemakkelijk begrijpen dat de conclusies dezelfde zullen blijven voor gevallen die veel algemener zijn. Het probleem dat Hertz zich heeft gesteld is als volgt (vereenvoudigd voor dit geval). Een elastische bol wordt onderworpen aan een drukkracht, uitgeoefend op een klein gedeelte A van zijn oppervlak, waarvan de resultante gericht naar het middelpunt een gegeven grootte P heeft, en aan een tweede kracht in tegenovergestelde richting en van gelijke grootte, die gelijkmatig wordt verdeeld over het hele volume van het lichaam. Dan zal zich een toestand van evenwicht instellen, 11) Het onderwerp gaf aanleiding tot veel onderzoek, zowel experimenteel als theoretisch. Een samenvatting tot 1909 geeft C. Ramsauer, in de inleiding van 'Experimentelle und theoretische Grundlagen des elastischen und mechanischen Stosses' (Annalen der Physik, Bd. 30, p. 417-494). Het artikel bevat ook resultaten van experimenten met cilinders. Recenter: L. Hartmann, 'Variation systématique de la valeur de la force vive dans le choc élastique des corps', Comptes rendus, T. 163, 1916, p. 559-569 en T. 164, 1917, p. 491-494. W. Voigt verklaart de (soms heel grote) afwijkingen uit de omstandigheden in de buurt van het botsingsvlak ('Die Theorie des longitudinalen Stosses cylindrischer Stäbe' en 'Zur Theorie des longitudinalen Stosses zylindrischer Stäbe', Annalen der Physik, Bd. 19, 1883, p. 44-65 en Bd. 46, 1915, p. 657-676). Het is overigens merkwaardig dat in de figuren 11 en 13 (p. 160, 1e en 3e) van Huygens de aangegeven veren precies de rol zouden spelen van de meer samendrukbare tussenlaag die Voigt nodig heeft om te verklaren hoe de cilinders zich in werkelijkheid gedragen. En als de massa van de veren verwaarloosbaar is komt men op het geval onderzocht door Ramsauer (p. 478-482 van zijn artikel) waarin Huygens' wetten bijna volmaakt gelden. 1) 'Ueber die Berührung fester elastischer Körper', Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 92, 1881, p. 156-171 (Gesammelte Werke Bd. 1, 1895, p. 155-173).

[ 19 ]

welgedefinieerd, met een afplatting in het punt A die Hertz met de elasticiteitstheorie kan berekenen. Als het materiaal van de bol wordt beschouwd als isotroop, bevatten de formules twee constanten, te weten de elasticiteitsmodulus K en de welbekende constante van Poisson μ. Laten we er hier aan herinneren dat, als ρ de dichtheid is, de voortplantingssnelheden van transversale en longitudinale trillingen zullen zijn: ct = √ (K / ρ) , cl = √[ {2(1 − μ) / (1 − 2μ)} · (K / ρ) ] Als de krachten P en − P, in plaats van constant te zijn, steeds veranderen, zullen ze trillingen doen ontstaan, maar de mate waarin deze inwendige bewegingen optreden is geheel afhankelijk van de snelheid waarmee de krachten veranderen. Men kan de trillingen verwaarlozen en op elk tijdstip de evenwichtsformules toepassen, wanneer de veranderingen zo langzaam gaan dat de tijd T die nodig is voor een aanzienlijke verandering van P en van − P veel groter is dan de periode van de eigentrillingen van het lichaam. Aangezien voor een bol met straal R deze periode is van de orde van grootte R : ct of R : cl, krijgt de voorwaarde de vorm: T >> R / ct of T >> R / cl In het vervolg zullen we de eerste van deze ongelijkheden gebruiken, die de tweede omvat, want cl > ct . In het botsingsprobleem speelt de kracht waarmee een van de bollen op de andere inwerkt de rol van de drukkracht P; hij neemt toe vanaf nul tot een bepaalde maximale waarde en vermindert vervolgens om te verdwijnen op het tijdstip van uiteengaan 2). Het is dus duidelijk dat de trillingen verwaarloosbaar zullen zijn (wat de juistheid van Huygens' theorie zal bevestigen) als het tijdsinterval waarin deze veranderingen plaats hebben, dat wil zeggen de duur van de botsing, voldoet aan de eerste van de ongelijkheidsvoorwaarden die we zojuist hebben aangeduid. 2) De krachten die P in evenwicht houden, met als resultante − P, zijn denkbeeldige krachten tegengesteld aan de versnellingen van de volume-elementen en gelijk aan de producten van deze versnellingen en de massa's.

[ 20 ]

Nu heeft Hertz voor deze duur 1) een formule gevonden die men kan brengen in de vorm:

T = 2 [5/8 π √2 (1 − μ)]2/5 | R | ∫01 (1 − x5/2)−1/2 dx
ct4/5 v1/5

waarin v aanduidt de relatieve snelheid waarmee een van de bollen de andere nadert en waarin: ∫01 (1 − x5/2)−1/2 dx = 1,472 Als deze laatste waarde wordt ingevuld en voor de coëfficiënt van Poisson μ = 1/3 wordt genomen, vindt men:
T = 3,76 | R
ct4/5 v1/5
De voorwaarde voor T wordt dus: (v / ct)1/5 << 3,76 Hieraan zal kunnen worden voldaan als de snelheid v voldoende klein is. Als men bijvoorbeeld verlangt dat T = 20 R : c t vindt men v = 0,000235 c t. Voor staal is de voortplantingssnelheid van transversale trillingen ongeveer 3,2.105 cm/s, dus v = 75 cm/s. Men ziet ook dat experimenten mogelijk zijn waarin de theorie van Huygens bij benadering wordt bevestigd en dat er geen reden is zich erover te verbazen dat Huygens, die vooral met bollen proeven deed, de indruk had dat de resultaten van zijn theorie bijna volmaakt overeenkwamen met de experimenten 2). In elk geval kan deze theorie als streng exact worden beschouwd 1) Experimenteel bevestigd door W. Müller: 'Zur Kenntniss der Stossdauer elastischer Körper', Wiener Berichte, IIa, Bd. 123, 1914, p. 2157-2169. 2) Zie p. 100, 113 en 140.

[ 21 ]

in een limietgeval, dat men benadert met gegeven lichamen door de snelheden te verkleinen, of bij gegeven snelheden door in gedachten de elasticiteitsmodulus K te vergroten. Bij de botsing met 'volmaakt harde' lichamen, gekenmerkt door oneindig grote K, zal er geen inwendige trilling ontstaan. We kunnen deze bondige bespreking van de toepasbaarheid van de theorie van Huygens in het domein van fysische lichamen niet beëindigen, zonder in herinnering te brengen de overwegende rol die zijn regels voor de botsing van harde lichamen zijn gaan spelen, twee eeuwen na hun ontdekking, in de ontwikkeling van de kinetische gastheorie. Principe van het gemeenschappelijk zwaartepunt. Behoud van 'levende kracht'. Zachte lichamen. In zijn onderzoek over de kettinglijn die "zeker geen parabool maakt" 3) en in zijn bewonderenswaardige Verhandeling over het evenwicht van drijvende lichamen 4) had Huygens gebruik gemaakt van het principe dat het gemeenschappelijke zwaartepunt zich zo laag mogelijk plaatst 5). Dit principe was in deze vorm slechts te gebruiken bij statica-onderwerpen. Daarom wijzigt hij het in zijn theorie van de botsing door er de nieuwe vorm aan te geven: dat het gemeenschappelijke zwaartepunt niet kan stijgen door werking van de zwaarte alleen. Op deze manier geformuleerd wordt het in handen van Huygens een krachtig onderzoeksinstrument, en er is geen reden zich erover te verbazen. Immers, voor alle omkeerbare verschijnselen is dit principe, dat Huygens later noemde "het grote Principe van de mechanica" 6), gelijkwaardig met dat van het behoud van energie in een zwaartekrachtveld, waar de zwaartekracht overal in dezelfde richting werkt en met dezelfde intensiteit 7). 3) Zie p. 28 en 40 van T. I en de 3 laatste alinea's van noot 2 die begint op p. 37 van T. XI. 4) Zie p. 93-119 van T. XI. 5) Zie over dit principe p. 56/57, n.1. 6) In 1684; zie T. VIII, p. 499. En ook T. IX, p. 439, 456, 462 en 463. 7) Het principe van behoud van energie heeft verschillende etappes doorlopen alvorens zijn definitieve vorm te krijgen. Als een van de eerste is te zien de ontdekking van de geldigheid ervan voor het genoemde zwaartekrachtveld, en de eer komt Huygens toe. Niet alleen voor botsingen maar later ook voor het bepalen van slingermiddelpunten (Prop. IV e.v. van Horologium oscillatorium, 1673, p. 98-146) is zijn methode gelijkwaardig met het gebruik van het betreffende principe. Verder is in noot 2 van p. 164 te zien dat Huygens zich er volkomen rekenschap van gaf dat elke afwijking van zijn principe de mogelijkheid zou geven een 'perpetuum mobile' te bouwen.

[ 22 ]

Om het aan te tonen beschouwen we een bepaald aantal lichaampjes (of lichamen als rotaties worden verwaarloosd) met massa's m, snelheden v en die zich bevinden op hoogtes h boven een bepaald horizontaal vlak. Wanneer men, naar het voorbeeld van Huygens, de snelheden omzet in hoogtes vanwaar de lichaampjes geacht kunnen worden te zijn gedaald of tot waar ze kunnen stijgen als gevolg van deze snelheden, geeft het door Huygens gebruikte principe:
(1) | (Σmh' + Σλmv' ²) / Σm ≤ (Σmh + Σλmv²) / Σm
waarin h' en v' voorstellen de hoogtes en de snelheden na het verschijnsel, en λ = 1 / 2g. Wanneer het verschijnsel omkeerbaar is leidt men er gemakkelijk uit af:
(2) | Σmh' + Σλmv' ² = Σmh + Σλmv²
en in het geval van de centrale botsing van twee harde lichamen:
(3) | m A v A' ² + m B v B' ² = m A v A² + m B v B²
Wel is de afleiding van dit laatste verband in de verhandeling veel ingewikkelder. Huygens gebruikt er niet de omkeerbaarheid van de botsing 1). Het principe van het gemeenschappelijk zwaartepunt dat niet kan stijgen past hij inderdaad slechts toe in het geval waarin m A v A + m B v B = 0 2). Met behulp van dit principe en van Prop. IV 3) komt hij tot de conclusie dat in het beschouwde geval moet gelden v A' = − v A en v B' = − v B. Daarna kan hij met het Relativiteitsprincipe teruggaan van dit speciale geval naar het algemene geval 4), waarna hij vergelijking (3) afleidt uit de resultaten verkregen voor dit laatste geval 5). Maar deze afleiding is van het jaar 1656, toen Huygens het manuscript van deze datum 6) samenstelde, terwijl de propositie die overeenkomt met vergelijking (3) hem al vanaf 1652 bekend was 7) en behoorde bij de 1) Toch had hij deze al geformuleerd in Prop. V (p. 47), en een bewijs gegeven (p.47-49) gebaseerd op het Relativiteitsprincipe en op de gelijkheid van de snelheden van naderen en uiteengaan. 2) Zie (p. 53-65) Prop. VIII en het bewijs ervan. 3) Zie p. 43, steunend op Hyp. V (p. 41), die omkeerbaarheid in een speciaal geval veronderstelt. 4) Zie p. 65-69. 5) Zie (p. 73-77) Prop. XI en het bewijs ervan. 6) Zie het tweede deel (p. 143-149) van Aanhangsel II. 7) Zie 4e alinea van p. 95.

[ 23 ]

eerste resultaten van zijn onderzoekingen over de botsing. Kan men geloven dat deze propositie zo vroeg werd verkregen via de ingewikkelde weg die we zojuist hebben geschetst, en is het niet veel plausibeler dat Huygens de omkeerbaarheid van de botsing vanaf het begin heeft beschouwd als een voorlopig aannemelijke hypothese? Het is vreemd op te merken dat hetzelfde principe: dat het gemeenschappelijk zwaartepunt niet kan stijgen door de werking van zwaarte, gecombineerd met het relativiteitsprincipe van Huygens, met zich meebrengt het theorema van behoud van de hoeveelheid beweging in een gegeven richting. En dit zonder hierbij omkeerbaarheid van de verschijnselen te veronderstellen. Laten we ons namelijk voorstellen dat tussen de tijd t en de tijd t' een bepaald aantal botsingen plaats vindt tussen de deeltjes met massa m, of liever tussen de lichamen die ze samenstellen en die men hard, half-hard of zacht kan veronderstellen. Overigens veronderstellen we allerlei verbindingen ertussen. Vervolgens voegen we toe aan al hun snelheden v (waarvan v x, v y en v z de componenten in drie onderling loodrechte richtingen zijn) een gemeenschappelijke snelheid x, evenwijdig aan de v x-en; dan heeft men:
(4) | Σm[h' + λ{(v'x + x)² + v'y² + v'z²}] ≤ Σm[h + λ{(v x + x)² + v y² + v z²}]
Dit geeft:
(5) | Σm[(h' − h) + λ(v' ² - v²)] ≤ 2λx[Σmv x − Σmv'x]
maar deze ongelijkheid kan niet waar zijn voor alle waarden van x zonder dat geldt:
(6) | Σmv x = Σmv'x
wat aangetoond moest worden. Deze zelfde redenering wordt door Huygens toegepast op de botsing van zachte en half-harde lichamen, maar alleen in het bijzondere geval waarin m A v A + m B v B = 0 8). 8) Zie de stukken IX en X (p. 161-167).

[ 24 ]

Hij bewijst dat dan m A v'A + m B v'B ook nul moet worden, waaruit volgt v'A/v A = v'B/v B = e, waarin e varieert tussen 1 (voor harde lichamen) en 0 (voor zachte lichamen). In deze laatste vergelijking zal men gemakkelijk het resultaat herkennen dat Huygens verkreeg in het genoemde bijzondere geval 1), waartoe het algemene geval van de centrale botsing van twee half-harde lichamen makkelijk kan worden herleid met behulp van het relativiteitsprincipe van Huygens 2). Theorema over behoud van hoeveelheid beweging. We hebben niet veel toe te voegen aan de al gemaakte opmerkingen over dit theorema 3). Huygens is begonnen het aan te nemen in de foutieve vorm waarin Descartes het had geformuleerd 4). Maar al in 1652, aan het begin van zijn inspanningen om een samenhangende theorie op te stellen van de botsing van harde lichamen, had hij de onjuistheid ontdekt van deze vorm in bepaalde gevallen 5). Toch twijfelde hij niet aan de toepasbaarheid ervan in andere gevallen. Aangezien het nu voor hem onmogelijk was zijn theorie op te stellen zonder enige voldoend duidelijke hypothesen, en hij er elders geen vond, ontleende hij er twee 6) aan het principe uitgesproken door Descartes. Twee jaar later had hij de ware formule van het theorema ontdekt 7). Hij publiceerde deze in het Journal des Sçavans van 18 maart 1669 8), maar de vorm van deze mededeling laat zien dat hij niet de 1) Zie Huygens' samenvatting van zijn resultaten voor dit geval, p. 166 bovenaan. 2) Zie voor de grafische oplossing van het algemene geval p. 164 n.1 en p. 165 n.11. 3) Zie p. 7, 8, 10, 12, 13 en 23. 4) Zie zijn brief aan de Sluse van 3 jan. 1658, p. 115 van T. II, waarin men leest: "Het axioma van Descartes over het behoud van beweging, zodanig dat er altijd eenzelfde hoeveelheid van overblijft, leek me vroeger ook heel waarschijnlijk en in overeenstemming met de rede. Maar nu weet ik dat het niet blijvend kan zijn; met een ander duidelijker principe dat dit onomstotelijk bewijst". 5) Zie de derde alinea van p. 95. 6) Hyp. II (p. 31) en V (p. 41). Ze zijn al te vinden in het manuscript van 1652 (p. 92 en 96) en in het manuscript van 1654 (p. 102 en 126). 7) Vergelijk p. 102, 116 en 131. Op p. 116 staat het overeenkomstige theorema: dat het gemeenschappelijke zwaartepunt na de botsing blijft bewegen in dezelfde richting en met dezelfde snelheid als ervoor. Zie nog voor het jaar 1656 noot 9 van p. 146. 8) Vergelijk p. 14.

[ 25 ]

eenvoudige grondslag had herkend waarop we dit theorema baseren sinds de uitgave van de Principia van Newton. Immers, na de uiteenzetting van de ware formule 9) spreekt hij over de "bewonderenswaardige wet van de Natuur" volgens welke "het gemeenschappelijk zwaartepunt van twee of drie lichamen, of zoveel men wil, voor en na hun ontmoeting altijd naar dezelfde kant gelijkelijk rechtdoor gaat", een wet die hij beweert te kunnen "aantonen voor wat Bolvormige lichamen betreft, en die schijnt algemeen te zijn bij alle andere, zowel harde als zachte, of de ontmoeting nu centraal is of schuin" 10). Welnu, deze beperking tot het geval van "Bolvormige lichamen" van zijn bewijs van deze wet (die feitelijk geheel identiek is met het theorema van behoud van hoeveelheid beweging) toont de speciale en begrensde aard van dit bewijs, dat we overigens niet kennen. Voor Huygens verdient het theorema van behoud van 'levende kracht' de voorkeur ver boven dat van het behoud van hoeveelheid beweging 11), en er is reden zich erover te verbazen dat het aan zijn scherpe inzicht is ontsnapt dat dit laatste theorema gemakkelijk is af te leiden uit het eerste, in het geval van harde lichamen, met behulp van het relativiteitsprincipe. Door aan de snelheden v A, v B, v'A, v'B van de lichamen A en B, voor en na hun ontmoeting, toe te voegen de gemeenschappelijke snelheid x, heeft men volgens het eerste theorema:
(7) | m A(v'A + x)² + m B(v'B + x)² = m A(v A + x)² + m B(v B + x)²
waaruit volgt:
(8) | m A v'A + m B v'B = m A v A + m B v B
Wel zou Huygens wegens zijn meetkunde methode verschillende gevallen hebben moeten onderscheiden volgens de bewegingsrichtingen voor en na de botsing. 9) Zie noot 2 van p. 102. 10) Cursivering door ons ingevoerd. 11) Nog in 1674, of later, oordeelde Huygens dat een theorema dat onmiddellijk voorvloeit uit het behoud van hoeveelheid beweging, met deze overweging waarschijnlijk gemaakt kan worden, maar niet bewezen; zie de laatste alinea (p. 164) van stuk IX.

[ 26 ]

Theorema over gelijkheid van relatieve snelheden. Laten we twee samengestelde mechanismen A en B bedenken met een willekeurig aantal vrijheidsgraden, zonder wrijving, gevormd door harde lichamen in de zin van Huygens, en veronderstellen dat twee onderdelen, elk behorende bij een van deze mechanismen, elkaar ontmoeten. Laat P het contactpunt zijn, π het raakvlak in punt P voor de twee onderdelen; v A en v B, bij het begin van de botsing, de componenten van de snelheden loodrecht op het raakvlak in punt P, behorend bij het ene en bij het andere onderdeel; v'A en v'B de componenten bij het einde van de botsing, dan heeft men:
(9) | v'A − v'B = − (v A − v B)
Deze vergelijking, die zegt dat de relatieve snelheid in de richting loodrecht op het gemeenschappelijke raakvlak door de botsing van richting verandert zonder van grootte te veranderen, maakt het volgende mogelijk: in het stelsel van vergelijkingen die kunnen dienen om de beweging na de botsing te bepalen, kan de enige kwadratische vergelijking (afhankelijk van de 'levende krachten') vervangen worden door een lineaire vergelijking zoals alle andere. Welnu, het theorema van Huygens van de gelijkheid van de snelheid van uiteengaan aan die van naderen, dat een zo belangrijke rol speelt in de verhandeling 1) en dat hij zelfs even als axioma dacht te stellen 2), vertegenwoordigt slechts een bijzonder geval van vergelijking (9) en kan in de theorie van de centrale botsing van harde lichamen dezelfde dienst bewijzen als het algemene theorema bij de botsing van mechanismen die uit dit soort lichamen zijn samengesteld. Huygens heeft een andere veralgemening van zijn theorema ontdekt voor het geval van de schuine botsing. Deze is interessant genoeg, maar blijft beperkt tot het geval van homogene bollen; gezegd wordt dat door de botsing de relatieve snelheid van de middelpunten van richting verandert maar niet van grootte 3). 1) Zie p. 43, 47, 51, 55, 57, 61 en 65. 2) Zie p. 94. 3) Zie p. 119, n.3.

[ 27 ]

Relativiteitsprincipe van Huygens. Vanaf het begin van zijn onderzoekingen 4) heeft Huygens aangevoeld hoeveel profijt hij van dit principe kon hebben. Om te komen tot een botsingstheorie zonder innerlijke tegenspraak heeft hij het stelselmatig gebruikt en hij heeft het gevolgd tot in alle consequenties ervan. Het lijkt ons dat men zijn naam eraan moet verbinden, veeleer dan die van een ander, om het te onderscheiden van het meest algemene principe met dezelfde naam, in deze laatste tijden ontwikkeld door Einstein. Wel was het al eerder bekend en werd het vooral gebruikt door aanhangers van de leer van de bewegende Aarde 5). Het vormde een van hun beste argumenten, maar ze gebruikten het niet als onderzoeksinstrument. Deze verdienste was voor Huygens weggelegd. Wat betreft de metafysische problemen die ermee verbonden zijn: of absolute rust en beweging bestaan en of men het bestaan ervan kan herkennen, althans in het geval van rotatie, Huygens heeft zich er niet mee bezig willen houden in de periode die we behandelen 6). Later heeft hij echter deze houding veranderd, zoals we in het vervolg zullen zien.*) 4) Zie p. 93. 5) Zie o.a. de laatste alinea van p. 141. 6) Hij beschouwde toen het vraagstuk van absolute beweging als één van die welke geen oplossing hebben; zie p. 142. [ *) P. 213-233.] [ NB: Vergelijking van Huygens' tekst in Oeuvres complètes met die in 'Codices Hugeniani Online' laat verschillen zien; ze worden verzameld bij 'Additions et corrections', met vermelding van HUG .., ...r/v.]

Home | Christiaan Huygens | T. XVI | Over beweging, Voorbericht >