Home | Chr. Huygens | Oeuvres II > | Brontekst

1657 , parel , Perseus , Hudde , 1658 , Heuraet, parel-formule , Hodierna , sferoïden , cissoïde , 1659 , Dettonville

Vertaling van de

## Briefwisseling met R. F. de Sluse

1657-1659

René François de Sluse [1623 - 1685] studeerde te Leuven van 1638 tot 1642, werd doctor in de rechten te Rome in 1643 en bleef enkele jaren in Italië; hij werd kanunnik van St. Lambert op 1 april 1651, en in 1666 abt van Amay. In 1674 werd hij lid van de Royal Society. [No. 393, n.1.] [ C. le Paige, 'Correspondance de René François de Sluse', Bullettino di bibliografia .... 1884, p. 427-726 (p. 470-486: 'Travaux mathématiques'; 511-620: aan Huygens). F. Jongmans, R. Halleux, P. Lefebvre, A.-C. Bernès, Les Sluse et leur temps, 1985. A.-C. Bernés , P. Lefèbvre, 'La correspondance de René-François de Sluse', Revue d'histoire des sciences, 39 (1986) 35-69, 155-175, 325-344.
| Ex-libris [>]
Bibliotheca Slusiana, Rome 1690 (kardinaal J. G. de Sluse), 374: Math. — cf. Jongmans e.a. (1985), p. 57. BNF: 'Mélanges mathématiques de Sluse', Latin 10247, 10248, 10249, 10250. René-François de Sluse (1622-1685). Actes du colloque international, Amay-Liège-Visé, 20-22 mars 1985, Liége 1986, compte-rendu.]

[ 36 ]

No 393. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 11 juli 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 511. Huygens' antwoord: No. 395. Nobilis et Clarissime Domine. Deze meetkundige bloempjes 2) die u niet onaangenaam zullen zijn, zoals uw illustere vader 3) me heeft doen hopen, heb ik des te gewilliger gezonden omdat ik wist dat daaraan meer dan genoeg te zien zal zijn hoeveel vorderingen ik gemaakt heb door het lezen van uw boeken. Die aanbeveling kunnen ze meekrijgen dat ze vers zijn, en dat ze, in uw tuinen gegroeid, volgens het oordeel van rechtsgeleerden als de uwe beschouwd moeten worden. Gaat u dus door, met hulp van de goede God, ons te verblijden met die grootse vindingen van u, maar het meest in de optica, met ondersteuning waarvan u als eerste hebt waargenomen hoe die oude vader der goden zijn maantje liefkoost. Verborgen liefde tot nu toe, naar ik meen, want van een oude man; maar u hebt niet geduld dat de grijsaard straffeloos overmoedig is: u hebt immers de stervelingen aangewezen dat hij met nauwsluitende boeien omstrengeld is; en wat eens voor Mars en Venus de Stralende en de Vuurbedwinger *) waren, dat was voor Saturnus en diens maantje Huygens als enige. Beloning is het nageslacht u schuldig, en het zal u met een dankbaar gemoed voor de aanwijzing onsterfelijke roem toekennen. Leert u ons alleen met welke werktuigen u de hemel benaderd hebt, opdat wij datgene waarvan u ons met uw gezag overtuigt, ook met onze zintuigen in ons opnemen. De weledele van Schooten, die ik om zijn verdienste hoogacht, wil ik gegroet hebben uit mijn naam, als het niet bezwaarlijk is, en gewaarschuwd dat hij de weledele Gutschoven [<] niet zomaar vertrouwt wanneer deze over vrienden schrijft. Hij is namelijk gewend zich ietwat over te geven aan genegenheid, en overigens scherpzinnig en onberispelijk, in deze ene zaak verrekent hij zich, zij het met de beste bedoeling. Ondertussen is het passend om niet alleen alle mensen, maar vooral ook de in de goddelijke meetkunde ingewijden, boven de zakelijke waarheid te eren, zoals hij zegt. Ik voor mij heb geleerd mezelf de maat te nemen, vooral nu ik ondervind dat de vaardigheid die ik tot nu toe had in wiskundige zaken (hoe gering die is weet ik van allen het best) met de dag kleiner wordt. Ik ben namelijk in zo'n stad waarin van boeken die meetkundige zaken behandelen zelden, bijna geen van de mensen die daar zorg voor dragen te voorschijn gekomen is. Daarbij komen andere studies waarin ik me nodig moet verdiepen, of waaraan de plicht me onderwerpt. 2) Het probleem van No. 394, en oplossingen van het 'problema Deliacum' (genoemd in brief No. 395). De Sluse had nog niets gepubliceerd. 3) Constantijn Huygens, als diplomaat op reis in België met zoon Lodewijk (24 mei tot 23 juli); was van 8 juni tot 10 juli te Luik [Dagboek]. [ *) Phoebus (Apollo) en Mulciber (Vulcanus); zie Ovidius, Metamorphosen, IV, 169-189.
Hij was de god — zegt men — die 't overspel van Mars en Venus het eerst ontdekte — want de Zon ziet alles steeds het eerst — en er vertoornd om werd. Aan Venus' echtgenoot Vulcanus verklapte hij dit bedbedrog en wáár dat bed was ...
Vertaling: M. d'Hane-Scheltema. Engl.]

[ 37 ]

Daarom wil ik niet dat u mij zet op de lijst van meetkundigen, maar houd u mij voor iemand die van harte wenst te zijn Tuus et Virtuti Tuae devotus Renatus Franciscus Slusius. Afgegeven te Luik, 11 juli 1657. No 394. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. Aanhangsel bij No. 393. Het stuk is in Leiden, coll. Huygens. Probleem. Gegeven zoveel punten als men wil, in zoveel vlakken als men wil, een ander punt te vinden zodanig dat, als daarvandaan rechte lijnen getrokken worden naar de gegeven punten, hun kwadraten samen genomen het kleinst zijn van alle mogelijke. No 395. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 16 juli 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 393. De Sluse's antwoord: No. 396. Nobilissimo Eruditissimoque Viro Domino Renato Francisco Slusio Canonico Sti Lamberti à Liege. 16 Jul. 1657. Nobilissime Domine. Met grote en onvermoede vreugde heeft mij uw brief overstelpt, daar ik steeds maar aan het bedenken was hoe ik het best met u een wederzijdse briefwisseling en vriendschap zou aanknopen. Ziehier echter, u was bezig geweest deze zorg van mij weg te nemen door me onverwacht aan te spreken, en me die bloempjes van zowel uw verstand als van uw geleerdheid te doen toekomen, het aangenaamste dat ik had kunnen ontvangen. Die lijken mij niet in onze tuinen, zoals u zegt, gegroeid te zijn, maar veeleer op gemeenschappelijke meetkundige grond, waar u ze als eerste geplukt hebt. Inderdaad — als we de allegorie laten voor wat ze is — dat eerste, uw bewerking van het Delische probleem*) [ *) De 'verdubbeling' van de kubus, waarover Johann Molther in 1619 geschreven had. Huygens (1654): T. 12, p. 189. De Sluse, Mesolabum, 1659.]

[ 38 ]

is heel verschillend van de onze; het andere echter, al komt het enigermate met mijn laatste overeen, diept dan toch wel bij een stompe hoek uit wat ik bij een scherpe ten uitvoer gebracht had. Daartoe hebt u het noodzakelijk geacht een geheel nieuwe rekenwijze na te vorsen; en het had niet bij u op kunnen komen dat te doen, als u niet veel beter en grondiger dan ik deze hele last van vergelijkingen nauwkeurig had afgewogen. Bij dat andere zeer elegante probleem over het vinden van een punt enz. [<] heb ik voor het ogenblik dit te antwoorden, namelijk dat ik, toen ik de vlakke meetkundige plaatsen van Apollonius afzonderlijk analyseerde, ook die plaats heb onderzocht van zoveel punten als men wil, maar in eenzelfde vlak, waarbij dat punt ter bepaling van het minimum steeds het zwaartepunt was van alle gegeven punten. En ik twijfel er niet aan, of hetzelfde geldt in uw probleem 1); waarvan ik toch gaarne van u verneem of u bevonden hebt dat het zo is. Dat ik de begeleider van Saturnus aan de hemel bij de mensen bekend gemaakt heb [<], daarmee wenst u mij rijkelijk geluk, en al te prachtig met een lofrede voor een zo gering iets. Wat is deze roem van mij immers anders dan dat ik iets aan het gevondene heb toegevoegd, wat men makkelijk noemt; als ik maar met grotere zorg lenzen slijp en onderling samenvoeg, dan misschien hiervoor door anderen is gebeurd. Onze buizen zijn namelijk ook voorzien van slechts twee of hoogstens drie bolle glazen, en daar gelijksoortige bij velen al lang in gebruik geweest zijn — en in de eerste plaats te Rome, waar ze naar men zegt een kunstvaardige Daedalus 2) hebben gevonden — verbaas ik me erover dat die nieuwe planeet daar niet vóór mijn ontdekking is opgemerkt. Dat hij nu in Engeland beslist wordt waargenomen, heeft J. Wallis, professor in Oxford, me geschreven 3), en dezelfde periode van 16 dagen is eraan toegekend; opdat u niet denkt dat u alleen op mij moet vertrouwen. Doch ik heb hem hier aan zeer velen laten zien, onder wie ook de weledele Boulliau, die nu in deze stad verblijft [<]. Och moge er toch een gelegenheid zijn waarbij hij ook voor u, en tegelijk u voor ons, te zien zal zijn. Wat u wilde dat ik aan van Schooten zou zeggen, dat heb ik hem eergisteren voorgelezen uit uw brief, toen hij hierheen gekomen was om ons nieuwe uurwerk te zien, met een doorgaande slinger. Het spijt hem echter in het geheel niet dat hij de weledele Gutschoven vertrouwd heeft, en vooral nadat ik had laten zien wat u me gezonden had; dit opdat u weet dat u tevergeefs voor ons het uitstekende streven kleineert waardoor u voorzien bent van ervaring in de Meetkunde. Doch wij weten dat deze niet alleen bij u aanwezig is, maar verbonden met veel geleerdheid en alle meer verfijnde beschaving. Het ga u goed, uitnemende heer, en ik hoop dat u met die welwillendheid waarmee u begonnen bent blijft begeleiden met uw gunst Tibi addictissimum. 1) Zie brief No. 394 [<]. 2) Uit No. 396 blijkt dat Huygens bedoelt: Eustachio Divini ... [1610-1680], volgeling van Campani, maakte uitstekende telescopen. We zullen hem nog tegenkomen in een polemiek met Chr. Huygens in 1660. 3) Zie brief No. 277 [maar: "Het was een misleiding van mijnheer Wallis" (I, p. 457).]

[ 39 ]

No 396. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 20 juli 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 395. Huygens' antwoord: No. 397. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 511. Nobilissime Domine. Van uw vriendelijkheid en uw geleerdheid hebt u overvloedig blijk gegeven in de brief die ik gisteren van u ontvangen heb; en wel van de eerste, doordat u hebt willen lijken te menen, dat die kleinigheden van mij iets voorstellen; en van de laatste, doordat u hebt getoond de aard van het niet onbelangrijke Probleem al eerder te hebben doorzien. Ik ben dan ook buitengewoon blij, dat ik op dezelfde gedachten ben gekomen als u, op grond van dezelfde beschouwing van vlakke plaatsen, waarvan ik na berekening zag, dat zo het Probleem algemeen kan worden gesteld en opgelost, zoals ook veel andere, die tot één soort worden herleid, zoals bij Meetkundigen gebruikelijk is. Eén ding treft mij als verbazend, dat u steeds die gelijkheid van het zwaartepunt met het gezochte punt in het zelfde vlak hebt waargenomen, ik weet niet hoe dit opgenomen moet worden. Voor mij staat namelijk vast dat dit niet uit de regels van zwaartepunten volgt, of u nu bedoelt het zwaartepunt van het vlak dat de verbindingslijnen van de gegeven punten insluiten, of van deze lijnen zelf. Voor heel weinig gevallen maak ik een uitzondering, die in één korte regel kunnen worden samengevat, en toen ik in het begin hierop kwam, kreeg ik veel hoop een methode te vinden die de zwaartepunten van alle vlakken bekend zou maken; maar zorgvuldiger beschouwing en herhaalde berekening hebben geleerd hoe onbeduidend het was, wat ik met ongegrond vertrouwen had aangenomen. Steekt u dus een fakkeltje aan in mijn duisternis, en stuurt u tegelijk iets, uit uw voorraad of uit die van de geleerde van Schooten te voorschijn gehaald, waarop ik mijn analyse kan loslaten, of waarvan ik tenminste de oplossing met een openhartige bekentenis van onwetendheid aan u kan ontlokken. Bij ons is het nu vakantietijd, waarin we gewend zijn alle zorgen uit het geheugen te spoelen met de wateren van Spa. Maakt u dus dat er enige reden bestaat voor mijn vrije tijd, opdat die niet lijkt doorgebracht, zoals die beroemde*) zegt, zonder de letteren, dat is de dood en begrafenis van een levend mens. Och zou er maar een gelegenheid komen met u te spreken, er zijn immers zoveel dingen die binnen de beperkingen van brievan niet voldoende kunnen worden uitgelegd. Ik zou jaloers zijn, als het mocht, op de geleerde en bekende Boulliau die dit geluk heeft en die dat nauwkeurige Uurwerk van u en die scherpziende buizen niet genoeg kan bewonderen, daarvan ben ik overtuigd. Die Romeinse vakman die u roemt is Eustachio bijgenaamd Divini; dat hij het van de Ouden heeft opgenomen, ofschoon hij wegens uitmuntendheid van kunst verdient het als eerste onder de knie te hebben gekregen. Ik heb ondervonden dat zijn buizen voor geen andere onderdoen, ook al zijn ze voorzien van maar twee lenzen. Ik meen evenwel dat ze bij de uwe zo ver zijn achter te stellen, als u hem in theorie overtreft; hij is namelijk geheel onwetend in de meetkunde. [ *) Seneca, Epistulae 82: "otium sine litteris mors est et hominis vivi sepultura".]

[ 40 ]

Het ga u goed weledele heer, en blijf mij in het vervolg begeleiden met de welwillendheid waarmee u begonnen bent; geef mij moed, zodat ik mijn meetkundige tekeningen weer verzamel en samen met u herken wat misschien meer geschikt is. Nogmaals gegroet door Tuo et Tibi Addictissimus Renato Francisco Slusio. Dabam Leodij 20 Julij 1657.
Nobilissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem
Viro Clarissimo etc.
VI 1) | Hagam-comitis.
1) Dit cijfer betekent: zes stuivers briefport.

No 397. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 27 juli 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 396. De Sluse's antwoord: No. 398. Samenvatting: De centro gravitatis - quaestiones. - liber Schotenii - Experientia Magiotti. 27 Jul. 1657. Nobilissime Domine. Ik had inderdaad duidelijker te kennen moeten geven op welke manier ik heb kunnen beweren dat het zwaartepunt van de punten hetzelfde is als het gevraagde punt. Punten hebben geen zwaarte, maar ook lijnen en oppervlakken niet. En toch wordt er in gedachten zwaarte aan toegekend, zoals wanneer we het zwaartepunt van een parabool definiëren, en evenzo van de omtrek van een halve cirkel, wat Guldin 1) en anderen hebben beschouwd. En aan meer punten met gegeven positie kan als volgt zwaarte worden toegedicht: dat voor elk dezelfde wordt gesteld, of als u dit liever wilt, dat bij elk afzonderlijk als middelpunt een er omheen geplaatste bol met hetzelfde gewicht wordt aangenomen. Als bijvoorbeeld de punten A, B, D en F een gegeven plaats hebben, zal namelijk van de twee A en B het zwaartepunt C zijn, dat AB doormidden deelt. Als hier vandaan weer getrokken wordt CD, en deze wordt in E zodanig verdeeld dat DE tweemaal EC is, zal dat punt E het zwaartepunt zijn van de drie punten A, B en D. Als vanuit E een rechte wordt getrokken naar F, en deze wordt verdeeld in G zodat FG driemaal GE is, dan zal G het zwaartepunt zijn van de vier punten A, B, D en F. Als vanuit dit punt G naar deze vier punten 1) In zijn werk Centrobaryca Guldini. De centro gravitatis [1635, p. 67]; zie brief No. 101, n.3.

[ 41 ]

rechten worden getrokken, zullen hun kwadraten het kleinst van alle zijn. En als met middelpunt G een willekeurige cirkelomtrek wordt beschreven, zullen de rechten, getrokken vanuit een willekeurig punt ervan naar de punten A, B, D en F, steeds vier kwadraten geven met samen dezelfde grootte. Dit is immers die uitstekende vlakke plaats van Apollonius*) die u kent. En het bepalen van kleinste en grootste waarden heeft mij ook bij andere problemen altijd toegeschenen een aangename beschouwing te verschaffen, en daar de onderzoeksmethode ervan uitstekend is, die u bekend is naar voldoende blijkt uit wat u mij hebt voorgelegd, zal ik een paar problemen van dezelfde soort voorleggen, aangezien u hebt gevraagd dat er iets naar u gestuurd zou worden om een berekening op los te laten.
Bij gegeven positie dus van de rechten BA en AC die een hoek omvatten, en bij een gegeven punt D binnen de hoek, moet hierdoor een rechte BDC zodanig worden getrokken, dat de driehoek BAC de kleinste is van alle die zo afgesneden kunnen worden. Doch dit is vrij gemakkelijk. Het volgende is moeilijker: namelijk als de hoek BAC rechthoekig gesteld wordt, door het erbinnen gegeven punt D een rechte BDC te trekken die van alle de kortste is. Met dezelfde methode van maxima en minima heb ik eertijds 2) gevonden hoe bij een gegeven brekingsverhouding van een of andere doorzichtige vloeistof dadelijk de hoek gevonden kan worden waaronder de regenboog gezien moet worden, zonder het opstellen van een tabel zoals Descartes in 'Les Meteores'heeft gegeven°). Doch de brekingswetten en de bolvormige druppel beschouw ik op dezelfde manier als hij. Het geschrift van Magiotti 3) over de onsamendrukbaarheid van water 4) heeft mijn vader die nu eindelijk thuis is gekomen 5) voor mij meegebracht, en dit heb ik terstond doorgelezen; zeer goed bevalt me het nieuwe experiment, en de oorzaak die hij gegeven heeft is zeer juist. Dat andere echter, naar aanleiding waarvan hij hierop kwam, lijkt geheel ongelofelijk, en ik heb besloten eerst na te gaan of het werkelijk zo toegaat, alvorens over een oorzaak na te denken. De aard en eigenschappen van een vloeistof verschaffen een bonte verscheidenheid aan stof tot bespiegeling. Zelf heb ik over drijvende lichamen, na Archimedes en Galilei#), lang geleden niet weinig 2) Zie brief No. 153 [T. 1, p. 225]. [ *) Zie T. 11, p. 229-234: 'Propositio mirabilis' (1650) en No. 122, p. 175.] [ °) 1637, p. 264. Zie de vertaling van Glazemaker, blz. 288.] 3) Raffaelo Magiotti, leerling van Galilei overleed in 1656. ... 4) Renitenza certissima dell'acqua alla compressione ..., Rome 1648. [Ander ex. met figuur na p. 8. Zie: Cartesian diver.] 5) Constantijn Huygens was op 23 juli teruggekomen van zijn reis naar Herstal en Luik. Zie brief No. 390 [en hierboven No. 393, n.3]. [ #) F. Commandino, Archimedis De iis quae vehuntur in aqua, 1565; Engl.1897. Overzicht. G. Galilei, Discorso intorno alle cose che stanno in su l'acqua, 1612; Engl.]

[ 42 ]

op schrift gesteld 6), waarin de volgende problemen voorkwamen, naar ik me herinner. Gegeven namelijk de verhouding van een vaste stof en een vloeistof volgens de zwaarte, een kegel te maken die, drijvend met de top ondergedompeld, in rechte stand blijft. Wederom, die met de basis ondergedompeld in rechte stand blijft. Met dezelfde gegeven verhouding een cilinder te maken die met de basis ondergedompeld in rechte stand blijft. Evenzo een cilinder te bepalen die, met een willekeurige verhouding tot de vloeistof volgens de zwaarte, altijd in rechte stand drijft. En steeds heb ik wel het meest datgene het beschouwen waard gevonden, waarin niet alleen het enkel overwegen van Meetkundige figuren een plaats had, maar waarin hun kracht en werkzaamheid aangewend werd voor het opdelven van enige waarheden in natuurkundige of andere zaken. Hoewel ook de zuivere Meetkunde zelf aan haar beoefenaars niet weinig genoegen brengt. Het boek*) van van Schooten dat recent is uitgegeven zal ik aan u zenden zodra ik kan; daarin zult u veel vinden dat scherpzinnig bewezen is, en in het bijzonder over Vlakke meetkundige plaatsen, die hij alle heeft hersteld. Ook een korte verhandeling van mij over berekening bij het kansspel zult u bijgevoegd zien, maar niet voldoende passend uit onze taal, waarin ze door mij was opgesteld, in het Latijn vertaald. Het ga u goed, zeer edele heer, en maak vruchtbaar gebruik van de wateren van Spa, zo wenst u toe Tui observantissimus Chr. Hugenius de Z. 6) Zie de brieven No. 85, 89 en 100. [T. 11 (1650), p. 93-189.] [ *) Exercitationum mathematicarum liber III. Continens Apollonii Pergaei Loca plana restituta, Leiden 1657. Uitleg bij een voorbeeld van Fermat.]

No 398. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 31 juli 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 397. Huygens' antwoord: No. 399. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 513. Nobilissime Domine. Uw brief was mij des te meer welkom, omdat er vriendelijk in wordt gewezen op de blindheid waarmee ik door overijlde haast geslagen was. Weliswaar had ik bij herhaald lezen van uw vorige brief al opgemerkt, dat op de manier die u nu uitlegt begrepen kan worden, en zelfs moet worden, wat u had geschreven, maar meegesleept door de voorbeelden van die gedachten die ik aan u heb geschreven, was ik onwillekeurig afgeweken naar zwaartepunten van vlakken of lijnen; vooral daar dat zwaartepunt van punten volgens mijn methode niets te maken leek te hebben met het gezochte punt. Nu echter, aangezien u verklaart dat dit hetzelfde is als het middelpunt van een cirkel van Apollonius,

[ 43 ]

feliciteer ik u met de oplossing van het probleem in één vlak. En daar u dit niet hebt uitgebreid tot willekeurige vlakken, denk ik dat u een andere methode volgt dan de mijne; om daarvan een proef te nemen in eenzelfde vlak, en zelfs op eenzelfde lijn, vraag ik u het volgende probleem van dezelfde soort aan een berekening te onderwerpen. Gegeven op dezelfde rechte een willekeurig aantal punten A, B, C, D, E, F, G en H; een ander punt zoals I te vinden zodanig dat, als naar de gegeven punten getrokken worden de rechten AI enz. hun kwadraten samen de kleinste verhouding hebben tot de driehoek gemaakt door de uitersten AI, HI en de onderschepte rechte AH. Ik kom nu tot wat u mij hebt voorgelegd om op te lossen. En het eerste, waarvan u ook erkent dat het makkelijk is, wordt wel zonder enige moeite geconstrueerd. Als immers DE evenwijdig met AB wordt getrokken en EC gelijk wordt gesteld aan BE, zal de rechte CDA de driehoek ABC afsnijden die het kleinst is van alle die door D afgesneden kunnen worden. Het tweede hebt u naar het lijkt moeilijker gevonden, omdat het geen oplossing toelaat met vlakken. En ik meen dat u het mij daarom hebt willen voorleggen, om na te gaan of ik het Probleem over de twee middelevenredigen*) met een andere bewerking zou construeren dan tot nu toe is gedaan. Wat ik u durf toe te zeggen, weledele heer, ja zelfs verlangt u niet zó veel constructies van mij, dat ik er niet steeds meer kan leveren. U zult zo vriendelijk zijn mij deze grootspraak ten goede te houden, en toe te schrijven aan de methode die ik gevonden lijk te hebben om dat veel besproken Probleem op onbepaalde manieren te construeren. Ik keer nu terug naar de bewerking van het uwe. Laat uit het gegeven punt D de loodlijnen DF en DE vallen op de zijden, die de rechthoek DB maken, waarvan het middelpunt G is; en door D gaat de rechte ADC in een zodanige positie, dat de rechten GA en GC gelijk zijn. Ik zeg dat die de kleinste is van alle die, door hetzelfde punt gaande, op de gegeven rechten eindigen. U ziet dat ik de constructie van Hero heb gevolgd, als zijnde voor dit probleem geschikter, waarop ook neerkomen de redeneringen van Philo en van Apollonius en zelfs van Nicomedes, zoals u weet. Het was mij zeer welkom te begrijpen dat het werkje u bevalt van wijlen Magiotti, met wie ik in Rome vaak heb gefilosofeerd over drijvende lichamen ('peri tôn ochoumenôn') volgens de principes van Archimedes en Galilei; hij was als een landgenoot, zo'n intieme vriend. Dus kon het niet anders dan aangenaam zijn dat u schrijft, dat u vroeger over dezelfde dingen uw berekeningen hebt gemaakt. En we waren evenals u van mening dat de Meetkunde bij andere wetenschappen moet worden ingebracht zodat ze aangenamer wordt en nuttiger. Dat ondertussen de grenzen ervan moeten worden opgeschoven zoveel als mogelijk is; daar voor ons veel en daarbij verfijnde kennis van de meetkunde nodig is, om de werken te doorzoeken van hem van wie Plato zei dat hij altijd als meetkundige te werk gaat°). En dat, aangezien er een bijna oneindig veld van Theorema's en Problemen is, we ons moeten toeleggen op methoden, waarmee het meeste van eenzelfde soort wordt opgelost, maar ik zou werkelijk pedant zijn als ik dit had verkondigd aan u, zo bedreven in de meetkunde. Ik zal dus niets meer toevoegen, behalve dat ik u enkel [ *) Zie over 'middelevenredigen': Pappus/Commandino ed. 1588, p. 5; Eratosthenes (a : x = x : y = y : b) en 'Mesolabium'; over Sluse en Huygens: T. 12, p. 104.] [ °) "Aei ho theos geômetrei", zie List of Greek phrases.]

[ 44 ]

gevraagd wil hebben, dat u de illustere heer uw Vader, van wie ik blij ben dat hij behouden en wel naar u is teruggekeerd, een heel hartelijke groet doet toekomen, en blijf in ere houden
Tuum ex asse
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij ulto. Julij 1657.
Nobilissimo Clarissimoque Domino Domino Christiano Hugenio de Zulichem
VI | A la Haye.

No 399. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 13 augustus 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 398. De Sluse's antwoord: No. 401.
Nobilissimo Domino Do. Ren. Fr. Slusio Christianus Hugenius S. D. Ik denk dat u benieuwd bent, daar u merkte dat aan u zo gemakkelijke problemen door mij zijn voorgelegd — die u inderdaad zonder moeite hebt afgedaan, aangezien u hierbij een beproefde algemene methode hebt — of ik er een proef van zou willen nemen of u deze echt zou hebben. Daarentegen twijfelt u echter, en u wilt weten of ik dezelfde gebruik als u, aangezien ik het probleem over de gegeven punten [<] slechts in één vlak heb opgelost. Doch ziehier, ik breid het nu uit tot alle mogelijke vlakken, en ik zeg dat het gevraagde punt hetzelfde is als het zwaartepunt van alle gegeven punten. Verder, bij wat u mij te construeren hebt gegeven komt ook een eigenschap van het zwaartepunt voor. Het wordt namelijk op deze manier gedaan: Wat is samengesteld uit alle lijnen AB, AC, AD, AE enz. wordt verdeeld in zoveel delen als er gegeven punten A, B, C, enz zijn. Neem als één van die delen AK. En richt vanuit K een loodlijn KI op; doch laat punt K het zwaartepunt zijn van alle gegeven punten. Evenzo wordt de som van alle kwadraten van AB, AC, AD, AE enz. verdeeld in zoveel delen als er gegeven punten A, B, C enz. zijn, en één van die delen wordt gelijk gesteld aan het kwadraat van de rechte AI, die hellend is ten opzichte van KI. Ik zeg dat dit deel het punt I bepaalt, waarvoor moet gelden: als daar vandaan de rechten IA, IB enz. worden getrokken, hebben hun kwadraten samen de kleinst mogelijke verhouding tot de driehoek AIH. Ik ben tot deze constructie gekomen langs twee wegen, waarvan

[ 45 ]

elk van beide misschien verschillend is van*) die welke u bent ingeslagen, doordat heel dikwijls vele naar hetzelfde gaan. De minst betreden weg is echter die, waarvan u aanneemt dat het graf van Glaucus 1) ermee op hoeveel manieren ook gelijkvormig te verdubbelen is. En ik geloof toch dat het gedaan kan worden, maar dat de eenvoudigste manieren al gevonden zijn. Als door snijding van een Ellips en een cirkel twee middelevenredigen kunnen worden gevonden, of door driedeling van een hoek, zou het me een heel uitnemende constructie lijken, die ik enige tijd tevergeefs heb gezocht naar ik me herinner. Overigens laat het mij vergund zijn u nu iets anders voor te leggen om te onderzoeken, niet omdat ik schat dat het moeilijk is, maar het is toch van dien aard dat vastaat, als u het hebt opgelost, dat u iets meer hebt gezien dan Descartes.

Vier rechte lijnen zijn in positie gegeven, waarvan er drie, AB, AG en AH, elkaar snijden in hetzelfde punt A; en dit zodanig, dat AB de hoek GAH doormidden deelt. En de vierde HE is evenwijdig met AB. Gevonden moet worden een punt C waarvoor geldt: als daar vandaan naar de gegeven lijnen getrokken worden de loodlijnen CK, CL, CB en CD, wordt de rechthoek op CB en CL gelijk aan de rechthoek op CK en CD. Ik heb de lijnen zó opgesteld, dat de berekening korter zou uitvallen en de constructie vlotter; niet graag namelijk leg ik iets voor waarbij de berekening meer wordt uitgeput dan beoefend. Als u echter een probleem wenst dat meer moeite kost, vraag ik u het volgende te bekijken: Gegeven een bolle spiegel ADE, en de punten B en C er buiten, waarvan het laatste een object voorstelt en het eerste het oog; te vinden het punt van terugkaatsing D. In het gehele werk van Alhazen°) ben ik behalve dit ene niets tegengekomen dat het vermelden waard is, en ik ben nog steeds verbaasd dat hij het zonder hulp van de Algebra heeft kunnen construeren. Hoe dit tot een vergelijking van de vierde macht moet worden herleid heb ik gevonden, maar niet zonder vrij lang nadenken. Ziehier voor u een brief gewijd aan Meetkundige speeltjes voor wie niemand een stuiver geeft behalve wie allang in deze geheimen is ingewijd en zich er bij uitstek mee vermaakt. En dat u zo iemand bent, [ *) Deze eerste woorden staan bij vergissing op p. 48, zie Add. p. 634, bij 48.] 1) Met het 'graf van Glaucus' wordt bedoeld het Delisch probleem: verdubbeling van de kubus. Koning Minos van Kreta had voor zijn zoon Glaucus een kubusvormige tombe van 100 voet laten maken, vond deze te klein, en gaf opdracht er een te maken met het dubbele volume. [ °) Zie Opticae thesaurus. Alhazeni ..., Bas. 1572, p. 116.]

[ 46 ]

voortreffelijke heer, daarvan ben ik geheel overtuigd en ik reken u onder de grootste Meesters in deze kunst. Het ga u goed. Mijn Vader heeft opgedragen dat een hartelijke groet aan u wordt teruggeschreven.
Tui observantissimus atque admirator summus
Chr. Hugenius de Zulichem.    .
13 Aug. 1657.
Nobilissimo Domino Domino Ren. Fr. Slusio.
No 400. Christiaan Huygens aan ? 1) Aanhangsel bij No. 399. Concept in Leiden, coll. Huygens.
Een uitgelezen en eenvoudige methode om tijden te meten is ongeveer 27 jaar geleden door de sterrenkundigen in gebruik genomen; met een gewicht namelijk dat aan een draad is gehangen, en dat slingeringen geeft die op hun weg terugkeren, verkrijgen zij uit het heen en weer gaan ervan gelijke tijdsduren. Als bedenker van deze uitvinding is zeker te beschouwen Galileo Galilei, aangezien bevonden wordt dat hij als eerste van allen melding heeft gemaakt van de gelijkheid van dergelijke schommelingen. Toen ik dan vaak mijn gedachten daarop gericht had, hoe die slingerbeweging aanhoudend gemaakt kon worden, en tegelijk de moeite van het tellen weggenomen, opdat hij zo tenslotte geschikt zou zijn voor het meten van een tijd zo lang als men wil, heb ik begin van dit jaar 1657 beide bereikt, met de nieuwe uitvinding van een uurwerk, waarvan ik hier zowel de bouw als het gebruik zal beschrijven. 1) Dit onvoltooide stuk is geschreven op de achterkant van het concept van de voorgaande brief. [Het lijkt een begin voor een inleiding in Horologium (1658), waar op p. 4 ook staat "usurpari coepta" over het in gebruik nemen van slingers door astronomen. Vergelijk de beschrijving van de uitvinding in de brief aan Kechel, op p. 35.]

No 401. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 14 augustus 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 399. Huygens' antwoord: No. 403. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 514. Nobilissime Domine. Nieuwe tekens van uw talent en kennis heb ik met uw brief eergisteren 1) ontvangen. Ga door met deze geestkracht waarmee u zo succesvol uw methode voor de oplossing van beide 1) Een vergissing in de datum, hier of in No. 399 van Huygens.

[ 47 ]

door mij voorgelegde Problemen naar voren hebt gebracht; de lof waarmee u mij met al te gulle hand overlaadt, is geheel aan u verschuldigd; ondertussen schat ik die hoog, aangezien hij van u komt, een roemrijke heer en zeer ervaren in deze wetenschappen. En opdat u zeker weet, hoezeer ik geneigd ben te verlangen dat het volgende u tevreden stelt, misschien niet met evenveel kracht, ben ik terstond met uw Probleem begonnen; met welk succes, dat zult u beoordelen. Ik construeer zo:

Laat uit het punt A de loodlijn AQ vallen, waarvan de helft is AG, een vierde deel AF. Dan wordt de opgerichte loodlijn FI doormidden gedeeld in R, en met R als top en RF als as wordt de parabool ARG beschreven, die door het punt E zal gaan zoals met weinig moeite te bewijzen zou zijn*). Dit heeft Descartes gemaakt, zult u zeggen. Ik erken dat het zo is, maar al moet de onvergelijkelijke autoriteit van de man mij ervan overtuigen dat de methode van Descartes boven alle andere te prefereren is, toch gebruik ik die niet, aangezien ik al gewend was geraakt aan een andere eigen methode, toen zijn geschriften mij in handen kwamen. En volgens mijn methode volgt verder dit: laat AE doormidden gedeeld worden in O, en laat getrokken worden ON evenwijdig met HE, en OM evenwijdig met AQ, en met deze als asymptoten wordt door punt E de Hyperbool YES beschreven. Ik zeg dat een willekeurig punt hiervan voldoet aan het voorgelegde. En dit is het, meen ik, waarvan u zegt dat Descartes het niet gezien heeft, en dat u mij hebt willen voorleggen om op te sporen. Met het probleem van Alhazen heb ik me niet beziggehouden, zowel omdat door iets dat oud is, en al opgelost, minder geestdrift wordt gewekt zoals u weet, als omdat de berekening misschien nogal bewerkelijk zou zijn en, zoals u schrijft, meer moeite zou kosten; ik zal dat evenwel bij gelegenheid onderzoeken°). Ondertussen is het zo dat ik mezelf erom gelukwens dat de constructie met cirkel en ellips van het delphische [Delische] probleem u uitnemend lijkt; ik heb dit vroeger namelijk gedaan niet op één maar op meer manieren, verschillend van soort. En aangezien ik begrijp dat u in elk onderdeel van de meetkunde zeer bedreven bent, doet u, grote man, deze laatste inspanning voor mij, echter op zo'n manier dat ik aan uw belang, of liever aan het algemeen belang (waarvoor u zoveel moeite doet) geenszins afbreuk lijk te doen. Er is een kromlijnige figuur, waarvan de as AB alle loodrecht erop aangebrachte lijnen doormidden snijdt; en de bijzondere vorm ervan is deze, dat bij willekeurige verbindingslijnen CID en EVF de verhouding van CD tot EF gelijk is aan het lichaam gevormd door het vierkant van AI vermenigvuldigd met IB, tot het lichaam gevormd door het vierkant van AV vermenigvuldigd met VB. Ik vraag van u deze drie dingen: de kwadratuur #), een raaklijn, en het zwaartepunt. En ik weet dat u die, overeenkomstig uw vriendelijkheid en kennis, gemakkelijk zult geven. [ *) Driehoek AEH is gelijkbenig, want BA deelt hoek EAL doormidden, zie p. 45.] [ °) Over het probleem van Alhazen kwam later via Oldenburg een uitgebreide discussie tot stand tussen de Sluse en Huygens, zie T. 7, p. 89, Ned.] [ #) Het vierkant met een even grote oppervlakte, dus: de oppervlakte. Berekeningen van Huygens: T. 14, p. 294 e.v. Zie ook Fr. van Schooten, No. 419, 29 okt. 1657. De kromme wordt ook wel genoemd 'parel van de Sluse' (T. 14, p. 199); Chr. Huygens, p. 123: 'peervormige lijn'.]

[ 48 ]

Met spanning verwacht ik het boek van de weledele heer van Schooten, en uw berekening van het dobbelspel, waarin ik verwacht bewijzen te zullen vinden van een niet alledaagse theorie. Als er iets anders verschijnt over Meetkunde of filosofie in Frankrijk of elders, wilt u het alstublieft niet bezwaarlijk vinden het mij te berichten, dan zult u zeer aan u verplichten
Virtutum tuarum cultorum summum
Renatum Franciscum Slusium.
Leodij 14 Aug. 1657.
| Nobilissimo et Clarissimo Domino Domino Christiano Hugenio de Zulichem
VI | A la Haye.

No 402. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 24 augustus 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 406. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 516. Nobilissime Domine Een waarneming van de laatste maansverduistering 1), mij gisteren uit Rome gebracht, zend ik u hierbij 2), en gezien die hartstocht waarmee u deze edele wetenschap behandelt, weet ik dat u deze niet ongaarne zult bekijken. Voor ons was waarnemen hier niet mogelijk, zozeer verijdelde een voortdurend bewolkte hemel onze pogingen. Als u de weergoden gunstiger gezind hebt bevonden, zendt u dan alstublieft uw waarneming, samen met deze, aan mij terug, opdat ik in staat ben beide mee te delen aan de weledele heer Gutschoven, die we eerstdaags hier verwachten. De weledele Michelangelo Ricci 3) heeft haar naar mij gezonden, wiens gelijke in de wiskunde ik te Rome niet heb gevonden; 1) Deze maansverduistering vond plaats op 25 juni. Zie brief No. 392, n.2. [>] 2) Dit Aanhangsel is niet gevonden. 3) Michelangelo Ricci ... (1619-1682) was eerst wiskundige, wijde zich vanaf 1666 aan theologie en verzamelde een grote bibliotheek, werd in 1681 kardinaal. Hij was [corresponderend] lid van de Accademia del Cimento.

[ 49 ]

en van wie naar ik me herinner melding gemaakt wordt in het werkje van Magiotti 4); door zijn bemiddeling namelijk, en ter gelegenheid van datzelfde geschrift waarvan hij wilde dat het mij gegeven zou worden, is Magiotti mij al enige jaren sinds de uitgave ervan bekend. Aan dezelfde Ricci had ik een jaar geleden uw waarneming van het Saturnische maantje gezonden, dat ik van de weledele Gutschoven ontvangen had; opdat ik uw roem, samen met de bekendheid van dingen in de natuur, zoveel als in me was, zou vergroten. En toen, ziedaar, gisteren berichtte hij me in een brief dat in Rome veel waarnemingen zijn gedaan van datzelfde maantje*), en hij belooft bij de volgende gelegenheid een lijst daarvan te zullen zenden. Wanneer ik deze ontvang zal hij terstond naar u gaan 5), voortreffelijk heer, zodat ik hoe dan ook met deze dienst kan betuigen hoezeer ik tot nu toe ben, en voortaan wil zijn
Virtutum tuarum Cultor
Renatus Franciscus Slusius.
Dabam Leodij xxiiij Augusti MDCLVIJ. 4) Zie brief No. 397. [ *) Cf. No. 454.] 5) Lees:abibunt [i.p.v. abunt]. No 403. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 3 september 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 401. De Sluse's antwoord: No. 404. Samenvatting: Ellipsconstructie — ik zend boeken — wie is de uitvinder van de lijn.
Slusio S. D.
3 Sept. 1657.
Nobilissime Domine Inderdaad bewonder ik van dag tot dag meer en meer die uitnemende scherpte van uw verstand, waarmee u zo snel en toch zorgvuldig de meest verborgen schuilhoeken van de wiskunde bekijkt, dat niets u ontsnapt. Het was immers ditzelfde wat Descartes ontgaan was, wat u al opmerkte; en ik zou het misschien nooit gevonden hebben. Maar de eerste die het me bekend gemaakt heeft was Roberval, de scherpste beoordelaar van de geschriften van Descartes, zodat hij niet alleen een navolger was, maar ook een doodsvijand. Hij dan maakte me erop opmerkzaam [<] dat er altijd twee 'gehele plaatsen' zijn waarop het in dat probleem van Pappus gevraagde punt zou vallen*); met de naam 'gehele plaatsen' aanduidend een rechte lijn, een cirkel, of een kegelsnede, waarbij twee hyperbolen tegenover elkaar één 'plaats' zouden vormen. En ik heb gevonden dat dit zo is. En daarom voldoet ook de tegenovergestelde van die hyperbool, die u beschreven hebt, aan het voorgestelde. [ *) Zie T. I, p. 450 (Roberval, 6 juli 1656), 466 (Fr. van Schooten, 28 juli 1656) en T. 22, p. 507. Jantien Dopper, A life of learning in Leiden. The mathematician Frans van Schooten (1615-1660), 2014, p. 128 e.v.]

[ 50 ]

Over het gevraagde omtrent de kromme lijn die u voorgelegd hebt: voordat ik antwoord geef wil ik vragen wie deze voor het eerst bedacht heeft; ze lijkt immers niet zomaar gevonden te zijn, maar met uitstekende bekwaamheid, want het oppervlak is te berekenen, en ook is het zwaartepunt ervan te bepalen.

Een juiste figuur is hierbij getekend, hoewel er bij dezelfde middellijn AB, zoals u weet, talloze beschreven kunnen worden. Als AC gelijk genomen wordt aan 1/3 AB, en DCE wordt loodrecht getrokken, vind ik dat de delen AD en AE naar buiten buigen, DB en EB echter naar binnen. Als AB eveneens doormidden gedeeld wordt in F, en de normaal KFG getrokken wordt, als het dubbele ervan FH gesteld wordt, en H met B verbonden, dan raakt deze HB aan de lijn in B. Om nu een raaklijn te trekken naar een willekeurig gegeven punt van de kromme, zoals L: laat LM loodrecht vallen op AB, en neem MN gelijk aan de helft van AM. En zoals BN zich verhoudt tot NM, zo moet BM tot MO zijn; en verbind O met L, dan zal dit de gevraagde raaklijn in punt L zijn.

De oppervlakte van de ruimte die door uw lijn wordt omvat verkrijg ik als volgt: Trek KFG die AB loodrecht middendoor snijdt in F, en de kromme aan weerszijden ontmoet in K en G, en trek AK, KB, AG en GB. Ik zeg dat de ruimte, door de kromme omvat, vierderde van de ruit AKBG is. Om tenslotte het zwaartepunt te vinden: neem AQ gelijk aan

[ 51 ]

drievijfde van de hele AB 1). Dan zal Q het zwaartepunt zijn van het vlak dat door de kromme omvat wordt. Dus nu heb ik de drie dingen geleverd die u verlangd hebt: de kwadratuur, het zwaartepunt en de raaklijn. Bij de eerste twee, die tamelijk moeilijk te vinden zijn, schrijf ik het toe aan goed geluk dat ik ze zo snel verkregen heb, beide heb ik namelijk doorzien op dezelfde dag dat mij uw brief gegeven werd*). Doch een bepaalde methode voor dit probleem schijnt me er niet te zijn, daar behalve kennis van analyse bovendien een andere bijzondere vondst nodig is. Overigens was voor de kwadratuur van deze lijn de kwadratuur 2) van de parabool bruikbaar voor me; voor het opsporen van het zwaartepunt echter een zekere stelling die ik bij Guldin [1635] gevonden heb, onbewezen, maar toch zeer juist. Dat de verdubbeling van de kubus opgelost kan worden door snijding van een ellips en een cirkel, heb ik ontdekt°) kort voordat ik deze brief schreef, maar volstrekt niet met een korte constructie. Schrijf me alstublieft of die bij u voldoende gemakkelijk uitviel, en sta mij toe dat ik het vraag. Het boek 3) van van Schooten en Gedichten van mijn vader 4) ontvangt u bij deze brief. Ik weet niet of u gezien hebt wat J. Wallis, professor te Oxford, over de kwadratuur van de cirkel behandeld heeft, in een boek met de titel Arithmetica infinitorum. Uit Frankrijk heb ik enige tijd geen brieven ontvangen waarin iets meetkundigs stond; wat zeker door mijn schuld gebeurd is. Ik ben namelijk niet nauwgezet als iemand anders zich heeft aangediend die graag aan briefwisseling doet, behalve waar het gaat om mensen zoals u. Het ga u goed, en blijf in ere houden Tui studiosissimum atque amantissimum Chr. Hugenium de Z. 1) Lees: AB [i.p.v. AI]. 2) Lees: quadratura [i.p.v. quadraturae]. [ *) Zie T. 14, 294-300, 303-5.] [ °) Zie T. 12, p. 217 e.v.] 3) Het werk van brief No. 282, n.1. 4) Het werk van brief No. 3d, n.1. No 404. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 4 september 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 403. Huygens' antwoord: No. 406. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 516. Nobilissime Domine Zodra ik de gedichten van uw illustere vader, samen met de boeken van de weledele van Schooten ontving, heb ik me terstond geworpen op uw berekening van het dobbelspel: geleerd, scherp, passend bij u.

[ 52 ]

Ook heb ik de werkjes van de weledele van Schooten vluchtig willen bekijken, en vooral de gemengde onderdelen [Liber V], waarvan ik dacht dat ze vol zouden staan met meer uitgelezen vondsten; maar ik heb opgemerkt dat het hele verhaal, zoals men zegt, ontbreekt. Terwijl namelijk het laatste blad van het werk over de beschrijving van Kegelsneden vooraf is gemerkt met het teken Zz [p. 361], draagt het eerste van wat ik heb over de gemengde onderdelen het teken Mmm [p. 457], waaruit blijkt dat er 11 of 12 bladen ontbreken, naar ik meen door zorgeloosheid van de bediende die het werk heeft ingebonden; met nadruk vraag ik u mij erover in te lichten of dit zo is. Ondertussen zeg ik u dank, zo niet de verschuldigde, dan tenminste zoveel als ik kan, en ik heb geprobeerd dit te doen met de hier bijgevoegde brief 1), u zult wel zo vriendelijk zijn ervoor te zorgen dat deze in handen van uw illustere vader komt. Ik beken dat u mij meer dan genoeg tevreden hebt gesteld bij dat Probleem dat ik u had voorgelegd. Er blijft dus niets anders over dan dat ik dit scherpe verstand van u bewonder en ten hoogste prijs, "het heeft een vurige levenskracht en een hemelse oorsprong"*). Die lijn, aangezien u het wilt weten, heb ik samen met veel andere al lange tijd geleden geconstrueerd en beschouwd, en ik heb dikwijls hun oppervlakte, dikwijls hun inhoud en soms allebei aangetoond. Niet zelden ook heb ik uiteengezet (wat u deed bij de Hyperbool, de Cirkel en de Ellips) hoe uit de oppervlakte het zwaartepunt te vinden is, of andersom; maar aangezien dit ijdel gepraat is en oude u misschien meer bevallen: beschouw deze eens, die ik uit de duisternis van de late oudheid in het licht breng. Laat er een gelijkzijdige Hyperbool EBD zijn, waarvan ECD een verbindingslijn loodrecht op de as is, de top B, de as CB, op het verlengde waarvan een punt O wordt genomen, en als KM evenwijdig met ED wordt getrokken, wordt de rechthoek KD gemaakt. Dan worden, na het trekken van een of andere HF, die de hyperbool snijdt in G, gelijke normalen HI en HL opgericht, waarvan elk in het kwadraat gelijk is aan de rechthoek op FG en GH, enzovoorts, totdat door de punten K, I, I, M, L, L en K een kromme kan worden getrokken, zoals gebruikelijk is. Deze, aangenaam door de grote afwisseling bij verschillende afstand van de punten O en B, en vroeger bekend door beschouwing van de Ouden, is door zorgeloosheid van het nageslacht veronachtzaamd. En ik zou graag willen weten of u die ergens hebt gezien, ik meen namelijk dat ik hem als eerste van zijn oude plaats te voorschijn heb gebracht. Voor u zijn ook het beschouwen waard de virtuele Parabolen van pater Gregorius van St. Vincent°), waarvan de schrijver de aard helemaal niet heeft gezien; deze vermelding zal voldoende zijn, want een berekening zal het overige laten zien. U zult me een genoegen doen als u me ervan op de hoogte stelt of Roberval tot nu toe iets heeft uitgegeven, wiens wedijver met lof "de strijd is die goed is voor de mensen", zoals Hesiodus zegt #), waarmee de grenzen van de wetenschappen worden opgeschoven, zolang ze niet tenslotte tot vijandschap overgaat, het moet immers niet zo zijn dat voor een klein beetje roem ooit wetten worden geschonden. 1) Dit stuk is niet gevonden. [Briefwisseling, 5555: 'Epigramma' op Const. Huygens, 4 sept. 1657.] [ *) Vergilius, Aeneis VI, 730: "Igneus est ollis vigor et caelestis origo". ] [ °) Historia Mathematica Mailing List Archive [HM], 6 nov. 1999: "the US Military Academy at West Point owns Sluse's copy of Gregory Saint-Vincent's Opus geometricum, which 'contains many notes on slips of paper stuck in between pages and also a few handwritten notes in the margins'." [>] Huygens kende het werk van 1647 goed, zie de briefwisseling met Gregorius van 1651-.] [ #) Werken en dagen, r. 24, Gr., Engl.]

[ 53 ]

De verdubbeling van de kubus met een ellips en een cirkel (aangezien u deze ook verlangt) is mij met een vrij makkelijke constructie gelukt. Het ga u ondertussen goed, voortreffelijke heer, en weet dat ik ben, maar met een bijzondere genegenheid
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Leodij 4 7bris 1657.

[ 54 ]

No 406. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 7 september 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 402, 404. De Sluse's antwoord: No. 407, 412.
7 Sept. 1657.
Slusio.
Nobilissime Domine. De brief aan mij die u op 24 augustus hebt afgegeven, waaraan de waarneming van de Eclips was toegevoegd, heb ik in Zuilichem ontvangen, de andere heb ik hier in den Haag aangetroffen. Op de eerste zal ik eerst antwoorden dat, ook al verlangde ik het zeer, het mij niet te beurt is gevallen de maansverduistering te zien, omdat de hemel geheel met wolken bedekt was. Anders zou ik haar zeer graag waargenomen hebben, in samenwerking met Boulliau.

[ 55 ]

Niets komt meer van pas bij een dergelijke bezigheid dan mijn uurwerken. De optische buizen van Eustachio Divini zie ik zeer aanbevolen worden door Dominicus Platus 1), och was het maar mogelijk ze met de onze te vergelijken. Ik verheug me er toch over dat ze zover ontwikkeld zijn dat het maantje van Saturnus nu ook in Rome gezien wordt*), en de waarnemingen, die u van daar belooft, zie ik met verlangen tegemoet. En over dat maantje schrijft Hevelius [<] dat hij het ook al heeft opgemerkt, terwijl hij dit eerder niet kon, door gebrekkige kijkers. Ik kom nu tot uw laatste brief, waarin voor mij het meest welkom is dat u goedkeurt wat ik over het kansspel heb uitgegeven, hoewel ik erken dat het om meer dan één reden kon mishagen. Aan mijn Vader heb ik geleverd wat u voor hem gegeven had, waarin we uw beide zeer elegante verzen in beide talen vonden, die we meer dan enkele keer hebben gelezen. O wat bent u gelukkig met dit talent, voor ernstige en daarnaast ook voor meer bekoorlijke studies geschikt, passend en vaardig. Maar ik heb de goddelijke bewoners van de Helicon altijd tevergeefs aangeroepen, al ben ik buitengewoon blij met een gedicht. Dat u het werk van van Schooten in verminkte staat hebt ontvangen is gebeurd door mijn schuld, waarvoor ik vergiffenis vraag, en door overijlde haast, daar het dezelfde dag waarop ik u schreef uit Den Haag moest weggaan. Doch ik zal ervoor zorgen dat de bladen die er niet waren naar u worden gebracht langs dezelfde weg als het overige. Aan de beschouwing van de kromme lijn waarvan u zegt dat deze aan de ouden bekend is geweest, heb ik tevergeefs enige tijd besteed, en ik heb nog geen opmerkelijke eigenschap ervan kunnen vinden, behalve dat hij in één geval een volmaakte cirkel wordt; ik wil dus heel graag van u vernemen, om welke verdienste hij vroeger door de ouden en nu weer door u wordt besproken. Ik heb inderdaad nooit enige vermelding van deze lijn gezien, maar ik weet dat veel geschriften van de ouden verloren zijn gegaan en dat er ook nu nog veel verborgen zijn in Bibliotheken, waaruit u deze misschien te voorschijn hebt gebracht. Het boek van Gregorius van St. Vincent heb ik nu niet bij de hand, ik heb het uitgeleend aan een vriend om te gebruiken; wat echter die Parabolen zijn die u virtuele noemt, herinner ik me niet voldoende, maar dat zal ik bij de eerste gelegenheid uitzoeken. Wat u vraagt over Roberval, of hij tot nu toe iets heeft uitgegeven: ik meen dat hij niets anders uitgegeven heeft dan, onder de naam van Aristarchus van Samos, een boek over het wereldstelsel 3). Hij is namelijk niet alleen van de annotaties die hij de zijne noemt, maar van het gehele boek de schrijver. Doch ik meen dat hij niet weinig in bewaring heeft dat het uitgeven waard is, waaronder een verhandeling over de Breking. Daaruit heeft hij me eens een probleem getoond, waarvan ik dacht dat ik de enige was die het gevonden had. Namelijk hoe stralen die op een bepaald punt gericht zijn, nauwkeurig verzameld kunnen worden in een ander gegeven punt, met behulp van een lens die slechts bolle oppervlakken heeft [<]. Probeert u eens, vraag ik u, of u een dergelijke lens kunt vinden, als gesteld is het brekingsprincipe dat we aan Descartes te danken hebben; 1) Dominicus Platt was medicus en geletterd man te Rome. Hij heeft veel werken nagelaten [Dominicus Platus, Solis eclipsis observata Romae ..., 1656 en Lunae eclipsis observata Romae ..., 1657; aan hem is opgedragen Hodierna, De Admirandis Phasibus in Sole et Luna visis, 1656; hij was "secretary to Juan Caramuel y Lobckowitz" volgens 'Hodierna's observations of nebulae and his cosmology' (1985), App. nr. 5]. [ *) Riccioli, Astronomiae reformatae tomi duo (1665), p. 365: op 18 juli 1657 schreef Nicc. Zucchi de satelliet gezien te hebben.] 2) Op 4 september Was Chr. Huygens naar Zuilchem vertrokken, zie brief No. 405. 3) Aristarchi Samii de Mundi Systemate ... Roberval ... Notae, Parijs, 1644, in 12o; Mersenne gaf in zijn Novarum Observationum Physico-Mathematicarum Tomus III, Paris 1647, in-4o, een 'Edition Secunda correctior'.

[ 56 ]

opdat ik op mijn beurt u iets voorleg om te onderzoeken, in ruil voor al die Archimedische problemen van u, waarmee u me voortdurend bezig houdt. Overigens, het ga u goed, uitstekende heer, en houd in ere
Tui observantissimum
Christianum Hugenium.
No 407. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 27 september 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 406. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 518. Nobilissime Domine Ik heb uw brief van de 6e 1) september ontvangen, en weinige dagen erna de resterende bladen van de werken van de geleerde van Schooten, waarvoor ik u weer dank zeg, zoveel als ik kan. De geleerde van Gutschoven heeft, in verschillende bezigheden verwikkeld, naar hij schrijft, zijn komst uitgesteld tot de volgende maand. Er is dus geen reden u te verontschuldigen voor het uitstel dat de Romeinse waarneming van de maansverduistering bij u heeft gehad. Och was het maar mogelijk geweest ook de uwe te hebben, uitgevoerd met die nauwkeurige Uurwerken, zodat we door vergelijking van beide goed konden oordelen over de hele zaak. Dat u mijn versjes prijst, doet u uit welwillendheid; ondertussen gaat het er goed genoeg mee, als er geen aanmerking op komt. Maar wat bent u innemend, mij erop te wijzen dat u tevergeefs de goddelijke bewoners van de Helicon aanroept met een vers, en u licht het toe met de woorden dat u door gemaakte verzen wordt beïnvloed. Daarom ben ik ervan overtuigd dat ik wat u zegt zo moet uitleggen, dat u, verzonken in hogere studies, deze bekoorlijkheden van talentvolle mensen beneden uw stand vindt. De onechte Aristarchus van Samos heb ik enige jaren geleden gezien, in de uitgave van Mersenne als ik me niet vergis, en dat de schrijver ervan Roberval is heb ik toen al begrepen. Diens stelling over de oppervlakte van boldriehoeken is mijns inziens dezelfde als die welke de bekende Cavalieri jaren geleden gepubliceerd heeft, in een boek dat hij betiteld heeft als Directorium generale Uranometricum [p. 323], als volgt: De oppervlakte van een bol heeft tot de oppervlakte van een willekeurige daarop beschreven boldriehoek dezelfde verhouding, als vier rechte hoeken tot de helft van het overschot van de som der hoeken van deze driehoek boven twee rechte hoeken. Doch het andere wonderlijke, over een bolle lens die op een bepaald punt gerichte stralen in een ander punt verzamelt, daarvan beken ik dat ik het nergens heb gezien. Ja zelfs is er nooit door mij naar gezocht, daar ik immers, overtuigd door de autoriteit van Descartes, dacht dat hij al deze stof uitputtend behandeld had. Maar door u aangespoord zal ik beginnen met zoeken, en ik zal het voortaan een wiskundige onwaardig achten in deze zaken 1) Lees: 7e. Zie brief No. 406. 2) Zie stuk No. 355. 3) Zie brief No. 354.

[ 57 ]

iemand zonder bewijs te vertrouwen. Ik heb namelijk gezien, toen ik bij gelegenheid van het andere plaats-probleem mijn aantekeningen vergeleek met de vondsten van Descartes, dat er ook andere dingen zijn die de overigens zeer scherpziende man ontgaan zijn. Ik zal dus zoeken, zoals ik zei, en ach, had ik die gedachte maar twee maanden geleden gehad, toen ik er geheel vrij voor was. Nu moeten de dagen ten einde worden gebracht onder verschillende en meestal onaangename zorgen, waarbij ik van de laatste er heel veel heb gesleten met het aanhoren van publieke aangelegenheden, en ook private van ons College, niet zonder enige hulp van de Wiskunde die mij in plaats van die meer verfijnde analyse de gewone Rekenkunde verschafte. In de nachtelijke uren heb ik het meeste opgetekend wat door mij niet eerder was opgemerkt, en als het niet de zaak zelf is, zal ik bij deze gelegenheid tenminste veel vinden dat niet te versmaden is, naar ik vertrouw. Mijn lijn [<] heb ik niet gehaald uit Bibliotheken, zoals u denkt, waarin veel monumentale werken verscholen zijn van Oude, maar vooral Arabische Wiskundigen, maar uit gedrukte boeken, Grieks en Latijn, waarvan we er niet veel hebben. En die heeft twee zusters die ik, als ik tijd had, met meer kennis zou uiteenzetten, maar het boek waaraan ik ze ontleend heb is niet in mijn handen, en ik meen ook dat dit voldoende is voor uw heel scherpzinnige verstand. Uit Rome heb ik nog niet iets ontvangen. Maar ik verwacht gretig wat u vindt van de virtuele Parabolen van Gregorius van St. Vincent, waarvan ik heb ontdekt dat ze zijn samengevoegd uit slecht bij elkaar behorende gedeelten van verschillende krommen. Het ga u ondertussen goed, voortreffelijke heer, en blijf met dezelfde genegenheid als u gewend bent begeleiden
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij 27a 7bris 1657.
Nobilissimo et Clarissimo Viro D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI | A la Haye.

[ 63 ]

No 412. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 4 oktober 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 406. Huygens' antwoord: No. 414. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 519. Nobilissime Domine Ziehier, uw vertrouwen in mij beschaam ik niet, en ik zend de oplossing van het Optica-probleem dat ik had ontvangen om te onderzoeken. De volgende dag nadat ik u geschreven had 1) — als het van belang is dit te weten — heb ik die gevonden; toen ik namelijk mijn gedachten op papier gezet had, zag ik dat het daaruit zonder moeite kon worden afgeleid. Doch ik heb het uitgesteld dit aan u te zenden, omdat ik hoopte dat het zou gebeuren dat ik onderwijl iets van de weledele Ricci [<] zou ontvangen; maar deze zwijgt tot dusver, hetzij door bezigheden bezet, hetzij omdat hij een brief van mij verwacht, zoals ik veeleer meen. Ondertussen heb ik een dubbele constructie gevonden, volgens de twee gevallen waarin het Probleem uiteenvalt. Immers, het punt waarin de stralen verzameld moeten worden is òf tussen de gezochte lens en het punt waarop ze gericht zijn, of aan de andere kant. Beide gevallen behandel ik als volgt.

Laat de verhouding die de breking meet dezelfde zijn als die van R tot S, en stel dat stralen (waarvan de as AD is) die gericht zijn op het punt D, verzameld moeten worden in het punt C met een bolvormige lens, en punt C ligt dichter bij de lens dan dat punt D. Verbind D met C, verleng DC, en maak het zo dat 1) Zie brief No. 407.

[ 64 ]

zoals het kwadraat van R is tot het kwadraat van S, zo DB tot BC, en dat van deze BD en BC de middelevenredige BA is, en beschrijf met B als middelpunt en de afstand BA als straal de cirkel AEQ. Beschrijf dan met C als middelpunt en een afstand wat kleiner dan CA, zoals CH, de cirkel HQ. Ik zeg dat een lens die ontstaat door omwenteling van de figuur AEQH, waarvan de dichtheid de brekingswet volgt volgens de verhouding van R tot S, voldoet aan het voorgestelde, en dat elke straal, zoals IE, die op D gericht is, erdoor afgebogen wordt naar C.

Laat weer hetzelfde gegeven zijn als eerst, maar met punt C verder dan D. Laat weer CB, BA, en BD evenredig zijn [d.w.z. CB : BA = BA : BD] met de verhouding van R tot S, en maak met B als middelpunt en afstand BA de cirkel AE. Daarna wordt met D als middelpunt, en een afstand iets groter dan DA, zoals DH, de cirkel HQ beschreven. Ik zeg dat, wanneer zoals eerder een lens ontstaan is door omwenteling van de figuur QHAE (begrensd waar men wil), elke straal zoals IE die naar D gericht is, wordt afgebogen naar C. Ik verlang er zeer naar te weten of u dit alles zo gevonden hebt, en ik beken u veel verschuldigd te zijn omdat u me tot deze beschouwingen hebt opgeroepen; ik heb bevonden dat hierin ook na de inspanningen van anderen nog iets te onderzoeken overbleef, wat ik allerminst gedacht had. Als toegift voeg ik er aan toe een niet onaangenaam Probleem dat ik vroeger heb nagerekend, en dat me weer in herinnering werd gebracht door de geleerde van Schooten, toen ik terecht kwam op zijn deel XII van de gemengde delen [p. 432], die hij van Descartes heeft genomen. En het is als volgt: ik had vroeger bij Plutarchus gelezen dat bij de Pythagorici de getallen 16 en 18 van enige waarde geacht werden, omdat het eerste van alle kwadraten, en het laatste van andere vlakken de omtrek gelijk had aan de oppervlakte 2). Deze gelegenheid heb ik aangegrepen om te onderzoeken of er slechts één vierkant zou zijn, of langer aan de ene kant, waarvan de omtrek tot de oppervlakte in een of andere gegeven verhouding zou zijn. En dit lukte naar wens, ik heb de hele zaak omvat in een enkele Regel, en die is niet moeilijk. Ik zou deze hier gaarne bijschrijven als ik niet zou weten dat ze door u zonder veel moeite en met groter genoegen (als u het de moeite waard acht) te vinden is. Het ga u goed, weledele heer, en blijf mij met uw Wiskundige ofook natuurkundige vragen of vondsten steeds bestoken, want daar zal ik zelfs nachten aan besteden (als dagen niet vrij zijn), en u zult nauwer aan u verplichten de om veel redenen met u verbonden
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij 4ta 8bris 1657.
Nobilissimo et Clarissimo Viro D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI | A la Haye.
2) Het gaat om het vierkant op de zijde 4, en de rechthoek met zijden 3 en 6.

[ 65 ]

No 414. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 12 oktober 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 412. De Sluse's antwoord: No. 416. 12 Oct. 1657. De ongunstige gezondheidstoestand van mijn vader*), die hem bijna een gehele maand verzwakt, zodat hij nu niet zonder gevaar in bed ligt, hindert mijn studies niet weinig. Toch heeft deze niet kunnen maken dat ik niet heel blij ben nu ik vandaag uw brief heb ontvangen, waarin de oplossing staat van het Optica-probleem, het 'wonderlijke' zoals u zegt; waarmee u, door het zo snel te vinden, *) De ziekte van Constantijn Huygens begon op 15 sept. 1657. Pas op 16 dec. schreef hij: "Coepi post trimestrem morbum domo exire" (na een ziekte van drie maanden begon ik het huis uit te gaan); Dagboek. [En bij het gedichtje (p. 77) op het door Christiaan getekende portret (>) staat "Octob. 1657. aeger" (ziek). Er is ook een gedichtje van 20 dec. 1656: T. I, p. 528.]

[ 66 ]

zeker een schitterend bewijs van vindingrijkheid hebt afgegeven, leek me. Inderdaad herinner ik me dat een groot genoegen me overmeesterde toen ik er voor het eerst op gestuit was, en wel om die voornaamste reden dat ik ook, evenals u, door Descartes overtuigd was dat geen enkel bolvormig oppervlak voor die zaak geschikt was. Maar later vond ik dat hij slechts dit niet opgemerkt had, dat de kromme lijn die hij bedacht had in één geval een cirkel werd, namelijk die welke hij als ovaal gesteld had*). En daar u nu toch deze stof bent binnengedrongen, zult u niet weinig wetenswaardigs tegenkomen als u doorgaat. Want al doet zich bij bolvormige lenzen geen volmaakte breking naar één punt voor behalve deze ene die we gevonden hebben, niettemin is onderzoek van deze lenzen uitstekend en noodzakelijk, aangezien tot zover alleen zij ons verbazende effecten geven, en er schijnt geen enkele hoop overgebeven te zijn op het verkrijgen van hyperbolische of elliptische, in elk geval voor mij; want ik weet hoe moeilijk zelfs een bolle te maken is, voor langere buizen. Ik twijfel er niet aan dat u alles doorzien hebt over het bepalen van brandpunten van willekeurige lenzen, en wat daarop betrekking heeft. Hieruit zult u inderdaad, als u een samenstelling van twee of meer lenzen in een buis hebt onderzocht, en als u geleerd hebt een bepaalde vergrotingsverhouding te berekenen, dadelijk opmaken dat Descartes hier niets gezien heeft, ook al was het een man met grote vindingrijkheid, en dat hij de werking van de telescoop dwalend en onjuist heeft verklaard. Ik heb gevonden, bij gegeven postie van een aantal lenzen op eenzelfde as tussen oog en object, en gegeven vorm van de lenzen afzonderlijk, hoe bepaald kan worden de verhouding van de schijnbare grootte tot de ware, dat is tot die welke met het blote oog gezien wordt°). Maar bovendien is het volgende probleem het bekijken waard. Bij gegeven positie van oog en object, en gegeven vorm van een holle of bolle lens, te vinden op welke plaats tussen beide de lens opgesteld moet worden om het kleinste of het grootste beeld van het voorwerp te maken. Maar ik zou ook veel andere van deze soort kunnen geven, uit het boek 1) dat ik vier jaar geleden aan deze zaak heb gewijd, met alle Bewijzen volgens de methode van Euclides uitgewerkt, als ik niet zou weten dat ze zich vanzelf aan u zullen voordoen. Bij uw uit een hyperbool ontstane kromme [<] heb ik tot dusver niets buitengewoons kunnen opmerken, en er is me geen licht opgegaan doordat u hebt aangeduid dat die twee zusters heeft. Dus blijft u alstublieft niet doorgaan mij iets te vragen dat dichtbij waarzeggerij ligt. Ik verwacht namelijk hier nauwelijks iets te vinden als ik niet weet wat ik moet zoeken. Laat mij dan tenminste weten bij welke oude schrijver u die lijn hebt gevonden, tenzij u wilt dat ik u ervan verdenk zelf die schrijver te zijn, en het tegengestelde te hebben gedaan van wat een plagiaris doet. Overigens is er een oneindig aantal lijnen die kunnen worden gevormd en bij elke afzonderlijk is er iets dat scherpzinnig te onderzoeken is. Maar wat er aan nieuws naar voren wordt gebracht bij die eerste en meest bekende, neem de cirkel en Kegelsneden, dat is mij altijd meer uitnemend voorgekomen dan bij de overige. Bij het Rekenkundige probleem, waarvoor Plutarchus u de aanleiding gaf, zie ik niet wat de moeilijkheid is, als slechts een vierkantsgetal wordt gezocht dat een gegeven verhouding heeft tot het viervoudige of drievoudige van de zijde ervan; die verhouding kan evenwel zo gegeven worden, dat het probleem onmogelijk wordt. Om de tijd te vergeten zet ik deze brief wat langer voort; ik breng namelijk deze nacht door zonder slaap, bij mijn zieke vader zittend, en hem het nodige toedienend, waardoor ik dikwijls onderbroken word. Om toch niet al te uitvoerig te worden zal ik u nu laten gaan, waarbij ik de constructie van het Delische probleem zal toevoegen die zoals u weet mij eertijds gevraagd is en die nu onlangs gevonden is [<]. [ *) Descartes, 1637, p. 358-, in de vertaling van Glazemaker, p. 367-.] [ °) Zie T. 13, p. 173-.] 1) Deze 'Dioptrica' is pas gepubliceerd na de dood van Chr. Huygens [Opuscula postuma (1703), p. 1-263].

[ 67 ]

Laat gegeven zijn AB en AC, waarbij twee middelevenredigen moeten worden gevonden; en de kleinste van de twee is AB. Neem BD gelijk aan 1/3 BC, en AE gelijk aan tweemaal AB. En met als diameter DE wordt een ellips DKE beschreven waarvan het latus rectum*) gelijk is aan een derde van het latus transversum DE. En EF wordt genomen gelijk aan de helft van het latus rectum, en FG gelijk aan AB, zoals ook GH, die loodrecht op DE wordt opgericht. Dan wordt met middelpunt H een cirkelomtrek EK beschreven die door punt E gaat, en de ellips weer snijdt in K, waaruit de loodlijn KL op de diameter valt. Ik zeg dat AL de kleinste is van de twee evenredigen die gevonden moesten worden. Van deze constructie zou ik graag willen weten of u een dergelijke hebt gevonden. Doch ik ken ook een andere, algemeen bij een willekeurige ellips; die ook vrij makkelijk is, maar toch niet zo makkelijk als deze. Om de bovengenoemde bolvormige lenzen tot stand te brengen: mijn constructie is weliswaar iets anders dan de uwe, maar komt geheel op hetzelfde neer. Namelijk bij gegeven punten A en B, waarbij ik stralen die op A gericht zijn in B wil verzamelen, verdeel ik eerst AB in C zo, dat de verhouding van AC tot CB dezelfde is als die welke de breking meet. Dan trek ik CB door, en ik maak dat CD tot DB ook dezelfde verhouding heeft; en met middelpunt D en straal DC beschrijf ik de cirkelomtrek EFG. Het overige verschilt niet van het uwe. Ik heb inderdaad een zeer kort bewijs°), dat ik graag ook met het uwe zou vergelijken. Over de virtuele Parabolen van pater Gregorius heb ik tot dusver evenmin als over die andere kromme kunnen doorgronden, waarom u ze het bekijken waard acht. In elk geval heb ik de eerste beoordeeld, en als deze uit verschillende krommen is samengevoegd, zijn die tenminste van een andere soort dan kegelsneden. Maar deze slaapverwekkende brief moet tenslotte maar eindigen. Het ga u goed. [ *) Latus rectum (ellips): de lengte van een koorde loodrecht op de lange as door een brandpunt; latus transversum: de lange as. Zie ook No. 408 (aan van Schooten), p. 58.] [ °) Zie T. 13, p. 63.]

[ 68 ]

No 416. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 19 oktober 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 414. Huygens' antwoord: No. 424. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 520. Nobilissime Domine Het genot, dat ik in hoge mate aan uw brief ontleend heb, wordt slechts door dit ene verstoord, dat ik daaruit de ongunstige gezondheidstoestand van uw uitstekende vader begrepen heb.

[ 69 ]

Het is niet alleen voor uw Republiek, maar voor de hele geletterde wereld van belang dat deze vlug hersteld wordt. Daarom wens ik hem van harte een voorspoedige en blijvende gezondheid toe, waarvan ik hoop dat hij die al verkregen heeft; en u een rustiger geest waardoor u in staat bent u toe te leggen op de studies die u tot nu toe zo vruchtbaar hebt bevorderd. Ondertussen is mij niets aangenamers overkomen dan dat u uw mening hebt geuit over de Cartesiaanse regels betreffende de botsing van lichamen 1). Toen ik deze hier en elders scherp aanviel, ben ik verwezen naar Lipstorp*) van wie gezegd werd dat hij ze niet alleen verdedigt, maar (zo het de goden behaagt) ook bewijst. Maar ik heb bevonden dat hij met grote inspanning niets uitricht. En niet meer resultaat leek me Descartes zelf te hebben in de voor-voorlaatste van de uitgegeven brieven 2), zolang hij alles wat hij opgestapeld heeft grondt op dit fundament, namelijk dat, wanneer twee 'modi' in verschillende bestaanden niet met elkaar verenigbaar zijn, er een of andere verandering moet gebeuren, maar dat van nature altijd de kleinste van alle mogelijke gebeurt°); wat op college uitgesproken wordt met andere woorden: dat de natuur streeft naar besparing. Want behalve dat de waarheid van een zo in het algemeen uitgebreid axioma dikwijls in bijzondere gevallen verandert, wegens de verscheidenheid aan omstandigheden (zoals ik me herinner aangetoond te hebben), kunnen ook de daarop toegepaste Cartesiaanse regels van onjuistheid worden beticht. Ik beschouw de zesde], waarin hij zegt dat een bewegend lichaam dat tegen een gelijk lichaam in rust botst, dit doet bewegen en er een vierde deel van zijn beweging aan toedeelt, en met de drie overige delen terugkaatst. Maar zou het niet meer overeenkomstig het axioma zijn, als zonder aantasting van de bewegingsdrang de gehele beweging aan het lichaam in rust overgedragen zou worden? Dan zou het immers zo gaan dat slechts één van de 'modi' verandert, en niet beide. Ik laat gaan dat hij om geen enkele reden lijkt te willen dat een vierde, en niet een ander deel van de beweging wordt overgedragen. Want wat Lipstorp aanvoert [p. 48] om te bewijzen dat of het geheel, of de helft ervan niet overgedragen kan worden, is onzin. Daar komt ook bij de ondervinding, en weliswaar denk ik niet dat alleen op grond daarvan een uitspraak gedaan moet worden, maar ik vind die niet te verachten wanneer ze de rede bijvalt. Ik meen dat u voldoende begrijpt op grond van welke beginselen ik verder gegaan ben met het onderzoek van de andere regels; en als deze van de uwe niet afwijken, zullen ze in mijn ogen een belangrijk argument voor de waarheid hebben. Maar om te zeggen wat het wezen van de zaak is: in de Physica is aan het wankelen brengen gemakkelijker dan staande houden; en wanneer we ons naar alle kanten hebben begeven, moeten we vaak nog onze toevlucht nemen tot dit bedachtzame uitgangspunt. Van mijn kromme lijn [<], een dochter van de Hyperbool naar u zegt, moet u weten (opdat ik niet iets verberg), dat het de eerste is van de 'spirische' sneden van Perseus; namelijk die, welke ontstaat wanneer de snijdingsas evenwijdig is met de as van de 'spira'. En dat die twee zusters heeft zullen deze oude versjes u bewijzen:
Drie lijnen op vijf kronkelsneden gevonden hebbend bracht Perseus daarvoor een offer aan de goden
Een vermelding daarvan herinner ik me te hebben gezien bij Proclus, over het 1e [2e] boek van Euclides, waarvan ik vroeger de Griekse tekst 3) had, maar die is nu niet voorhanden. Dus de namen ervan kan ik ook niet nagaan, met mijn wankele geheugen zijn ze me ontschoten. 1) In voorgaande brieven van Huygens aan de Sluse is nergens sprake van botsende lichamen. [Cf. No. 307 aan van Schooten.] [ *) Daniel Lipstorp (1631 - 1684) had gepubliceerd: Specimina philosophiae cartesianae, 1653. Zie over hem: I, 139, 228; The Calvinist Copernicans (pdf), 142-4.] 2) Zie Lettres de Mr. Descartes, p. 650, Lettre cxvii. [ °) P. 652: "Que lorsque deux cors se rencontrent qui ont en eux des Modes incompatibles, il se doit veritablement faire quelque changement en ces modes pour les rendre compatibles, mais ce changement est tousiours le moindre qui puisse estre". Dat wanneer twee lichamen elkaar ontmoeten die onverenigbare 'modi' in zich hebben, zich werkelijk een of andere verandering moet voordoen in die wijzen om ze verenigbaar te maken, maar deze verandering is altijd de kleinste die er kan zijn.] 3) 'Eukleidou Stoicheiôn ...', Bas. 1533, gedichtje: p. 31. [Lat. 1560, p. 64 (3 soorten: p. 68); de eerstgenoemde torussnede lijkt op een paardenkluister (Hippopede), de tweede is in het midden breder (die van de Sluse), de derde langwerpig en in het midden smaller. Zie MacTutor, Perseus.]

[ 70 ]

Er is ook een Latijnse vertaling 4) van Fed. 5) Barocius 6) maar die is moeilijk te vinden; ik twijfel er evenwel niet aan dat een van beide, de Griekse of de Latijnse, bij u te krijgen is. Hieraan heb ik de gelegenheid ontleend die 'spirische' sneden te beschouwen, en ik heb de zaak enigszins te voorschijn gebracht, maar verder voortgaan is niet zo belangrijk. Terecht denkt u dat de virtuele Parabolen*) van pater van St. Vincent van een hogere orde zijn dan de Kegelsneden. Toen ik zijn boek had onvangen, mij de na de afgelopen winter geleend, merkte ik op wat ik u schreef; en nu zal ik voor u uiteenzetten wat ik in mijn aantekeningen heb vermeld.

Ik heb zijn eerste parabool beschouwd 7) CKA, waarvan ik zeg dat alle punten op de volgende manier in verband staan met de rechte CA: als getrokken zijn de willekeurige normalen LO en IR, is de verhouding van het kwadraat van LO tot het kwadraat van IR gelijk aan die van het planoplanum°) uit het verschil van de kwadraten van CA en van AO, vermenigvuldigd met het kwadraat van AO, tot het planoplanum uit het verschil van de kwadraten van CA en van AR, vermenivuldigd met het kwadraat van AR. En ik heb aangetoond dat het omgeschreven parallellogram tot die parabool een verhouding heeft van anderhalf. Verder is er de parabool PHL die alle ordinaten van de eerste, zoals BI en CA, doormidden deelt. Maar als je ook nog een virtuele parabool voortbrengt met de regel de pater Gregorius in de beschrijving ervan voorschrijft, moet je delen van dezelfde lijn herhalen op deze manier, dat aan de kant van C een kromme CX komt, gelijkvormig en gelijk zal zijn met de kromme CL. En aan de kant van A een kromme AY, evenzo gelijkvormig en gelijk daarmee [met AL] 7). En dat als beide volgens hun aard worden verlengd, CX in A eindigt, en AY in M, zodanig dat AM gelijk zou zijn aan CA. Waaruit ik heb opgemaakt dat de kromme XCKAY [XCLAY] evenmin één lijn is als de kromme PCKAN die uit omgekeerde cirkelsegmenten is samengevoegd. 4) Procli Diadochi ... in primum Euclidis Elementorum librum commentariorum ... Pat. 1560. 5) De Sluse vergiste zich met 'Federicus' als voornaam. 6) Francesco Barozzi ... [1537-1604], legde zich toe op Latijn en Grieks, maar vooral op wiskunde. Hij werd veroordeeld wegens magie. Zijn aanzienlijke bibliotheek bevinst zich sinds 1629 in Oxford. [ *) Gregorius van St. Vincent, Problema Austriacum (1647), Liber 7, pars 10, p. 840.] 7) No. 417 wijst op een fout in deze figuur: AY is niet gelijk aan CX, maar aan AL. [De virtuele parabool is hier CLA, maar CKA bij Gregorius (p. 842-843, Prop. 216). Vergelijk T. 14, p. 302.] [ °) Zie Francisci Vietae Opera mathematica, 1646 (Fr. van Schooten ed.), p. 3, 'Magnirudines', eerste soort:  "1. Latus. 2. Quadratum. 3. Cubus. 4. Qadrato-quadratum ..."; tweede soort: "1. Longitudo. 2. Planum. 3. Solidum. 4. Plano-planum ...".]

[ 71 ]

Zodat voor mij voldoende vaststaat dat dit alles door pater Gregorius niet analytisch is onderzocht, zodat hij, als hij ook op veel andere dingen van het grote werk de analyse had toegepast, een boek had kunnen schrijven van kleinere omvang maar misschien van grotere waarde. Hetzelfde kan ook worden gezegd over bijvoorbeeld pater Aynscom, om dit terloops even te noemen; ik heb aangetoond dat hij bij het Probleem dat hij op pagina 150 voorlegt, niet voldoende heeft gelet op de analyse, omdat hij meent dat Z en V (in zijn figuur) verschillend zijn, terwijl ze toch dezelfde lijn zijn, zoals berekeningen u zullen laten zien, als u het belangrijk genoeg vindt die te doen; zoals ook andere dingen die u, ik twijfel er niet aan, nauwkeuriger dan ik zult opmerken of al opgemerkt hebt. Ik feliciteer u ermee dat eindelijk aan u bekend is geworden de constructie van de Verdubbeling van de kubus met een cirkel en een Ellips. Er is ook een andere en die is niet minder algemeen. Maar ik heb de lengte van een brief al overschreden. Dus zal ik er niet méér aan toevoegen en de stof van de Optica, die ik apart gelegd heb om te onderzoeken, voor een andere gelegenheid 8) bewaren. Het ga u goed, voortreffelijke heer, en houdt u mij deze buitensporigheid van de pen ten goede.
Tui observantissimus
Renatus Franciscus Slusius.
Dabam Leodij xix Octobris 1657. MDCLVIJ. [ *) Fr. X. Aynscom, Expositio ac deductio geometrica, Antw. 1656.] 8) Er is verder geen brief van de Sluse met dit onderwerp gevonden. No 417. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 23 oktober 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 424. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 522. Nobilissime Domine Onlangs ontving ik uit Parijs van een Italiaans edelman 1) met wie ik bevriend ben geraakt, en die sinds enige maanden in Frankrijk verblijft, deze Problemen 2). De oplossing ervan is door verscheidene Wiskundigen tevergeefs geprobeerd, schrijft hij, terwijl ze zijn voorgelegd door een volgens hem zeer scherpzinnig iemand, de heer Pascal, u kent hem misschien. Ik heb gezien dat het eerste terstond kan worden opgelost met een ruimtelijke meetkundige plaats, namelijk door snijding van twee Hyperbolen; maar toen ik één geval aan analyse onderwierp, vond ik dat het een vlak probleem is, en niet moeilijk op te lossen, al geeft het een wat ingewikkelder constructie. Het tweede heeft mijns inziens zijn oorsprong te danken aan vijf vlakken die een kegel of tegenover elkaar 1) Zie de Sluse's brief van 7 juni 1658, het gaat om Cosmo Brunetti [>], geboren te Florence, abt, verbleef lange tijd in Rome, Frankrijk, Holland, en Polen, waar hij ca. 1680 overleed; in 1657 was hij in Leuven, waar hij bevriend werd met de Sluse. 2) Zie het Aanhangsel No. 418.

[ 72 ]

liggende kegels raken; maar ik heb geen tijd en geen zin daar verder onderzoek naar te doen. Doch ik stuur 3) het naar u om te vernemen, of u er tot dusver iets over hebt gehoord. Er is ook iets anders waarop ik u bij deze gelegenheid wil wijzen: een foute tekening, op tafel achtergelaten, waarvan ik een kopie onlangs in een brief naar u heb overgebracht 4), doet me vrezen dat ik daarop vertrouwend iets verkeerds heb gezet in het Onderzoek van de Parabolen van pater van St. Vincent. Het is namelijk zo: CX is wel gelijk en gelijkvormig met CL, maar AY wordt niet daaraan gelijk zoals de tekening aangeeft, maar aan AL. Verbetert u het dus en verontschuldig mij, als het een beetje verkeerd is gedaan. Zoals u al zo vaak hebt gedaan, ik weet het. Want ik ken uw geleerdheid en vriendelijkheid te goed, om te vermoeden dat u een met haastige pen zonder nadenken opgeschreven fout niet hebt opgemerkt of niet verontschuldigd. Het ga u goed, weledele heer en begeleid mij altijd met gelijke genegenheid
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Leodij 23 8bris 1657.
Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem
VI | A la Haye.
3) Zie het Aanhangsel, No. 418. 4) Zie de figuur in No. 416. No 418. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. Aanhangsel bij No. 417. Het stuk is in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 515-516. Problema jum. Gegeven twee cirkels A en C, en een rechte EF, te vinden een cirkel EBDF die aan de gegeven cirkels raakt en op de gegeven rechte een boog EBDF overlaat, gelijk aan een gegeven hoek. Problema 2dum. Gegeven vijf rechten AG, BF, CK, DL en EH, te vinden een kegelsnede die aan de vijf gegeven rechten raakt. Tegenover elkaar liggende Hyperbolen neem ik als één kegelsnede.

[ 73 ]

Doch het moet zo zijn dat drie van die lijnen niet onderling evenwijdig zijn of in hetzelfde punt bijeenkomen. [ Over Problema 1 zie T. 14, p. 271.]

[ 79 ]

No 424. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 2 november 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 416, 417. De Sluse's antwoord: No. 430. Samenvatting: Virtuales. Spiricae. ipsius problema. Schotenii problema. Frenicle [>]. nova inventa mea. vrijdag 2 Nov. 1657. Slusio. Nobilissime Domine Ik begrijp dat u het geheel met mij eens bent over de Cartesiaanse regels bij botsing van lichamen, en over de bewijzen van Lipstorp, en ik verheug me er over. Bij mij zijn ze in de eerste plaats begonnen argwaan te wekken omdat ze met alle proefnemingen in strijd waren. Daarna heb ik opgemerkt dat de 5e regel tegen de tweede ingaat. De tweede stelt immers dat, als de lichamen B en C met gelijke snelheid bewegend tegen elkaar botsen, en B is groter dan C, dat dan alleen C terugkaatst, en dat onmiddellijk daarna beide aangrenzend met gelijke snelheid voortbewegen; die daarom in elk van beide dezelfde zal zijn aan die welke ze eerder hadden, omdat anders iets afgegaan zou zijn van de hoeveelheid beweging. Doch de vijfde zegt dat, als een groter lichaam B botst met een kleiner lichaam C in rust, het lichaam B dan een deel van zijn beweging verliest. Dus uit deze twee zou volgen dat de beweging van lichaam B meer gehinderd zou worden door een kleiner lichaam C in rust, dan wanneer dit in tegengestelde richting bewoog, wat ik volstrekt ongerijmd acht. Maar met mijn regels is het zoals het physisch het geval lijkt te zijn. Ik heb tenminste zekere bewijzen, en met geen enkele vondst was ik meer met mezelf ingenomen, want ze stemmen ook voorbeeldig overeen met de ondervinding. Voorts heb ik aangetoond dat een lichaam in rust, zo groot als men wil, bewogen wordt door een ertegen botsend lichaam, zo klein als men wil. En of ze dezelfde zijn als de uwe, dat zullen we met dit ene voorbeeld te weten komen. Ik zeg namelijk, als A het drievoudige is van B, en als ze met gelijke snelheid naar elkaar toegaan, dat A onbeweeglijk blijft staan, en B tweemaal zo snel als hij aankwam terugkaatst. Toen ik begrepen had dat uw kromme, gemaakt met een Hyperbool, één van de 'spirische' krommen [<] van Perseus is, heb ik toch nog lang geaarzeld, omdat ik ook niet zeker wist wat een 'spira' zou zijn. Tenslotte echter viel me iets in over ringen, van de soort die Tacquet heeft beschouwd [1651], en meteen vond ik hoe bij een gesloten ring een snede evenwijdig aan de as met uw kromme kan worden gegeven. Ik heb ook Theon*) ingekeken, die de derde lijn van de spirische lijkt te stellen van deze aard: hij zegt namelijk dat deze bij het midden nauwer is dan bij elk van beide kanten. En ik geloof dat ook de overige in de Spira kunnen worden aangetoond, maar wat 'de vijf sneden' zijn doorzie ik niet voldoende, en ik zou u dankbaar zijn voor een uitleg van dat Griekse Epigram 1). En om welke reden Perseus zo blij was met de vondst van deze lijnen. In uw beschrijving van de virtuele parabool had ik al eerder opgemerkt dat deze verbeterd moet worden zoals u hebt aangewezen. Maar aangezien pater Gregorius niets zegt over het doortrekken van de kromme, zie ik niet waarom u hem beschuldigt alsof hij die heeft samengevoegd uit slecht bij elkaar behorende gedeelten [<]. Doch over de verhouding die 1) Zie brief No. 416. [ *) Bedoeld is: Proclus, zie p. 94.]

[ 80 ]

de kromme aanhoudt ten opzichte van het omgeschreven parallellogram, die is duidelijk uit het ontstaan van de kromme, en pater Gregorius heeft dit met een woordje aangestipt aan het eind van boek 5 [p. 523]. Van de Problemen van de heer Pascal heb ik het eerste onderzocht; dat het een vlak probleem is bewijst de berekening dadelijk, en ik vind er geen enkele moeilijkheid in. Maar ook bij dat andere, over een kegelsnede die raakt aan vijf lijnen met gegeven positie, is het niet moeilijk te laten zien hoe tot een vergelijking wordt gekomen, maar de berekening vraagt inderdaad teveel werk. Uw Problemen bij die eerste kromme had ik aan van Schooten gestuurd [<], om voor te leggen aan de Meetkundigen die er in Leiden zijn. Hij heeft ze aan twee voorgelegd*), die ze elk hebben gevonden, en bovendien ook het volgende dat opmerkenswaardig is; namelijk welke verhouding onderling de segmenten hebben van de kromme, verdeeld door de rechte AB die de grootste breedte ervan bepaalt. En zij hebben op hun beurt de volgende drie lijnen aan ons geleverd [<] om te onderzoeken, waarvan zij eveneens de Kwadratuur, het zwaartepunt en raaklijnen verlangen. De volgende eigenschappen gelden. Laat AE 1) de diameter zijn, DF een halve ordinaat, en gegeven AG = a, en AD = x, DF = y.

Bij de eerste is: aax = y 3 + 2 ayy + aay Bij de tweede: y 6 − 3 axy 4 − 2 aaxy 3 + 3 aaxxyy − 6 a 3 xxy + a 4 xx − a 3 x 3 = 0 Bij de derde: x + y = √√ax 3. Ik heb geen tijd gehad dit te onderzoeken, en als ik het een keer zal aanpakken denk ik dat ik de eerste zal uitkiezen, met weglating van de andere, aangezien ik voorzie dat die uitvoerige berekeningen eisen. Doch ik houd van die problemen waarbij het vinden het voornaamste is, en de berekening makkelijk. Met betrekking tot de parabool heb ik weinige dagen geleden twee vondsten verkregen°) die nieuw zijn, althans naar ze mij toeschijnen, en schitterend, en ik leg me er nu met de meeste ijver op toe ze te beschrijven. Het ga u goed, uitstekende heer, en houd mij in ere. Tui observantissimum Chr. Hugenium de Zulichem. 1) Lees: AG. [ *) Fr. van Schooten had de problemen voorgelegd aan Johannes Hudde en Hendrik van Heuraet, zie hun brieven (Ned.) No. 436, 437 en No. 435 e.a.] [ °) 27 oktober 1657: 'heurèka', zie T. 14, p. 234.] [ Met GeoGebra zijn zulke krommen nu snel te onderzoeken (geef eerst: a = 1).]

[ 86 ]

No 430. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. [november 1657.] 1) Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 424. Huygens' antwoord: No. 433. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 523. Nobilissime Domine Scherpzinnig zeker is uw opmerking, waarmee u hebt laten zien dat van de Cartesiaanse regels de tweede in tegenstelling is met de vijfde; maar voordat ik ertoe overga te onderzoeken of we het eens zijn, wil ik vooraf wat zeggen, om 'homonymie' in het vervolg uit te sluiten. Bij een bewegend iets beschouw ik (zoals ik meen dat u ook doet) drie dingen: de massa [moles], de ingeprente kracht [vis impressa] (of als u het liever zo wilt noemen: vaart [impetus], stoot [impuls], beweegkracht [momentum], bewegingsgraad), en 1) De datum moet zijn tussen 2 november en 7 december.

[ 87 ]

de snelheid [velocitas], die van beide afhangt. De massa wordt meetkundig gemeten, de snelheid bepalen we met afstanden die in gelijke tijden doorlopen worden; kennis van de impetus echter leiden we af door massa's en snelheden samen te nemen. Voorwerpen namelijk die in massa ongelijk zijn, als ze met gelijke impetus bewegen weet u dat ze snelheden hebben omgekeerd als de massa's, en als ze ongelijk zijn en de impetus eveneens ongelijk, dat ze snelheden krijgen waarvan de verhouding samengesteld wordt uit de verhouding van de impulsen en het omgekeerde van die van de massa's. Wanneer u me nu twee lichamen in drievoudige verhouding voorstelt, die met gelijke 'celeritas' tegen elkaar stoten, en u zegt dat het kleinste teruggekaatst wordt tweemaal zo snel als het aankwam, legt u dan alstublieft eens uit (om niet in homonymie te blijven steken), of u onder de naam 'celeritas' verstaat de 'impetus' of veeleer, zoals het lijkt, de 'velocitas'. En weet ondertussen dat uit mijn regels, zoals ook uit de uwe, volgt dat een zeer klein lichaam dat botst op een groter in rust, zoveel groter als men wil, dit in beweging brengt; en als een kleiner lichaam botst op een groter in rust, met welke impetus ook (mits het grotere, het kleinere, en hun verschil in continue evenredigheid zijn), beide na de botsing met dezelfde snelheid [velocitas] in tegengestelde richtingen gaan. Of dit ook uit de uwe afgeleid wordt zal ik gaarne vernemen. Wat ik over de Parabolen van pater Gregorius heb geschreven, is door mij niet gezegd uit ijver om te berispen, waarvan ik me van nature en van karakter ver verwijderd durf te noemen, maar uit filosofische vrijheid, want die heeft de hele waarheid nodig. En ik heb geloofd dat het mij geoorloofd was zijn eerste kromme volgens zijn definitie 1), steunend op een axioma van Rechtsgeleerden dat voorbeelden moeten verklaren, niet binden. Maar om de zaak duidelijker te laten uitkomen, als het belangrijk genoeg is: beschouw het vierkant PB, waarin een parabool ARC is, waarvan C de top is, AB een loodlijn op de as. Als een willekeurige andere RE wordt getrokken, neem dan aan dat daarvan (zo nodig na verlenging) wordt afgesneden RI, zodanig dat de verhouding van het kwadraat van PC tot het kwadraat van RI dezelfde is als die van CB tot BE; en aan die IR heb ik rechtreeks gelijk genomen RM. En dit moet steeds gebeuren totdat door de punten P, M, A, I en F een kromme kan worden getrokken. Dat deze in elk geval een virtuele parabool is zal vaststaan volgens de definitie ervan, die de Schrijver geeft op pagina (naar ik heb aangetekend) 840; en toch deze wordt uit slecht samenhangende delen van krommen samengevoegd, zoals u wel zonder berekening zult bevinden. Dat ik nu zei te hebben aangetoond, dat de eerste tot het omgeschreven parallellogram ervan een verhouding van tweederde heeft, dit heb ik niet zo bedoeld alsof ik het uit deze samenstelling van pater Gregorius had ontdekt, het is immers gemakkelijk en voor de hand liggend, maar dat ik het, voordat ik zijn beschouwingen had gezien, uit de vergelijking zelf had afgeleid. Maar genoeg over dit alles, als over koetjes en kalfjes*). U verschaft mij een vrij recent voorbeeld van een niet goed samenhangende kromme, in de derde van die welke scherpzinnige Leidse Wiskundigen ons hebben willen voorleggen; ik heb namelijk uit de vergelijking zelf, zonder enige andere bewerking, bevonden (en ik weet dat ook u het zult opmerken) dat die is samengesteld uit delen van een kromme, waarvan de afmeting, de raaklijn en het zwaartepunt al lang door anderen zijn getoond. Dus heb ik me niet willen bezighouden met iets dat al gedaan is, en ik ben naar de eerste gegaan, waarbij ik heb aangetoond dat de raaklijn kan worden getrokken met de volgende methode. 1) Er lijkt hier een woord te ontbreken. [ *) 'alla toutôn men halis, hôs tès druos'.] Wat volgt is door Huygens overgeschreven voor Fr. van Schooten, zie brief No. 431, 23 nov. 1657.]

[ 88 ]

Gegeven het punt F waar geraakt moet worden, en neergelaten FD, wordt door A daarmee evenwijdig getrokken IAC, en als FC evenwijdig met AD is getrokken, wordt genomen AH gelijk aan AG, en HI tweemaal CA. Dan worden vier evenredigen gemaakt: IC, HC, AC en BC. Ik zeg dat de verbindingslijn BF de kromme raakt in F. De afmeting ervan heb ik meetkundig gevonden; namelijk dat ze dezelfde verhouding heeft tot het omgeschreven parallelogram, als twee lichamen met een bekende verhouding tot elkaar hebben. Maar aangezien het een lang verhaal is, en die verhouding voortdurend verandert bij een verschillende lengte van de as, zoals bij de hyperbolische Conoïde en de omgeschreven cilinder gebeurt, zal ik ermee volstaan de zaak Rekenkundig te verklaren met een enkel voorbeeld. Laten we ons voorstellen dat de neergelaten FD een derde deel is van AG, dan zeg ik dat parallelogram AF tot drielijn*) AFD de verhouding van 64 tot 37 heeft. Ik had geen tijd hierin verder onderzoek te doen, evenmin als in de tweede, vreeswekkend door een lange reeks machten; waarvan ik evenwel denk dat ze meer hanteerbaar zal zijn als het masker er afgetrokken is; maar die laat ik aan u over, want ze lijkt teveel werk te verlangen om te kunnen worden ontward door iemand die wordt afgeleid door verschillende zorgen. Bij wat u schrijft, dat u plezier hebt aan die Problemen waarin het vinden het voornaamste is, en het rekenen niet moeilijk, ben ik het volkomen met u eens. Daarom feliciteer ik u echt als u iets hebt waargenomen dat niet eerder is opgemerkt bij de parabool. Ondertussen ben ik blij dat de Geleerde heren hebben laten zien in welke verhouding mijn kromme wordt verdeeld door de grootste neergelaten loodlijn. Hetzelfde hadden ze kunnen doen bij die welke de as doormidden deelt en bij andere, wat u zonder moeite zult opmerken. Bijna was ik vergeten te vermelden, dat ik in het Griekse Epigram [<] de 'vijf sneden' op dezelfde manier opvat als bij de kegelsneden. Zodanig dat ze hier drie nieuwe 'spirische' sneden geven, maar dat hij van de overige twee er één geeft door de as van de 'spira', de andere hierop loodrechte is een cirkel of een kransje. Doch door welke verdienste ervan de spirische sneden zoveel toejuiching van Perseus verdienen, beken ik niet te weten, tenzij deze komt van het gevoel waardoor we gewoonlijk tot onze vondsten worden gebracht. Ondertussen keek ik er verbaasd van op dat u me bij de beschrijving ervan Theon noemt terwijl ik u naar Proclus heb verwezen, die in het uitgebreide 1e deel over Euclides veel vondsten van de ouden heeft aangeroerd. De getallen van de geleerde Frenicle°) zeggen mij niets. Dit is het eind van het papier, maar niet van mijn wens te betuigen hoezeer ik ben
Ex animo Tui observantissimus
Renatus Franciscus Slusius.
[ *) Lat.: 'trilineum', driehoek met kromme zijde, zoals b.v. in Pappi Alexandrini Mathematiae collectiones (1660), Theor. XIII, p. 126 en in B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus (1653), p. 223: GEF in figuur.] [ °) Zie No. 431, p. 91, n.7. ]

[ 92 ]

No 433. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse.] 1) 7 december 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 430. De Sluse's antwoord: No. 438. vr. 7 Dec. 1657. Wat u op zeer geleerde wijze hebt geantwoord over de kromme lijnen van de Leidse wiskundigen heb ik allang aan van Schooten gestuurd [<], overgeschreven uit uw brief, met erbij wat ik zelf had gevonden; en ik kan me er niet genoeg over verbazen, dat hij tot dusver niets geantwoord heeft. Bij de eerste lijn waarvan de bijzondere vorm bevat werd in deze vergelijking aax = y 3 + 2 ayy + aay heb ik gevonden dat de raaklijn op de volgende manier kan worden getrokken. 1) Hoewel deze brief in de 'Apographa' is gericht aan Hudde, is het zeker dat Chr. Huygens hem aan R. F. de Sluse heeft geschreven. 2) Lees: EI [er staat: EF]. [Opmerking: AG = a.]

[ 93 ]

Op de verlengde diameter DA worden genomen AE en EI 2), zodanig dat GA, DF, AE en EI in continue analogie 3) zijn; en laat AK tweemaal AI 4) zijn. Dan zal KF de gezochte raaklijn zijn. Verder heb ik gezegd dat de verhouding van parallellogram DC tot drielijn DAF is als die van a + y tot 1/2 a + 3/4 y + 1/12 ay/(a + y) , die overeenstemt met de uwe. Het zwaartepunt van oppervlak AFD of HAF heb ik echter niet gevonden en ik vraag me af of zij het zelf ook niet wisten, die het hebben voorgelegd om te zoeken. Ik had geen zin de tweede lijn te proberen, die met eenzelfde scherpzinnigheid uit een andere eenvoudigere lijkt te zijn samengeflanst als die laatste, waarvan ze de bijzondere vorm hebben gesteld als √√ax 3 = x + y. De raaklijn hiervan trek ik als volgt. Laat het raakpunt F zijn, vanwaar langs de ordinaat wordt neergelaten FD. En aan de onderschepte DA wordt in deze richting toegevoegd AB, gelijk aan een derde van AD, en langs de ordinaat wordt opgericht BC, gelijk aan AB. Ik zeg dat de rechte CF aan de kromme raakt in F. En het door de kromme omvatte oppervlak AFGH heb ik gevonden als een zevende deel van het vierkant op de as AG. Vervolgens, dat het zwaartepunt O die GA zodanig verdeelt, dat GO tot OA is als 19 tot 14. Waarvan u inderdaad juist hebt doorzien [<] dat het allemaal voortvloeit uit vondsten van anderen. Uw kromme is echter veel meer het beschouwen waard dan al die andere; en wat u daarover hebt vermeld, dat de verhouding van de segmenten ervan in verschillende gevallen kan worden geleverd, bevind ik zozeer waar, dat in het algemeen, hoe ook de ruimte door uw kromme omvat door een rechte lijn wordt gesneden, de genoemde verhouding van delen gegeven is. Van uw kromme ga ik over op wat u uiteenzet over meegedeelde beweging van lichamen. Waarbij u behalve de grootte [magnitudo] en de impetus ook de snelheid [velocitas] of bewegingsgraad zegt te beschouwen, die Descartes de bewegingshoeveelheid noemt; zodat, als een lichaam A in grootte het drievoudige is van een lichaam B, maar daarentegen de snelheid van deze B het drievoudige van de snelheid waarmee A voortgaat, er in beide dezelfde hoeveelheid beweging is. Deze hoeveelheid beschouwt Descartes, en hiervan beweert hij dat na een botsing van lichamen altijd dezelfde behouden blijft. Wat ik onjuist bevonden heb. Nu weet ik niet of u hierin de mening van Descartes deelt, maar ik vrees het, aangezien ik anders niet zie waartoe het nodig is die hoeveelheid of de impetus te onderzoeken. In het geval dat ik voorgelegd had over lichamen in een drievoudige verhouding, zoals anders ook altijd, is snelheid [celeritas] voor mij hetzelfde als beweging. Daarom verlang ik nu te weten of uw regels hetzelfde bepalen als wat ik in dat geval als uitkomst genoemd heb. Dat wij verschillende beginselen gebruiken bevind ik daaruit, dat u stelt [<]: als een kleiner lichaam botst op 2) Lees: EI [er staat: EF]. 3) Dat wil zeggen een meetkundige reeks. 4) Lees: AI [er staat: AF].

[ 94 ]

een groter in rust (mits het grotere, het kleinere, en hun verschil in continue evenredigheid*) zijn, dat wil zeggen: als het grotere tot het kleinere die verhouding heeft welke er is bij de verdeling van een lijnstuk in uiterste en middelste reden), dan zullen beide na de botsing in tegengestelde richting gaan met dezelfde snelheid [velocitas]. Ik denk namelijk dat ze wel in tegengestelde richting zullen gaan, maar dat de verhouding van de snelheid van het grotere tot de snelheid van het kleinere, gelijk is die van tweemaal het kleinere lichaam tot het verschil van de lichamen°). Wat wel zeer afwijkt van uw bepaling. Maar als u de proef neemt zult u bemerken dat het echt zo gebeurt. Van wie van ons beiden echter de bewijzen het meest geloof verdienen zullen we hierna uitzoeken. Over het epigram van Perseus aanvaard ik uw uitleg, er lijkt ook geen andere aannemelijk. Overigens verbaast u zich er terecht over dat ik u Theon noem; het is namelijk verkeerd, want ik bedoelde Proclus. De kwadratuur van de kromme van pater Gregorius zoals u die hebt opgespoord op grond van de vergelijking die u eerder voor mij hebt uiteengezet, is inderdaad een scherpzinnige vondst; ik zal proberen of ik die kan navolgen. [ *) Dus a : b = b : (a − b), of a : b = (a + b) : a, dit is de 'gulden snede', met het 'gulden getal' a / b = (1 + √5) / 2 = 1,618...] [ °) Dit klopt met impulsbehoud, de uitkomst is 4 / (√5 − 1) = 3,236... (= 2× 'gulden getal'). De betekenis van de tekeningen is niet geheel duidelijk; T. 16, p. 171, n.6 legt verband met die in T. 16, p. 67, hieronder de voorlaatste: links een kleine bol (A), rechts een grotere in rust (B, daar dubbele massa). Het onderste lijntje hierboven kan voorstellen de punten: A, E, C, B (ACB is de verdeling naar de massa's, hier 1,6... : 1, en AEB die naar de eindsnelheden, hier 1 : 3,2...). De grote vondst van Chr. Huygens was het 'Relativiteitsprincipe' (T. 16, p. 7 en p. 27): beschouw de botsing t.o.v. het zwaartepunt, zie T. 16, 'De motu', Hypothese 3.]

[ 102 ]

No 438. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 18 december 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 433. Huygens' antwoord: No. 446. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 525. Nobilissime Domine Uw brief, afgegeven op de 7e van deze maand, heb ik al enige dagen geleden ontvangen; doch mijn antwoord heb ik uitgesteld omdat ik hoopte dat de geleerde van Schooten intussen iets aan u zou sturen waarvan u zo vriendelijk zou zijn er mij deelgenoot van te maken, Maar aangezien hij tot dusver zwijgt, heb ik me niet kunnen weerhouden u te schrijven, hoe aangenaam het mij trof dat we de afmeting van die eerste kromme langs dezelfde weg hebben aangepakt.

[ 103 ]

U zegt immers dat de verhouding van het parallellogram CD tot de drielijn FAD dezelfde is als die van AG en DF samen*), tot een lijn gelijk aan deze drie, de helft van AG, ¾ DF, en een twaalfde deel van die welke tot DF is, zoals AG tot AG en DF samen. En ik had in aantekeningen vermeld dat deze dezelfde is als die van aa + yy + 2ay tot 1/2 aa + 3/4 yy + 4/3 ay. Wat verbazend goed met u overeenstemt, immers: deel aan beide kanten door a + y en de verhouding wordt die van a + y tot 1/2 a + 3/4 y + 1/12 ay / (a + y) , dezelfde als die u hebt toegekend. Hier hebt u ook wat ik bij nader inzien erover bedacht heb. Ik heb gevonden dat het een 'onvolgroeide lijn' is, wat die geleerde heren door wie ze aan ons is voorgelegd misschien niet hebben gezien; ze hebben het tenminste niet vermeld. Om daarvan een proef te nemen kunt u hun opgeven de raaklijn te trekken in het punt A; het is immers duidelijk dat dit niet kan worden gedaan, noch met uw methode, noch met die welke ik in mijn laatste brief aan u heb gestuurd; tenzij ze misschien van mening zijn dat deze samenvalt met CA, waarvan ik heb aangetoond dat het bezijden de waarheid is. Ik zou uw kennis en uw verstand onrecht aandoen als ik er meer aan zou toevoegen. Hier verwacht ik namelijk hetzelfde van u als wat ik bij de derde had voorzien, dat u het makkelijk zou leveren, u hebt terecht aangeduid dat deze is samen te stellen uit delen van één van oneindig veel parabolen, waarvan de raaklijnen, middelpunten en oppervlakken al door anderen analytisch zijn getoond. Ik heb vele jaren geleden de raaklijnen ook op de manier van Euclides aangewezen. Over de bewegingsregels: ofschoon veel dingen mij de waarheid van de mijne aannemelijk maken, toch lijkt me dat ik, aangezien ze van de uwe afwijken, terecht kan uitspreken volgens de oude formule: de zaak is niet duidelijk. Het beginsel van Descartes over een onveranderlijk dezelfde hoeveelheid beweging in het heelal [Ned. p. 67], als het niet uit zichzelf vaststaat moeten de grondslagen van zijn Filosofie wankelen. Daar komt bij dat wie eenmaal toestaat dat de hoeveelheid beweging vermindert, geen plaats lijkt te hebben om te staan, tenzij hij misschien van oordeel is dat een nieuwe hoeveelheid voortgebracht wordt vanuit natuurlijke, althans vrije oorzaken; waarover ik uw mening vraag. En het is niet omdat u de proeven volgt, waaraan ik weliswaar het geloof niet wil ontzeggen, maar mij schiet toch steeds weer te binnen die uitspraak van de oude man van Kos 1) "de ervaring is bedrieglijk, het oordeel moeilijk"°), tenzij de rede het bevestigt. U weet immers wat omstandigheden kunnen doen in deze zaak. Daarom weer, zoals in de meeste dergelijke gevallen: "ik schort mijn oordeel op en overweeg het"#). Maar niet in de genegenheid waarmee ik u bejegen, ik ben namelijk met voortdurende volharding Tui Observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Dabam Leodij 18 10bris 1657. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI.         A la Haye. [ *) Zie p. 93 hierboven: AG = a, DF = y, AD = x.] 1) De Sluse duidt hiermee [Coi senis] Hippocrates aan. [ °) Gr.: 'hè peira sphalerè, hè de krisis chalepè'; deel van het aphorisme 'Ars longa, vita brevis ...'] [ #) Gr.: 'epechô kai diaskeptomai'; de Sluse gebruikte dit later [>] nog eens met erbij: "de gebruikelijke formule van de Pyrronisten".]

[ 104 ]

No 439. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 20 december 1657. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. De Sluse's antwoord: No. 441.
Samenvatting: | Dat Hudde een Amsterdammer is. Ik beschrijf de methode van Hudde.*) Hij heeft dus laten zien dat ook de uwe aflomstig is van krommen waarvan de kwadratuur en het zwaartepunt door anderen zijn gevonden. Wat ik weliswaar niet heb gezien, maar ik denk dat u het ook niet hebt gezien, aangezien u anders de 3e niet beneden uw waardigheid had geacht. Dat hij zich verder met veel woorden wil verontschuldigen. Het zwaartepunt van de 1e, waarover hij verbaasd is dat ik het niet gevonden heb, heeft hij zelf ook niet gevonden. Hij zegt dat wij het voornaamste hebben weggelaten, namelijk de raaklijn vanuit een buiten de omtrek gegeven punt, niet dat de oplossing moeilijk is, maar de inrichting, die naar hij zegt duidelijk is. Zoals bij uw kromme, wanneer een punt buiten de omtrek is gegeven &c. gesteld AB = a &c. hij zegt dat de vergelijking is &c. En dat de constructie met cirkels en rechten kan worden gedaan; en ik betwijfel niet dat dit inderdaad waar is, aangezien die kromme van dien aard is dat een ruimtelijke probleem met behulp ervan kan worden geconstrueerd. Ook geloof ik dat het niet zo moeilijk te vinden is als Hudde denkt. Doch ik had nagelaten deze vondst van hem in mijn vorige brief 1) aan u te zetten, dat hij behalve wat ik had verlangd dit bleek te hebben geantwoord. Mijn vondst over het oppervlak van een Parabolische Conoïde; enige gevallen waarin het commensurabel is met de basis. Waarom ik de andere verzwijg, dat heeft een bepaalde reden.
20 Dec. 1657.
Slusio.
Ik heb u eerder te kennen gegeven dat ik twee nieuwe dingen heb ontdekt met betrekking tot de parabool [<]; daarvan zal ik u het ene geven, het andere zal ik om een bepaalde reden verzwijgen°). Zo heb ik gevonden hoe een cirkel beschreven wordt die gelijk is aan een gegeven oppervlak van een parabolische conoïde. En dat het bolle oppervlak daarvan een verhouding heeft tot de cirkel van de basis als een getal tot een getal: zoveel maal als de basis van de parabool door de as commensurabel is met de lijn, die aan deze parabool raakt op een eind van de basis, en die doorgetrokken is tot de as. Zoals wanneer er een parabolische Conoïde is met een snede door de as van de parabool ABC, met as DB. En laat de raaklijn AE commensurabel zijn met de basis AC. Dan zal ook het bolle oppervlak ABC van de Conoïde tot de cirkel bij AC zijn als getal tot getal, namelijk als gesteld wordt dat EA gelijk is aan AC, dan zeg ik dat de verhouding van het genoemde oppervlak tot de genoemde cirkel is als 14 tot 9; maar als AE anderhalf keer de basis AC is, zal deze genoemde verhouding zijn als die van 13 tot 6. Drie dagen is het geleden dat ik Saturnus opnieuw begon waar te nemen met mijn lange telescoop; en ik heb de fase ervan bevonden zoals ik voorspeld had dat ze zou zijn#), wat geheel en al mijn Systeem bevestigt. Ik vraag me evenwel af waar de Italiaanse waarnemingen blijven waarvan u schreef dat ze u toegezonden zouden gaan worden [<,>], hoewel ik weet dat ze zich niet bij u bevinden zonder dat ik ze ontvang. Het ga u goed, voortreffelijk heer, en houd mij in ere Tibi addictissimum Christ. Hugenium de Zulichem. [ *) Zie brief No. 436 (Ned.) van Joh. Hudde aan Fr. van Schooten, 1 dec. 1657, p. 99.] 1) Zie brief No. 433. [ °) Vgl. de brief aan F. van Schooten van 28 dec. 1657, p. 112: "adhuc certam ob causam celabo", zal ik om een bepaalde reden nog geheim houden.] [ #) Eerder zoals in dit kleine tekeningetje, maar nu met open armen, zie de figuur in brief No. 443 aan Boulliau, 26 dec. (orig. BNF) en die in Systema Saturnium (1659), p. 21, van 17 dec. 1657.]

[ 106 ]

No 441. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 24 december 1657. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 439. Huygens' antwoord: No. 447. a) Nobilissime Domine Hoewel ik denk dat mijn brief van de 18e van deze maand 1) al bij u is gebracht, het antwoord daarop verwacht ik met ongeduldig verlangen, toch heb ik na ontvangst van uw laatste brief het niet willen uitstellen, u het zeer grote genoegen kenbaar te maken dat ik daarvan kreeg, en ook iets te zeggen over de zaak zelf. Slechts dit vooraf zeggend dat ik de heer Hudde al ken uit de laatste Lectiones*) van de geleerde van Schooten, en dat de mening die ik al had over zijn scherpzinnigheid en kennis versterkt en nog veel meer bevestigd is door die voorbeelden die u mij gestuurd hebt. Ik zal nu beginnen met wat ik heb aangevoerd, naar u zegt, dat zijn derde kromme afhangt van vondsten van anderen, en ik zal uitgebreider uiteenzetten hoe ik dit bedoelde, om beter bekend te maken wat ik heb willen aanduiden met de naam 'onvolgroeide lijn'. Laat er een kromme AFGA zijn om de as AG, waarop een willekeurig punt F wordt genomen, en als de normaal FE wordt getrokken (en als in analytische termen AG = a, AE = x, FE = y) kan deze vergelijking worden verkregen: ay + yy = ax − xx. Ik zeg dat deze kromme AFGA een 'onvolgroeide lijn' is, en wel samengevoegd uit twee gelijke bogen van eenzelfde cirkel, de bogen die AG als zijde van het ingeschreven vierkant onderspant, zoals u makkelijk opmerkt. Nu moet er een parabool zijn van een hogere soort, waarvan de top A is en de as AO, en dan worden op een halve rechte hoek gezet OG en QF, waarvan de vierde machten zich onderling verhouden als de derde machten van OA en AQ; en AG wordt onderspannen door een eveneens halve rechte hoek van de parabool die in G komt. Ik zeg dat deze kromme AFG de derde is van de heer Hudde; die ik om dezelfde reden als hiervoor genoemd heb een 'onvolgroeide lijn'. Niet omdat kennis ervan afhangt van vondsten van anderen, dit heeft ze immers gemeen met andere en met de mijne, maar omdat uit de vergelijking zelf al bekend wordt, dat ze een segment is van één van oneindig veel parabolen, dat is weergegeven aan beide kanten van de rechte AG. En of hij dit aan u heeft geschreven zou ik graag van u vernemen. Ondertussen beken ik vrijmoedig dat de mijne niet uit deze principes van de heer Hudde, maar uit eenvoudiger principes door mij is afgeleid, en dat ik niet voordat u me er op wees de gemeenschappelijke oorsprong had herkend van zijn eerste of tweede (tenminste, op de manier waarop hij het uitlegt) met de mijne; en daarom was ik er niet weinig blij mee, dat hij een nieuwe weg naar hun afmeting leek te openen. Maar opdat ik uw scherpzinnige en vindingrijke overdenkingen niet a) In deze brief is de plaats die ik heb aangehaald in Horlogium oscillaorium 2). [Chr. Huygens.] 1) Zie brief No. 438. 2) Zie het genoemde werk [1673], Pars tertia, Propositio IX, p. 73. [Ned.] [ *) Fr. van Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, 1657, 'Sectiones miscellaneae', p. 469, 475, 493, 498, 515.]

[ 107 ]

lijk te benadelen, zal ik ervan afzien verder te vragen naar die eerste waarvan ik eveneens heb uitgesproken dat ze 'onvolgroeid' is; ik zal er meer over zeggen, en over hun met de mijne gemeenschappelijke oorsprong, wanneer ik van u antwoord ontvangen heb. Slechts twee dingen heb ik toe te voegen: het ene is, dat er bij de zeer geleerde Hudde op aangedrongen moet worden, dat hij het zwaartepunt dat hij van ons heeft verlangd bij de eerste zelf bepaalt. Het is immers niet duidelijk genoeg hoe dit kan worden gevonden bij de parabolische kromme FAN, uit het gegeven zwaartepunt (dat ik al had verkregen) van de kromme OAFQ, zoals u juist hebt opgemerkt. Het andere is dat voor mij al die krommen, en zelfs die gehele lineaire plaats*), vrijwel niets betekenen in vergelijking met deze vondst van u, waarmee u de verhouding hebt bewezen van een oppervlak op een parabolische conoïde tot de cirkel die de basis ervan is. Deze voor de kwadratuur van de cirkel heel mooie overstap°), stel ik graag boven al die dingen, die ik eertijds heb afgeleid uit een lineaire meetkundige plaats, het waren er niet weinig, en zo u wilt zal ik ze met u delen als de gelegenheid zich voordoet. Ik feliciteer u er ondertussen mee, dat Saturnus aan uw wetten gehoorzaamt. En aangezien het nu Saturnaliën is, als u mij de vrijheid toestaat een december-grapje te maken, beweer ik dat u iets meer hebt gepresteerd dan die Jupiter uit de fabels van de Oudheid, die hem nooit zo kon vastbinden dat hij niet ontsnapte. Het is al een lange tijd dat ik uit Rome niets heb ontvangen. Daarom word ik ertoe gebracht te vrezen dat er iets niet goed is gegaan bij de goede en geleerde man 3); wat mij slecht zou uitkomen; ik heb hem enkele weken geleden er weer aan herinnerd, en als hij iets terugschrijft zal ik u op de hoogte stellen. Het ga u goed, uitnemende heer, en houd in ere zoals u doet
Tibi addictissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leody 24 10bris 1657.
Nobilissimo et Clarissimo Domino Domino Christiano Hugenio de Zulichem.
A la Haye.
VI.
[ *) Lat. "locum linearem integrum", gehele lineaire plaats, vgl. No. 403, p. 49: rechte lijn(en), cirkel of kegelsnede. Zie Roberval aan Huygens, 6 juli 1656, T. 1, p. 450: "section entiere".] [ °) Gr.: apagôgè (dict. Liddell, Scott, Jones); zie T. 14, p. 200. Proclus (ed. Friedlein, 1873, p. 212-213): "overgang van een probleem of theorema naar een ander, waarvan de oplossing of het bewijs ook duidelijk maakt wat is voorgesteld" (Rosemary Desjardins, The Rational Enterprise, 1990, p. 191); Lat.: Procli ... In primum Euclidis ... (1560), p. 121: 'Inductio', het eerst bij Hippocrates van Chios.] 3) Ricci. Zie brief No. 412 [<].

[ 114 ]

No 446. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. [3] januari 1658 1). Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 438, 441. De Sluse's antwoord: No. 450. Samenvatting: Afleiding over Parabolen. Over de Hyperbool. Afleiding van Heuraet ervan met lijnen. Slusio.
Nobilissime Domine Op uw twee brieven, beide voor mij zeer welkom, antwoord ik. In de eerste laat u zien dat u dezelfde methode hebt gebruikt als ik ook heb gevolgd bij het onderzoeken van de kwadratuur van Hudde's kromme; en ik meen dat het helemaal klopt, aangezien ik ook op die zelfde termen kwam, aa + yy + 2 ay tot 1/2 aa + 3/4 yy + 4/3 ay. Ik heb het oppervlak van deze kromme namelijk uit drie stukken aaneengesmeed, waarvan er één rechtlijnig begrensd is, en ik zou bijna durven verzekeren dat hetzelfde door u is toegepast. En dat leek wel de meest geschikte weg naar de kwadratuur. Deze vraagt althans een makkelijker berekening, dan die welke door Hudde wordt voorgesteld; die ik overigens ook zelf had gevonden. Maar dat deze kromme zo verwant is met de uwe, daarop ben ik voor het eerst door hem opmerkzaam gemaakt. Op deze plaats wil ik u nu ook die kromme doen toekomen, die de ander van die wiskundigen aan wie de heer van Schooten uw kromme had voorgelegd als antwoord heeft gegeven, en als u deze goed onderzoekt zult u inzien dat ze vol zit met spitsvondigheid en scherpzinnigheid. Heuraet is de naam van deze Meetkundige, uit wiens brief aan van Schooten, in het Nederlands geschreven, ik het volgende in het Latijn heb vertaald 2). 1) De datum volgt uit de eerste zin van brief No. 450. 2) Zie brief No. 447.

[ 115 ]

Tot zover Heuraet, kort en vrij duister, waarvan ik evenwel heb doorzien dat het juist is. En hieruit worden gemakkelijk de kwadratuur en het zwaartepunt van delen van uw kromme aan het licht gebracht. Verder, dat Hudde's lijn 'onvolgroeid' is, is mij niet ontgaan, en ook hem niet, zoals u makkelijk hebt kunnen afleiden uit wat ik u in de vorige brief heb geschreven. Daarom meen ik ook niet dat u de raaklijn naar de top van de kromme nu nog verlangt, aangezien u al weet dat deze op dezelfde manier moet worden getrokken, als die naar het eind van uw lijn, die we eerder hebben gegeven*). U zegt dat u raaklijnen aan parabolische krommen°), waaruit deze lijnen zijn samen te stellen, op de Euclidische manier hebt laten zien; wat ik deze keer evenzo heb gedaan, nu ik deze krommen behandel, en wel met een rechtstreeks bewijs. Maar van alle ook de kwadraturen, en ik heb van lichamen ontstaan door omwenteling ervan de verhouding met een cilinder afgeleid op dezelfde Euclidische manier, en van al hun regels die bij Mersenne in het voorwoord van Mechanicorum 3) zijn te lezen heb ik een bewijs opgeschreven, waarvan ik weet dat het, als u het niet hebt gevonden, zeer aangenaam voor u zal zijn als ik het geef. Ik ben hierin namelijk verder gekomen langs een nog niet gebaande weg. Over de bewegingswetten: ik kan me nauwelijks bedwingen om niet mijn redeneringen en hypothesen hier voor u uiteen te zetten, aangezien ik weet dat niet op een andere wijze dat bezwaar weggenomen kan worden, dat u weliswaar scherpzinnig hebt aangeroerd, maar niet boven mijn verwachting. Maar het is zeker een uitgebreide zaak en niet geschikt voor een brief, en ik heb deze materie in een heel boek uiteengezet, dat ik eens ter beoordeling aan welwillende lezers zal geven. Hoewel van Schooten en alle anderen die aan Descartes meer toegewijd zijn dan billijk is, mij al lang ervan afhouden. Maar wat ik aanvoer weten ze helemaal niet, behalve dat ik verklaard heb dat het in strijd is met diens leer. Denk niet dat ik alsmaar proeven doe, ik weet namelijk hoe glibberig ze zijn. Doch voor de bewijzen neem ik enkele dingen aan, zoals dat een groter lichaam dat botst met een kleiner in rust, dit in beweging brengt, en daarom iets van zijn snelheid afstaat. Evenzo dat als twee lichamen met elkaar botsen, en het ene ervan na de aanraking dezelfde snelheid heeft als het tevoren had, dat dan ook het andere niets van zijn vorige snelheid afstaat. En als u met dit laatste instemt, twijfel ik er niet aan of u zult ook de overige postulaten toelaten, omdat die namelijk nog duidelijker zijn dan dit. Het axioma van Descartes over het behoud van beweging, zodanig dat er altijd eenzelfde hoeveelheid van overblijft, leek me vroeger ook heel waarschijnlijk en in overeenstemming met de rede. Maar nu weet ik dat het niet blijvend kan zijn; met een ander duidelijker principe dat dit onomstotelijk bewijst. Doch wat u moeilijk toeschijnt, dat een deel van de beweging verloren gaat — daar bij het toelaten hiervan er niets in de weg lijkt te staan waarom ze niet geheel verloren gaat — daarmee is het anders gesteld. De hoeveelheid beweging kan namelijk zowel verminderen, als weer een een vermeerdering krijgen tot zoveel als er eerder afgegaan is. En beide hebben zekere grenzen. Maar hierover wellicht tevergeefs, totdat we van grondslagen zullen zijn uitgegaan. Op uw laatste brief zal ik minder nauwkeurig antwoorden, aangezien deze niet voorhanden is; ik heb hem namelijk aan van Schooten gestuurd om hem aan Hudde te laten zien. U maakt duidelijk hoe de derde kromme van Hudde ook zelf 'onvolgroeid' is en van welke oorsprong ze is afgeleid. Dat mijn vondst over het herleiden van het oppervlak van een parabolische conoïde tot een cirkel [ *) Lees i.p.v. "suae lineae": "tuae lineae". Zie p. 50 1e fig.: de genoemde raaklijn is HB.] [ *) Lat.: paraboloidum. "Paraboloïdes ... de Parabelen van hooger geslachten", in: Egbert Buys, Nieuw en volkomen woordenboek van konsten en weetenschappen, deel 8 (1777) p. 459.] 3) Zie brief No. 444, bij n.6 [aan van Schooten, 28 dec. 1657: "een bewijs gevonden dat niet alledaags is", over Mersenne's regel in Cogitata Physico-mathematica, 1644, 'Tractatus mechanicus'].

[ 116 ]

voor u enige waarde lijkt te hebben, daarmee feliciteer ik mezelf echt. En als hierin een of andere 'overstap' voor de kwadratuur van de cirkel ligt, dan bevat mijn andere vondst, die ik u nog niet heb laten zien, een andere veel elegantere voor de kwadratuur van de hyperbool. Uw vondsten evenwel, waarover u schrijft dat u ze uit lineaire plaatsen hebt afgeleid, of tenminste een enkele ervan, wil ik heel graag leren kennen. Het ga u goed, heel vriendelijke heer. En breng het pas begonnen jaar door met die voorspoed die u verdiend hebt, de grootste wenst u toe
Tui observantissimus
Chr. Hugenius de Zulichem.
Jan. 1658.

No 447. #### H. van Heuraet aan Fr. van Schooten. Aanhangsel bij No. 446. Het stuk is in Leiden, coll. Huygens. 1) Laat binnen de kromme op een of andere manier een rechte lijn AB worden getrokken, en laat uit A en B de loodlijnen op de as AC en BD vallen. Deel dan CD in vier gelijke delen met de punten F, E en G, en trak de rechten FI, EH en GK evenwijdig met AC; en verbind A met H, en H met B. Onderzoek nu de verhouding die HL heeft tot IM en KN samen, welke ik bevind als 2 tot 1. En dientengevolge is die van het segment AIHKBA tot de ingeschreven driehoek AHB, als 4 tot 3. Voorts heb ik bevonden dat deze kromme lijn bestaat uit twee tegengestelde bochten, en dat het punt ertussen wordt gevonden door te nemen OQ = 1/3 OP, en door RS loodrecht op OP te trekken. Indien nu uit R en S twee gelijke rechten, zoals RT en SV, binnen de kromme worden getrokken, en die in ettelijke gelijke delen worden verdeeld, met lijnen evenwijdig met TV, en de punten van de kromme waarin de genoemde lijnen vallen worden verbonden; dan zullen de zo afgesneden segmenten in voortdurende verhouding zijn van de oneven getallen vanaf de eenheid; 1, 3, 5, 7, 9, 11 enz. Hieruit vind ik dat het zwaartepunt van de twee door de rechten SV en RT afgesneden segmenten valt in Y, zodanig dat bij verdeling van de lijn QX in 15 delen gesteld kan worden dat QY gelijk is aan acht daarvan. 1) Deze vertaling van een gedeelte van brief No. 435 [Ned.] is van de hand van Chr. Huygens.

[ 121 ]

No 450. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 8 januari 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 446. Huygens' antwoord: No. 451. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 526. Nobilissime Domine Uw zeer welkome brief van de 3e van dit jaar heb ik eergisteren ontvangen, samen met de scherpzinnige vondsten van de voortreffelijke Heuraet, die ik uit dit voorbeeld, zoals men de leeuw aan zijn klauw kent, voldoende als een geleerde Meetkundige heb leren kennen. En om eindelijk te doen wat ik had beloofd, namelijk duidelijk te maken wat ik verder had opgemerkt aan mijn kromme en die eerste van Hudde, moet ik de zaak grondiger terughalen. Ik had vroeger, toen mijn hoeveelheid vrije tijd dit toeliet, met het voorbeeld van oneindig veel parabolen, ook oneindig veel Hyperbolen en cirkels of ellipsen bedacht, met een geringe verandering in de vergelijking. Het zal volstaan dit met een voorbeeld duidelijk te maken. Laat er een rechte AB zijn, en een kromme BD, waarop een willekeurig punt D wordt genomen, vanwaar neergelaten wordt DC, die ik in analytische termen noem x, en BC y, en dan AB a; laat nu voortdurend deze vergelijking worden aangehouden: ay + yy = ax. Deze heb ik genoemd de eerste van oneindig veel Hyperbolen. Als 2e heb ik gesteld ay + yy = xx. Een hogere ayy + y 3 = aax of ayy + y 3 = axx en zo tot in het oneindige, wat zonder moeite gedaan kan worden, zoals u wel opmerkt. Breng dit nu over op cirkels, namelijk door de + te veranderen in een −, en er komt ay − yy = ax, ay − yy = xx, ayy − y 3 = aax of ayy − y 3 = axx enz. Toen ik onderzoek deed naar hun eigenschappen, zag ik meteen dat de eerste en tweede van de genoemde Hyperbolen of Ellipsen waren: een parabool, een cirkel, een Ellips of Hyperbool van Apollonius, maar de overige niet zo;

[ 122 ]

daarvan heb ik ondertussen de afmeting of lichamen aangetoond, vaak ook (wat ik u heb geschreven naar ik me herinner) heb ik er 'overstappen' voor de kwadratuur van de cirkel uit afgeleid. Eén van deze Ellipsen is de kromme die ik had voorgelegd, namelijk deze: ayy − y 3 = aax. En van de eerste van Hudde heb ik later ontdekt dat ze een deel is van die Hyperbool die in deze termen wordt uitgedrukt: ayy + y 3 = aax. Opdat dit duidelijk wordt, beschouw met mij enkele eigenschappen van de mijne. Laat daarin van de op de as AB neergelaten loodlijnen de grootste zijn EF, en verbind A met E, die in elk geval de kromme zal snijden in D, het punt waar de buiging verandert. Ik zeg dat het oppervlak omvat door de kromme ACD en de rechte AD, gelijk is aan dat, bevat door de rechte DE en de kromme DVE, ja zelfs geheel hetzelfde oppervlak is maar omgekeerd geplaatst. Zodanig dat, zoals de rechte GE raakt aan de kromme in E, evenzo de rechte BA deze raakt in A. Waaruit verder volgt, als die kromme wordt doorgetrokken, zo ver als nodig is, dat ze GE tegenkomt in G, en dat de kromme DAG volstrekt dezelfde is als DEB maar omgekeerd geplaatst. Maar als voorbij punt E een willekeurige loodlijn wordt neergelaten aan de buitenkant van de kromme, zoals HI, en als deze x is en EH y, zeg ik dat voortdurend deze vergelijking wordt verkregen: ayy + y 3 = aax. Dus dat de kromme EB één van de oneindig veel Hyperbolen is, die ik hierboven heb beschreven, en daar deze in de richting van B in het oneindige kan worden doorgetrokken (hetzelfde moet begrepen worden in de richting van G) blijkt een Latijnse S te worden gevormd, waarnaar die kromme kan worden toegewogen, die de voortreffelijke Hudde ons heeft voorgelegd als de eerste [<], zoals hij ook van iets anders heeft afgeleid. Welke kromme is deze dan tenslotte? zult u vragen. Ik zou het zeggen, als ik niet wist dat u dit liever op eigen houtje wilt onderzoeken en, volgens het voorschrift van Plato, op uw terrein 'graven tot aan de klei' voordat u water aan de buurman vraagt*). Dit moet u dus voorgelegd zijn, en via u die voortreffelijke heren (als u oordeelt dat het belangrijk genoeg is) die op zo geleerde wijze deze kromme tot dusver hebben onderzocht. Ondertussen feliciteer ik u ermee, dat u oppervlakken en lichamen van oneindig veel Parabolen meetkundig hebt bewezen. Ik herinner me ook op dit veld te hebben gespeeld toen ik in Rome was, en dat dergelijke of misschien dezelfde bewijzen als de uwe in mijn aantekeningen verscholen zijn. Ik zie namelijk dat wij vaak dezelfde weg bewandelen; en dit had ik ook gedacht bij de afmeting van de eerste kromme van Hudde, daar we tot dezelfde conclusie waren gekomen; maar uit uw brief heb ik opgemerkt, dat u drie oppervlakken gebruikt waarvan er één rechtlijnig is, terwijl ik met een enkel kromlijnig oppervlak, met mijn eigen methode, de zaak heb afgedaan. Dezelfde namelijk die ik had gebruikt bij het afmeten van die Hyperbolen en Ellipsen. Van dezelfde bron krijgt u hier ook, aangezien u het zo verkiest, een 'overstap' voor de kwadratuur van de cirkel. Laat er op AB een kromme zijn waarop een willekeurig punt F is genomen, waaruit FG is neergelaten, als deze x is, en AG is y, AB = a, komt er voortdurend de vergelijking ay 3 − y 4 = aaxx. Als u dit oppervlak hebt afgemeten, moet u weten dat u makkelijk de cirkel zelf kunt meten a). En als u zich voorstelt dat er omheen een parallellogram AD is beschreven, en dat door omwenteling van beide om de as AB een cilinder en een ingeschreven lichaam ontstaan, dan zeg ik dat het laatste tot het eerste een bekende verhouding heeft, die ik, als er eens tijd zal zijn en als het u de moeite [ *) Plato, Wetten, 8, 844b, Engl.: "dig in his own ground down to the chalk subsoil" (Gr.); ook bij Plutarchus, Moralia, 827.] a) Hij vergist zich. [Chr. Huygens.] [Zie p. 135.]

[ 123 ]

waard lijkt, u zal voorleggen om te onderzoeken, of als u het liever wilt, kunt u deze op uw verzoek van mij ontvangen. Over uw bewegingsregels acht ik het goed, en ik spoor u aan, dat ze binnenkort in het licht worden gegeven. En er is geen reden u te laten leiden door gezag van mensen die het anders zien; tevergeefs immers wordt iemand door vooroordelen van mensen veroordeeld, als de rede hem vrijspreekt. Laat ze dus uitkomen met God wil, van wie ik voor u van harte een gelukkig begin van het nieuwe jaar afsmeek en nog gelukkiger vermeerdering. Het ga u goed, voortreffelijke heer en houd in ere
Tui Observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Leodij 8 Ai. 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI.           A la Haye.

No 451. #### Chr. Huygens aan R. F. de Sluse. 22 januari 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 450. De Sluse's antwoord: No. 458.
22 Jan. 1658.
Slusio.
Nobilissime Domine In uw laatste brief legt u eindelijk uit hoe u voor het eerst op uw peervormige lijn bent gekomen, die ons tot dusver heel mooie stof heeft geleverd om berekeningen te doen. Maar het meest verbazend van alles is, dat die ons zo lang heeft kunnen misleiden met een verkeerde soort. Ik ben er zeker van, dat u al gevonden hebt wat u mij voorlegt om te onderzoeken; te weten dat deze kromme niets anders is, dan juist een kubische parabool. Of liever

[ 124 ]

twee halve die bij de top verbonden zijn en in tegengestelde richtingen gaan. Als namelijk genomen wordt AC = 1/3 van de diameter AB, en CD als ordinaat, zal D de grens van tegengestelde buiging zijn, en de top van elk van beide kubische parabolen, waarvan de ene is DBF, de andere DAG. Er bestaan echter ordinaten evenwijdig aan de raaklijn DS. Ik heb deze tenminste zonder veel moeite gevonden door weglating van de tweede term uit uw vergelijking y 3 + ayy − aax = 0. of uit die van Hudde y 3 − 2 ayy + aay − aax = 0. Doch of uw methode dezelfde is geweest als deze wil ik graag weten. Overigens staat het nu vast dat ook de eerste kromme van Hudde een kubische parabool is a), en daarom dat ook het zwaartepunt op de as AE kan worden gegeven; waarvan we eerder betwijfelden of het gedaan kon worden. Hudde geeft wel toe in een brief*) aan mij, dat hij het alleen zag voor het oppervlak OAF, waarvan hij zegt dat we tevreden zullen zijn met het gegeven zwaartepunt. Maar als zijn lijn hem zo goed bekend was geweest als die nu voor ons is, had hij er mijns inziens niet van afgezien te verlangen wat hij eerst had voorgelegd. De reden van uw 'overstap' begrijp ik nog niet, maar het lichaam, gemaakt door omwenteling van het oppervlak AFB om de as AB, is tot de cilinder van de rechthoek CB, als 64 tot 135, als ik me niet vergis in de berekening. a) Hij wist het zelf ook niet. De 1e kromme van Hudde. [Chr. Huygens.] [ *) No. 449 (7 jan. 1658, Ned.), zie p. 120; zie ook No. 444 (Chr. Huygens aan Fr. van Schooten, 28 dec. 1657), p. 112. Zie ook Huygens' antwoord aan Hudde, No. 453 (24 jan. 1658, Ned.), p. 126-127.]

[ 127 ]

No 454. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 24 januari 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 460. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 528. Nobilissime Domine De waarnemingen van de weledele Ricci [<], niet uit Rome zoals ik dacht maar uit Sicilië, en van Saturnus maar niet van het maantje, heb ik deze middag eindelijk ontvangen. Ik heb ze nauwelijks doorgenomen, en terstond gemeend dat ze bij u

[ 128 ]

moesten zijn 1), vooral daar ze door de schrijver 2) (die mij onbekend is) aan u gericht worden 3). En ik zal u niet ophouden met een lang verhaal, ik vraag alleen dat u schrijft waarin de redeneringen in dit systeem verschillen van de uwe, en u zult met een nieuwe weldaad overladen Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Leodij 24 Anni 1658. Ik denk dat mijn brief van de 8e allang bij u is aangekomen, en wanneer er tijd zal zijn verwacht ik een antwoord. 1) Deze waarnemingen zijn niet gevonden [Protei coelestis Vertigines]. 2) Het gaat hier om G. B. Hodierna. 3) Dit stuk is niet gevonden [Protei ..., p. 21-24].

[ 131 ]

No 458. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 8 februari 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 451. Huygens' antwoord: No. 460. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 528. Nobilissime Domine De Siciliaanse waarnemingen van Saturnus, die ik enige weken gelden aan u heb gestuurd 1), zijn allang aan u gegeven, naar ik hoop. Hier hebt u ook nog, aangezien u het wilt, langs welke weg ik op bekendheid met die kromme 1) Zie brief No. 454.

[ 132 ]

was gekomen, die vroeger mij, en daarna u en anderen heeft misleid. Mijn eerste vermoeden is ontstaan uit de raaklijnen, daar ik enige ervan terugbracht tot die, welke in het punt van tegengestelde buiging wordt getrokken. Later heb ik opgemerkt dat, als er een daaraan evenwijdige lijn wordt getrokken (zoals in de bijgaande tekening FO), en als niet de hele BA maar slechts het gedeelte QC y wordt genoemd, de rechte DO voortdurend wordt aangeduid met y 3/aa. Waaruit duidelijk is dat altijd geldt: zoals DO tot DO, zo is de derde macht van QC tot de derde macht van QC, of de derde macht van FO tot de derde macht van FO. En meer woorden zijn niet nodig, daar de tekening voor zichzelf spreekt, voor een gemiddelde Meetkundige en zeker voor u. U hebt een juiste meting van dat lichaam dat door omwenteling van de andere kromme ontstaat; en de reden van de 'overstap' zult u gemakkelijk opmerken wanneer u tijd hebt die nauwkeuriger te onderzoeken. Ik zou er meer aan toevoegen, als ik niet heel goed wist dat u nu met andere dingen bezig bent, als niet ook mijn studies door dit ijskoude weer*) zouden verstijven. Maar niet de genegenheid die ik u toedraag, en waarmee ik wil betuigen dat ik zonder verandering ben
Tui Observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij viij febrij. MDCLVIIJ. Nobilissimo C[larissimoque Domino] 4) D. Christiano Hugenio de Zulich[em.] 4) VI.           A la Haye. 4) Dit gedeelte is afgescheurd. [ *) Meer over deze berucht winter in: J. Buisman, Duizend jaar weer ..., deel 4 (2000), p. 546-553.]

[ 133 ]

No 460. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse.] 15 februari 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 450 en 458. De Sluse's antwoord: No. 461. Nobilissime Domine Dat de intense koude gedurende deze dagen mij trager heeft gemaakt in het schrijven, zal u geenszins verbaasd hebben naar ik weet, daar nu ook van u slechts vrij korte brieven afkomstig zijn. Hoewel ik beken dat een dankbetuiging voor de waarnemingen van Saturnus, met zoveel nauwgezetheid bij mij bezorgd, te lang is uitgesteld, daar ik ze het meest aan u te danken heb. Ik vraag me echter af hoe het gekomen is dat de schrijver zelf 1), die mij zo beleefd aanspreekt 2), geen moeite gedaan heeft om die bladen sneller naar mij te doen brengen. Het schijnt dat die man door een enorme liefde voor de dingen aan de hemel in beslag wordt genomen, en dat hij het daarom waard is van betere telescopen te worden voorzien. Want dat hij een hypothese heeft omarmd die zo weinig waarschijnlijk is, is mijns inziens niet zozeer aan hemzelf toe te schrijven als wel aan een gebrek aan instrumenten. Anders zou hij namelijk gevonden hebben dat de meeste van die fasen bij Saturnus nooit voorkomen, die zijn systeem hem noodzakelijk ingeeft. 1) G. B. Hodierna; zie No. 454 en 360a, noot 1. 2) Deze brief is niet gevonden [gedrukt in Protei caelestis vertigines (1656), p. 21-24].

[ 134 ]

Dat het onze hiervan zoveel als mogelijk is verschilt zult u inderdaad bevinden, en naar ik hoop binnenkort. In uw laatste brief 3) maakt u mij bekend langs welke weg u bent begonnen die kromme die ons zoveel moeite heeft bezorgd diepgaander te bezien, die toch vrij ontoegankelijk kan lijken, en van een soort zoals waarvan u eerder een andere hebt gehad, die u mij niet wilt laten weten. Vervolgens ook dit, dat u een uitleg van de 'overstap' uit de kwadratuur van de andere kromme ontwijkt, toont aan óf dat er een scherpzinnigheid van groter gewicht aan ten grondslag ligt, dan dat het u gratis kan worden ontwrongen, óf dat het bewijs meer werk vraagt. Maar goed, wanneer u mij zo zuinig en voorzichtig behandelt, zal ik met gelijke munt betalen, en u op mijn beurt een verscholen 'overstap' opgeven, zodanig dat u in beslag genomen wordt door een niet kleiner verlangen het te begrijpen, dan ik het uwe. Dat het oppervlak van een parabolische conoïde kan worden herleid tot de cirkel heb ik u eerder te kennen gegeven. Nu moet u echter weten dat de kwadratuur van de Cirkel gegeven is, als we een cirkel kunnen vinden, gelijk aan het oppervlak van een langwerpige sferoïde. En de kwadratuur van de Hyperbool, als een cirkel wordt verkregen, gelijk aan het oppervlak van een brede of samengedrukte sferoïde, of aan het oppervlak van een Hyperbolische conoïde. En andersom*). En er zijn geen lange omwegen nodig, maar alleen een korte constructie. Als nu de brede sferoïde gegeven is, zeg ik dat de hyperbolische conoïde te vinden is, of als deze gegeven is, dat de brede sferoïde te vinden is, en dat een cirkel kan worden geleverd die gelijk is aan het oppervlak van beide samen. Maar dit laatste heeft geen betrekking op de kwadratuur, aangezien het onvoorwaardelijk en op een meetkundige manier wordt gedaan. Dat deze dingen u zullen bevallen betwijfel ik niet, en vooral als u de constructies ziet. Tegen welke prijs u ze van mij kunt krijgen weet u al. Maar ik wil met u niet gaan bieden; dus zult u ze binnenkort zonder kosten ontvangen, opdat u mij kent als
Tui observantissimum
Chr. Hugenium de Zulichem.
vr. 15 Febr. 1658. 3) Zie brief No. 458. [ *) Zie T. 14, p. 324 en Horologium oscillatorium (1673), p. 76, Ned.]

No 461. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 19 februari 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 460. Huygens' antwoord: No. 466. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 529. Nobilissime Domine Zeer welkom was mij uw brief van 15 februari, waarin u vriendelijk mijn laconisme kastijdt; ook al lijkt u zich daarin immers te beklagen, dat ik u voorzichtig en

[ 135 ]

spaarzaam behandel, u doet het zo schertsend, dat ik het aangenamer vind door u berispt, dan door een ander geprezen te worden. Maar opdat ik niet, bekoord door de elegantie van uw brief, schuld lijk te bekennen, heb ik gemeend geen fout te begaan door me dadelijk te rechtvaardigen en ook alle verdenking uit uw gedachten te verdrijven, en overeenkomstig uw vriendelijkheid vertrouw ik erop dat ik dit tot stand zal brengen. Ik vraag dus van u, en ik roep als getuige de Geest van de waarheidlievende Wiskunde aan, mij te geloven dat ik niet langs een andere weg dan zoals ik u heb geschreven, tot bekendheid met mijn kromme ben gekomen. Al kan die misschien ontoegankelijk worden genoemd, toch is gebleken dat de eerste zich voor mij vanzelf opende, nadat ik uit een gissing met raaklijnen iets van een aanwijzing had afgeleid. Doch dat ik het bewijs van de 'overstap'*) er niet bij heb geschreven, dat is door mij gedaan met de zienswijze, u niet te onderbreken als u bezig was met de Siciliaanse waarnemingen van Saturnus en de uwe, en niet te lijken u met een lastig geschrift naar de aarde te trekken als u verdiept was in zaken aan de hemel. Maar aangezien ik begrijp dat daarvan genoeg vrije tijd overblijft, breng ik u dit bewijs onder ogen, als ernstig beoordelaar van deze zaken, opdat het staat of valt a) met uw oordeel. Bij de kromme waarvan de bijzondere vorm [<] wordt uiteengezet met deze termen: ay 3 − y 4 = xxaa, de verhouding van het parallellogram tot dat oppervlak is zoals bij een andere, die wordt uiteengezet als: ay 3 − y 4 = x 4, de verhouding van de omgeschreven cilinder tot het lichaam, voortgebracht uit dezelfde omwenteling om de as. Daar op dezelfde gedeelten van de as nu eens wordt neergelaten x 4, en dan weer aaxx. Het bewijs ervan is niet ongelijk aan dat, waaruit we opmaken dat de omgeschreven cilinder zich zó verhoudt tot de bol, als het ingeschreven parallellogram tot de parabool. Stel u dus voor dat beschreven is de kromme ACB, waarvan de as AB a is, en waarop een willekeurig punt C is genomen, waaruit is CD neergelaten, en dat als AD genoemd wordt y, en CD x, voortdurend geldt de vergelijking: ay 3 − y 4 = x 4. Daar omheen zij beschreven het parallellogram FOE, en met een diameter GH gelijk aan AB wordt een cirkel gemaakt, en hier omheen het vierkant IKLM. Het staat voldoende vast dat, als het vierkant samen met de cirkel wordt gewenteld om de rechte IL, de voortgebrachte cilinder dezelfde verhouding zal hebben tot de 'spira' [<] als het vierkant tot de cirkel. Dit is immers wel dadelijk duidelijk uit de Centrobaryca, aangezien het zwaartepunt van de cirkel en van het vierkant hetzelfde is. Ik zeg dus: als het parallellogram AE en de kromme ACB worden gedraaid om de as AB, zal de nu ontstane cilinder tot het ingesloten lichaam die verhouding hebben die het vierkant tot de cirkel heeft, of die de eerste cilinder tot de spira heeft. Hieruit bestaat de hele redenering van de 'overstap', zoals u ziet. En dat dit zo is zult u gemakkelijk opmaken op als u de afzonderlijk verkregen vergelijkingen samen vergelijkt; ik schaam me er namelijk voor u dit uitgebreider uit te leggen, opdat ik niet, terwijl ik moeite doe bondigheid te vermijden, in gebeuzel verval. [ *) Naar de kwadratuur van de cirkel, zie het cursieve gedeelte (door Huygens onderstreept) in brief No. 441, p. 107 hierboven.] a) Het valt. [Chr. Huygens.] [Zie T. 14, p. 303.]

[ 136 ]

Met recht zou ik nu kunnen vervolgen, en die scherpzinnige 'overstappen' van u opeisen, aangezien u zich daartoe hebt verplicht voor een zo lage prijs. Maar ik heb geleerd dat het grootste recht het grootste onrecht is, en ik wil het aan uw vriendelijkheid te danken hebben als u goud voor brons*) met mij ruilt. Ik heb er tot dusver geen onderzoek naar gedaan, en als ik het wel gedaan had was ik misschien niet veel verder gekomen, maar het was mij voor mij helemaal niet mogelijk, vooral in deze tijd waarin bij ons vergaderd wordt. Daarom prijs ik u gelukkig, niet eenmaal maar tienduizend maal, dat u in vrije tijd deze opbrengst van uw talent aan het licht kunt brengen; mij wordt nauwelijks vergund me in losse uurtjes af te zonderen voor meer verheven studies. Ondertussen heb ik u iets te vragen voordat ik de pen neerleg. Van een jonge edelman uit Engeland heb ik het hier bijgevoegde probleem 1) ontvangen. Ik meen dat het juist dat is waarvan u me enkele maanden geleden [<] hebt te kennen gegeven dat het door Frenicle is opgelost. Als het in weinig woorden kan worden uitgelegd, wilt u er dan alstublieft geen bezwaar tegen hebben mij de oplossing toe te sturen, zodat ik die kan meedelen aan een vriend die deze dringend aan mij vraagt. Het ga u goed voortreffelijke heer en blijf mij in ere houden
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij 19 febrij 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI.           A la Haye. [ *) Gr. 'chrusea chalkeiôn'. Erasmus: 'Diomedis et Glauci permutatio', De ruil tussen Diomedes en Glaucus (Adagia I 2,1, vert. Jeanine De Landtsheer, 2011; Lat. ed. 1703, T. 2, col. 68) en in een brief (Corresp. deel 13, vert. Tineke L. ter Meer, 2016, p. 109).] 1) Zie het Aanhangsel, No. 462.

No 462. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. Aanhangsel bij No. 461. Het stuk is in Leiden, coll. Huygens. Een derde macht te vinden die opgeteld bij al zijn delers een kwadraat maakt 1). Bijvoorbeeld: het getal 343 is de derde macht van de wortel 7; zijn delers 1) Het is hetzelfde probleem als dat van brief No. 374. [Solutio, Par. 1657.]

[ 137 ]

zijn 1, 7 en 49, die gevoegd bij 343 zelf het kwadraat 400 met zijde 20 maken. Gevraagd wordt een andere derde macht van dezelfde aard. Ook wordt gevraagd een kwadraatgetal dat opgeteld bij al zijn delers een derde macht maakt enz.

[ 140 ]

No 466. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse]. 26 februari 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 461. De Sluse's antwoord: No. 468. 26 Févr. 1658. Nobilissime Domine Wie zou niet zwichten voor u, een zo goed redenaar, en die met onvervalste vleierij te werk gaat? Zeker niet alleen bij dat, wat betreft het onderzoek van uw lijn, heb ik u aldoor vertrouwd als u zich rechtvaardigde, maar ook scheelde het weinig of ik aanvaardde de andere verontschuldiging over uw redenering van de kwadratuur, tot nog toe voor mij niet ontward; misleid namelijk door uw mooie praatjes, als u zegt dat het uw enige zorg was mij zelfs niet voor een ogenblik uit de Saturnushemel weg te roepen naar de aarde. Toch was dit stellig niet de reden, maar u hebt willen beproeven wat ik op eigen houtje kon bereiken. Zie immers hoe u ook nu, terwijl u verklaart mij de hele zaak te zullen uiteenzetten, datgene weglaat dat de voornaamste moeilijkheid inhoudt; tot grotere schade evenwel voor u dan voor mij. Want als u het overige nauwkeurig ten uitvoer had gebracht en juist berekend, had u zeker opgemerkt dat de 'overstap' die u ons beloofd had verkeerd was. U wilde dat deze volgens mijn oordeel zou standhouden, of vallen. Dan valt hij, omdat hij op zo'n fundament is opgetrokken dat ik hem zo nodig met een kort bewijs overtuigend zou kunnen bewijzen. Dus begrijp ik helmaal niet op welke manier u wilt dat de twee vergelijkingen met elkaar vergeleken worden, en dit verlang ik van u te horen, dat wil zeggen met wat voor 'pseudarion'*) u een verloren gegaan boek van Euclides bent gaan herstellen. Ondertussen, omdat ik me heb aangematigd te oordelen dat er iets aan te merken is op wat u schreef, zou ik tevens willen dat u uw afkeuring uitspreekt over dit van ons, als u er soms iets in vindt dat niet in orde is. [ *) Huygens gebruikt steeds meer Griekse worden, in navolging van de Sluse; 'pseudarion' is volgens Liddell, Scott, Jones, A Greek-English Lexicon (1940): "fallacy, in pl. title of work by Euclid, Procl. in Euc. p.70 F., cf. p.59 F." — Lat. 1560, p. 40: 'Liber Mendaciorum sive Fallaciarum" en p. 34: "mendacia".]

[ 141 ]

Het voornaamste dan van wat ik over oppervlakken van sferoïden heb gevonden*) is het volgende. Laat er een langwerpige sferoïde zijn, waarvan de as AB is, de diameter CD, een snede door de as de Ellips ACBD. En met als middelpunt C en straal CE, gelijk aan de helft van as AB, wordt beschreven de boog EF, die dan beide brandpunten van de ellips verbindt. Ik zeg dat het halve oppervlak van de sferoïde tot de grootste cirkel met diameter CD is, als de sector CEF samen met Δ CEF, tot Δ CEF. Waaruit blijkt dat, als het kwadraat van AB het dubbele is van dat van CD, de verhouding van het genoemde halve oppervlak tot de genoemde cirkel, dezelfde verhouding zal zijn als die van de cirkel samen met zijn ingeschreven vierkant, tot dit ingeschreven vierkant. En dat altijd wanneer de boog EF een aantal keer past op de cirkelomtrek, verkregen wordt de verhouding van de cirkel met een ingeschreven veelhoek, tot de ingeschreven veelhoek. Laat er nu een brede sferoïde zijn, waarvan de as AB is, de diameter CD. Een snede door de as is de Ellips ADBC, waarvan het middelpunt G is, het ene brandpunt E; en als de afstand GE doormidden is gedeeld in H, wordt de parabool AHB beschreven, waarvan punt H de top is. Ik zeg dat het oppervlak van de sferoïde tot de grootste erop beschreven cirkel, met diameter CD, is zoals de lengte van de parabolische lijn AHB tot een vierde deel van de diameter CD. En dat daarom het oppervlak van de sferoïde gelijk is aan de cirkel, waarvan de straal de middelevenredige is tussen diameter CD en de lengte van de parabolische lijn AHB. Na dit aan u te hebben meegedeeld, gewoon als gift (want voor uw kwadratuur was ik zeker niets verschuldigd), vraag ik van u slechts dat u het niet aan anderen bekend laat worden. Ik zou namelijk niet willen dat iemand anders, misschien na een bewijs van deze theorema's te hebben gevonden, het aan zichzelf toekent alsof hij het als eerste heeft gevonden. De getallen die u verlangt die aan problemen van Fermat voldoen, door Frenicle geleverd, zijn de deze. Een derde macht namelijk die, opgeteld bij zijn delers een kwadraat maakt, is: 424462145606577000, waarvan de zijde is 751530. Hierbij opgeteld zijn delers, maakt het een kwadraat met zijde 1292054400. Evenzo een derde macht met zijde 37200735, die opgeteld bij zijn delers een kwadraat maakt met zijde 346787400960. En als nu deze derde machten worden vermenigvuldigd met de derde macht met zijde 7, zullen twee andere te voorschijn komen van dezelfde aard. Verder: het kwadraatgetal 931426156963217079241, waarvan de zijde is 30519275171, opgeteld bij al zijn delers, brengt een derde macht tot stand met zijde 10773399. Nu hebt u naar ik meen wat u hebt gevraagd, en voor welke andere dingen dan ook wendt u zich tot de altijd bereide en
Tui observantissimum
Chr. Hugenium de Zulichem.
[ *) Zie T. 14, p. 319, n.9 en Horologium oscillatorium (1673), p. 75, Ned..]

[ 144 ]

No 468. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 4 maart 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 466. Huygens' antwoord: No. 472. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 531. Nobilissime Domine De kracht van het water 1), die bij ons de gedachtenis aan de oude zondvloed weer heeft opgewekt, heeft uw brief tot op deze dag onderweg opgehouden. Toen ik deze ontvangen had voelde ik me met een zodanige hartstocht vervuld, als ik tot nu toe niet ondervonden heb. Ik heb me namelijk verheugd over uw scherpzinnige vondsten, waarvoor ik u zowel de grootste dank betuig, als geheimhouding beloof. Maar wat zal ik zeggen over mijn 'overstap'? waarvan het fundament, aangezien het door u niet wordt goedgekeurd, bij mij nu wankelt. Wankelt, zeg ik, niet instort; want al hecht ik veel waarde aan uw gezag, toch houdt een beminnelijke dwaasheid mij voor de gek, totdat u een bewijs toegevoegd zult hebben, en de zeer dierbare dwaling van het verstand kan niet anders worden weggenomen dan door de kracht van een strikt bewijs. Ik heb twee brieven aan u gestuurd, één 2) met deze termen: ay 3 − y 4 = x 4, een andere met deze: ay 3 − y 4 = aaxx. Dat dit laatste afhangt van het eerste kunt u niet ontkennen, naar ik meen, terwijl het eerste wel overtuigend het voorbeeld bewijst dat ik heb aangevoerd van een cilinder omschreven om een bol, en van een parallellogram dat een parabool insluit. Minder ontevreden bent u naar ik meen met wat ik schreef, dat de cilinder tot de 'spira', of ingesnoerde cirkelvormige ring, dezelfde verhouding heeft als een vierkant tot de ingeschreven cirkel. Schrijft u dus waar dat 'pseudarion' schuilt, opdat ik weet of u de afzondelijk aanvaarde vergelijkingen op dezelfde manier hebt vergeleken als ik. Als u het fundament waarop deze 'overstappen' berusten ontwricht, is het noodzakelijk dat ook de meeste andere dingen instorten, die ik daarop heb gebouwd. U kent de Cissoïde van de ouden. Dat deze een asymptoot heeft is tot nu toe voorzover ik weet niet naar voren gebracht. Maar die heeft ze en die is niet zonder nut. Wie namelijk het oneindige lichaam afmeet dat ontstaat uit omwenteling van de Cissoïde daar omheen, die zal eveneens ook de cirkel kunnen afmeten. Deze 'overstap' heb ik afgeleid uit hetzelfde principe als de overige, over de geloofwaardigheid ervan behoor ik echter te zwijgen, aangezien u het zo voorschrijft. 1) Naar aanleiding van deze overstroming citeert le Paige uit twee Luikse handschriften:
"Aan het begin van het jaar 1658 deed zich een zeer strenge vorst voor, en bij de dooi een grote overstroming van de Maas, die de boogbrug wegvaagde voor de eerste keer met ijs van een buitengewone dikte. Daarom kende men er het volgende chronogram aan toe: VnDIs et gLaCIe probastI Me." [met golven en ijs hebt u mij beproefd, MDCLVIII]. "De 26e van de genoemde maand [februari 1658] deed zich een grote overstroming voor van de Maas, die een voet hoger was dan in het jaar 1643 [Buisman 2000, p. 469], en daar het heel sterk gevroren had kwamen er ongelooflijk grote ijsschotsen, tot meer dan 4 voet dik, die tegen de pas gebouwde boogbrug aanstootten, ze braken er heel mooie stenen af van de pilaren en sleurden die mee; daarna heeft men ze hersteld en verankerd met dikke stukken ijzer."
[ J. Buisman, Duizend jaar weer ..., deel 4 (2000), p. 550-551.] 2) Brief No. 461. [De andere is No. 450, zie p. 122 hierboven.]

[ 145 ]

Dus vraag ik met nadruk dat u mij deelgenoot maakt van dat korte bewijs, dat u schrijft te hebben, dan zal ik verklaren dat mij een groot voorrecht is toegekend. En u zult het bij de eerste gelegenheid doen, als ik u goed ken, aangezien u wel let op het oude spreekwoord, dat hij die snel geeft tweemaal geeft. Ontvang ondertussen iets dat ik dezer dagen moest verzinnen, om de studie van vrienden, die behagen scheppen in deze beuzelarijen, hetzij aan te wakkeren, hetzij in toom te houden. Een watermassa liep zelfs de vergadering binnen, die mij daarom bij wijze van kwinkslag genoemd is de CoMItIaLIs VnDa [vergaderingsgolf, MDCLVIII]. Op hetzelfde heb ik ook gezinspeeld met deze versjes:
| Ze groeit en kraait victorie met gesmolten sneeuw,
| En die rebelse Maas verzamelt vreemd a) veel water
En nog met deze zesvoet*), om de hoogte aan te wijzen tot waar ze gestegen is:
| 't Is hier de grens voor golven: niet voorbij de streep.
In de getalletters°) ervan vindt u uitgedrukt het chronogram van het tegenwoordige jaar. Dat dit beneden uw waardigheid is weet ik wel, maar ik heb het erbij geschreven opdat u begrijpt hoe ver ik me van de meetkunde moet verwijderen, als ik de studies van vrienden wil volgen. Help me dus weer op weg, en vertel me met welk 'pseudarion' ik de boeken van de Euclides ben gaan verrijken, en u zult zeer verplichten
Tui observantissimum
Renatum Franciscum Slusium.
Dabam Leodij 4 Martij 1658. Nobilissimo Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI           A la Haye. a) infectas [Chr. Huygens]. [In plaats van 'ignotas'.] [ *) Voor de jambische zesvoet (senarius) zie Wikipedia, 'Alexandrijn'.] [ °) In de eerste twee regels stonden: M 4C 4L X 8V/U 8I = 1658, en in de laatste: MDCLVIII.]

[ 148 ]

No 472. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 12 maart 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 468. De Sluse's antwoord: No. 473. 12 Martij 1658. Slusio. Met uw Chronografische verzen, waarmee u het jaartal van de wijd en zijd optredende overstroming op zeer gelukkige wijze uitdrukt, heeft u bij mij niet alleen genoegen maar ook bewondering opgewekt, en ik erken dat ze niet (zoals u schrijft) beneden mijn waardigheid zijn, maar meer elegant dan wat ik vermag in dit soort Poëzie. Ontegenzeglijk, hoe minder dikwijls epigrammen van deze soort afgerond en niet gedwongen uitvallen, des te meer waard worden die wanneer ze gevonden zijn, en terecht.

[ 149 ]

Toevallig ging ik naar mijn vader toen uw brief mij werd overhandigd, dus heeft ook hij uw handigheid hierin toen zeer geprezen. Toen hij echter in het vervolg van de brief zag dat melding gemaakt was van een 'pseudarium', en van mij gehoord had waarop dat betrekking had, zei hij: "Kijk uit alsjeblieft, Aristarchus die je altijd weer bent, dat je niet ergens zelf op een dwaalspoor bent geraakt". Vervolgens ben ik opnieuw begonnen zorgvuldiger af te wegen wat u in de vorige brief omtrent de kwadratuur uit een 'overstap' had aangevoerd, maar ik heb bevonden dat het helemaal zo was zoals ik had gezegd. En om u niet langer te laten wachten, zal ik het duidelijk maken met het volgende bewijs. De twee krommen die u hebt uiteengezet zijn ACB en EFG 1), waarvan de eerste deze eigenschap heeft: gesteld de diameter AB = a, AD = y en de daarop loodrechte DC = x, komt er ay 3 − y 4 = x 4. En de laatste, met hetzelfde gestelde ay 3 − y 4 = aaxx. Dan staat vast: het lichaam uit omwenteling van de eerste kromme om de as AB, is tot de cilinder gemaakt door de omgeschreven rechthoek bij dezelfde omwenteling, zoals het oppervlak van de laatste kromme tot de omgeschreven rechthoek ervan. En daarom, wanneer u bevestigt dat het genoemde lichaam tot de genoemde cilinder dezelfde verhouding heeft, als de cirkel tot het omgeschreven vierkant, zal ook het oppervlak van de laatste kromme tot de omgeschreven rechthoek die verhouding hebben van de cirkel tot het omgeschreven vierkant. En dit is dan uw 'overstap'. Die zal instorten als ik zal aantonen dat de verhouding van het genoemde oppervlak tot het omgeschreven veel kleiner is. Dit zal ik nu als volgt aantonen. Genomen AD = ¾ AB, laat DC de grootste van de loodrecht aangebrachte lijnen zijn en daarmee de hoogte van rechthoek BO, en DC = √27/256 2), als voor AB de eenheid wordt gesteld. Voorts genomen AE = ½ AB, laat de loodrecht aangebrachte EF = ¼ AB of de helft van AE. En als door F getrokken wordt de rechte AFG raakt deze aan de kromme in F. Dit alles zal u wel duidelijk zijn of u zult zonder moeite bevinden dat het waar is. Nu is dus trapezium AGNB groter dan her oppervlak van de kromme ACBA. Maar ik zeg dat trapezium AGNB een kleinere verhouding heeft tot BO, dan de cirkel tot het omgeschreven vierkant. Bijgevolg zal het oppervlak van kromme ACB een veel kleinere hebben tot BO. Dat zal als volgt duidelijk worden. Aangezien AE het dubbele is van EF, zal ook GO het dubbele van OA zijn. Waaruit volgt dat het vierkant AH gelijk is aan Δ AGO. En daarom is 1) De tweede figuur had eerst de letters EFG, die Huygens veranderde in ACB. 2) Nu schrijven we: √(27/256) [het wortelteken stond in de teller].

[ 150 ]

de overgebleven HB = trapezium AGNB. Dan moet aangetoond worden dat de verhouding van HB tot BO, dat is die van de lijn HN tot ON, kleiner is dan die van de cirkel tot het omgeschreven vierkant. Ik heb gezegd dat DC of AO, dat is OH, is tot AB, dat is ON, als √27/256 tot 1. Bijgevolg heeft OH tot ON een grotere verhouding dan van 5/16 tot 1, dat is dan 5 tot 16. En daarom is die van HN tot NO kleiner dan van 11 tot 16. Maar de cirkel heeft tot het omgeschreven vierkant een grotere dan van 11 tot 15, en bijna die van 11 tot 14. Bijgevolg enz. Dat wat u hebt aangevoerd over de verhouding van de 'spira' tot zijn cilinder is wel waar, maar welke vergelijking u hebt toegepast van de vergelijkingen weet ik nog niet, en als u het had uitgelegd had ik misschien de oorzaak van de fout ontdekt; nu laat ik die aan u over om uit te zoeken. En zodra u die hebt gevonden, geef dan alstublieft aan of ook de andere 'overstap', die u uit het lichaam van de cissoïde hebt bedacht, door dezelfde instorting onbruikbaar wordt gemaakt. Opdat u het verlies van beide minder zwaar opneemt, zal ik het zo doen dat een ander later aan u wordt meegedeeld, die ik naar aanleiding van deze weerlegging erbij heb gevonden. Het ga u goed voortreffelijke Slusius en houd mij in ere Tui No 473. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 14 maart 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 472. Huygens' antwoord: No. 475. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 532. Nobilissime Domine Iets waarvan ik eerder mezelf had overtuigd is ook zo gegaan, naar ik uit uw brief heb opgemaakt, namelijk dat ik bij de uitleg van de aan u geleverde 'overstap' onduidelijk ben geweest, terwijl ik mijn best deed kort te zijn. Doch ik zou willen dat u de schuld van deze bondigheid van me niet op mij werpt, maar op uw verstand, dat zo snel is en scherp en waarvan ik al dadelijk de mening heb opgevat dat alles uit de eerste en nog heel grove lijnen er aan bekend wordt. Dus terwijl ik vaak denk dat ik wat slordig mag zijn, gebeurt het tenslotte dat ik die 'overstap' onder verdenking heb gebracht, waarvan het voor mij zó zeker is dat die zonder fouten is, als de Meetkunde zelf zeker is. Maar om u te bevrijden van de last van een lange berekening, en mezelf van de verdenking een een 'pseudarion', zal ik de zaak uitvoeriger uiteenzetten; met slechts dit vooraf gezegd: toen ik schreef dat de verhouding van de cilinder tot de 'spira' dezelfde was als die van zijn cilnder tot het nieuwe lichaam, bedoelde ik "evenzeer bekend" in plaats van "dezelfde"*); en het zou nooit gebeurd zijn dat u er onzeker over was, als u de vergelijkingen zoals ik ze had aangeduid, en waarvan ik geheel overtuigd was dat u ze zou opstellen, samen had vergeleken. U zou namelijk meteen hebben gezien dat het nieuwe lichaam een vierde deel is van de spira. [ *) Hierboven p. 135, tegen het eind: "die verhouding" (eam rationem), kan bedoeld zijn als: "zo'n verhouding".]

[ 151 ]

Om dit duidelijker te laten uitkomen: laat BIC de kromme zijn*) om de as BC, waarvan de aard wordt uitgedrukt met deze termen ay 3 − y 4 = x 4. En op dezelfde BC, als diameter, de halve cirkel BGC. Ik zeg: als uit een willekeurig punt van de halve cirkel een normaal GIH valt, die de kromme snijdt in I, zijn de drie BH, HI en HG continu evenredig. Wat ik kort aantoon. BH is y, HI is volgens de aard van de lijn √√(ay 3 − y 4), en GH volgens de aard van de cirkel √(ay − yy). Het blijkt dus dat de drie y, √√(ay 3 − y 4), en √(ay − yy) evenredig zijn, daar het produkt van de uitersten gelijk is aan het kwadraat van de middelste. Nu dit gesteld is, volgt duidelijk: als men zich voorstelt dat de halve cirkel BGC wordt gewenteld om de raaklijn BA, en evenzo de kromme BIC om de rechte BC, zal het lichaam dat uit deze laatste is voortgebracht de helft zijn van de halve 'spira'. Daar de rechthoek BHG (die bij de omwenteling verdubbeld wordt) steeds gelijk is aan het vierkant op HI. Dit is namelijk tot dusver door velen aangetoond, en ik denk dat het u niet onbekend is. Dus u ziet: als bekend is de afmeting van het lichaam uit de kromme BIC of de verhouding daarvan tot de cilinder ontstaan uit omwenteling van het parallellogram BD, zal tevens bekend zijn de verhouding van de halve spira (daar deze dubbel is) tot dezelfde cilinder, en dientengevolge tot de omgeschreven cilinder ervan, daar er een bekende verhouding is van de cilinders bij de halve spira en het nieuwe lichaam omgeschreven. En als de verhouding van de halve spira tot zijn cilinder ter beschikking is, ontkent u niet dat ook de verhouding van de cirkel tot het omgeschreven vierkant bekend is; en daaruit bestaat de sterkte van onze 'overstap', zoals ik u geschreven heb. Nu vind ik het overbodig de andere kromme verder uit te leggen, die is bevat in deze termen: ay 3 − y 4 = aaxx, daar het ook door u is gedaan en vanzelf bekend wordt. Dus kom ik tot de Cissoïde. Laat die, of liever zijn kwadrant, zijn AB, beschreven in een kwadrant van de cirkel AB. Het staat vast dat, genomen een willekeurig punt G, en getrokken de normaal GHI, de vier CH, HG, HA en HI continu evenredig zijn. Nu moet in C een oneindige normaal worden opgericht, en voorbij B moet een willekeurig punt K op de cirkel worden genomen, waaruit de normaal KL,verlengd tot M welteverstaan, zodanig moet vallen dat de drie KL, LA en LM evenredig zijn; dan zullen dientengevolge de vier CL, LK, LA en LM continu evenredig zijn. En dit moet steeds gedaan worden totdat door de punten M een kromme kan worden getrokken, zoals gebruikelijk is. Het zou verloren moeite zijn te laten zien dat deze nooit samenkomt met de in C opgerichte normaal, daar het uit de beschrijving zelf wel duidelijk is. Daar komt bij een bewijs op grond van raaklijnen die ik vroeger heb getrokken, en ik twijfel er niet aan dat het zonder moeite door u kan worden opgesteld. Pas nu dan de bovenstaande bewijsmethode toe, en u zult duidelijk inzien [ *) De Sluse's tekening (origineel in HUG 45) is gebrekkig. Hiernaast met Geogebra (a = 2, x en y zijn verwisseld): punt I moet hoger liggen, de kromme snijdt de halve cirkel in diens top.]

[ 152 ]

dat de halve 'spira' gelijk is aan het scherpe oneindige lichaam dat ontstaat door omwenteling van de Cissoïde om de asymptoot. Waaruit de manier van een derde 'overstap' bekend wordt, en iets dat mijns inziens voor de ouden verborgen is gebleven: dat uit een beschouwing van de Cissoïde niet slechts een analyse van twee middelevenredigen tussen gegeven lijnen kan worden afgeleid, maar zelfs ook de meting van de cirkel. U ziet nu naar ik meen, dat ik niets heb misdaan tegen de wetten van de Meetkunde, en dat ik niet beschuldig moet worden van een 'pseudarion' maar van onduidelijkheid, die u met uw gebruikelijke voorkomendheid zult verontschuldigen. Maar als misschien iets u tot dusver niet genoeg uitgeplozen lijkt te zijn, schrijf het alstublieft en u kunt van mij een oplossing verwachten. Ik herinner me dat ik op dit gebied vrij bedreven ben, en dat ik een rijke oogst aan nieuwe lichamen en 'opstappen' heb verzameld. Deze dingen (zoals ook andere, wanneer u het verlangt) wilde ik u meedelen met dat vertrouwen op geheimhouding, dat ik me heb voorgenomen bij het uwe te bewaren en ik zal het in het vervolg in stand houden. Dat mijn versjes door die grote man uw Vader [<] en door u goedgekeurd worden, is meer dan ik hoopte en zelfs wenste. Dit gaf me de moed u een puntdicht te zenden waarin ik zinspeel op de dag waarop de rivier buiten de bedding is gegaan waarlangs hij neerbruiste, en op de bede die in het openbaar gehouden is. En u zult in de verzen ervan het getal van dit jaar viermaal uitgedrukt vinden.
VnDas MathIas In pLateas CongerIt, CeDIt, geMItqVe LegIa; LaMbertVs orat, et preCantIs In fIDe abeVnt CaLenDIs MartIIs. Mathias*) werpt golven op de straten, Luik loopt onder, kermend, kreunend; Lambertus gelovig biddend, smekend Eerste maartdag gaan ze weg.
Het ga u goed, zeer voortreffelijk heer, en ga voort met beminnelijk te zijn tegenover Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. 14 Martij 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. [ *) 24 februari.]

[ 154 ]

No 475. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 22 maart 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 473. De Sluse's antwoord: No. 476. 22 Mart. 1658. Slusio. Waar, uitstekend en scherpzinnig is deze laatste 'overstap' van u, en geheel duidelijk. De voorgaande echter is terecht door mij afgekeurd; ik ben namelijk ook niet geneigd te geloven dat u kortheidshalve dezelfde verhouding hebt geschreven voor evenzeer bekend. U weet maar al te goed hoezeer deze uitdrukkingen verschillend klinken voor meetkundigen, en u zou niet willens en wetens misbruik hebben willen maken van mijn tijd en de uwe. Zeker toen het vergelijken van vergelijkingen gevonden was, waarnaar u mij wilde laten zoeken, heeft uw bewering mij daarom niet minder fout geleken. Dat zoeken was evenwel overbodig, aangezien ik al langs een andere, kortere weg had opgemerkt dat uw theorema ongerijmd en ondeugdelijk was. Zonder enige beschouwing namelijk van het uit de tweede lijn ontstane lichaam, had ik gevonden dat van de eerste lijn*) het oppervlak de helft is van de omgeschreven cirkel°); en dat het daarom niet tot de omgeschreven is, zoals de cirkel tot het omgeschreven vierkant, wat uit uw mening volgde. Ik wist dus dat bij een gegeven verhouding van deze kromme de kwadratuur van de cirkel gegeven is, en bovendien wist ik dat dit net zo'n verhouding is als de verhouding van de cilinder tot het ingesloten lichaam van de laatste kromme. Inderdaad was me ook niet ontgaan dat evenzeer bekend is de verhouding van de cirkel tot het vierkant er omheen, en ook van het genoemde lichaam tot de genoemde cilinder. Maar dat u dit hebt willen bedoelen toen u zei dat de verhouding dezelfde was, is nooit bij me opgekomen. Ik was er immers ook niet zeker van dat u nooit een fout zou kunnen maken, ook al zag ik enkele zeer uitstekende dingen van uw verstand en scherpzinnigheid. Maar ik heb het nu al teveel over deze dingen, waarvan ik toch vond dat ze niet geheel weggelaten moesten worden, opdat het niet zou lijken dat ik het verreweg zwaarste vergrijp van een onbezonnen berisping licht zou opvatten, of onverdiend op me zou nemen. Over het oneindige lichaam van de Cissoïde dat u voor mij uiteenzet: het is zeer bijzonder, zoals ook deze hele methode om lichamen met elkaar te vergelijken. Of u echter ook een andere, nog elegantere eigenschap van deze lijn hebt opgemerkt, stel mij ervan in kennis alstublieft. Want als als u die niet kent, zal ik deze in ruil geven voor die van u. Het ga u goed, weldele heer en geloof me, ik heb nog steeds dezelfde genegenheid voor u Tui observantissimum. [ *) Zie p. 135: ay 3 − y 4 = xxaa, de eerste 'parel' van de Sluse.] [ °) Zie T. 14, p. 305.]

[ 155 ]

No 476. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 26 maart 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 475. Huygens' antwoord: No. 479. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 534. Nobilissime Domine Het vergrijp van een onbezonnen berisping, u moet niet vrezen dat het u is overkomen, ik beken zelfs dat ik door u niet onbezonnen ben berispt, maar met een goede reden; daar ik immers met een dwaze uitspraak de aanleiding ervoor heb gegeven, dat u mijn opvatting in andere zin aannam dan ik wilde. En als het bij me was opgekomen dat uw bezwaar hierin zat, had ik me dadelijk met de eerste brief aan u gerechtvaardigd, maar dat het zelfs niet vaag door mij is gezien, geeft dat voorbeeld wel aan dat ik toen aanvoerde, van het oneindige lichaam voortgebracht door de Cissoïde. U hebt er dus juist aan gedaan te oordelen dat ik een fout kan maken. Treurig is immers dit privilege van onze sterfelijkheid, ik beken dat ik er gebruik van heb gemaakt, zij het tegen mijn zin, och was het maar niet zo vaak. Ondertussen zal ik mijn best doen, hierna met nauwkeuriger zorgvuldigheid te voldoen aan uw zeer weloverwogen beoordeling, waarbij het niet is toegestaan slordig te zijn, zoals die bekende man zegt*). En nu genoeg hierover. Een eigenschap van de Cissoïde dan: behalve die welke ik heb aangevoerd, en andere die betrekking hebben op raaklijnen, die ik op twee manieren heb getrokken, heb ik geen wetenswaardige nieuwe opgemerkt. Ik verwacht dus van u die elegantere, die u belooft. Hier gebt u ondertussen bij voorbaat wat ik heb bedacht over de Hyperbool. Laat er een hyperbool zijn waarvan de as is BI, de top K; de asymptoten zijn BG en BC (die met het oog op een makkelijker berekening een halfrechte hoek moeten insluiten), een naar de asymptoten verlengde ordinaat is AEDC. We stellen ons voor dat om CM, evenwijdig met de as, worden gewenteld zowel de hyperbool EKD als de driehoek ABC. Allang is aangetoond dat, als de verhouding van de voortgebrachte lichamen bekend zou worden, eveneens de afmeting van de hyperbool bekend zal zijn. Trek nu op de asymptoot BC een normaal CG, die de andere asymptoot ontmoet in G, en de hyperbool in H en F. Ik zeg dat, als zowel de driehoek GBC als de hyperbool HKF wordt gewenteld om de rechte BC, de verhouding van de erdoor voortgebrachte lichamen bekend is, en dat daardoor toch niet de kwadratuur van de hyperbool gegeven wordt. [ *) Lat."per quam non licet esse negligentem", Catullus, Carmina X, eind; Fr. 1653; Engl. 1894.]

[ 156 ]

Het is niet ongelijk aan wat gebeurt als de hyperbool EKD wordt gewenteld om LBM, een rechte door het middelpunt evenwijdig aan de ordinaat; de gemaakte ring kunnen we namelijk gemakkelijk meten, terwijl de hyperbolische spoel, ontstaan door omwenteling van dezelfde hyperbool om ED tot dusver door niemand is gemeten. Deze dingen kunnen voor anderen misschien verbazend lijken; maar niet voor u, die makkelijk de reden doorziet, en die vroeger helder en scherpzinnig de verbinding hebt laten zien die er ligt tussen het vinden van het zwaartepunt en van de kwadratuur*). Schrijf ondertussen of u zich wel eens hebt beziggehouden met dezelfde overdenkingen als ik over deze lichamen, en geloof dat ik steeds met voortdurende genegenheid ben Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Leodij 26 Martij 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. [ *) In zijn eerste publicatie, Chr. Huygens, Theoremata de quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, ex dato portionum gravitatis centro, Leiden 1651, Ned. ]

[ 163 ]

No 479. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 5 april 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 476. De Sluse's antwoord: No. 481.
5 Apr. 1658.
Slusio.
Nobilissime Domine Wat u schrijft over de afmeting van het Hyperbolische lichaam uit omwenteling om de ordinaat door het middelpunt van de kegelsnede, had ik lang geleden opgemerkt, daar het duidelijk volgt uit het evenwicht van een gedeelte van een hyperbool en de er tegenover liggende driehoek, bevat door de asymptoten, dat zoals u weet de basis is geworden van mijn kwadratuur*). Doch over dat andere lichaam van u, dat ontstaat door omwenteling om de asymptoot, had ik inderdaad nooit nagedacht, maar ik zie dat het kan worden afgeleid uit dezelfde gelijke zwaarte van een gedeelte en van een driehoek°). Of ook uit die eigenschap van de Hyperbool, waarmee een parallellogram tussen de asymptoten en de kegelsnede aan elkaar gelijk worden verkregen. Waaruit Torricelli#) ook [ *) Zie Theorema V van het genoemde werk van 1651, Ned.] [ °) Zie T. 14, p. 309 e.v.] [ #) Evangelista Torricelli, Opera (1644), 'De dimensione parabolae solidique hyperbolici', p. 136.]

[ 164 ]

de meting van een oneindig lichaam vroeger heeft gevonden. En ik het eerste verband van het zwaartepunt met de kwadratuur, al heb ik een bewijs geleverd dat verschillend is van het zijne. Als we de hyperbolische spoel die u noemt gelijk zouden kunnen maken aan een cilinder, zou de kwadatuur ongetwijfeld gevonden zijn. Maar dit heb ik al lang voor onmogelijk gehouden. Ik kom tot de heel bijzondere eigenschap van de Cissoïde, die ik u met wel des te meer genoegen meedeel, omdat als u deze Lijn niet eerst in het midden had gebracht, ik die misschien nooit in onderzoek had genomen. Laat er een Cissoïde AEBC zijn. De cirkel waaruit ze is voortgebracht is ABD. De asymptoot is DG. Ik zeg dat het oppervlak gelegen tussen deze en de Cissoïde en de lijn AD, het drievoudige is van de halve cirkel ABD. Iets dergelijks heb ik tot nog toe bij geen andere krommen gevonden. Want het oppervlak tussen de hyperbool en de asymptoot, zoals het oneindig is bij uitbreiding, zo ook in grootte, evenals bij de Conchoïde, al gaan de beide lichamen een bepaalde grootte niet te boven. Als nu aan de andere kant van de lijn AD dezelfde Cissoïde wordt ontrold, zal van het aan weerskanten oneindige oppervlak het zwaartepunt L zijn, AD zodanig verdelend, dat deel AL het vijfvoudige is van LD. Wat bekend wordt op grond van uw vondst en mijn vondst samen. Bijgevolg zal ook door omwenteling van de Cissoïde en de asymptoot rondom de as AM, evenwijdig aan de laatste, een oneindig lichaam ontstaan uit het oppervlak ABCGD, dat het vijfvoudige is van de halve 'spira' uit de halve cirkel ABD. Wat u allemaal wel duidelijk doorziet. Ik voeg erbij een 'overstap' naar de kwadratuur van de cirkel, zodanig als er niet veel voorkomen. Als namelijk het oppervlak AEBM, bevat door de Cissoïde van Diocles (want de verlengde moeten we die van Slusius noemen) en de rechten AM en MB, waarvan de laatste de halve cirkel raakt in de top; dit oppervlak, zeg ik, als we een eraan gelijk vierkant of een eraan gelijke cirkel kunnen geven, zal de zaak van de Kwadratuur van de Cirkel tot stand gebracht zijn. Meer toevoegen kan ik niet wegens gebrek aan tijd. Behalve dit ene, dat ik ben Tui observantissimum

[ 167 ]

No 481. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 12 april 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 479. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 535. Nobilissime Domine Ik was de stad uit toen uw brief bij ons is bezorgd, waardoor het kwam, dat ik hem later ontving dan behoorde. Maar hij heeft dit uitstel overvloedig gecompenseerd; nauwelijks kan worden gezegd hoe blij ik ben met uw vondsten, maar het meest met die waarbij u het oppervlak hebt gemeten tussen

[ 168 ]

de Asymptoot en mijn Cissoïde (als u deze zo genoemd wilt hebben). Niet omdat u een eindig oppervlak hebt gevonden dat gelijk is aan een oneindig oppervlak (dit is immers al vaak gedaan), maar omdat uit de samengebrachte vondsten van u en mij, zowel het zwaartepunt als de meting van dat cilindroïdische vaasje met weinig moeite kan worden afgeleid; ik bedoel van dat vaasje, met een gewicht dat niet groot is, dat geen zwelger toch ooit zal leegdrinken*). Een bewijs hebt u er niet bijgedaan, ik denk opdat ik het van mezelf zou verlangen. Maar ik heb geen tijd om lang bezig te zijn met deze dingen, die niet weinig studie vereisen, meen ik; en ik heb er ook geen zin in, daar ik mag hopen dat ik het zonder bewaar van u kan ontvangen. Zoudt u het dus aan mij willen sturen, dan zal ik verklaren dat mij een zeer grote dienst is bewezen. Verneem intussen wat ik zal teruggeven als u het zo voorschrijft. Laat er een lijn zijn met AB als as, en daarop loodecht de halve ordinaten EF en DC. En de eigenschap ervan moet zodanig zijn, dat de verhouding die EF tot DC heeft, of een willekeurige macht van EF tot een willekeurige macht van DC, dezelfde is als van het product van AF en FB, tot het product van AD en DB; of van het product van een macht van AF en een macht van FB tot het product van een macht van AD, zoals die genomen is voor AF, en een macht van DB, zoals voor de vorige FG. Van deze lijn, of liever van al deze lijnen (want er zijn oneindig veel oneindigheden) heb ik met een enkele korte regel de raaklijnen gevonden, die u dadelijk van mij zult ontvangen, zo u wilt. Bij de meeste heb ik de kwadraturen en zwaartepunten en ook lichamen gevonden, niet bij alle; wie ze namelijk bij alle vindt, die zal de kwadratuur van de cirkel echt meer dan eenmaal hebben gevonden. U merkt wel op, meen ik, dat deze beschrijving al die lijnen omvat die ik tot dusver met u heb behandeld. Ik heb ook veel andere bedacht, zoals ook u hebt gedaan, denk ik, want de zaak is eindeloos. Het ga u goed voortreffelijke heer en houd in ere Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Leodij 12 Aprilis 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. [ *) Zie T. 14, p. 199, n.17,: het gaat om het omwentelingslichaam tussen een cissoïde en de asymptoot om een as evenwijdig met de asymptoot door de punt (AM in de 2e figuur op p. 164); de buitenkant van het oneindig hoge vaasje is een cilinder, vandaar 'cilindroïdisch'. T. 4, p. 239 (1e alinea): Huygens vond in 1662 nog zo'n vaasje, toen 'beker' genoemd, bij de Gutschoven-kromme.]

[ 177 ]

No 486. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 21 mei 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 487. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 536. Nobilissime Domine Op uw laatste brief van de 5e van de afgelopen maand heb ik dadelijk geantwoord 1), met de vraag of u voor mij een kopie wilde maken van dat bewijs, waarmee u het oneindige oppervlak van mijn Cissoïde hebt gemeten. Maar het is al een maand, en langer, dat ik tevergeefs wacht op een brief van u. En daar ik weet dat dit niet in overeenstemming is met uw beleefdheid, moet ik wel vrezen dat uw gezondheid is getroffen door de onbestendigheid van het weer, die deze hele provincie geslagen heeft met ziekten onder het volk. Ook ik ben geplaagd door heesheid en verkoudheid, scherpe hoest, maar meer door een moeilijk bewegen van het lichaam, niet zonder lichte koorts, waarvan ik echter na enkele dagen zonder medische zorg bevrijd ben. Stel mij op uw beurt ervan in kennis, hoe het met u is gegaan, of ik blij kan zijn dat u steeds een constante gezondheid ten deel is gevallen, of dat ik u tenminste kan feliciteren (wat ik hoop en wens) met een herstelde gezondheid. Het ga u goed. Leodij xxj May MDCLViij. Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. 1) Zie brief No. 481.

[ 178 ]

No 487. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 28 mei 1658. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 486. De Sluse's antwoord: No. 489. Slusio. Nobilissime Domine Dat u schrijft dat ook bij u de voormalige gezondheid na een korte kwaal hersteld is, en dat u bezorgd naar de mijne vraagt, elk van beide is zeer dankbaar stemmend. Ik ben door geheel en al dezelfde ongemakken gekweld geweest als u vermeldt dat u zijn overkomen, en met mij allen die in ons huis, ja zelfs in die de hele stad verblijven. Maar de ziekte heeft mij weinig dagen ontnomen. Meer echter de lastige bezigheden waarmee ik me, ik weet niet hoe verstandig het is, heb ingelaten*). En daardoor heb ik hier vrij wat dagen verspild. Zo was ik gedwongen enige tijd vrij te nemen van die zeer aangename studies waarvan onze briefwisseling vol is. Ik had besloten het bewijs dat u vroeg in voltooide staat aan u te sturen en vrij van alle getallen, maar [ *) Waarschijnlijk in verband met het nieuwe slingeruurwerk. Zie T. 17, p. 78, 80: "10 Maij, 2 Copijen authentycq doen schrijven van het octroy en attache ..." "21 Maj. Eén attestatie doen schrijven van de Schoolmeester van Schevelingh ..."]

[ 179 ]

aangezien dat meer tijd vereist, en ik mijn aantekeningen*) nu niet bij de hand heb, waaruit het samengesteld zou moeten worden, zal ik hier intussen een samenvatting of liever een proeve van het bewijs bijschrijven; het is niet zonder subtiliteit en ik kon het me tenslotte nauwelijks in de herinnering terugroepen. ACB is de cirkel waaruit de Cissoïde-lijn ADE is ontstaan. Een raaklijn aan de cirkel is BF, loodrecht op de diameter AB. Ik heb dus gezegd dat het oneindige oppervlak, gelegen tussen de kromme ADE, en de rechten AB en BF, het drievoudige is van de halve cirkel ACB. Opdat dit duidelijk wordt moet een of andere ACEF getrokken worden, die van het genoemde oppervlak het deel ADEFBA afsnijdt. En laat BMN een kwadrant zijn van een cirkel, beschreven met straal BN gelijk aan AB; en genomen boog BR gelijk aan BC, wordt de rechte RBK getrokken. Ik zal dan aantonen dat het afgesneden gedeelte ADEFBA gelijk is aan deze twee: het cirkelsegment BVR of BXC en de sector BKM. En daar dit altijd zo is, hoe ACEF ook wordt getrokken, zult u hieruit gemakkelijk inzien dat tenslotte het oneindige oppervlak dat ik noemde gelijk is aan de halve cirkel ACB en de hele sector BMN, en dat het daarom het drievoudige van de halve cirkel ACB is.

Opdat het nu bewezen wordt voor het afgesneden oppervlak, verdeel ik boog CXB in gelijke deeltjes, en met door de deelpunten getrokken rechten ADG enz. beschrijf ik een figuur in het oppervlak ADEFB, zoals u ziet, bestaande uit de trapezia EG, DP enz. Boog BR wordt in evenzoveel delen verdeeld, en met de door B getrokken rechten maakt dit ook evenveel gelijke delen in sector BKM. Laat RO en TV en evenzo KL en SQ evenwijdig zijn met AB. Nu toon ik aan dat trapezium EG gelijk is aan de tegenover elkaar liggende driehoeken ROB en BKL; evenzo trapezium DP aan de twee driehoeken TVB en BSQ, enz. Waaruit u het overige gemakkelijk zult opmaken. Dat trapezium EG gelijk is aan de driehoeken ROB en BKL bewijs ik als volgt. Het kwadraat van AF is gelijk aan de kwadraten van FB en BA, waarvan dat van FB gelijk is aan de kwadraten van FC en CB. Dus het kwadraat van AF = de kwadraten van de drie FC, CB en BA. Daarom zal ook de driehoek op AF beschreven, namelijk AFG gelijk zijn aan drie hiermee overeenkomende driehoeken samen, beschreven op de rechten FC, CB en BA. Dat is: op de rechten AE, BR en BK. AE is immers gelijk aan FC volgens de eigenschap van de Cissoïde, en volgens de constructie is BR = BC, en BK = BA. En de driehoeken op de rechten AE, BR en BK, overeenkomend met die AFG zijn: AEH, BRO en BKL. Dus deze zijn gelijk aan de ene driehoek AFG; en als aan beide kanten wordt weggelaten driehoek AEH, blijft over: trapezium EG is gelijk aan de twee driehoeken BRO en BKL, wat het voorgestelde was. Maak nu het overige hieruit op volgens wat ik vooraf heb laten gaan. Een volmaakt bewijs zou zijn met afleiding naar het onmogelijke°), en het zou ook omgeschreven figuren vereisen, terwijl we hier alleen ingeschreven figuren hebben beschouwd. Ondertussen vraag ik u hiermee tevreden te zijn, en het voor uzelf te houden en aan niemand anders toe te vertrouwen. In Den Haag is twee of drie keer een voortreffelijke jongeman naar me toegekomen, de heer Brunetti #) uit Florence, aangekomen uit Frankrijk en hier vandaan naar Duitsland vertrokken; hij zei dat hij Torricelli als leermeester had gehad, zij het slechts korte tijd, en dat hij met u in Rome vriendschap is aangegaan. Het meest hebben we dus over u gesproken en zo voortdurend, dat het waarschijnlijk is dat uw oren getuit zouden hebben. Het ga u goed, uitnemende heer en houd mij in ere. Amstelod. 28 Maj. 1658. Als beloning had u beloofd een methode waarmee raaklijnen aan kromme lijnen worden getrokken. [ *) Zie T. 14, p. 309 e.v.] [ °) Vergelijk No. 483, aan Wallis gestuurd. Daarbij schreef Huygens (p. 173): "Ik heb het bewijs hiervan aan de heer de Sluse gestuurd; maar dit hier is mooier."] [ #) Ook genoemd in No. 591 (Huygens aan Boulliau). Zie ook T. 22, p. 532, n.29 met bijvoegsel.]

[ 180 ]

Maar u zult iets doen dat voor u minder lastig is en dat ik veel liever heb, als u de constructie van twee middelevenredigen met behulp van een Ellips geeft, waarvan u beweerde dat die korter is dan de mijne, die vroeger naar u is gestuurd [<]. Langs welke weg ik een brief naar de heer Hodierna op Sicilië kan zenden, die waarlangs de brief gekomen is die ik heb, of een andere, als u dit weet duid het me dan aan alstublieft. Ik ben hem namelijk een antwoord schuldig, en hier doet zich geen gelegenheid voor 1). 1) Chr. Huygens lijkt deze laatste zin geschrapt te hebben.

[ 182 ]

No 489. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 7 juni 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 487. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 537. Nobilissime Domine Een groot genoegen kreeg ik bij uw laatste brief, zowel omdat deze mij deelgenoot heeft gemaakt van de constructie voor een bewijs van die subtiele vondst van u, waarvoor ik de grootste dank heb; als ook vooral omdat deze mij een bevestiging heeft gegeven van uw gezondheid, waarvoor ik niet voor niets had gevreesd. Eén ding trof me onaangenaam, dat ik begreep dat u door verschillende zaken in beslag wordt genomen; hoe dit namelijk de regelmaat van onze gemeenschappelijke studies verstoort, heb ik allang zelf ondervonden. Ik wijt het aan dergelijke beslommeringen, dat ik het bijna voltooide boekje over middelevenredigen niet heb afgemaakt; ik had besloten het u de afgelopen winter te sturen, maar het was niet mogelijk vrij te zijn. Ondertussen zal ik er moeite voor doen dat het in deze zomermaanden klaar is en aan uw oordeel wordt onderworpen, tenminste voor mijn vertrek uit deze provincie. Ik zal namelijk weggaan, tenzij zich iets anders voordoet, september aanstaande naar Italië, afgevaardigd door de Mijnen wegens openbare aangelegenheden. Maar overal waar ik onder de hemel geplaatst word zal ik getuigenis afleggen van uw verdienste, en mij gewillig en met genoegen aan uw dienst wijden, wanneer u het zo voorschrijft. Daaraan voorafgaand krijgt u de constructie voor de Verdubbeling van de kubus, die u zonder veel moeite zult toepassen op andere die gegeven zijn. Laat gegeven zijn AB en BC, in de verhouding van het dubbele; BC wordt doormidden gedeeld in O, opgericht wordt de normaal OE, gelijk aan AB, en de verbinding van A met E wordt doorgetrokken tot H, zodanig dat AE en EH gelijk zijn; en als OE doormidden is gedeeld in F, wordt eraan evenwijdig getrokken CG. Dan wordt om de diameter AH een halve ellips beschreven, waarvan GC 1) een van de ordinaten is, en met als middelpunt F en afstand FC een boog CKB, die de Ellips in elk geval zal snijden in punt K; als hieruit de normaal KD valt, zal deze van de rechte BD de kleinste van de twee gezochte afsnijden. Het bewijs wordt zonder moeite gehaald uit de constructie zelf. Ik voeg er dus niet meer aan toe, en zal binnenkort oneindig veel dergelijke geven, of tenminste de methode ervan, waarover u verbaasd zult zijn, weet ik, dat deze tot dusver bij niemand is opgekomen. Ik heb veel genegenheid voor de voortreffelijke jongeman Cosmo Brunetti [>], met wie vroeger in Rome en hier in Luik vriendschap is ontstaan; en daar ik vaak heb ondervonden dat ik door hem word gewaardeerd, vrees ik dat hij zich teveel aan zijn gevoelens heeft overgegeven in die gesprekken die hij over mij heeft gehad. 1) [Add. p. 634, l.28:] D.w.z. AH en GC zijn geconjugeerde diameters. [? AH is geen diameter, BH ook niet: BF // AH.]

[ 183 ]

Maar het is terecht gebeurd, dat hij die met u heeft gehad, en als er iets is misdaan weet u het wel verstandig te corrigeren en vriendelijk te excuseren. Ik vraag u met nadruk dit te doen. Het ga u goed, voortreffelijke heer. Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Dabam Leodij vii Junij MDCLViij. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye.

[ 190 ]

No 495. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 5 juli 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: 11 juli 1). Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 538. Nobilissime Domine Gisteren ontving ik enige exemplaren van de Problemen die onlangs in Frankrijk zijn voorgesteld, en al ben ik ervan overtuigd dat ze langs een andere weg bij u zijn gekomen, toch wilde ik het niet zover laten komen, dat ik van de mijne niet ook u deelgenoot zou maken, zowel omdat ik elke gelegenheid graag aangrijp om u aan te spreken, die ik om uw verdienste hoogacht, als om naar uw mening te vragen, of om te weten of u bezig bent geweest met een analyse daarvan. Ik had het eerste ervan al lange tijd in mijn Aantekeningen opgelost staan, maar op de overige heb ik tot dusver mijn aandacht niet gericht; ik zal het echter doen als mij wat tijd overblijft. Hetzelfde zult u ook doen, denk ik, op het werk is immers een prijs gesteld. Ik bedoel niet dat goud, ik weet dat het beneden uw waardigheid is; maar de roem die u zal achtervolgen als u de zaak afgedaan zult hebben, zoals ik hoop. Het ga u goed, voortreffelijke heer en houd mij in ere zoals u doet Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dabam Leodij v Julij 1658. 1) Deze brief is niet gevonden.

[ 191 ]
No 496.

#### R. F. de Sluse aan [Christiaan Huygens].

Aanhangsel bij No. 495.

Het stuk is in Leiden, coll. Huygens.
Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 538.

Tussen gegeven uitersten twee middelevenredigen te vinden.
Een 'overstap'.

Laat er twee gegeven lijnen zijn, de grootste AF en de kleinste FC, zo bij elkaar geplaatst, dat als beide doormidden gedeeld zijn in D en E, de rechte DE loodrecht staat op FC. Het parallellogram AC wordt voltooid, DQ wordt getrokken evenwijdig met AB, en door punt A wordt de rechte HAG getrokken die de verlengde rechten CB en CF ontmoet in H en G, zodanig dat de verbindingslijn van D en G gelijk is aan QH. Ik zeg dat de vier AF, FG, HB en FC continu evenredig zijn enz.

Een andere.

Laat weer twee lijnen gegeven zijn, AB en AQ. Met als middelpunt B en afstand BA wordt de boog AN beschreven, die wordt ontmoet door de normaal QN; en als de rechte AN is getrokken, en AB doormidden gedeeld in F, wordt de normaal FC opgericht, die in C wordt ontmoet door AC, gelijk aan AN. En getrokken wordt QC, en daarmee evenwijdig AE, die gesneden wordt door de rechte CED die de verlengde BA ontmoet in D, en die CE en DA gelijk maakt. Ik zeg weer dat de vier BA, DE, DA en AQ continu evenredig zijn enz.

[ 199 ]

No 502. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 23 juli 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op brief van 11 juli 1). Huygens' antwoord: No. 511. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 539. Nobilissime Domine Daar ik een week in Trudonopolis 2) was gebleven, samen met afgevaardigden van de Academie van Leuven, wegens openbare aangelegenheden die tussen ons en deze gebeuren, heb ik bij mijn terugkomst twee dagen geleden uw brief van de 11e van deze maand hier gevonden, en tot mijn grote genoegen heb ik geleerd hoever u bent gekomen met de analyse van de Problemen die uit Frankrijk zijn gestuurd. Tot dusver was het mij weliswaar niet mogelijk hierover na te denken, maar daar ik in mijn Aantekeningen de afmeting van de oppervlakken CAF en CZY 3) had, en het zwaartepunt van de twee op de rechten CF en CY, heb ik zonder moeite die zelfde lichamen gemeten waarover u mij schreef. Namelijk met behulp van de Centrobaryca [<], en ik ben ervan overtuigd dat u ook langs deze weg bent gegaan. Nu blijft over wat ik als moelijkste zie, en dit is het enige waarom het Probleem naar ons is gestuurd, wat u zult begrijpen uit het bijgevoegde blaadje 4) dat u, als u het elders vandaan hebt ontvangen, aan de Leidse Meetkundigen of anderen kunt geven. 1) Deze brief is niet gevonden. 2) Als directeur van het kapittel van St. Lambert was de Sluse in Sint-Truiden geweest om de belangen van dit kapittel te verdedigen tegen de Universiteit van Leuven [zie ook Le Paige, p. 500: de Sluse aan Pascal, 23 juli 1658 "touchant l'extension de leurs privileges en l'étendue de cest estat"]. 3) Zie de eerste figuur van het stuk No. 494 [cycloïde]. 4) Dit is het zelfde stuk, weergegeven als No. 494.

[ 200 ]

Och, ik hoop dat er voor mij tenminste zoveel tijd over blijft, dat ik dat bijna voltooide werkje over twee middelevenredigen kan afmaken; maar tot dusver ligt het bij de goden op schoot*). Ondertussen zal ik mijn best doen mijn belofte na te komen, niets aangenamers kan mij namelijk overkomen dan bij gelegenheid te betuigen, hoezeer ik van harte ben en in het vervolg wil zijn Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Dabam raptim 23 Julij 1658. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. [ *) Gr.: 'theôn en gounasi keitai', Homerus, Ilias, (ed. Gr. Lat., Bas. 1606), XVII, 514, verwijzend naar de spindraad van de schikgodinnen.]

[ 209 ]

No 511. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse]. 6 september 1658. 1) Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 502. De Sluse's antwoord: No. 514. Samenvatting: Werkje. Reis naar Rome. Franse problemen. Horologium. Wallis' Commercium epistolicum. Chr. Hugenius, Slusio S. D. 6 Sept. 1658. Nobilissime Domine Ik zend u de beschrijving van ons Uurwerk 2) niet zozeer opdat u daaruit de bouw ervan leert (aangezien u die automaat ongetwijfeld al hebt bekeken, daar er van die soort enige naar Luik gebracht zijn), maar opdat deze prikkel er voor u nog bijkomt om uw aan ons beloofde nachtelijke werk ook op tijd uit te geven. Zie, nu zijn de hondsdagen al voorbij, en nog hebt u uw belofte niet vervuld. Daardoor vrees ik dat de reis naar Rome mijn hoop ijdel maakt. Maar als het noodzakelijk zo moet gebeuren vraag ik u mij aan te geven over hoeveel tijd u zich gereedmaakt voor vertrek. Het is al lang dat ik aan Johannes Hodierna de Siciliaan 3), de schrijver van een Systeem van Saturnus 4), een antwoord 5) verschuldigd ben; daar ik tot nu toe niet wist langs welke weg ik het naar hem kon zenden, zal ik nu aan u verzoeken, mijn brief met u naar Rome te willen meenemen, en daarna er verder voor te zorgen dat hij op Sicilië aankomt. En ik hoop dat u overeenkomstig uw vriendelijkheid deze dienst op u zult nemen zonder bezwaar te maken. 1) Met een exemplaar van zijn Horologium. [Adversaria]. 2) Christiani Hvgenii à Zvlichem, Const. F. Horologivm. Hagae Comitvm. Ex officina Adriani Vlacq. M.DC.LVIII. in 4o. [Ned., Engl.] Volgens zijn Adversaria zond Chr. Huygens exemplaren ervan aan de volgende personen:
Staten, De Wit, Wallis, Colvius, Paget, Calthof, Van der Wal, Heinsius, Vossius, Burcht, Hooft, Hodierna, Gutschovius, Tacquet, Van Langeren [<], P. Gregorius à St. Vincentio, Sarasa, M. Chapelain, Milon, Carcavy, Bouillaut (noch 2), Monmor, Roberval, Meibomius, Langius, Bartholinus, Sluse, Schoten (3), Kechel, Gool, Bornius, P. Seghers [<], Kinner, Post, Bruno (de Rector tot Hoorn), Eibergen, Hevelius, Boddens, Papa, Broer Lodewijk (noch 3), M. Brus, Pres. Dedel, Van Leeuwen, Hereboord, Elsevier van Leyen, Princ. Elisabeth, Eiberg, Le Ducq, Otter, Pieck, Coster (2), De Bie, M. Bigot, Pour M. de Belair (2), Pour Mr. Petit aen Vlacq (3), M. Guisoni, Van der Lingen, ontvanger te Utrecht, J. Joachimo Bechero. Italie, Jovis. Angl., Veneris & martis 8 mars Germania, martis & veneris manè bode van Alcmaer, Dingsdags s' avonds.
3) Zie brief No. 360a, n.1. 4) brief No. 360a, n.2. 5) Zie brief No. 518.

[ 210 ]

Aan de voorgestelde problemen van de anonieme schrijver [<] omtrent de cycloïde-lijn heb ik verder geen moeite besteed, behalve dat ik het zwaartepunt bepaald heb van de helft van het lichaam gemaakt om de basis; bijvoorbeeld wanneer de cycloïde ABC om de basis AC gedraaid wordt, en het lichaam dat daardoor ontstaat met het vlak ADCE in twee gelijke delen verdeeld wordt. Hier heb ik al van het lichaam ADCEB het zwaartepunt opgespoord; maar niet ook van de helft ADBE ervan; en ik heb me hiervoor ook niet erg ingespannen, ik ben er immers niet zeker van of het niet ook door de schrijver voor onmogelijk gehouden wordt. Ongetwijfeld is Commercium Epistolicum van Wallis ook al bij u aangekomen, waarin enkele niet onverstandige dingen staan, maar dat voor mij vooral om deze reden welkom was omdat ik zie dat de grootspraak van de Fransen, en al te grote triomf over dingen van niet zeer groot belang, enigermate in toom gehouden wordt. Ik sta er inderdaad in, maar niet met zo belangrijke dingen*). Het ga u goed. [ *) Zie brief XXXIII: van Schooten aan Wallis, 17 febr. 1657.]

[ 216 ]

No 514. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. [september 1658]. 1) Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op brief No. 511. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 539. Nobilissime Domine Zeer veel heb ik te danken aan uw vriendelijkheid, beken ik, omdat u de beschrijving van uw uurwerk naar mij hebt gestuurd, die u terecht hebt gepubliceerd. Ik meen namelijk dat u niet onluist voorspelt 2), dat er mensen zullen zijn die zich die roem, die geheel de uwe is, zullen gaan aanmatigen of die gaan vermeerderen. Ik zal deze, als er toevallig aanleiding voor is, voortdurend aan u toekennen; ik heb namelijk een afkeer van namaak zoals van de poorten van de hel*), en ik heb het een verstandig iemand altijd onwaardig geacht wat de Comicus 3) zegt:
Verworven roem door veel werk van een ander, is vaak voor zich te winnen, voor wie slim is.
Tijd hebben voor het Probleem van de Fransen is tot dusver niet mogelijk geweest, zowel vanwege andere dingen, als ook vooral vanwege mijn gezondheid, die ik deze zomer, anders dan ik gewend ben, niet sterk genoeg heb bevonden. Ja zelfs, om de waarheid te zeggen, had ik er ook niet veel zin in; ik ben ondertussen blij en ik feliciteer u ermee dat u zo ver bent gekomen. U hebt me het water in de mond doen lopen door van Wallis te noemen 1) Zie noot 5. 2) Deze zin lijkt erop te wijzen dat brief No. 511, zoals weergegeven, niet compleet is. [ *) Gr.: 'homôs aidao pulèisi', Ilias IX, 312.] 3) Zie Terentius in zijn Eunuchus, Act. III, Scaena 1, Vers. 9. 10 [Ned. 1663].

[ 217 ]

een brief, of moet ik zeggen een boek? ik had inderdaad niemand horen zeggen dat dit is uitgegeven. Schrijf dus (maar snel als u van me houdt) de titel en de plaats waar het te koop is, zodat ik ervoor kan zorgen dat het door onze Boekhandelaren wordt meegebracht. De reis naar Rome heb ik, daar er niets is dat dringend is, uitgesteld tot een andere tijd, met goedvinden van de mijnen; zodat ik langer kan genieten van de briefwisseling met u, die mij heel veel genoegen geeft, en gemakkelijker kan leveren wat ik heb beloofd. U verlangt nu met recht mijn Verhandeling over twee middelevenredigen, die ik misschien niet zo lang had uitgesteld als ik dezelfde geschikte gelegenheid voor een uitgave had gehad als u. Maar hier zijn zulke studies niet in de gunst, ja zelfs zijn ze onbekend en gemakkelijk te verachten, en er zijn er weinig die er behagen in scheppen, of om het duidelijker te zeggen niemand. De brief waarover u denkt aan de Siciliaanse Astronoom 4) kan ik, als u het goedvindt, makkelijk via de geleerde Ricci overbrengen die, overeenkomstig de vriendelijkheid die hij heeft, gaarne deze zorg op zich zal nemen. Ga er dus mee door deze eeuw met uw vondsten te tooien, en vertrouw erop dat ik met steeds voortdurende genegenheid ben Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dezer dagen 5) was hier alles in rep en roer uit vrees voor een of andere samenzwering, die evenwel met Gods hulp in de kiem gesmoord is. Maar dat is niets in vergelijking met de meetkunde. Nobilissimo Clarissimoque Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI             A la Haye. 4) De schrijver bedoelt J. B. Hodierna. 5) De heer C. Le Paige maakt naar aanleiding van de datum de volgende opmerking:

Deze notitie legt de datum van deze brief vast: het gaat om een samenzwering, beraamd door ene Le Marêt, die zich meester wilde maken van de Citadel van Luik, op 8 september 1658. Daags ervoor werd het complot ontdekt. De Marêt werd gearresteerd, veroordeeld door de Schepenen, en geëxecuteerd op 12 september. Op zijn executie volgde die van enkele medeplichtigen. Naar gewoonte maakte men een chronogram: La ConspIratIon DV traItre Maret. Details over deze gebeurtenis zijn te lezen in verschillende kronieken van de Universiteit van Luik: F. Hénaux zegt er iets over in zijn Histoire [du pays] de Liège [1874], T. II, p. 478.

[ 229 ]

No 520. #### R. F. de Sluse aan [Christiaan Huygens]. [september 1658] 1). Brief in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 540. Nobilissime Domine Gisteren is mij uw brief 2) gegeven, zo bemodderd en vochtig dat hij niet uit de tas van een koerier, maar eerder uit een moeras leek te zijn gehaald. Het weer neigt nu al wel naar de winter, en heeft ons dezer dagen met dichte stortregens gekweld; maar niets is bestand tegen zoveel regenval. Het exemplaar van uw Horologium is overal zo bedorven, dat het eerlijk gezegd niet kan worden opgestuurd. Ik had besloten het te vervangen door het exemplaar dat u mij hebt willen schenken, maar ik vreesde dat ook de brief aan de Siciliaanse Astronoom 3) uit medeleven enige schade had geleden, vooral aangezien in Astronomische zaken het gemis van zelfs een enkel woordje of getal de hele betekenis kan veranderen. En ook, als ik bij u een grapje mag maken, was ik bang, dat die brief zonder goede voortekenen van u weg zou gaan, en daarom in de zee bij Sicilië schipbreuk zou lijden, nadat hij op zo'n kort reisje, en nog wel over land, al bijna door water verzwolgen was. Ik heb hem dus naar u teruggestuurd, volgens de oude formule: oordeelt u zelf. Het boek van Wallis verwacht ik met verlangen, ik zal immers het genot hebben van uw goedgunstigheid, wanneer u dit wilt, en bij de eerste gelegenheid zal ik het terugsturen. Het Delische Probleem [<] zal binnenkort eindelijk in het licht verschijnen. Ik heb namelijk mijn halsstarrigheid bedwongen, waarmee ik had besloten niets hiervan uit te geven, toen ik voortdurend in mijn oren hoorde weerklinken dat gezegde van Persius: "Wie zal dit lezen?". Och, ik hoop dat het aan uw verwachting voldoet, of als deze wens al te stoutmoedig is, dat het tenminste niet verdient door u te worden afgekeurd. U bent namelijk voor mij de enige, en opwegend tegen veel anderen. Het ga u goed, voortreffelijke heer, van Tuo Tuique observantissimo Renato Francisco Slusio. 1) Deze datum is bepaald met die van de brief aan Hodierna, No. 518. 2) Deze brief is niet gevonden. 3) Het is brief No. 518. [ *) Persius, Satyrae, I, 2: "quis leget haec?"; ed. 1645.]

[ 248 ]

No 533. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 11 oktober 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. [Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 541.] Nobilissime Domine Ik verkeer in de grootste onzekerheid, wilt u het mij alstublieft uitleggen: ik heb aan u geschreven 1), nu al vijftien dagen geleden, en ik heb de brief teruggestuurd die u voor de Siciliaanse Astronoom bestemd had, omdat die zo 1) Zie brief No. 520.

[ 249 ]

beschadigd niet in zijn handen moest komen, naar ik oordeelde; vooral daar ik vreesde dat er bij getallen (waarmee hij vol stond, dacht ik) iets zou zijn weggevallen. En ik hoopte dat het zo zou zijn dat u met de eerste koerier een andere zou terugsturen, of dezelfde (als mijn advies door u niet goedgekeurd werd). Maar dit gebeurde niet. Tot dusver zwijgt u, en (om de waarheid te zeggen) met uw zwijgen kwelt u mij. Ik vrees namelijk dat mijn brief verloren is gegaan, of dat u in andere zin hebt opgevat wat ik met de beste bedoeling dacht te hebben gedaan. Bevrijd mij dus van deze bezorgdheid, en weet dat ik zowel deze zaak, als welke andere ook die binnen mijn bereik ligt, volgens uw gedachte oprecht zal verzorgen. Het boek van Wallis 2) heb ik drie dagen geleden ontvangen, het is inderdaad geleerd en elegant. Wat zal ik zeggen over die triomfen en grootspraak? Datzelfde wat ik door u geschreven vond, dat ik me verwonder over de verschillende studies van mensen 3). Laat ik er ook iets anders aan toevoegen dat ik gewend ben vaak te gebruiken: zo groot als de leegte*). Het Probleem van Fermat over de cirkel, aan het eind van het werk is algemener, en strekt zich uit tot alle Ellipsen, als maar de kwadraten van gelijke opgerichte lijnen samen genomen, tot het kwadraat van de as, dezelfde verhouding hebben als die as tot het 'latus rectum'. Maar hierover een andere keer. Bij de eerste gelegenheid krijgt u het boek terug, met een dankbetuiging die ik vanaf nu terugbetaal. Het ga u goed, voortreffelijke heer en houd mij in ere Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dabam Leodij xi Octob. MDCLVIII. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem VI A la Haye. 2) Commercium epistolicum [1658], zie brief No. 497, n.3. 3) Dit oordeel staat in brief No. 431 [aan van Schooten, over Frenicle]. [ *) Gr.: 'hoson to kenon', misschien zinspelend op de onmogelijkheid van lege ruimte volgens Aristoteles, 'Physica' boek 4 (ed. 1551, p. 69, Engl. transl. Hardie & Gaye, 1930, part 8). Het was zelfs het Ex-libris van de Sluse, zie Bibliothèque de l'Institut de France, 'Notice de la marque no. 284': Diophantus (1621). Het is ook gevonden in een exemplaar van Hobbes, Problemata physica (1662), zie bij Marsili. En in een exemplaar van Gregorius van St. Vincent (1647) [<], zie J. Albree e.a., A Station Favorable to the Pursuits of Science (2000), p. 27 en 241-243: figuren met Ex-libris en notities. Het exemplaar is in de bibliotheek van US Military Academy West Point (USMA.]

'hoson to kenon' in brief

Ex-libris, Diophantus

Ex-libris, Gregorius van St. Vincent

[ 259 ]

No 538. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 19 oktober 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 542. Nobilissime Domine Terwijl ik een gelegenheid verwacht waarbij uw Wallis 1) veilig naar u terug kan gaan, zijn wat meer dagen verstreken, maar ik hoop dat u dit uitstel goed zult opnemen, en aan mijn zorgvuldigheid overlaten. Ik heb in het boek veel gevonden waarover ik het een andere keer met u wil hebben, wanneer ik begrijp dat u vrij bent. Ik vrees namelijk, zoals die bekende man zegt*), "tegen het algemeen belang in te gaan, als ik met een wat langer verhaal uw tijd in beslag neem", die u besteedt aan studies die voor de republiek der letteren nuttiger zijn. Veel indruk maakte op mij de beloofde meting van de Hyperbool°), en ik ben bang dat de scherpzinnige man zijn belofte niet nakomt, althans met die methode die bij de oude Meetkundigen in gebruik is geweest. Ik las iets over een tekst van Pappus, met een hint dat die weer bij u wordt uitgegeven 2). Ik heb geen andere gezien dan die van Commandino 3). Breng me dus ervan op de hoogte of er een andere bestaat, maar pas als de bezigheden het mogelijk maken, en vertrouw erop dat ik met voortdurende gengenheid ben Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dabam Leodij 19 8bris 1658. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. 1) Commercium epistolicum, aangehaald in brief No. 497, n.3. [ *) Horatius, Epistolae, lib. 2, ep. 1, r.3: "in publica commoda peccem si longo sermone morer tua tempora".] [ °) Wallis, 1658, p. 51.] 2) De Sluse vergist zich [n.a.v. Wallis, 1658, p. 153: Fr. van Schooten noemt een eventuele uitgave van een "Pappi textus ex Cod. Graecis MSS"], deze nieuwe uitgave verscheen in Bologna: Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones a Federico Commandino Urbinate in Latinum conversae, & Commentarijs illustratae ..., Bononiae 1660. 3) Pappi Alexandrini Mathematicae Collectiones à Federico Commandino Urbinate in latinum conversae et Commentariis illustratae ..., Pisauri 1588 [en 1602].

[ 260 ]

No 539. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 25 oktober 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 542. Nobilissime Domine Uw brief 1) heb ik vandaag voor de geleerde Ricci bestemd (waarover ik hem twee weken geleden al vooraf had bericht) en ik heb er een ander exemplaar aan toegevoegd van de figuur van uw uurwerk, opdat als, wat ik denk dat zal gebeuren, sommigen daar uw boekje of tenminste een groot deel ervan zouden overschrijven, ze bevrijd zouden zijn van de moeite het af te beelden. Ik hoop dat uw Wallis 2) al bij u is teruggekomen, waarin veel dingen mij bevallen zijn, al heb ik niet zoveel plezier in rekenkundige als in Meetkundige zaken. Ondertussen heb ik in mijn Aantekeningen een Probleem gevonden, aan deze stof niet vreemd, dat, al is het die grote rekenaars misschien onwaardig, de vaardigheid van beginnende Rekenkundigen toch makkelijk zou misleiden. En het is als volgt. Bij de Pythagorici waren vroeger waardevol de getallen 16 en 18, omdat ze als enige onder alle hele getallen als vierkant, respectievelijk als vlak, het oppervlak om zo te zeggen gelijk hadden aan de omtrek 3). Ik heb er dus naar gezocht of bij een gegeven verhouding van omtrek tot oppervlak altijd kwadraatgetallen of vlakgetallen*) gevonden zouden kunnen worden; en of het er één is of veel; dan wel of het Probleem bij sommige termen onmogelijk zou zijn; en ik heb de zaak opgelost met een enkele regel. Bij kwadraten is de moeilijkheid niet groot, bij vlakgetallen wat groter. Bijvoorbeeld: te vinden een vlakgetal waarvan het oppervlak tot de omtrek (want het zij me vergund zo te spreken met onjuist woordgebruik) een verhouding heeft van een derde, anderhalf, vierderde enz. Uit deze drie voorbeelden is gemakkelijk een richtsnoer te halen, dat u meteen zal invallen als u de zaak belangrijk genoeg zult hebben gevonden om te onderzoeken. Apollonius 4), waarover Boulliau het heeft, is dezelfde naar ik vermoed, als die ik heb gezien en aangewezen toen ik de Bibliotheca Medicea heb mogen bekijken op bevel van prins Leopold van Etrurië. Doch het is geheel in het Arabisch, en toen leek het me op het eerste gezicht (want ik zou weggaan en had geen tijd er te blijven) veeleer een uittreksel van de Conica, dan de boeken die we zoeken. Het verschijnsel°), dat de fysische redeneringen van de Academies in de war brengt, heb ik nog niet kunnen waarnemen. Ondertussen betreur ik het, dat u wordt geplaagd door rechtszaken, die ik, zoals de rechtsgeleerden zeggen bij ingetogen nadenken vervloek, al ben ik er geheel bij betrokken; maar in die van anderen, niet van mij, en waarin ik niet verwacht dat ik een uitspraak doe. 1) Zie brief No. 518. 2) Zie brief No. 538. 3) Zie over deze getallen brief No. 412, n.1 [n.2]. [ *) Lat.: numeri plani, zie E. Buys, Nieuw en volkomen woordenboek van konsten en weetenschappen, deel 7 (1775), p. 783.] 4) Zie brief No. 536 [Boulliau aan Huygens (18 okt. 1658); Apollonii Pergaei Conicorvm Lib. V. VI. VII., Flor. 1661.]. [ °) Misschien de weer zichtbare ster in de Zwaan (P Cygni), zie brief No. 519, eind.]

[ 261 ]

Doch hoezeer het de studies tegenwerkt, weet ik uit ondervinding. Het ga u goed, voortreffelijke heer en houd mij altijd in achting Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dabam Leodij 25 8bris 1658. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI             A la Haye.

[ 295 ]

No 559. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 27 december 1658. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord van Huygens: No. 564. [Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 543.] Nobilissime Domine Dit zelfde uur is mij een brief gegeven van de geleerde Ricci, waarin hij belooft dat hij ervoor zal zorgen, dat die van u 1) veilig in handen van de heer Hodierna komt; en dit via de heer Caramuel 2), van wie hij de Verhandeling 3) had ontvangen die ik aan u heb gestuurd. Hij prijst uw Horologium 4) buitengewoon, zowel hij zelf, als allen die in Rome over die zaak kunnen oordelen. Hij voegt er ook aan toe, dat zeven boeken van de Conica van Apollonius Pergaeus, uit het Arabisch vertaald, binnenkort moeten worden uitgegeven 5) op last van en op kosten van de Mediceïsche prinsen; ik meen dat ze genomen zijn uit de autograaf waarover ik u een andere keer heb geschreven, naar ik me herinner. Met betrekking tot de Parijse Problemen lijken degenen, die met overijlde haast hun vruchten hebben prijsgegeven, op ongelukkige wijze moeite te hebben verspeeld. Ik denk dat u het ook weet. Het ga u goed, voortreffelijke heer bij de aanvang van dit nieuwe jaar, dat ik u en de uwen van harte voorspoedig en gelukkig toewens Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Leodij 27 10bris 1658.
Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI             A la Haye. |
1) Brief No. 518. 2) Van Swinden geeft in de Bijlagen van zijn 'Verhandeling over Huijgens, als uitvinder der slinger-uurwerken' [Verh. Kon. Ned. Inst. 1817, p. 143] over Caramuel de volgende inlichtingen [hier vertaald uit het Latijn]: Joh. Caramuel de Lobkowitz verbleef toen in Rome, hij was bisschop van twee kerken in het rijk van Napels, werkte aan Wiskunde en Astronomie en in Tome VI, p. 476 ven de Opera van Gassendi [1658] wordt een aantal brieven gegeven van Caramuel, in één waarvan gehandeld wordt over de manier waarop tijdsintervallen werden gemeten met behulp van slingers; deze brief bevat enige vrij opmerkenswaardige dingen over deze zaak. Zie verder over deze man o.a. Niceron Mémoires, T. 29 [1734], p. 260. 3) Zie brief No. 360a [Protei coelestis Vertigines seu Saturni Systema, 1657]. 4) Zie het werk aangehaald in brief No. 511, n.2. 5) Zie brief No. 536, n.2 [en hierboven No. 539, n.4]. 6) Lees; praeproperâ [i.p.v. praepoperâ].

[ 311 ]

No 563. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 10 januari 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord van Huygens: No. 564. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 544. Nobilissime Domine Wat er is gedaan met betrekking tot het oplossen van de Parijse Problemen zult u zien in dit blaadje 1), dat ik al enige weken geleden zou hebben gestuurd, als ik niet tot de overtuiging was gekomen dat u het van de geleerde Boulliau hebt ontvangen 2). Eén van degenen die moeite verspeeld hebben is mijns inziens Wallis, of een andere Meetkundige uit Engeland. En over Pascal: ik ben gaan vermoeden dat hij degene is die de Problemen heeft voorgesteld; dus van hem moet de oplossing ervan komen, die hij in het eerste geschrift plechtig beloofd heeft. Mijn Mesolabum 3) is tussen verschillende taken door hoe dan ook toch afgemaakt. Het zal echter een werkje zijn van heel weinig bladen, waarin ik met de eerste proposities de methode heb laten zien om twee middelevenredigen te geven tussen gegeven grootheden, met een cirkel en een Ellips of een Hyperbool, op oneindig veel manieren. Verder heb ik enkele bijzondere uitwerkingen van hetzelfde Probleem toegevoegd, om de lezer gelegenheid te geven, de methode die ik had gebruikt uit te breiden. Tenslotte heb ik de oplossing van ruimtelijke Problemen uiteengezet a), ook met cirkel en ellips of hyperbool evenzo op oneindig veel manieren, volgens die drie formules waarnaar ze herleid worden. Nu wordt het overgeschreven, zodat het naar de geleerde van Gutschoven kan gaan, die de zorg voor het uitgeven op zich heeft genomen. Hier zijn namelijk geen mensen die de figuren met behoorlijke nauwkeurigheid kunnen graveren; daarom was het voor mij noodzakelijk gebruik te maken van de medewerking van de geleerde heer, die hij vriendelijk heeft aangeboden. Doch ik heb alles bewezen met de methode van de ouden, en ik heb er niet iets ingemengd van de recentere analyse b), zowel omdat ik van mening was dat die eerste aangenamer en bekender is, als omdat ik de analyse waarop ik hier en in degelijke gevallen ben gekomen, wilde bewaren voor een ander werk, als God leven en vrije tijd geeft, waarvan dit als het ware een voorbeeld is. Ik hoop dat het door u en uw gelijken niet wordt afgekeurd, dan zal ik namelijk alle punten behaald*) lijken te hebben. Als er ondertussen in onze studies, hetzij van u c), hetzij van een ander, iets nieuws is opgedoken, stel mij er dan alstublieft van in kennis. Bij mij zwijgt en kwijnt namelijk de kracht van de meetkunde geheel, als er nog wat is, tenzij die door een of ander idee van buiten wordt opgewekt. 1) Waarschijnlijk 'Récit de l'examen' [1658]. Zie brief No. 560, n.32, werk a. 2) Boulliau had inderdaad enige stukken ervan naar Huygens gestuurd (zie brief No. 561). 3) Mesolabum, seu Duae mediae proportionales inter extremas datas ... infinitis modis exhibitae, Leodij 1659. Dit werk, dat heel zeldzaam is, werd met toevoegingen herdrukt in 1668. a) praeclarè. [Chr. Huygens.] b) miror quomodo extrà analysin explicuerit ista. [Chr. Huygens.] [ *) Horatius, Ars poetica, 343: "omne tulit punctum qui miscuit utile dulci", iedereen heeft gestemd op hem die het nuttige met het aangename heeft verenigd.] c) inventio mea. [Chr. Huygens.]

[ 312 ]

Maar vooral verwacht ik d) uw oordeel over de Spiralen 4) (als ik me niet vergis) van de geleerde Meetkundige Boulliau, die ik eindelijk bij onze boekhandelaren heb gevonden. Het ga u goed, voortreffelijke heer; van hem die zich erop beroemt te zijn met constante genegenheid Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Leodij x annj 1659. d) quasi vero ipse judicij incertus sis. [Chr. Huygens.] 4) Ismaelis Bullialdi. De Lineis Spiralibus Demonstrationes novae, Par. 1657.

No 564. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. 14 januari [1659]. Samenvatting*) en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 559 en 563. De Sluse's antwoord: No. 572.
14 Jan. dingsd.
Slusio
Kort geleden het blaadje 1) ontvangen; en nog meer 2) historia 3) en nog een. Wanneer gedrukt. Waar hij en ik in genoemd worden 4). Namen verkeerd 5). Waarom hij het mij niet heeft doen weten. Wrens probleem 6) kan hem opwekken. Gelukkige vondst, [ *) Vrijwel geheel in het Nederlands geschreven, hier hertaald.] 1) 'Récit de l'examen' [brief No. 560, n.32]. 2) Zie brief No. 561, n.1. 3) 'Historia Trochoidis' [zie brief No. 548, n.2.] 4) In de 'Historia' vermeldt Pascal o.a. Slusius, Ricci, Hugenius, Wren. 5) Pascal schrijft [p. 5] 'Fluxius', 'Ricchius' i.p.v. Slusius, Riccius [en 'Eugenius' i.p.v. Hugenius]. Zie nog brief No. 572, n.1. 6) Zie over het probleem van Wren de 'Historia Trochoidis' [p. 6]. [Zie brief No. 560, n.32.]

[ 313 ]

beter dan alle overige. Ik had het bewijs dadelijk en het andere probleem. Voorts is er nog een van het lichaam rondom de as. Mijn Theorema van de Parabool. Dat ik het overal bekend maak. Ben blij te verstaan wat ik in zijn werk 7) heb te verwachten, en verlang nu des te meer. Aan Gutschoven zullen wij allemaal verplicht zijn. Hoe het zonder analyse kan is een wonder. Spiralia 8) van Boulliau, alsof u zelf niet kunt oordelen, ik neem aan dat u het met mij eens bent. 7) Huygens bedoelt Mesolabum. Zie brief No. 563, n.3. 8) Zie het werk van brief 563, n.4.

[ 325 ]

No 572. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 17 januari 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 564. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 545. Nobilissime Domine Fluxius 1), kanunnik van de kerk van Luik en Meetkundige? Wie is dat dan? Als ze nu hebben gewild dat ik bekend werd. Werkelijk, die letter s is ongelukkig en ellendig, omdat hij overal wordt afgewezen. Vroeger, als je Lucianus moet geloven, heeft hij een rechtszaak aangespannen tegen de letter t vanwege geweld en diefstal, en die heeft hij niet ongelukkig bepleit*). Maar nu heeft hij twee tegenstanders; en u kent dat oude gezegde, tegen twee is zelfs Hercules niet opgewassen°). Dus heb ik aangeraden dat hij op het onrecht geen acht moet slaan, en openlijk verklaren dat Fluxius niets met hem te maken heeft. Houd nu maar op u erover te verbazen, dat ik het voor u heb willen verbergen, zoals u zegt, dat ik enige moeite heb besteed aan deze Problemen. Ik zweer namelijk bij de zeven Klankletters (in een zo moeilijke zaak wil ik de rechters van Lucianus te hulp roepen) dat ik hem niets anders heb gestuurd dan de algemene afmeting van alle Cycloïden, of ze nu hun oorsprong hadden uit een cirkel, of uit een willekeurige kromme rondom de as; waarvan ik u had geschreven 2) dat ik die in mijn aantekeningen had gevonden. Me toeleggen op het verder oplossen van de Problemen was me niet mogelijk en wilde ik ook niet. Dus weet ik niet aan welke verdienste van me ik het te danken zou hebben dat ik mij ook vermeld zie onder de Acheïsche leiders#). De vondst van de Engelse Meetkundige Wren heb ik hooggeschat (ik was namelijk over hem ingelicht) maar ik heb daaruit niet afgeleid wat u schijnt te doen: een kromme geven die gelijk is aan een rechte, anders dan het tot dusver is gedaan. Aangezien immers de basis van de primaire Cycloïde gelijk gesteld wordt aan de omtrek van de voortbrengende cirkel, is het geen wonder dat de kromming ervan gelijk gevonden kan worden aan die van een rechte. Gesteld namelijk dat een of andere rechte gelijk is aan een of andere omtrek, kunnen er zoals u weet 1) De Sluse vermaakt zich met zijn vervormde naam ['Historia', p. 5. 'Fluxius' ontbreekt bij "orthographie de ce nom ... varié bien souvent", Le Paige, p. 432]. [ *) Lucianus, 'Judicium vocalium', Gr.; Steven Blankaart, 'Luciani oordeel van de Klank-letters' in Alle de werken van Lucianus den Samosatense, 1679, vol. i, p. 44-50.] [ °) "Ne Hercules quidem adversus duos", in Erasmus, Adagiorum epitome (1650), p. 89.] 2) Zie brief No. 502. [ #) Vergilius, Aeneis, lib. 1, 488: "Se quoque principibus permixtum adgnovit Achivis".]

[ 326 ]

oneindig veel worden gevonden, daar die zich onderling verhouden als de diameters. Maar als uw Theorema iets meer omsluit, en als het zich uitstrekt tot echt alle Cycloïden, wel dan hebt u iets gevonden dat tot dusver voor onmogelijk is gehouden.*) Ik heb me beziggehouden met de bewijzen van Boulliau, ik leerde ze niet kennen, ik bedoel ik leerde ze kennen; het derde zal ik niet toevoegen, maar ik zal bekennen dat ik het geheel met u eens ben. De raaklijn aan spiralen heb ik vroeger met een makkelijke methode getrokken en misschien met dezelfde als u, te weten met een samenstelling van bewegingen waarmee ik de meeste dergelijke dingen vroeger heb opgespoord. Als u ondertussen verder iets verneemt over deze Parijse proposities of andere, breng alstublieft op de hoogte degene die zich helemaal aan u heeft toegewijd en die van harte is Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Dabam Leodij 17 anni 1659. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI             A la Haye. [ *) Huygens' berekeningen van 22 jan. 1659 over de cycloïde staan in T. 14, p. 368.]

[ 417 ]

No 626. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse]. [juni 1659]. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. De Sluse's antwoord: No. 628. Nobilissime Domine Zou ik al een derde brief 1) van u hebben ontvangen zonder antwoord te geven? Hoe het hiermee is, of wie zo slecht is dat hij op onze brieven loert en ze onderschept. Dat u er namelijk al zoveel 1) Er was maar een enkele brief. Zie brief No. 628.

[ 418 ]

hebt afgegeven hebt u aan Brunetti*) geschreven, maar ik heb als laatste die met erop geschreven de 19e dag van dit jaar 2), waarop ik dadelijk heb geantwoord 3), tenzij mijn geheugen me helemaal in de steek laat. Vanaf die tijd heb ik wat langer vrij genomen, beken ik, maar ik verwachtte dat ons een nieuw onderwerp om over te schrijven zou worden geleverd door de vondsten van Dettonville, die mij nu zeer onlangs 4) zijn gebracht, naar u misschien sneller; als u daarover iets aan mij hebt geschreven, betreur ik het des te meer dat die brief verloren is gegaan. Ik zou namelijk heel graag uw oordeel daarover willen vernemen. Ik heb bevonden, terwijl ik niets dergelijks verwachtte, dat een deel van het werk aan mij is geschreven 5), en dit was des te aangenamer, omdat hij heeft gewild dat deze eer voor u 6) gelijk en met mij verbonden zou zijn. Aan de scherpzinnigheid van de vinders kan zeker niets worden toegevoegd, aan de duidelijkheid van de bewijzen misschien niet weinig. Deze methode is namelijk, naar het mij tenminste toeschijnt, zowel duister als wat gewaagder en verder verwijderd van de Meetkundige nauwgezetheid. Maar wat te doen als die niet gegeven kan worden langs een meer begaanbare weg? Dit betwijfel ik echter ten zeerste, nu al heb ik niet weinig gevonden dat daartoe kan worden herleid. Zoals die consequentie 7) op pagina 19 over de Drielijnen en hoeven°), waarvan ik een veel gemakkelijker en duidelijker bewijs heb. In het bewijs over de Spiraal-lijn die gelijk is aan een parabool, zoals hij aantoont in het laatste Theorema, denk ik dat iets menselijks Dettonvile is overkomen, waarover ik hemzelf al geraadpleegd 8) heb en antwoord verwacht. Maar dit is van weinig belang en makkelijk te vergeven aan iemand die zich op juiste wijze met zoveel moeilijker zaken heeft beziggehouden. Bij het overige lijkt mij uitstekend wat hij heeft gevonden over het afmeten van cycloïde-lijnen [fig. 41] of over de omzetting in Ellipsen. Want niet alleen om de moeilijkheid (die hierin toch tamelijk groot was) schat ik Meetkundige vondsten hoog, maar ook in het geval dat ze gaan over zaken die aangenaam zijn om te leren kennen. Over de lengte van de parabolische lijn uit de kwadratuur van de hyperbool, en andersom, weet ik niet of u ik mijn theorema heb uiteengezet, waarvan men zegt dat Auzout het zelfde heeft gevonden, maar later dan ik, denk ik; in zoverre het ene ervan was, wat ik u ongeveer anderhalf jaar geleden heb laten weten over de parabool te hebben gevonden 9). Wanneer zullen we eindelijk zien wat u over het Delische Probleem hebt geschreven? O die lastige vertragingen bij de drukkers, die ik zelf nu ook al te lang te verduren heb. Het is namelijk al de derde maand dat ze mijn Saturnus drukken, die ze in een halve maand hadden kunnen afhandelen. Het ga u goed. [ *) Huygens beantwoordde in april een (niet gevonden) brief van Brunetti: No. 608.] 2) Zie brief No. 572, met de datum 17 januari 1659. 3) Dit antwoord is niet gevonden. 4) Begin mei. Zie brief No. 615. 5) 'Lettre de A. Dettonville à Monsieur Hugguens de Zulichem' [Par. 1659]. Zie de brieven No. 613 en 614. En ook No. 560, n.32. 6) Zie brief No. 560, n.32 ['Lettre ... à Monsieur de Sluze ...', Par. 1658]. 7) Zie noot 4 van brief No. 621 [aan P. de Carcavi, 22 mei 1659]. [ °) Lat. niet 'angulis' (hoeken) maar 'ungulis' (hoeven, Fr. 'onglets') in orig. HUG 45. Vgl. p. 566.] 8) Deze brief van Chr. Huygens aan Bl. Pascal is niet in onze collecties. Hij was geadresseerd aan de Carcavi, via Boulliau; zie No. 633 en 637. 9) Zie brief No. 439. [Vergelijk brief No. 582 aan van Schooten.]

[ 422 ]

No 628. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 13 juni 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 626. Huygens' antwoord: No. 637. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 546. Nobilissime Domine Ik ben ingenomen met de fout van onze Brunetti, of zal ik liever zeggen zijn list? Ik had aan hem geschreven, toen hij mij over uw gezondheid in kennis had gesteld, dat ik al lang geen brieven van u had ontvangen; en hij maakte u bezorgd over drie door mij geschreven brieven, ik geloof opdat hij aan u een brief zou ontlokken, waarin ik naar hij weet buitengewoon veel behagen schep, hij weet namelijk hoe hoog ik uw verdienste schat. Ik herinner me evenwel een enkele 1) te hebben geschreven, waarop ik geen antwoord heb ontvangen, maar dat verwachtte ik ook niet, zowel omdat ik dacht dat daarin niets was dat het nodig maakte. als omdat ik wel wist dat u door andere dingen in beslag werd genomen. Intussen gebeurde het dat het boek van Dettonville 2) aan mij werd gegeven, en dit heel weinig weken geleden (het bleef namelijk een maand steken in Sedan), waarin ik boven verwachting de eer heb leren kennen van een opdracht aan mij 3), gemeenschappelijk met u. Ik heb het tot dusver niet helemaal kunnen doornemen, het vereist immers een aandacht die vrijer van bezigheden is dan ik nu kan opbrengen. Wat ik ervan heb gezien is evenwel mooi, scherpzinnig en subtiel, vind ik, en het kan niet ontkend worden dat de Meetkunde erdoor verder is gebracht. In bewijzen lijkt hij wel ergens te zijn afgeweken van nauwgezetheid en duidelijkheid, maar hij wilde mijns inziens de hoofdzaken volgen*), zich ermee tevreden stellend zijn methode bekend gemaakt te hebben. Op dergelijke gedachten ben ik vroeger gekomen naar aanleiding van de propositie die Torricelli heeft gevonden, en die Dettonville misschien heeft bekeken, ik heb deze namelijk in Italië uitgegeven gezien in de Exercitationes 4) van Cavalieri. Deze is namelijk als volgt. Laat er een willekeurig recht cilindrisch lichaam zijn waarvan de evenwijdige bases zijn AGH en DEF, van één van de bases zij de as AB en het zwaartepunt C. Men stelle zich voor dat het wordt doorsneden door een vlak dat gaat door EF en A, enz. Torricelli heeft aangetoond dat de hoef°) ADE zich verhoudt tot de rest van het lichaam AEH, zoals BC tot CA. Die propositie had ik vroeger uitgebreid tot oppervlakken, Dettonville heeft deze echter met succes verder gebracht tot reeksen naar het oneindige#), en daaruit heeft hij ook die consequentie afgeleid die u in uw brief aanroert; en als u daarvan een makkelijk bewijs hebt, twijfel ik er niet aan dat u ook andere dingen duidelijker kunt maken. De vergelijking van een spiraallijn met een Parabolische had ik nog niet aangeroerd, maar toen ik er door u op gewezen was heb ik dadelijk 1) Brief No. 572. 2) Lettres de A. Dettonville [Par. 1659]. Zie brief No. 560, n.32. [ *) Lat. "summa sequi fastigia rerum", naar Vergilius, Aeneis, lib. 1, 342, Ned..] 3) De Sluse heeft het over de gedrukte brief van A. Dettonville aan hem. Zie brief No. 560, n.32. 4) Zie het werk van brief No. 85, n.3 [1647]. Het gaat om 'Execitatio V', p. 365-366. [ °) Lat. 'ungula', bij Cavalieri: 'truncus'.] [ #) Pascal zet zijn methode uiteen in de eerste brief aan Carcavi: p. 1, 'somme triangulaire'; p. 2: 'balance'; p. 8: 'multitude infinie', figure 1 (hiernaast); p. 15: 'somme pyramidale', p. 18-19: 'triligne', 'Onglet'.]

[ 423 ]

het laatste Theorema bekeken, waarin ik een bewijs vond dat niet past bij de constructie; daar hij bij de laatste veronderstelt dat zowel de omgeschreven figuren, als de ingeschreven figuren onderling verschillen met een lijn die kleiner is dan die Z [p. 12], terwijl hij bij het eerste verder gaat alsof de omgeschreven figuur met diezelfde lengte van zijn ingeschreven figuur zal verschillen. Waar hij ook een Corollarium aanhaalt, om iets te bewijzen waarover het niet gaat, en dat bij die constructie wordt vereist. Of dit onder de drukfouten gerekend moet worden of niet, en of de waarheid van het Bewijs erdoor wankelt, kan ik niet zeggen; ik zou het namelijk helemaal moeten ontrafelen en daarvoor heb ik nu geen tijd. Uw Theorema's, zowel over oppervlakken van conoïden, als over het verband tussen de parabolische lijn en de kwadratuur van de Hyperbool, heb ik tot dusver niet gezien. Het is nu namelijk al enige maanden, dat ik geen brief heb ontvangen uit Frankrijk, behalve een zeer recente van onze Brunetti. U zult dus iets doen dat zeer welkom is, als u mij ervan op de hoogte wilt stellen. Dettonville vermeldt dat door mij enige vorderingen zijn gemaakt, en als u denkt dat ze belangrijk genoeg zijn, zal ik die graag zenden; maar ik meen dat ze u al bekend waren. Mijn Mesolabum 5) is hier onder de pers, en ik heb er al twee bladen van herzien, die een niet gering deel uitmaken van het zo kleine werkje. Daar namelijk de Leuvense drukkers steeds uitstel zochten, en ik wist dat de geleerde van Gutschoven in andere zorgen verwikkeld was (onlangs is hij namelijk opgeroepen voor een professoraat in de Anatomie 6)) heb ik de goede man het werk niet willen aanbieden. Het al dus bij ons worden uitgegeven met die verzorging waarmee het in Leuven of elders had gekund, tenminste met meer dan het misschien verdient. Als u dus een of andere gelgeneheid hebt waarbij ik u een aantal exemplaren kan sturen, licht mij alstublieft erover in; zo niet, dan zullen we de dienst gebruiken van de vervoerders van Den Bosch. Dat uw Saturnus langzaam vordert is niet in strijd met zijn gewoonten, vooral daar hij door u in die boeien is geslagen waaruit hij, naar ik voorspel, nooit loskomt. Het ga u goed, voortreffelijke heer, en houd mij in ere, zoals u doet Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Leodij 13 Junij 1659. 5) Het werk van brief No. 563, n.3. 6) Op 23 april 1659 werd Gerard van Gutschoven [<], sinds 1640 professor in de wiskunde te Leuven, daar belast met de leerstoel Anatomie, chirugie en plantkunde.

[ 434 ]

No 636. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 8 juli 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 637. [Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 547.] Nobilissime Domine Mijn Mesolabum is ten einde gebracht en ik zou al enige exemplaren ervan naar u hebben gestuurd, als ik niet vreesde dat u niet thuis zou zijn, daar ik op de brief die ik enige weken geleden aan u heb geschreven 1) niets van een antwoord heb ontvangen. Licht mij dus alstublieft in, waarheen en langs welke weg u wilt dat het verzonden wordt, opdat het aan uw oordeel wordt onderworpen, dat ik altijd ook boven uitvoerige lof van anderen stel. Het ga u goed, voortreffelijke heer, en houd mij in ere, van wie u weet dat ik met oprechte genegenheid ben Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Dabam Leodij viii Julij MDCLIX. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem &ca. VI             A la Haye. 1) Brief No. 628. 2) Chr. Huygens antwoordde pas op brief No. 628 na ontvangst van No. 636. Zie brief No. 637.

[ 435 ]

No 637. #### Christiaan Huygens aan [R. F. de Sluse]. [juli 1659]. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 628, 636. De Sluse's antwoord: No. 638. Nobilissime Domine Uw boek 1), dat naar ik meen al ten einde gebracht is, verwacht ik met de vervoerders van Den Bosch, wanneer geen andere gelegenheid zich voordoet. Heel graag zal ik daarvan zoveel exemplaren als u stuurt verspreiden. In het mijne 2) zijn er nog maar een paar figuren over die gedrukt moeten worden. Dus binnenkort zult u het ontvangen, 'brons tegen goud'*) natuurlijk. Hoewel ik dat toch, overtuigd door de verhevenheid van het onderwerp, heb opgedragen 3) aan de doorluchtige prins Leopold, broer van de groothertog van Etrurië; u zult voor mij iets doen dat heel welkom is als u me toont langs welke weg ik er het best voor kan zorgen dat het naar hem wordt gebracht, want ik denk dat u dat van u ook naar vrienden in Florence zult 4) sturen, en ik zou willen dat ik me als reisgenoot daarbij kon aansluiten. Terecht bewondert u de vondsten van Dettonville; maar u hebt ook de fout in het allernieuwste Theorema juist doorzien, die echter verbeterd kan worden als alleen dit Theorema anders wordt geformuleerd. Ik heb de schrijver al eerder hierop gewezen, maar ik meen dat Carcavi buiten de stad is, aan wie ik mijn brief had gericht 5). Ik ben verbaasd dat u schrijft nog niet 6) te hebben gezien wat ik gevonden heb over Conoïden en sferoïden. Het is namelijk meer dan een jaar geleden dat ik u alles heb doen toekomen 7) en dat u hebt te kennen gegeven dat te hebben ontvangen 8). Dus ga na in uw herinnering en u het zult ongetwijfeld vinden in een brief van mij als u die bewaart. En over de Parabolische lijn is er een Theorema als volgt. 1) Mesolabum, zie brief No. 563, n.3. 2) Systema Saturnium, zie brief No. 640, n.2. [ *) Zie de noot op p. 136 hierboven.] 3) Zie brief No. 635 [in Systema Saturnium]. 4) Lees: es [i.p.v. est]. 5) De brief aan Carcavi die Boulliau noemt in No. 633 [n.6]. 6) Zie brief No. 628. 7) Zie brief No. 466 van 26 febr. 1658 [en No. 439, 20 dec. 1657]. 8) Zie brief No. 468 van 4 maart 1658.

[ 436 ]

Laat ABC een recht gedeelte van een Parabool zijn, waaraan op de uiteinden van de basis raken de rechten AD en CD, die samenkomen in D. Evenzo moet er een gedeelte van een hyperbool EFG zijn, waarvan de helft van de dwarsas°) FH gelijk is aan de basis AC van de parabool; en de hele HI, die zich uitstrekt vanaf het middelpunt van de kegelsnede tot de basis van het gedeelte, moet gelijk zijn aan de twee AD en DC samen. Als nu HK gelijk is aan de parabolische kromme ABC, en LKM wordt evenwijdig aan de basis EG getrokken, en er komt een parallellogram EM met dezelfde basis als het gedeelte, en waarvan de zijde tegenover de basis door K gaat; dan zeg ik dat deze gelijk is aan het gedeelte EFG van de hyperbool. Waaruit dus duidelijk een verband naar voren komt van de kwadratuur van de hyperbool met de afmeting van de parabolische lijn. En als u nog niet de nieuwe uitgave hebt gezien van de Geometria van Descartes die van Schooten heeft verzorgd, is er reden u een uitstekende vondst mee te delen van een jongeman bij ons met de naam Heuraet. Deze heeft bij een onderzoek van de meting van de parabolische lijn, waarvan hij te weten was gekomen dat die door mij was gevonden 9), deze inderdaad eerst verkregen, en vervolgens verder zoekend een soort van krommen gevonden (en wel van die welke geacht worden Meetkundig te zijn) waarbij absoluut gelijke rechte lijnen kunnen worden bepaald, naar hij heeft meegedeeld. De eerste en eenvoudigste ervan is die parabolische kromme waarbij de derde machten van de ordinaten naar de as zich verhouden als de kwadraten van de abscissen naar de top. Ik zou een voorbeeld kunnen toevoegen, maar u zult binnenkort leren hoe het zit uit dat boek dat ik noemde, als u het misschien niet al hebt geleerd. Er is dus geen reden het langer tegennatuurlijk te vinden dat een kromme gelijk aan een rechte wordt gevonden 10). [ °) Lat.: 'axis transversus'; op p. 344 hetzelfde met 'latus transversum'.] 9) Zie brief No. 587. 10) Zie het eind van stuk No. 614. [Dettonvilla aan Huygens over een opmerking van "Monsieur de Sluze ... l'ordre de la nature, qui ne permet point qu'on trouve une droite esgale à une courbe, qu'apres qu'on a desia supposé l'esgalité d'une droite à une courbe." Dat een rechte gelijk is aan een kromme, is pas te vinden nadat de gelijkheid verondersteld is.] No 638. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 15 juli 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 637. Huygens' antwoord: No. 641. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 547. Leodij, 15 Julij 1659. Nobilissime Domine U hebt er goed aan gedaan dat u uw nachtelijke studies hebt opgedragen aan de doorluchtige prins Leopold, het is namelijk, zoals ik door ondervinding heb geleerd, iemand die niet minder aan te bevelen is om zijn wellevendheid en kennis, dan om zijn hoge afkomst. Ik zou ook hetzelfde gedaan hebben als ik enig vertrouwen had kunnen hebben

[ 437 ]

in het onderwerp of in het werk 1); maar dit laatste is van weinig belang, zoals u zult zien, het eerste evenwel is misschien wel niet onbetekenend, maar toch is het te zeer meetkundig, en ik weet niet op welke wijze meer natuurlijke zaken meer behagen. Dus, terwijl ik zelfs mijn eigen naam er niet op heb gezet, heb ik het slechts aan de Meetkundige Lezer opgedragen; dat wil zeggen aan u die ik in gedachten had, en uw gelijken, en als het door hen wordt goedgekeurd zal ik meer dan tevreden zijn. Gisteren heb ik een aantal exemplaren ervan 1) naar u gestuurd, niet met de vervoerders van Den Bosch, die er nu niet waren, maar langs een weg die iemand van de vrienden ingaf, en die naar hij zegt korter is, ik weet niet of die veiliger is. Schrijf dus asltublieft terug zodra u ze hebt ontvangen, zodat ik niet meer behoef te vrezen. Als u één daarvan aan de geleerde van Schooten wilt geven*), doet u iets dat voor mij heel aangenaam is; een ander ook aan Wallis, hij is immers een uitstekend en scherpzinnig Meetkundige (zoals uit zijn geschriften blijkt); en als u uw Saturnus naar Engeland stuurt, zal mijn Mesolabum naar ik meen als een niet zware metgezel erbij aan kunnen sluiten. De overige kunt u uitdelen aan Meetkundigen, zoals u ze denkt kwijt te kunnen raken, want dit laat ik geheel aan uw mening over; en als u er nog meer kent die belangstelling hebben voor dergelijke dingen, kan u ik weer een aantal exemplaren sturen wanneer u het verlangt. Ik zou willen dat ze zo gemakkelijk naar de Italianen konden komen, vooral naar de Florentijnen, want zij zouden ze zonder moeite naar Rome doorsturen. Ik had besloten hierover met u te overleggen, maar u bent me voor, en geeft te kennen dat u in dezelfde moeilijkheid verkeert als ik. Wat mij betreft, ik denk dat er niets beters is dan ze te sturen met vrachtschepen van de uwen (waarvan er altijd een groot aantal is, zoals ik heb gezien in de haven van Livorno). Het is een lange weg, zult u zeggen, maar een kortere doet zich nu niet voor; want de bundel is te zwaar om makkelijk te kunnen worden gedragen door een koerier. Geef dus aan wat we moeten doen; want ik zal (als u iets beters weet dan dit) graag moeite besteden zoveel ik kan. Ik herinnerde me wel dat ik een jaar geleden Theorema's over kegel-oppervlakken 2) had ontvangen. Maar ik had uw brief zo begrepen alsof u aangaf dat ze al in Frankrijk gedrukt waren, en daarom zei ik dat ik ze niet had ontvangen. Dat nieuwe nu, over het wederzijdse verband van de Parabolische lijn en de afmeting van de Hyperbool, hoezeer het mij beviel kan niet in woorden worden uitgedrukt, vooral daar het Heuraet aanleiding heeft gegeven iets 3) te vinden dat ik tot dusver voor onmogelijk had gehouden. Bij deze vergissing heb ik, zoals u weet, zowel Descartes als verscheidene anderen als lotgenoten gehad; en daarom heb ik een heel groot verlangen de Commentaren van Van Schooten te zien, wiens laatste uitgave ik nog niet heb bekeken; doch ik hoop dat het zo zal zijn dat een exemplaar onze boekhandelaren een keer bereikt, hoewel ze van dergelijke boeken niet voorzien zijn. Wat mijn analyse betreft, ik weet niet waarom Dettonville deze nieuw heeft willen noemen, want ik beken geen andere te kennen dan die van Viète (daar was ik namelijk aan gewend geraakt voordat ik die van Descartes had gezien, en mijns inziens verschilt deze niet veel van de eerste) en als er iets door mij aan is toegevoegd, zult u het zien in die voorbeelden die ik nu heb uitgegeven. Bekijk erin alstublieft de derde [p. 14] en de zesde propositie [p. 23] met meer aandacht, er is namelijk iets verborgen gebleven waardoor ik, als iemand het niet doorziet, van onduidelijkheid beschuldigd zou kunnen worden 1) De Sluse bedoelt zijn Mesolabum. Zie brief No. 563, n.3. [ *) Zie brief No. 642, 26 juli 1659; met een exemplaar voor Golius. No. 653: nog 2 exemplaren.] 2) Zie brief No. 466 [26 febr. 1658:sferoïden; ook No. 439, 20 dec. 1657: conoïde]. 3) Zie brief No. 587 [van Schooten aan Huygens].

[ 438 ]

Ik voeg eraan toe mijn parabool waarover Dettonville het heeft, opdat u kunt zien of het dezelfde is als die van Wallis. Laat er een primaire Cycloïde zijn met als basis ab, als top c en als as cf 4), en laat gelden: zoals 1 tot 28 4/9, zo is fc tot cq. Laat er vervolgens een halve Parabool cnd zijn, met als as cf en als 'latus rectum' cq, waarvan de vierde machten van de ordinaten, zoals fd en yn, dezelfde verhouding hebben, als de derde machten van de delen van de as fc en yc. Ik zeg dat als getrokken is een willekeurige ordinaat van de Cycloïde en de Parabool, zoals zypn, het oppervlak van het lichaam onstaan uit omwenteling van de kromme zcp, om zp, gelijk is aan een cirkel met straal yn. Ik heb ook enige dingen bedacht over Elliptische krommen*) (parels noemt Dettonville ze°)) die u bij een andere gelegenheid zult ontvangen, als u het wenst. Ondertussen ga het u goed, voortreffelijke heer, van hem die met volle genegenheid is Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem. VI             A la Haye. 4) Lees: cf [i.p.v. af]. [ *) Lat.: Ellipsoides. Zie Egbert Buys, Nieuw en volkomen woordenboek, deel 3 (1771), p. 562: "Elliptoides ... oneindige Ellipsen", met vergelijkingen van hogere macht dan 2.] [ °) Brief van Dettonville aan de Sluse, p. 1: "vos lignes en Perle". De naam 'parel van de Sluse' is nog steeds gangbaar.]

[ 442 ]

No 641. *) #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. [...]. Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. ... Nobilissime Clarissimoque Viro D. Ren. Fr. Slusio Chr. Hug. S. Een exemplaar van uw Mesolabum 1) werd mij onlangs gegeven door de goede man S. Sorbière, ... ... toen u dit de eerste keer had uitgegeven 3) ... [ *) Verkeerd geplaatst, de brief is van eind sept. / okt. 1668 (antwoord op No. 1662), zie T. 12, p. 106, n.68. En: in het origineel (HUG 45) is een passage geschrapt met "Journal des Scavans", dit verscheen pas in 1665.] 1) ... [2e ed. 1668, nu met de naam van de schrijver en veel omvangijker.] 3) ... [1e ed. Mesolabum, 1659.]

[ 444 ]

No 643. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 29 juli 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. ... Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 549. Leodij, 29 Julij 1659. Nobilissime Domine Dat mijn boekje u bevalt was mij aangenaam, maar veel aangenamer is dat het wordt beschouwd als uw zorg en onderzoek waard*). Ga er dus mee door, en als u iets vindt dat niet in orde is, wijs me er dan op, ik ben steeds bereid het uit te leggen of te verbeteren. De methode die ik heb gebruikt zult u begrijpen, daar twijfel ik niet aan, u bent namelijk op weg, zoals ik zie. Nu u die weg gevonden hebt zult u zonder moeite in de 14e en volgende propositie oneindig veel Ellipsen of Hyperbolen in de plaats stellen van één parabool. Er is ook iets anders waarvan ik geen melding heb gemaakt, te weten bij de vlakke Problemen, dat langs deze weg dikwijls ook oneindig veel cirkels te vinden zijn die met een rechte lijn aan het voorgestelde voldoen, en ook vele en makkelijke constructies bij die Problemen die we tot dusver onder de moeilijke hebben gerekend; zoals in propositie 72 van dat 7e boek van Pappus, waarvan u vroeger 1) een nieuw bewijs hebt aangevoerd. Ik heb de hele Bibliotheek van St. Jacob doorzocht om een Manuscript van Ovidius te vinden 2), en daar ik mijn nauwgezetheid niet vertrouwde heb ik lijsten doorgenomen, en ouderen geraadpleegd die voorheen de leiding ervan hadden, maar met vergeefse inspanning. En ze zeiden dat de meeste van de handgeschreven boeken verloren waren gegaan, door onachtzaamheid van degenen die dergelijke boeken verachten, in vergelijking met die nieuwe en aardige uitgaven [ *) Zie Huygens' berekeningen in T. 12, p. 225 e.v.] 1) In 'Constructies van enige beroemde problemen' [1654], Probl. IV. Zie brief No. 191, n.1. 2) Later, op 13 nov. 1662, schreef N. Heinsius aan de Sluse en aan Huygens [No. 1075] over dit door de Sluse gevonden manuscript [op 11 aug. 1662 meldde hij de vondst aan Huygens, zie No. 1042].

[ 445 ]

die de Drukkunst verschaft. Ondertussen heb ik gevraagd of, als er misschien iets in de cel van een of andere monnik verscholen zou zijn, het dadelijk naar mij gestuurd zou worden, maar na die nauwgezetheid die ik heb betoond is er nauwelijks een sprankje hoop. Ik betreur het dus dat ik de letterkundige inspanningen van de geleerde Heinsius (die ik me herinner vroeger in Rome te hebben gezien bij Holstenius 3)) niet verder heb kunnen brengen. Toen gisteren de heer Van der Veecken 4) van ons wegging heb ik hem belast met nog een aantal van mijn boekjes, die uw Saturnus op weg naar Engeland of Italië kunnen vergezellen als u het goed vindt. Niemands oordeel heeft mijn boekje namelijk gevreesd, nadat het door u is goedgekeurd. Het ga u goed, voortreffelijke heer, en houd mij in ere zoals u doet Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem &c. A la Haye. 3) Lucas Holstenius (Holste) ... [1596-1661] werd in 1616 student filosofie aan de universiteit van Leiden, ging in 1622 naar Engeland, in 1624 naar Frankrijk en in 1627 naar Italië, waar hij bibliothecaris van het Vaticaan werd. 4) [Ferdinand] Van der Veecken was resident van de prins-bisschop van Luik in Den Haag.

[ 449 ]

No 646. #### R. F. de Sluse aan [Christiaan Huygens]. 5 augustus 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 550. Leodij, 5ta Augti 1659. Nobilissime Domine Wat ik had voorspeld toen ik u mijn boekje stuurde ondervind ik nu inderdaad, te weten dat u de weg zou vinden die ik ben ingeslagen bij het tot stand brengen van dat 1) werk. Ik beken namelijk dat toen ik er voor het eerst aan begon, mij zulke gedachten zijn voorgekomen als die u maar me hebt gestuurd 2). Maar om eerlijk te zijn, ik heb tenslotte een andere en makkelijker methode gebruikt, die u als u verder doorgaat zoals u begonnen bent zult vinden, daar twijfel ik niet aan. U voegt eraan toe, dat u niet alleen die cirkel kunt gebruiken die de rechthoek van de twee uitersten insluit, maar ook oneindig veel andere, en om niet overhaast een oordeel te vellen vraag ik u, de zaak nauwkeuriger uit te leggen en met een voorbeeld toe te lichten; u zult mij namelijk ten zeerste aan u verplichten als u dit doet. Descartes vind ik goed, maar ik lees hem kritisch*), ik heb niet zo veel aan hem te danken. Ik had me namelijk al verdiept in een beschouwing van meetkundige plaatsen voordat ik zijn Geometrie had gezien. Want wat zijn tenslotte die plaatsen anders dan eigenschappen van figuren, en dat die met de analyse worden opgespoord is juist de roem van de Geometrie, die inderdaad in de eerste plaats aan Descartes is te danken. En waarin mijn methode verschilt van die van hem, zult u zien in een ander werk°), ja zelfs in dit huidige als u de 3e en 6e propositie die ik u al heb aangewezen met elkaar vergelijkt. Als daarover ondertussen iets aan mij te schrijven is, en als verder iets 1) Lees: illo [i.p.v. illi]. 2) Deze brief is niet gevonden. [Berekeningen van Huygens: T. 12, p. 225, n.1.] [ *) Gr.: 'sunt Adrasteia', met Nemesis, de godin die overmoed wreekt.] [ °) Zie T. 6, No. 1662, n.2: Mesolabum, 1668, 'Pars Altera de Analysi'.]

[ 450 ]

zou wensen, zal het gebeuren zonder ook maar enige afkeuring van die grote man, ik houd namelijk het minst van allen van vitten. Hieruit ziet u naar ik meen voldoende duidelijk dat het niet nodig is dat ik de Cartesiaanse symbolen gebruik; behalve namelijk het feit dat ik mijn geschriften zou moeten herdrukken en hervormen (wat wel moeilijk zou zijn en onderhevig aan fouten), zou dit volstrekt geen nut hebben, want al lopen we bij de conclusies meestal in de pas, bij de constructies verschillen we toch dikwijls zoveel als mogelijk is, zoals men zegt*). En mijns inziens zijn mijn tekens niet zo afwijkend van die van Descartes dat ze zelfs een beginneling moeite kunnen geven. Over de drukker maakt u een heel goede opmerking, en ik betreur dat er bij ons geen vaklieden zijn met meer verstand. Wilt u te hulp komen, en advies geven dat ik bij het andere werk moet opvolgen. Ik voeg een voorbeeld bij van mijn methode bij vlakken, niet dat dit van enig belang is, maar opdat u de Analyse ervan onderzoekt.

Laat voorgesteld worden bij een gegeven halve cirkel AFC op de diameter AC een punt E te vinden waarbij, als er onder een gegeven hoek een rechte EF wordt getrokken, de rechthoek AEC [AE × EC] tot het vierkant van EF een gegeven verhouding heeft. Ik construeer één geval. Gegeven de verhouding van XO tot NO, en de hoek ONG, wordt XN doormidden gedeeld in M en uit de punten M en N vallen op OG de normalen MD en NG. Als dan op het middelpunt de hoek CBS wordt gemaakt, gelijk aan de gegeven hoek GNO, wordt genomen BS gelijk aan DG, en daarop loodrecht SI gelijk aan MD. Vervolgens wordt BS doorgetrokken tot K zodanig dat SK de twee CB en BS vermag 3). Tenslotte wordt met middelpunt I en afstand IK een boog KF beschreven, die de gegeven halve cirkel snijdt in het punt F, waaruit FE evenwijdig aan BS naar de diameter wordt getrokken. Ik zeg dat rechthoek AEC tot vierkant EF de gegeven verhouding heeft van NO tot XO 4), en dat het bij de gegeven hoek is. Waaruit blijkt, daar de rechten MD en DG steeds veranderd kunnen worden als de rechten XO en NO in dezelfde verhouding veranderen, dat er oneindig veel cirkels 5) voldoen aan het voorgestelde. Luister nu naar iets anders. Van onze geleerde van Gutschoven heb ik ontvangen het boekje van Thomas White de Albis 6) (Chrysaspis°) noemt hij het), niet van grote omvang, maar het belooft veel. Namelijk de kwadratuur van de cirkel en dergelijke. Toen de schrijver een jaar geleden een Exercitatio had uitgegeven 7), waarin hij had getracht aan te tonen dat een spiraal van eerste omwenteling [ *) Gr.: 'dis dia pasôn', tweemaal een octaaf, Engl.: Collected works of Erasmus, 'Adages' (Toronto 1982), I.2.63, p. 202. Lat.: Gen. 1612, col. 99. Eerder gebruikt door Huygens: p. 334, r.1.] 3) De Sluse bedoelt: SK² = CB² + BS². 4) Lees: NO tot XO [i.p.v. XN tot NO]. 5) D.w.z. bij de constructie kan de cirkel FK worden vervangen door oneindig veel andere cirkels. 6) Thomas White (die zich ook noemde Candidus, Albius, de Albis, Bianchi, Richworth) ... [1593-1676] werd een Engelse katholieke priester, verbleef in Portugal en Frankrijk, wierp zich op de mystiek en zijn boeken kwamen in 1658 op de Index. [ °) Chrysaspis seu Scriptorum suorum in scientiis obscurioribus apologiae vice propalata tutela geometrica, 1659.] 7) Th. ex Albiis, Exercitatio de geometria indivisibilium et proportione Spiralis ad Circulum, Lond. 1658, in-8o.

[ 451 ]

gelijk was aan de halve omtrek van zijn cirkel, heb ik hem via een vriend 8) erop gewezen dat deze fout vroeger door Guldin is gemaakt en gecorrigeerd. Nu valt hij Guldin hardnekkig aan 9), en beticht hij hem van onwetendheid omdat hij met veronachtzaming van een bewijs dat hij als Meetkundig ziet, alleen vertrouwen zou hebben gehad in een rekenkundige berekening. Ik beklaag de Meetkunde als ik zulke dingen zie, maar meer nog de schrijver, die de roem die hij in de hogere studies heeft verworven, met dit boekje verkleint. Maar hebben uw Meetkundigen in het mijne niets afkeurenswaardigs aangetekend? Als u iets vernomen hebt, stel me dan op de hoogte, en als u bovendien een vlak of ruimtelijk Probleem hebt waarvan u meent dat de constructie moeilijk is, stuur het alstublieft, opdat ik daarop mijn methode uitprobeer. Het ga u ondertussen goed, voortreffelijke heer, van hem die met volle genegenheid is Tui observantissimus Renatus Franciscus Slusius. 8) Misschien Francis Line [alias Hall] ... [1595-1675] werd in 1623 Jezuïet en kwam later lesgeven in Hebreeuws en wiskunde aan het Engels College te Luik. Hij is bekend om zijn dispuut met Newton over de kleurentheorie. Na de dood van Line werd de controverse voortgezet door zijn leerling Gascoigne en door Luca, opvolger van Line [zie: Newtoni opuscula (1774) T. 2, p. 374-408]. Het is bij vergissing dat Brewster, Memoirs of ... Newton (1855), p. 80, de Engelsman Linus aanduidt als "Dutch philosopher". Fr. Linus, De Pseudo-quadratura circuli Dom. Thomae Viti, Lond. [1659]. [ Zie Bulletin de l'Institut archéologique liégeoise, T. 21 (1888), p. 526.] 9) White antwoordde op zijn tegenstanders met: Thom. Albius, Apologia pro doctrina sua. Adversus calumniatores, Lond. 1661.

[ 471 ]

No 656. #### R. F. de Sluse aan Christiaan Huygens. 22 augustus 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Huygens' antwoord: No. 662. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 552. Leodij, 22 Augti 1659. Nobilissime Domine Uw Systema Saturnium 1) heb ik al enige dagen geleden ontvangen, het is geleerd, bij Jupiter! en vol met zware arbeid, ja ook scherpzinnig; het is niet iets van een gewoon verstand zoveel diversiteiten van verschijnselen met een ware Hypothese te verbinden. Dat er een enkel maantje bij Saturnus is, en niet meer, zoals Rheita had geloofd 2), hebt u terecht vastgesteld; al ben ik hier namelijk verstoken van die instrumenten waarmee we de ogen dichterbij de hemel brengen, toch zou het zeker tegen de rede ingaan geen geloof te schenken aan zoveel getuigen, die het op uw aanwijzingen hebben waargenomen. Wie zou niet die begeleidende ring van Saturnus bewonderen! En als het inderdaad wat de waarnemingen betreft mogelijk zou zijn, zou ik me er niet zozeer tegen verzetten, als van de Planeet werd gesteld dat hij excentrisch is, ik vind namelijk nauwelijks iets in de natuur, dat zich precies houdt aan de regel van een centrum. Ik voeg er ook aan toe dat hiermee de reden kan worden gezocht, waarom de hengsels ongelijk schijnen te zijn, zoals de meesten verzekeren dat het wel eens is gebeurd. Maar aangezien uw waarnemingen het niet toelaten, sluit ik me liever bij u aan, en ik meen dat de toewijding van een langer tijdvak afgewacht moet worden om iets te kunnen toevoegen aan uw vondsten. Ik heb vroeger in Rome Saturnus met hengsels waargenomen met kijkers van Eustachio, en ik kan me niets herinneren dat niet goed overeenkomt met uw Hypothese. Ik denk dat die brief die ik ongeveer drie weken geleden heb gestuurd 3) u bereikt heeft. Ik verwacht dus wat u vindt van mijn methode van oneindig veel constructies bij vlakke plaatsen. Vale Vir praestantissime et ama Tui observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Nobilissimo et Clarissimo Domino D. Christiano Hugenio de Zulichem &c. VI             A la Haye. 1) Zie brief No. 640, n.2. 2) Zie zijn werk aangehaald in brief No. 518, n.6. [Rheita: 6 manen bij Saturnus.] [ Novem stellae circa Jovem, circa Saturnum sex, circa Martem non-nullae, Lov. 1643.] 3) Brief No. 646.

[ 476 ]

No 662. #### Christiaan Huygens aan R. F. de Sluse. [4 september 1659.] Concept en kopie in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 656. De Sluse's antwoord: No. 663. [Sept. 1659]. Sluse. Dat u mijn hypothese over Saturnus niet absurd vindt verheugt mij. Niet alleen de Begeleider maar ook de vormen van Saturnus, de laatste drie jaren waargenomen, worden bevestigd door waarnemingen in Engeland. Excentrische ring (noch mijn waarnemingen noch mijn hypothese). Al een hele maand heb ik niet vrij kunnen zijn voor studies, waardoor het komt dat ik uw vondst, voorzover die betreft de constructies van vlakke problemen, niet verder heb onderzocht. Doch nu begin ik ook te denken waarom ik moeite zou besteden aan het uitzoeken van iets, dat ik misschien niet zal vinden, en dat ik later voor niets van u zal ontvangen. Wat u belooft wil ik toch weten, en wel of vlakke Problemen, waarbij wordt bevonden dat de vergelijking voor het eerst tot de vierde graad stijgt, zoals dat van Pappus waaraan u eerder hebt herinnerd, of, zeg ik, uw methode dadelijk zichtbaar maakt dat dit een vlak probleem is. Want in het laatste voorbeeld blijkt wel dadelijk dat het een vlak probleem is, terwijl slechts gevraagd wordt de snijding van een cirkel en een ellips waarvan het middelpunt hetzelfde is. En ook daaruit ontstaat slechts een kwadratische vergelijking. Waaraan toch moeilijk een zo korte en mooie constructie als de uwe zou zijn te ontlokken. Vale. In Angliam.*) [ *) Op het origineel bovenaan, ondersteboven geschreven. De Sluse bedankt in zijn antwoord (No. 663) Huygens ervoor "dat voor uw Saturnus die naar Engeland vertrekt mijn boekje een metgezel is". Vergelijk wat Wallis zegt aan het eind van brief No. 690 (4 dec. 1659), p. 520: "Uw Systema Saturnium heb ik wel gezien (bij de onzen is het in elk geval beshikbaar) en ik keur het goed; maar daarvan heb ik onlangs niets van u ontvangen".]

[ 477 ]

No 663. #### R. F. de Sluse aan [Christiaan Huygens]. 9 september 1659. Brief in Leiden, coll. Huygens. Antwoord op No. 662. Gepubliceerd door C. le Paige in Bull. di Bibliogr. T. 17, p. 552. Nobilissime Domine Al enkele dagen ben ik u antwoord verschuldigd op uw brief, door verschillende en zeer ver van de Meetkunde liggnde bezigheden afgeleid. Bij deze eerste gelegenheid dat het kan bedank ik u er dus voor, dat u wilde dat voor uw Saturnus die naar Engeland vertrekt mijn boekje een metgezel is, waarvan ik hoop dat het met deze leidsman welwillend zal worden ontvangen door die scherpzinnige Meetkundigen. Hoe meer ik uw Hypothese onderzoek, des te meer bevalt ze me; en hoe een ring een planeet omgeeft, kan mij niet ongewoon toeschijnen, gewend als ik ben, zonderlinge en onverwachte zaken van de natuur te beschouwen, ook in de kleinste dingen. En u hebt juist voorzien wat ik over uw cirkel zou denken; in een andere stamboom is hij namelijk teruggevonden, en een aantal dergelijke ordes van oneindig veel cirkels zult u zien in het werkje dat ik onder handen heb 1), en met een aantal afzonderlijke parabolen en oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen die een Probleem kunnen oplossen. Ik heb het enige keren vermeld in mijn Mesolabum, dat met een willekeurige cirkel enige parabolen met oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen overeenkomen, zoals op pagina 47, 48 en 51 waarop ik twee proposities heb beschreven waarop oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen betrekking hebben; geheel op dezelfde manier als wanneer een kegel wordt gesneden door oneindig veel vlakken, opgericht met verschillende hellingen ten opzichte van een driehoek door de as, steeds door hetzelfde punt*): hij zal slechts één parabool en één cirkel geven, maar een oneindig aantal Hyperbolen en Ellipsen. Maar als je een ander punt neemt maak je weer een andere reeks Hyperbolen en Ellipsen, en aangezien je oneindig veel punten kunt nemen, zul je wel oneindig veel cirkels krijgen, maar voor elk afzonderlijk oneindig veel Ellipsen en Hyperbolen, en een enkele parabool. Geheel op dezelfde wijze kunnen deze Problemen niet alleen worden opgelost met die cirkel die de rechthoek van de uitersten insluit, maar met oneindig veel andere, echter zodanig, dat bij elk probleem hetzelfde kan worden bewezen wat ik over die ene in mijn Mesolabum heb aangetoond; wat ik ook in het voorwoord heb aangeduid toen ik schreef dat het niet gewoon één keer, maar meer keren gedaan kan worden; doch ik heb er niet bijgezet "oneindig veel", om niet met die oneindige herhaling, met een woord van Plautus°), hoogdravend te lijken. Waar evenwel de edelachtbare heer de Witt op wijst (aan wiens vriendelijkheid ik verklaar heel veel te danken te hebben), dat mijn constructies meer elegantie gehad zouden hebben, als ik die cirkel had gesneden na eerst een Ellips of een Hyperbool te hebben gesteld; ik erken dat dit inderdaad makkelijk voor mij was, en u zult het vaak gedaan zien in 1) De verhandeling 'de Analysi', te vinden in de 2e editie van Mesolabum. Zie noot 2. [ *) Of liever: door eenzelfde lijn.] [ °) Plautus, 'Pseudolus', II.iv, 707.]

[ 478 ]

het andere werk 2); maar ik heb een andere redenering gevolgd, zodat ik zowel een makkelijker bewijs kon geven, als de methode van de analyse die ik heb gebruikt openlijk kon laten zien, althans voorzover het kan worden gedaan met de Meetkunde der Ouden. Over die Problemen die tot de vierde graad lijken te stijgen heb ik slechts dit opgemerkt, dat gemaakt kan worden dat ze vaak met een makkelijke constructie in de tweede graad blijven. Als voorbeeld laat ik het zien in het probleem van Pappus dat door Descartes is aangehaald in Geometria pagina 93 3), waarin u onder andere deze heel makkelijke constructie met mijn analyse zult vinden: Laat verlengd worden (in zijn figuur) DC tot Q, zodanig dat DQ gelijk is aan DN, en aan de rechthoek QCD wordt gelijk gesteld QFC, dan zal de rechte BF, die de verlengde AC in E ontmoet, aan het voorgestelde voldoen. Ondertussen is er iets waarover ik me verwonder: dat u het meeste en het moeilijkste in die methode begrijpt, maar bij het makkelijkste van de weg afwijkt. Ik denk dat dit om geen andere reden is, dan dat u naar de gewoonte van hen die sterk van kracht zijn, voorbij het doel mikt; u zult immers zien, als God kracht en vrije tijd geeft, op hoe zwakke fundamenten deze hele massa van oneindig veel constructies rust. Vale Vir Praesantissime meque ama Tuj observantissimum Renatum Franciscum Slusium. Leodij 9 7bris 1659. 2) Mesolabum ... Pars Altera, de Analysi, 1668. 3) In het werk R. des Cartes geometria a Fr. à Schooten ed. 1649, p. 92-93 [en p. 272], en ed. 1659, p. 83 [en p. 316], is een bespreking te vinden van dit probleem: "Gegeven het vierkant AD, en de rechte lijn BN; gevraagd de zijde AC te verlengen tot E, zodanig dat EF, getrokken van E in de richting van B, gelijk is aan die NB." Huygens heeft het zelfde probleem behandeld in zijn werk [De circuli magnitudine inventa, 1654] 'Constructies van enige beroemde problemen', Probl. IV.

[1660]

Home | Christiaan Huygens | T. 2 | R. F. de Sluse (top) | vervolg