Home | Chr. Huygens | < Oeuvres XVI >

[ 150 ]

### Over beweging

Aanhangsel III 1)

[1656-1667?]

I 2)

[1656]

Wat staat op pag. 11 bij het teken 3), waar over het nut in de Physica toegevoegd moet worden: Want als de gehele natuur werkelijk bestaat uit deeltjes en alle diversiteit van de dingen ontstaat uit hun beweging, en als door hun zeer snelle stoot het licht in een ogenblik zich voortplant en wegstroomt door de onmetelijke hemelruimte, zoals veel filosofen voor waarschijnlijk hebben gehouden; dan zal deze beschouwing niet weinig geholpen lijken te worden als de ware bewegingswetten bekend zijn en op welke manier beweging wordt overgedragen van het ene lichaam op het andere 4). En hoe hoog en ook steil de beschouwing hier is, hoe moeilijk hierbij het doordringen in de natuur 5). En hoeveel verborgen waarheid er kan worden opgediept door inspanning van het denken — of liever uit dat van anderen die vóór ons zich hebben toegelegd op hetzelfde onderzoek — die we verlangen te begrijpen 6), naar onze mening. Dus heb ik gemeend zeker die plaats uit de Dialogen van de zeer scherpzinnige man Galileo Galilei, die hij in de Italiaanse taal over beweging heeft geschreven, te moeten aanvoeren, en ook vertalen, waar hij openlijk getuigt van de moeilijkheid van de zaak en de studie die hij eraan heeft besteed 7). 1) Dit Aanhangsel bevat Stukken en Aantekeningen die betrekking hebben op de verhandeling 'Over beweging'; voorzover mogelijk in chronologische volgorde, maar de datum is vaak min of meer onzeker. 2) Bron: 1e blz. [HUG 26A, 39r] van het Manuscript van 1656, zie Aanhangsel II (p. 137-149). 3) Een verwijzingsteken naar het Manuscript van 1654, Vijfde deel, 2e alinea (p. 104). 4) Vergelijk de verwijzingen naar de botsingsregels in Traité de la lumiere (1690), p. 11, 12, 14, 16 en 20. Later hebben ze een belangrijke rol gespeeld in de kinetische gastheorie. 5) Boven "penetratio": "aditus", toegang. 6) Boven "intelligi cupimus": aestimari optamus", wensen te beoordelen. 7) Vergelijk 1e alinea van p. 105.

[ 151 ]

16. 17. 8) Overigens bespreekt dezelfde Galilei ook in de boeken over het Systeem van de Wereld 9) op meer plaatsen de aard van beweging die enz. p. 11 aan het eind 10). II 11) [1656] Gegeven de lichamen a en b. De snelheid van lichaam a is p. De snelheid van lichaam b is q. Laat n de snelheid zijn die ze hebben ten opzichte van elkaar (dat is de som van beide snelheden als ze in tegengestelde richtingen bewegen, en anders het verschil). En de snelheid van lichaam a na de stoot zal gelijk zijn aan het verschil tussen p en 2bn/(a + b) 12), of in één geval de som ervan, namelijk wanneer a bij de beweging vooropgaat, in welk geval ook duidelijk is 8) Zie Aanhangsel I, Zesde deel, vanaf 6e alinea van p. 111 t/m p. 113, begin van 4e alinea. 9) Het werk van p. 101, noot 8. 10) Zie p. 105, 2e alinea, eind van H.11. 11) Dit stuk, ontleend aan een los blad [HUG 26A, 72r], doet ons kennen hoe Huygens de mooie oplossing vond van het algemene probleem van de centrale botsing van harde lichamen (zie p. 65 onderaan), door in één formule de resultaten te combineren van 5 gevallen die zijn meetkundige methode hem opleverde. Ook verklaart het de verwijzing naar een berekening die hij later toevoegde (zie p. 69, na n.4). De daar genoemde snelheid C is die van dit stuk: 2bn/(a + b). 12) Dit resultaat is blijkbaar verkregen met een van de Theorema's van p. 148, n.1. Als bij de snelheden p en q een gemeenschappelijke snelheid wordt opgeteld die a in rust houdt, blijkt b te bewegen met de snelheid n. Toepassing van een van de Theorema's geeft 2bn/(a + b) voor de snelheid van a na de botsing, en deze moet nog worden samengesteld met de opgetelde snelheid p.

[ 152 ]

dat a altijd naar dezelfde kant beweegt als eerst. In alle andere gevallen echter: als p groter is dan 2bn/(a + b) zal a ook naar dezelfde kant gaan, maar als p kleiner is dan 2bn/(a + b) zal a naar de andere kant terugkeren, en tenslotte als ze gelijk zijn zal a zonder beweging stilstaan.

1)

Laat AD de snelheid van lichaam A zijn. BD de snelheid van lichaam B. Ze zullen dus samenkomen in punt D. Laat AB zo verdeeld worden in C, dat zoals A tot B zo CB tot CA. En laat CE gelijk genomen worden aan CD. Dan zal de snelheid van lichaam A na de stoot EA zijn; en EB die van lichaam B, en dit naar dezelfde kant als de volgorde van de punten toont: E A, E B. Maar als E valt in A of B, dan zal A of B stilstaan zonder beweging 2). 1) In al deze gevallen is AC = bn/(a + b) en AD = p in grootte. B.v. in het 1e geval zal gelden (zie vorige noot): de snelheid van a na de botsing is AD − 2AC = CD − AC = EC (gelijk aan CD) − AC = EA. Alle andere gevallen geven ook EA als de snelheid van a na de botsing, in grootte en richting. De snelheid van b na de botsing is EB, aangezien de snelheid van uiteengaan gelijk is aan die van naderen. 2) Vergelijk op p. 65-67 de twee eerste alinea's van het betoog van Prop. IX.

[ 153 ]

III 3)

[1656]

a + x [tot] a [als] 2c [tot] | 2ac | 4)
a + x

x + b [tot] x [als] | 4ac | [tot] | 4acx | 5) = | 4acx + 4acy
a + x | ax + bx + ab + xx | ax + ay + bx + by + ab + xx + 2xy

4aacxy + 4abcxy + 8acxxy | = | 4aacxy + 4abcxy + 4aabcy + 4acxxy
4acxxy | = | 4aabcy
xx | = | ab 6)

a + d [tot] a [als] 2c [tot] | 2ac | 4)
a + d

aa + dd | [tot] d [als] | 4ac | [tot] | 4aac | 7)
a | a + d | aa + 2ad+ dd

altijd groter dan de helft is | 4aac | 8).
2aa + 2dd

Dus met één tussengeplaatst lichaam geeft het nooit het dubbele van de onmiddellijke beweging. 3) Dit stuk, ontleend aan een los blad [HUG 26A, 76r], toont ons hoe Huygens berekende welke massa tussengeplaatst moet worden opdat a, met snelheid c, de grootste snelheid geeft aan b in rust. Vergelijk Prop. XII (p. 81). Ook is er de afleiding van het resultaat genoemd in n.8 van p. 136 en iets over het geval van twee tussengeplaatste lichamen. 4) Snelheid van x na de 1e botsing, berekend volgens de geschrapte theorema's van p. 148, n.1. 5) Snelheid van b na de botsing, waarvan het maximum gevraagd wordt. Huygens gebruikt de methode van Fermat, zoals hij deze had vereenvoudigd. De methode is: stel φ(x) = φ(x + y) maar laat in de berekening weg de termen zonder y en die met hogere machten van y; zie T. XI, p. 19. 6) Dit is het gezochte resultaat. 7) Snelheid van het lichaam met massa dd/a na de botsingen. 8) Snelheid van dit lichaam aangestoten door a zonder meer. Huygens bedoelt dat de laatste breuk altijd groter is dan de helft van de vorige.

[ 154 ]

a, c, a, b kleiner dan a, a, a, b 1) omdat c kleiner is dan a. Maar a, c, cc/a, b kleiner dan a, c, a, b, omdat cc/a meer afwijkt van de middelevenredige tussen c en b dan a 2). Immers cc/a is kleiner dan c. Dus a, c, cc/a, b kleiner dan a, a, a, b. Aan te tonen is 3) dat a, d, dd/a, b een kleinere geeft dan a, b, bb/c, b. a, d, bb/a, b kleiner dan a, b, bb/a, b 4); maar a, d, dd/a, b kleiner dan a, d, bb/a, b omdat dd/a meer afwijkt van de middelevenredige tussen d en b dan bb/a 5). Immers d is groter dan b. 1) Huygens vergelijkt de snelheden verkregen door het laatste lichaam na de botsingen in de twee genoemde gevallen waarin de beginsnelheden van a gelijk zijn. 2) Volgens de eerste formule van p. 81, n.2 moet voor deze ongelijkheid (c, cc/a, b) < (c, a, b) aangetoond worden: (1)   (√mB − √mAmC / √mB)² > (√m'B − √mAmC / √m'B)² waarin mA = c, mC = b, mB = cc/a, m'B = a. Deze ongelijkheid is achtereenvolgens te herleiden tot: mA + mAmC / mB > m'B + mAmC / m'B mAmC(1/mB − 1/m'B) > m'B − mB en tenslotte, bij delen door het verschil m'B − mB (hier positief) tot mAmC > mBm'B, te weten bc > cc. Aan deze voorwaarde wordt voldaan indien, zoals in de figuur, b > c. Toen Huygens schreef "omdat cc/a meer afwijkt van de middelevenredige tussen c en b dan a" schijnt hij te hebben bedoeld dat er twee gevallen zijn te onderscheiden: (2)   √cb ≥ a > c²/a , dus √cb : c²/a > √cb : a (3) a > √cb > c²/a , met √cb : c²/a > a : √cb die eveneens leiden tot b > c, wat hij blijkbaar had aangenomen. In geval (2) geldt namelijk cb ≥ a², of b/c ≥ a²/c², dus ook b > c, aangezien a > c. Vergelijk noot 5 van de volgende bladzijde.

[ 155 ]

3) Dit is misschien weer een probleem dat Huygens zich voorstelde bij zijn verhandeling 'Over beweging' te voegen; vergelijk p. 133, noot 10. Ook de vorige alinea zou aanleiding kunnen geven tot zo'n probleem. 4) Aangezien b middelevenredig is tussen a en bb/a, maar d ≠ b. 5) We kunnen de gedachtengang van Huygens min of meer vatten (vergelijk zijn bewijs van Prop. XII, p. 83, fig. 20, waar hij eerst drie lichamen beschouwt met de massa van het middelste middelevenredig tussen die van de uiterste, en vervolgens, p. 85, fig. 21 en p. 83 laatste regel, dit middelste lichaam vervangt door een lichaam met massa X, waarvan hij de verhouding met de massa van één van de drie lichamen beschouwt) door te denken aan drie bollen zoals hij ze veronderstelt, met massa A, λ√AC en C. Lichaam A stoot tegen lichaam λ√AC, en dit stoot daarna tegen lichaam C. We weten al dat bij een gegeven snelheid v van A de snelheid van C de grootst mogelijke zal zijn voor λ = 1. In het algemeen zal de snelheid van C zijn, volgens de formule van p. 153, 4λvA√AC / (A + λ√AC)(C + λ√AC) te herleiden tot 4λvA / (√A + λ√C)(√C + λ√A) en vervolgens tot (1)   4vA / {(A + C) + (λ + 1/λ)√AC}. Aangezien de uitdrukking λ + 1/λ niet verandert wanneer λ wordt vervangen door 1/λ, is duidelijk dat de snelheid van lichaam C dezelfde zal zijn wanneer de massa van het tussengeplaatste lichaam b.v. driemaal zo groot is als √AC, als wanneer deze integendeel driemaal zo klein is als √AC. Men kan zeggen dat in deze twee gevallen de tussengeplaatste massa evenveel "afwijkt" van de middelevenredige √AC. Daar de uitdrukking λ + 1/λ op gelijke wijze groeit wanneer λ groeit van 1 naar ∞ (en ook wanneer λ afneemt van 1 naar 0), volgt eruit dat de snelheid van lichaam C meer en meer afneemt naarmate de massa van het tussengeplaatste lichaam "meer afwijkt van de middelevenredige √AC". In het beschouwde geval (d > b) geldt dat "dd/a meer afwijkt van de middelevenredige tussen d en b dan bb/a", wanneer (2) d²/a > b²/a ≥ √bd , want dan is d²/a : √bd > b²/a : √bd ofwel (3) d²/a > √bd > b²/a en bovendien d²/a : √bd > √bd : b²/a. Formule (1) laat zien: als de massa van het tussengeplaatste lichaam eerst is λ√AC en dan λ'√AC, zal de snelheid van lichaam C kleiner zijn in het eerste geval, wanneer (4)   λ + 1/λ > λ' + 1/λ' dit is dus in moderne vorm de voorwaarde van Huygens, ook te schrijven als (5)   (√λ − √1/λ)² > (√λ' − √1/λ')² een formule die gelijkwaardig is aan formule (1) van noot 2 van p. 154. Door in formule (4) te substitueren de waarden van λ en λ' voor de gevallen waarin de massa van het tussengeplaatste lichaam is d²/a of b²/a (te weten λ = d²/a√bd, λ' = b²/a√bd) vindt men dat voor d > b formule (4) neerkomt op bd > a², overeenkomstig met de formules (2) en (3) — uit formule (2) haalt men bd/a² ≥ d²/b², waarin d > b en dus bd > a². Huygens had dus moeten opmerken, om te kunnen vaststellen dat "dd/a meer afwijkt van de middelevenredige tussen d en b dan bb/a", dat aangenomen moet worden bd > a².

[ 156 ]

IV 1) [1659] 2) Op pag. 194 in Brieven van Descartes, 2e deel 3) geeft hij andere bewegingswetten dan in Principia philosophiae 4). 1) Het stuk is ontleend aan p. 140 van Manuscript A [HUG 10, 70v]. 2) Volgens de plaats in Manuscript A. 3) Het gaat om Lettres de Mr. Descartes, ed. Clerselier; zie T. I, p. 515, n.1 en T. II, p. 334, n.11. 4) Zie de betreffende passage in deel 2, gepubliceerd in 1659, in een brief aan Mersenne van 25 dec. 1639 (Oeuvres, ed. Adam & Tannery, T. II, p. 627):

Wat betreft Traagheid [Inertie]*), ik geloof al te hebben geschreven dat in een Ruimte die helemaal niet belemmerend is, als een Lichaam van een bepaalde grootte dat met een bepaalde snelheid beweegt een ander ontmoet dat eraan gelijk is in grootte, en dat geen Beweging heeft, het de helft van de zijne daaraan zal meedelen zodat ze alletwee samen zullen gaan half zo snel als het eerste ging. Maar als het er een ontmoet dat dubbel zo groot is zal het daaraan twee derde van zijn Beweging geven, en zo zullen ze alletwee samen niet meer weg afleggen in drie momenten, dan het eerste deed in één moment. En in het algemeen hoe groter de Lichamen zijn, des te langzamer ze moeten gaan wanneer ze door eenzelfde kracht worden geduwd. [ *) Noot in A & T: zie 30 april 1639, p. 543. Daar de term 'Inertie Naturelle'.]

Deze twee voorbeelden, die zouden behoren bij de botsingstheorie van zachte lichamen, zijn in flagrante tegenspraak met twee van de regels in Descartes' Principia, nl. de 1e met de 6e (zie p. 139, n.18) en de 2e met de 4e (p. 38, n.1). [ Isack Beeckman had al in december 1618 een juiste aanpak van de botsing van zachte lichamen, zie zijn Journal, T. 1, p. 266 en T. 2, p. 45.] V 5) [1667?] 6) Gegeven de harde lichamen enz. die continu evenredig zijn, en alleen het kleinste a wordt in beweging gebracht en hierdoor achtereenvolgens b, c, d enz. Gevonden wordt van elk afzonderlijk de eerste beweging, evenzo de andere nadat ze het volgende lichaam hebben aangestoten, als volgt. Laat a = 1 zijn, en het tweede lichaam b zoals gesteld is. Dus c = bb, d = b 3 enz. Laat ook de snelheid van het eerste lichaam a gelijk zijn aan 1. 5) Het stuk, ontleend aan een los blad [HUG 26A, 73r-v; vgl. 68v], heeft betrekking op de laatste alinea (p. 91) van de verhandeling. 6) De in de vorige noot genoemde alinea ontbreekt in het Manuscript van 1656. Het stuk zal dus van na dit jaar zijn. Huygens' aantekeningen nu voor zijn betogen aan de Académie des Sciences van 4, 11 en 18 jan. 1668 (zie p. 182-186) duiden in nr. 14 en 13 (p. 184) op de resultaten en berekeningen van dit stuk. Uit de briefwisseling blijkt niet dat Huygens tussen deze jaren onderzoek heeft gedaan aan botsingen, dus is 1667 gekozen.

[ 157 ]

De snelheden worden |  | eerste |  | tweede | hoeveelheden beweging uit 2e snelheid
1e lichaam | a. | 1 |  | b − 1 | 7) | b − 1 | 8)
b + 1 | b + 1
2e | b. | 2 | 9) | 2b − 2 | 10) | 2bb − 2b | 11)
b + 1 | (b + 1)2 | (b + 1)2
3e | c. | 4 |  | 4b − 4 |  | 4b 3 − 4b 2 |
(b + 1)2 | (b + 1)3 | (b + 1)3
4e | d. | 8 |  | 8b − 8 |  | 8b 4 − 8b 3 |
(b + 1)3 | (b + 1)4 | (b + 1)4
| enz. |  | enz. |

7) Snelheid van het 1e lichaam in de richting ba (zie figuur) na de eerste botsing, berekend met het eerste theorema van p. 148, n.1. Op een ander blad [HUG 26A, 80v], dat hetzelfde onderwerp minder compleet behandelt, verwijst Huygens naar deze berekening als "volgens onze regel". 8) Hoeveelheid beweging van het 1e lichaam in de richting ba na de eerste botsing. 9) Snelheid van het 2e lichaam, richting ab, na zijn eerste botsing; met het theorema genoemd in n.7. 10) Eindnelheid van het 2e lichaam in de richting ba. 11) Resulterende hoeveelheid beweging van het 2e lichaam in de richting ba.

[ 158 ]

Als a het grootste is van de evenredige lichamen worden de eerste snelheden uitgedrukt op dezelfde manier 1), de tweede met verwisseling van de tekens + en − 2). De hoeveelheid beweging in de lichamen nadat de laatste stoot geweest is:

met 2 | 22.b | − 1 3). | met 3 | 23.bb | − 1 4). | met 4 | 24.b 3 | − 1 5). | met 5 | 25.b 4 | − 1
b + 1 | (b + 1)2 | (b + 1)3 | (b + 1)4

100. | 2100.b 99 | − 1.
(b + 1)99

Als de verhouding van de lichamen het tweevoud is, zal de hoeveelheid beweging in 100 lichamen toenemen in de verhouding van 1 op 4677000,000,000 ongeveer 6). Als de verhouding het drievoud is, van 1 tot 542100,000,000,000,000, ongeveer 7). Doch wanneer de beweging begint met het grootste lichaam neemt de hoeveelheid beweging nooit toe of af 8). De snelheid echter van het kleinste tot die van het grootste wordt bij de dubbele verhouding en 100 lichamen ongeveer als van 14760000000 9) tot 1 10). 1) Zie het tweede theorema van p.148, n.1. 2) In de tellers komt dan 1 − b, 2 − 2b, enz. De richting is dan ab. 3) Optellend op de manier van Descartes, zonder te letten op de richting, vindt men voor de resulterende hoeveelheden beweging van de eerste twee lichamen alleen:
b −1 | + | 2b | = | 3b −1 | = | 4b | − 1.
b + 1 | b + 1 | b + 1 | b + 1

4)
b −1 | + | 2b2 − 2b | + | 4b2 | = | 7b2 − 2b −1 | = | 8b2 | − 1.
b + 1 | (b + 1)2 | (b + 1)2 | (b + 1)2 | (b + 1)2

5) Trek van het vorige resultaat af 4b2/(b + 1)2 en tel erbij op (4b3 − 4b2)/(b + 1)3 en 8b3/(b + 1)3. 6) Vergelijk noot 6 van p. 91. Op een ander los blad [HUG 26A, 75r] vindt men de berekening van Huygens met logaritmen volgens de formule log 2100.299/399 = 100 log 2 + 99 log 2 − 99 log 3. 7) Berekend op het blad genoemd in n.6, met log 2100.399/499 = 100 log 2 + 99 log 3 − 99 log 4. 8) Aangezien alle snelheden dan in dezelfde richting zijn. 9) Als de eerste kolom van het tabelletje van p. 157 wordt voortgezet, is te zien dat voor het 100e en laatste lichaam de snelheid na de botsingen is 299/(b + 1)99, of in dit geval 299/(½ + 1)99 = 2338500000000, en niet 14760000000; vergelijk p. 90, n.4. Op een ander los blad is de berekening gevonden die tot deze fout leidde. Huygens berekent er de logaritme van het gezochte getal door af te trekken 99(log 3 − log 2) van 99 log 2; maar hij maakt een simpele rekenfout in de vermenigvuldiging van log 3 − log 2 = 0,1760912 met 99, en vindt 19,6330288 i.p.v. 17,4330288. 10) Op hetzelfde blad [73v] staat nog een "Algemene regel", bijna letterlijk de 1e alinea van Stuk II, p. 151-152. Dit schijnt te bewijzen dat de twee voornaamste toevoegingen aan de verhandeling na 1656 (datum van het Manuscript van Aanhangsel II) in dezelfde tijd zijn bedacht, te weten die van p. 69-71 (zie p. 69, n.4) en de laatste alinea (zie p. 90, n.1). De eerste komt inderdaad overeen met Stuk II en met de "Algemene regel", de tweede is te vinden aan het eind van Stuk V (p. 158).

VI 11)

[1667?]

12)

11) Ontleend aan hetzelfde blad met berekeningen genoemd in de noten 6 en 7 hierboven. 12) De figuur (toegevoegd zijn A, B, C en D) lijkt een toestel voor te stellen om botsingsproeven te doen. Als het uiteinde D van hefboom AD omlaag wordt geduwd zullen de bladen die de ballen dragen snelheden krijgen in de verhouding van AB tot AC en misschien ook de ballen zelf. Dan blijkt in welke richting de ballen bewegen na de botsing, of welke eventueel in rust is. Vergelijk nog p. 185, n.12 voor nog zo'n figuur.

[ 159 ]

VII 13) [1667?] 14) A, B en C zijn gelijk. Laten we stellen dat deze lichamen volmaakt hard zijn, en dat A en B elkaar raken en in rust zijn. C komt aan om ze te treffen. A zal alleen vertrekken, en B en C zullen bijeen blijven en in rust. Dit gebeurt met de hardste lichamen die we hebben, en des te nauwkeuriger naarmate ze harder zijn. Als nu B helemaal niet in beweging is gebracht, kan hij A niet in beweging gebracht hebben. Want deze zonder beweging in beweging te hebben gebracht, 13) Het stuk [nu in het Frans] is geschreven op een los blad [HUG 26A, 112r]. 14) Het stuk is waarschijnlijk van 1667, omdat men in de notities voor de betogen genoemd in noot 6 bij stuk V vindt bij 6.1 (p. 184) [eveneens in het Frans]: "Mooie experimenten met ballen of damschijven op een rij, getroffen door 2 of 3 andere [zie de laatste figuur op p. 160]. En dat het overdragen van beweging op dezelfde manier gaat als wanneer de ballen enige afstand tot elkaar zouden hebben."

[ 160 ]

dat is onmogelijk, want als B onbeweegbaar zou zijn, hoe kan het dan dat kant D invloed zou ondervinden van de slag. B heeft dus bewogen en A noodzakelijkerwijze tegelijkertijd, en minstens zo snel als B, zodat ze óf samen gegaan zijn of A voor B uit is gegaan, waaruit volgt dat A niet B heeft kunnen beletten zijn weg voort te zetten in de richting van A. Toch bevindt B zich in rust als de slag heeft plaatsgevonden; hij is dus teruggekeerd zonder dat iets hem ertoe heeft gedwongen, wat absurd is. En hetzelfde zou geconcludeerd worden wanneer B slechts langzamer dan A zou gaan; dus we moeten concluderen dat deze lichamen die elkaar onmiddellijk raken, niet volmaakt hard kunnen zijn en het effect geven zoals ze doen, en dientengevolge dat ze vering hebben 1). Of we moeten zeggen, als deze lichamen volmaakt hard zijn, dat ze elkaar niet onmiddellijk raken. En er zijn proeven met bolle lenzen die het schijnen te bewijzen 2). Wanneer een hard lichaam een ander ontmoet dat eraan gelijk is en in rust, kan men zeggen dat het ene de beweging in een ogenblik verkrijgt, en dat het andere die in een ogenblik verliest. Maar zeggen dat lichaam B in hetzelfde ogenblik de beweging krijgt en verliest, dat is zeggen dat het in rust blijft, want beweging gebeurt alleen in de tijd, en die is er niet in een ogenblik. Als ze elkaar niet onmiddellijk raken moet het ofwel zo zijn dat de lichamen die ertussen zijn zich snel terugtrekken en ontsnappen, ofwel dat ze zelf vering hebben, zoals lucht.

*)

1) De eerste 3 figuren hebben ongetwijfeld betrekking op deze gedachte: dat de lichamen niet volmaakt hard zijn, maar vering hebben. 2) In de notities op p. 183 leest men bij nr. 6: "Experiment met twee bolle lenzen, waarbij men ziet dat er lucht tussen blijft". [ *) De laatste figuur doet denken aan wat nu heet Newton's cradle — beter: "Huygens' wieg".] VIII 3) [1667?] 4) Er zijn lichamen die als ze op elkaar stoten niet teruggaan van het contact; het zijn die welke wegens zachtheid enigszins van vorm veranderen wanneer ertegen gestoten wordt, zonder neiging zich geheel in dezelfde vorm te herstellen, zoals natte klei, lood en andere. 3) Het stuk werd op een los blad geschreven [HUG 26A, 80r]. 4) Op de achterkant van het blad staan berekeningen bij het onderwerp van Stuk V (p. 156-158), dus is aan te nemen dat deze stukken in hetzelfde jaar zijn bedacht.

[ 161 ]

Andere zijn er echter die als ze op elkaar stoten terugspringen na het contact; wat zeker niet alleen gebeurt bij die welke hard genoemd worden door ons, zoals ivoor, glas, de meeste stenen, staal en andere, maar ook bij die waarvan vaststaat dat ze iets van vorm veranderen maar door een of andere voortdurende kracht hun zelfde vorm herstellen, zoals kurk, een spons, een met lucht gevulde blaas, en veel andere. En niet ten onrechte kan overwogen worden of niet ook die welke bij ons uit het hardste materiaal bestaan, van elkaar wegspringen door deze herstellende kracht. En aangezien het blijkt dat bij een wederzijdse ontmoeting van zulke lichamen de beweging niet uitdooft maar in zekere mate behouden blijft, en dit des te beter naarmate ofwel hun hardheid ofwel een herstellende kracht volmaakter is, daarom willen wij dat deze beschouwd worden in de hoogste volmaaktheid bij de lichamen waarover in het volgende gehandeld zal worden; over hun beweging na een stoot veonderstellen we het volgende 5). 5) Huygens geeft hierbij achtereenvolgens (in een soms wat andere formulering): de Hypothesen II (p. 31 en IV (p. 39) van de verhandeling 'Over beweging', de Hypothese "Als echter een kleiner lichaam een groter in rust ontmoet kan het daaraan niet een grotere snelheid geven dan de zijne", zie hierover de derde alinea van p. 129, en tenslotte de Hypothesen V (p. 41) en III (p. 33) van dezelfde verhandeling. IX 6) [1667?] 7) A en B zijn zachte lichamen, A beweegt met de snelheid AC en B met de snelheid BC, die in omgekeerde verhouding zijn met de lichamen zelf. Ik zeg dat na de ontmoeting in C beide bewegingloos zullen zijn 8). 6) Het stuk is ontleend aan een los blad [HUG 26A, 115r-v]. 7) Onder de notities genoemd in noot 6 van p. 157 is nr. 15 (p. 184): "over de ontmoeting van zachte lichamen en de overdracht van beweging die erbij plaatsvindt". Dit Stuk over de botsing van zachte lichamen zal dus wel voor januari 1668 geschreven zijn. 8) Een overzicht lijkt nuttig van het bewijs uit het ongerijmde dat Huygens hier gaat geven. De zachte lichamen A en B met massa a en b bewegen naar elkaar met snelheid AC = d en BC = ad/b; de snelheid waarmee ze na de botsing samen bewegen is f = CD. We voegen eraan toe de gemeenschappelijke snelheid CE = x, en zetten de nieuwe (horizontale) snelheden om in vertikale; dan zullen de hoogtes tot waar a en b kunnen stijgen voor de botsing zijn λ(x − d)² en λ(ad/b + x)² , met λ = 1/(2g), waarna hun samengestelde zwaartepunt zal zijn op de hoogte {aλ(x − d)² + bλ(ad/b + x)²} / (a + b) , terwijl na de botsing dit zwaartepunt zal kunnen stijgen tot de hoogte λ(f + x)². Nu moet volgens het principe van Huygens (p. 57) dat het zwaartepunt niet kan stijgen door de werking van zwaarte alleen, de eerste hoogte groter zijn dan de tweede, of eraan gelijk. Dit geeft de voorwaarde ad² + a²d²/b ≥ (a + b)(2xf + f²) ofwel, als we door a + b delen: a d²/b ≥ 2xf + f² , een voorwaarde waaraan niet kan worden voldaan voor elke waarde van x (o.a. niet voor die gekozen door Huygens: x = a d²/bf) zonder dat f = 0; wat bewezen moest worden.

[ 162 ]

Laat gelden: zoals DC (f) 1) is tot CB (ad/b) zo is CA (d) tot CE (add/fb), en laat deze de snelheid van een schip zijn, die zo gesteld wordt om het bewijs op te stellen. Hier wordt gesteld dat het schip naar links gaat met de snelheid CE.

ad | + | add | snelh. B voor ontm., BE
b | bf
| ada | − d | snelh. A voor ontm., AE
bf
aadd | + | 2aad 3 | + | aad 4 |  | kwadr. snelh. B 2) vermenigv.
bb | bbf | bbff
b
aadd | + | 2aad 3 | + | aad 4
b | bf | bff
aad 4 | − | 2ad 3 | + | dd |  | kw. sn. A 3) vermenigv.
bbff | bf
a
a 3 d 4 | − | 2aad 3 | + | add
bbff | bf
aadd | + | 2aad 3 | + | aad 4 | + | a 3 d 4 | − | 2aad 3 | + | add 4) = 5)
b | bf | bff | bbff | bf
= | a 3 d 4 | + | 2aadd | + aff + | aad 4 | + 2add + bff 6)
bbff | b | bff

0 = 5) | aadd | + add + &c. 7) wat niet kan.
b

Immers, als het mogelijk is, laat ze dan na de verbinding met snelheid CD bewegen naar de kant van A.
Berekening bij noot 6:
(HUG 26A, 115r):
1) f is de gemeenschappelijke snelheid na de botsing; te bewijzen is: f = 0. 2) Grootte evenredig met BO tot waar B kan stijgen. 3) Evenredig met AN. 4) Evenredig met de hoogte tot waar het gemeenschappelijk zwaartepunt zou kunnen stijgen voor de botsing, vermenigvuldigd met a + b. 5) Lees ≥; zie noot 8 van p. 161. 6) Deze grootte is (a + b)(add/b + f)² en evenredig met de mogelijke stijghoogte van het gemeenschappelijk zwaartepunt na de botsing, vermenigvuldigd met a + b. De berekening is weggelaten [zie afbeelding]. 7) Te weten (a + b) f 2.

[ 163 ]

Gesteld wordt dat dit in een schip gebeurt dat met snelheid CE vaart; dit gebeurt dus op dezelfde manier ten opzichte van de opvarende als ten opzichte van iemand die op de oever staat; lichaam A zal voor de ontmoeting bewegen met snelheid AE, en lichaam B met snelheid BE. En na de verbinding zullen beide samen bewegen met de snelheid samengesteld uit CE en CD. En daarom is het noodzakelijk, als iemand aan land deze bewegingen van de lichamen teweegbrengt, dat er ook hetzelfde uitkomt. Doch bewezen zal worden dat niet kan gebeuren.

Laat NA de hoogte zijn waarvan lichaam A moet vallen om de snelheid AE te krijgen. Dus door te maken: zoals kwadraat van AE tot kwadraat van EB, zo AN tot BO, zal BO de hoogte zijn waarvan B moet vallen om snelheid BE te krijgen. En nog eens: wanneer geldt dat zoals kwadraat van AE tot kwadraat van EC en CD samen, zo AN tot EP, dan zal EP de hoogte zijn tot waar de lichamen A en B samen zullen kunnen stijgen met de snelheid samengesteld uit EC en DC. Nu zal echter worden aangetoond dat de hoogte PE vermenigvuldigd met de grootte van A en B samen, een groter product maakt dan

[ 164 ]

de twee die er komen door NA te vermenigvuldigen met A, en OB met B, wat niet zo kan zijn 1). Dus 2) Dit zal misschien het beste bewijs zijn en beter dan dat aan het eind van de vorige blz. 3) zo is het; maar het is voldoende te stellen CE = add/2bf 4). Des Chales 5). Er zijn mensen die denken de waarheid van dit Theorema voldoende te hebben bewezen met het feit dat de hoeveelheid beweging in beide lichamen gelijk is 6). Het is een waarschijnlijke reden maar niet voldoende. Zo 7) zou bewezen worden dat een lichaam in rust dat door verschillende lichamen wordt aangestoten waarvan de hoeveelheid beweging hetzelfde is een gelijke snelheid krijgt, wat echter niet waar is 8). 1) Volgens het principe dat het zwaartepunt niet kan stijgen door de werking van zwaarte alleen. Volgens dit principe is PE ≤ (aNA + b OB)/(a + b) ofwel (a + b) ≤ aNA + b OB)/(a + b). De voorgaande berekeningen laten zien dat aan deze voorwaarde niet is voldaan. We voegen toe dat Huygens goed door had dat, als het theorema van dit stuk IX bewezen was, de hele botsingstheorie van zachte lichamen er makkelijk uit kon worden afgeleid. Op een ander los blad [HUG 26A, 113r] is te lezen:

Ten eerste kan worden aangetoond dat als dit zo is, in alle andere gevallen, zoals wanneer A beweegt met een of andere snelheid AE en B met snelheid BE, na de ontmoeting in E het gemeenschappelijke zwaartepunt, dat van C naar E bewoog, dan met dezelfde snelheid zal doorgaan in de richting van V [op het verlengde van AE].

Om deze mooie meetkundige oplossing te krijgen van het algemene geval van centrale botsing van zachte lichamen, moet de gemeenschappelijke snelheid CE worden toegevoegd aan de snelheden AC van A, BC van B (met AC : BC = b : a) en aan die (gelijk aan nul) van de twee lichamen, verenigd door de botsing. 2) [Geen vervolg.] Aan een ander los blad [HUG 26A, 116r] ontlenen we over de botsing van zachte lichamen nog de volgende notitie:

verbazend is dit bewijs, waarmee onomstotelijk bewezen wordt: als zachte lichamen elkaar ontmoeten met snelheden in omgekeerde verhouding van de lichamen, en ze na de ontmoeting niet bewegingloos blijven maar heel weinig in een van beide richtingen voortgaan, dan zal de eeuwige beweging gegeven gaan worden. Vaststaan zal namelijk dat de stijgkracht kan toenemen; en dit zoveel als je wilt, te weten bij toegenomen CE, die tenminste groter moet zijn dan add/2bf − ½f.

3) Het aangewezen bewijs staat op de andere kant van het blad [HUG 26A, 115r-v] waaraan we dit Stuk hebben ontleend en dat zichtbaar deel heeft uitgemaakt van een van de boeken 'Adversaria'. Overigens werd het bewijs geschrapt en onderscheidt het zich slechts van onze tekst in de snelheid van het schip, die eerst is 2d²/f + d en dan a²d²/b²f + d . De herleiding tot het absurde met de eerste waarde lukt als b > a, en met de tweede als b < a (zie p. 161, n.8) terwijl duidelijk is dat uit beide gekozen kan worden. 4) Vergelijk de laatste regels van p. 161, noot 8. Het is duidelijk dat voor x = ad²/2bf ook niet is voldaan aan de genoemde voorwaarde zonder f = 0. De afleiding van deze waarde van x is te vinden op het blad genoemd in noot 2. 5) Cl. Fr. Dechales, Cursus seu Mundus mathematicus, 1674 (aangehaald in ons T. V, p. 347, n.4). Inderdaad schijnt de staat van het Manuscript erop te wijzen dat deze notitie later is gemaakt. [Dechales 1674, p. 405 over botsing van zachte lichamen, p. 430: 'De Percussione'.] 6) Het bewijs van Dechales van zijn Prop. VII, "Als twee voorwerpen elkaar ontmoeten met snelheden die in omgekeerde verhouding zijn met die lichamen, zal de beweging van beide ophouden" van Lib. VII ['De Percussione'] van 'Tractatus octavus, Mechanica' (p. 199 van T. II van de 2e ed. 1690 van zijn Cursus) [A en B zijn zachte bollen, zonder veerkracht]:

Bewijs. De verhouding van A tot B wordt gelijk verondersteld aan die van lijn BC tot lijn AC; dus het product van de vermenigvuldiging van de eerste term A met de vierde AC, of de hoeveelheid beweging van lichaam A, zal gelijk zijn aan het product van de vermenigvuldiging van de tweede term B, met de derde BC, of aan de hoeveelheid beweging van lichaam B; dus zoals eerder zijn hier de tegengestelde bewegingen gelijk, dus zal er gelijk evenwicht zijn, en geen van beide wint het, want voorwerp B compenseert met zijn snelheid wat in massa ontbrak.

7) D.w.z. als in het algemeen de invloed van een lichaam op een ander slechts zou afhangen van zijn hoeveelheid beweging. 8) In het geval van 2 zachte lichamen met massa m A en m B, snelheid v A en B in rust, vindt men voor de gemeenschappelijke snelheid na de botsing v' = m A v A/(m A + m B), die dus niet alleen afhangt van m A v A maar ook van de verhouding van de massa's. Hetzelfde geldt in het geval van harde lichamen van Huygens, waar de formules van p. 67, n.1 van toepassing zijn; dan komt er v' = 2 m A v A/(m A + m B).

X 9)

[1667?] 10)

Over half terugspringende.

11)

A en B komen samen in C, met de snelheden BC en AC, die in omgekeerde verhouding zijn met de lichamen. Laat ze uiteengaan over de afstand ST, maar als deze wordt verdeeld in N, in omgekeerde verhouding met

[ 165 ]

de gewichten, laat N dan niet in C vallen als het mogelijk is, en laat het interval NC genoemd worden ε. 9) Het stuk is ontleend aan een los blad [HUG 26A, 116v]. 10) Er is zoveel analogie met het voorgaande stuk dat ze van dezelfde datum schijnen te zijn. 11) A en B zijn half-harde lichamen met massa a en b die elkaar in C ontmoeten zodat hun snelheden te stellen zijn als AC [= d] en BC [= ad/b]. Na hun ontmoeting springen ze terug met snelheden CS en CT en Huygens gaat bewijzen dat als AC : CB = b : a, omgekeerd evenredig met de massa's, dit ook na de botsing zo zal zijn. Het is een bewijs uit het ongerijmde. Daartoe veronderstelt hij dat het punt N (nauwelijks te lezen in de figuur), dat ST verdeelt in de verhouding b : a, verschilt van punt C. Dan stelt hij SN = δ zo, dat TN = aδ/b, en NC = ε; te bewijzen: ε = 0. Gebruikt wordt weer de methode uitgelegd in p. 161, n.8: alle horizontale snelheden omzetten in vertikale, CE = x toevoegen aan alle andere snelheden, en aantonen dat de hoogte van het gemeenschappelijke zwaartepunt groter kan zijn na de botsing dan ervoor, behalve als ε = 0. Met berekeningen die geheel analoog zijn aan die in de genoemde noot 8 komt er ad² + a²d²/b ≥ (a + b)(2xε + ε² + aδ²/b) ofwel ad²/b ≥ 2xε + ε² + aδ²/b). Deze voorwaarde, aanduidend dat het zwaartepunt voor de botsing hoger is of even hoog als na de botsing, en vereist door het 'Principe', is niet vervuld als x ≥ add/2εb, tenzij ε = 0; wat te bewijzen was. We merken nog op dat als zo het samenvallen van N en C is bewezen, zodat SC/AC = CT/CB, de oplossing door constructie van het algemene probleem van centrale botsing van half-harde lichamen makkelijk volgt. Het volstaat aan de snelheden voor en na de botsing toe te voegen een gemeenschappelijke snelheid CE van willekeurige grootte. Als dan AE en BE de snelheden zijn voor de botsing, zullen die na de botsing zijn SE en TE, waarbij SC : AC afhangt van de aard van de lichamen A en B.

[ 166 ]

Laat dit gebeuren op een schip dat met snelheid CE 1) vaart in de richting van C naar N. Deze snelheid moet zo gevonden worden dat geldt: zoals ε of NC tot ½CA, zo CB tot CE.
add − aδδ − bεε | = 2) x
2εb
voldoende is te stellen CE of x = | add | 3)
2εb
NC |  | ½CA |  | CB |  | CE
ε | [tot] | ½d | [als] | ad | tot | add | 4)
b | 2εb

Hoe de verwijdering ST van de terugspringende lichamen ook is, het is noodzakelijk dat de terugkaatsingen van A en B afzonderlijk in omgekeerde verhouding zijn van de lichamen, zoals de snelheden waren toen ze aankwamen, of anders zal met dit bewijs gekomen worden tot het absurde, namelijk dat het gemeenschappelijke zwaartepunt hoger is na de botsing dan waar het was toen de lichamen A en B neervielen vanaf die hoogtes waardoor de ontmoetingssnelheden zijn ontstaan. Immers, voor het vinden van de bijkomende snelheid CE is het niet nodig δ te beschouwen of aδ/b, en daarom ook niet de mate van verwijdering ST, maar alleen de afstand CN of ε, waarover het zwaartepunt na de botsing is weggegaan, namelijk aan het eind van de tweede tijd 5). Als het zwaartepunt van de lichamen in rust was toen ze naar de ontmoeting toegingen, dan zal het ook na de ontmoeting in rust zijn, bij half-harde lichamen zoals deze evenals bij volmaakt harde en zachte; 1) Deze snelheid wordt voorgesteld door x in de berekeningen in het Manuscript, die we kunnen weglaten: zie p. 161, n.8 en p. 165, n.11. We merken alleen op dat de snelheden van A en B ten opzichte van de oever voor de botsing zijn x − d en x + ad/b en na de botsing x + δ + ε en x − aδ/b + ε, waaruit volgt: a(x − d)² + b(x +ad/b)² ≥ a(x + δ + ε)² + b(x − aδ/b + ε)². 2) Lees liever ≥. De formule volgt uit deze: ad²/b ≥ 2xε + ε² + aδ²/b die komt uit de laatste formule van de vorige noot na delen door a + b; vergelijk p. 165, n.11. 3) Te weten om te maken dat aan de voorwaarde (NC ≠ 0) niet is voldaan. 4) Bepaling van de aangegeven waarde van x. 5) Huygens bedoelt dat de extra snelheid add/2εb, die nodig is voor de herleiding tot het absurde, niet afhangt van δ [= SN], dat wil zeggen onafhankelijk is van de aard van de botsende lichamen en dus hetzelfde voor zachte, harde of half-harde lichamen.

[ 167 ]

waarmee wordt aangetoond dat, als het voor de ontmoeting bewoog, het ook erna zal doorgaan. Dat dezelfde terugkaatsing plaatsvindt wanneer het ene lichaam geheel en al hard zou zijn of met een volmaakte vering, als maar de beweging ten opzichte van elkaar hetzelfde is 6). Dat sommige lichamen die op elkaar stoten terugspringen, en wel zo, dat ze even snel van elkaar weggaan als ze naar elkaar toegingen, hoe ook die relatieve snelheid was 7). Daarvan zal een propositie komen. Dat er geen lichamen zijn die sneller van elkaar weggaan dan ze aankwamen. Evenzo. Als er een zelfde relatieve snelheid was bij het naar elkaar toegaan, zal ook bij het weggaan de relatieve snelheid dezelfde zijn. Laat voor de lichamen A en B de relatieve snelheid AB zijn bij het naar elkaar toegaan. En van lichaam A de eigen snelheid AC, van lichaam B de snelheid BC. Of laat voor A de snelheid zijn AD, en voor B de snelheid BD. Ik zeg dat in beide gevallen de relatieve snelheid bij het uiteengaan na de ontmoeting dezelfde zal zijn. Laat in het eerste geval E de relatieve snelheid zijn bij het uiteengaan. En laat het tweede geval gebeuren op een boot, die vaart met de snelheid DC. Nu zal ten opzichte van iemand die op de oever staat A bewegen met snelheid AC en B met snelheid BC. En daarom moeten A en B ten opzichte van dezelfde toeschouwer uiteengaan met de relatieve snelheid E. dus ook ten opzichte van de opvarende bewegen ze met dezelfde relatieve snelheid AB. En zoals het op de boot is, zo is het aan land. 6) Deze opmerking [in het Frans] kan later toegevoegd zijn. 7) Vergelijk Prop. IV (p. 43) van de verhandeling 'Over beweging'. Deze propositie is dudielijk slechts geldig voor harde lichamen, te weten in het bijzondere geval waarin CS = CA en dus CT = CB [figuur hierboven]. Huygens gaat vervolgens aangeven hoe ze moet worden gewijzigd in het geval van half-harde lichamen.

[ 168 ]

XI 1) [1667?] Of harde lichamen die niet van vorm veranderen, de wetten volgen van onze harde, waarvan bewezen kan worden dat ze onderhevig zijn aan herstel en buiging. Ik zie niet iets dat het verhindert. Niet onmogelijk lijkt het immers dat een beweging wordt meegedeeld in een ogenblik of ondeelbare tijd (wat noodzakelijk is) aangezien hoe harder de lichamen zijn die wij hebben, dat wil zeggen hoe minder ze van hun vorm afwijken en hoe minder ze zich herstellen, dat wil zeggen in hoe minder tijd ze beweging meedelen, des te beter houden de terugkaatsingen zich aan onze wetten 2). XII 3) [1675?] 4) Of een ivoren bal die botst tegen een rij ballen van gehard staal of van glas waarvan elke lichter is dan de ivoren bal, toch een beetje zal terugspringen; doordat zijn vering langzamer is. 1) Het stuk is ontleend aan een los blad [HUG 26A, 114r-v]. 2) Vergelijk p. 175, noot 17. 3) Het stuk [in het Frans] is ontleend aan een los blad [HUG 31, 11r]. 4) Deze datum is te vinden op de andere kant van het losse blad.

Home | Christiaan Huygens | T. XVI | < Over beweging, Aanhangsel III | Regels 1669