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### Correspondance avec Mersenne, 1647

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No 24. #### M. Mersenne à [Constantyn Huygens, père]. 3 janvier 1647. Le manuscrit se trouve à Leiden, Coll. Huygens. Monsieur. C'est à cette fois que je suis opprimé des courtoisies de Mr vostre fils, qui s'est surpassé soymesme, et auquel je ne respons pas à ce voyage, parceque son traité 1) mérite d'estre stabulé plus long temps que le premier 2), qui a quelque chose de plus disputable. Je ne croy pas s'il continue, qu'il ne surpasse quelque jour Archimede, cousin du Roy Gelon 3). Quant à vous, je ne doute pas que vous n'ayez l'esprit assez libre pour faire vostre piece de Musique pour Ronds etsi nullus liber nisi sapiens, et que omnis sapiens liber*), il me sera aysé de demonstrer que vous estes libre, et que nulle affaire n'est capable de vous empescher, mais seulement de vous retenir [?]. Je suis bien ayse que nostre chantre 4) vous contente en quelque sorte. Je m'imagine qu'il sera tousjours modeste et retenu. J'attens vostre jugement d'entre les 2 pieces des 2 collegues. Je voudrois qu'ils voulussent s'estudier à faire parler la lettre avec son emphase, Car que vous dites pour la politesse de la conversation, ils l'ont, et comme ils sont tous 2 jeunes ils peuvent aysement se perfectionner. 1) Voir Lettres Nos. 20, 21. 2) L'auteur indique probablement la Lettre No. 14. 3) Gelon [... 268 - 216 avant J. C.] Archimède [...] lui dédia son Arenarius. 4) C'est Mr. Avril, qui lui avait été recommandé chaudement par Gobert, comme "jeune, de bonnes meurs et garçon de coeur, excellent musicien" dans une lettre du 25 nov. 1646; il vint à la Haye vers mi-déc. 1646. [ *) Cicero, Paradoxa 5.33: "Nisi sapientem, liberum esse neminem". Seneca, Epistulae Morales, Lib. IV, 37.4: "Sapientia quae sola libertas est" (^).]

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Toutes nos lanternes sourdes sont comme la vostre [<], le vent ne peut les estendre à raison que l'air interieur tient bon, qui ne voulant pas sortir, le vent n'y peut entrer non plus comme dans vostre chambre qui n'a qu'une fenestre ouverte, la porte estant fermée. Je viens de recevoir le 1r feuillets d'un Livre qui s'imprime en Pologne 5), et qui doit estre achevé ce printemps, je vous prie de l'enoyer à Monsieur vostre fils avec mes baisemains en attendant que je luy escrive. il pourra la monstrer a ses amis de Leyden. L'on m'a aussi escrit de Rome, que fontana 6), l'excellent Lunetier de Naples a publié ses observations celestes 7) faites avec ses grandes lunettes de 15 et 30 pieds de long, et que sr valangre 8) de Bruxelles fait imprimer les siennes. Il faut que vous vous resolviez de faire donner une demie pistole*) pour 2 volumes in 4o d'une nouvelle philosophie 9), dont la 1e est la Logique demonstrée et le 2d la 1re partie de la physique, qui apartient aux mouvemens tant naturels que violents, tant simples que composez d'un ou plusieurs plans ou directions, il y a 10 Livres. L'opinion de vostre fils de la cheute des graves c'est a dire celle de Galilée, par nombres impairs 1, 3, 5, etc. y est combatue [p. 111]. Et il y a un traité particulier des centres de percussion à la fin [p. 420]; si je peux faire baler dez demain ce 2d volume pour vous l'envoyer apres tout entier avec le sieur Tassin espiant l'occasion, la commodité pour vous le faire tenir, mais seulement les 2 ou 3 feuillets où sont les centres de percussion, je vous l'envoyray avec cette lettre, car je brusle d'envie que Mr. vostre fils le voye ce traité 5) [ Joh. Hevelius, Selenographia, Gedani 1647; cf. No. 27a.] 6) Francesco Fontana [... 1580 - 1656]. 7) Novae coelestium, terrestriumque rerum observationes [... Neap. 1646]. [ *) 1 pistole (après 1640: 1 louis d'or) = 10 livres; 1 livre = 20 sous = 240 deniers.] 8) Mich. Flor. van Langren, Plenilunii Lumina Austriaca Philippica [...], Brux. 1645 [Voir P.C.J. van der Krogt, Caert-Thresoor, 1983, nr. 3]. [>] 9) [ Cf. T. V, p. 619: Honoré Fabri, Philosophiae tomus primus, Lugd. 1646; Tractatus physicus de motu locali, Lugd. 1646 (avec: 'Constanter 1647', et: 'don. Mar. Mersenni', cf. XVIII, 55, Lezing). Livre aussi chez IMSS: Mousnerius.]

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et qu'il l'examine, peut estre que l'envie luy en prendra a luy mesme de le mieux demonstrer, ou du moins il pourra le faire voir a Mr. des Cartes, qui y a desia travaillé, et qui a jugé qu'il est impossible de la trouver par aucunes [?] figures et ratiocinations [?], en ce petit traité l'auteur pretend les avoir desterminez par raison et demonstration 10). Certainement je seray ravi d'avoir le jugement de ce livre de Mobiles, tant de vostre fils puisqu'il y est attaqué en son opinion, que de Mr. des Cartes sur qui vous avez assez de pouvoir d'en impetrer le jugement sur les points principaux, particulierement sur ce qu'il pretend demonstrer la raison à priori de la reflexion [p. 249], et de ce qu'elle se fait à angles égaux avec l'incidence, vous y trouverez pourquoy et quand les faux bons se font par les bales des tripots 11), ce qui arrive aux chocs des boulets. Les unes avec les autres sont frapés obliquement, ou perpendiculairement, etc. Pleust à Dieu que vostre fils voulust demonstrer tout ce qui y est à sa maniere plus noble, car je crains bien qu'il s'y trouve quantité de paralogismes 'apechô' tamen, jusques aux examens: Vous ne me dites rien de vostre admirable Musicien et joueur de Viole de vostre excellent Mariage 12). Parce qu'ils n'ont pas repondu à vostre attente? Si vostre Golius ne se haste de faire imprimer l'apollonius, il court risque d'estre devancé par un Jesuiste de Madrid 13) comtois de nation, qui y enseigne les Mathematiques et qui le promet 14). Le reste au voyage suivant, car il suffit pour cette 1re fois de la nouvelle année que je vous souhaitte ad multos annos, celuy qui est si fort
Ce 3 de l'an 1647. | Vostre tresaffectionné serviteur Mersenne M.
Je suis bien ayse que vous ayez escrit au Sieur Gobert: car il a plus de puissance sur la paresse du Sr. Ballard que moy: il est encore icy feste aujourduy, de Ste Genefiefve patrone de Paris; je croy qu'il commencera enfin apres les Roys et que ne toucha [?] d'un doigt. J'ay enfin acheté icy un frere Pol[o] 15), où je ne trouve pas tant de merveilles, que je m'imaginois. 10) Huygens ayant déchiffré cette ligne presque illisible, la copia entre les lignes. 11) Locution viellie pour: jeu de paume (Littré). [Cf. p. 262, Theor. 76 ("fraus saltus").] 12) [ Voir la Lettre No. 18a, II, p. 552. ] 13) C'est Claude Richard, né à Ornans (Franche Comté) en 1589, et mort à Madrid le 20 oct. 1664. [...] 14) Apollonii Pergaei Conicorum libri iv. cum Commentariis R. P. Claudii Richardi [...] 1655. Le privilège date de "Bruxellae 24 Decembr. 1643" [...]. 15) Marco Polo Venetiano. Delle Meraviglie del Mondo per lui vedute. [...] 1640.

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No 25. #### M. Mersenne à Christiaan Huygens. 8 janvier [1647]. Le manuscrit se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur. j'ay esté assez long temps à deliberer si je vous escrirois à ce voyage tant parceque je n'ay pas eu assez de temps pour lire vostre probleme de la corde tendüe, (quoy que je commence desja de l'admirer si fort, que si jamais vous donnez quelque chose au jour que je souhaitte que vous l'intituliez Archimedes Batavus) que pour ce que j'attends à vous envoyer un traité des centres de percussion qui vient de s'imprimer, en attendant de vous faire tenir par la voye de Mr. vostre pere le reste du livre [<] qui pretend demonstrer tout ce qui concerne non seulement les mouvemens naturels des corps pesans descendans perpendiculairement et sur toutes sortes de plans inclinez, et des mouvemens violens, mais aussi de toutes autres sortes de mouvemens composez en toutes façons. Je m'asseure que tout cela sera bien digne de vostre examen, dont j'espere que vous me ferez part, nommement en ce qu'il impugne la proportion de l'acceleration par les nombres de Galilée 1, 3, 5, 7, etc. qui est aussi la vostre, et en ce qu'il a beaucoup de choses, qui choquent certains principes de Mr. des Cartes, auquel je vous prie de faire voir ledit traité, car quand il aura passé par vostre jugement pour y marquer les paralogismes ou fautes s'il y en a contre la Geometrie ou la Philosophie, je ne croy pas qu'on ayt besoin d'autre decision. Or attendant que j'aye fait accommoder ce livre, je vous proposeray seulement cette figure d'un triangle de bois ou de fer, ou de telle autre qualité que vous voudrez ou si vous aymez mieux un plan triangulaire rigide, affin de voir si vostre analyse y pourra donner l'atteinte necessaire. Soit donc le triangle ABC pendu au point A, en telle sorte qu'il fait aysement ses vibrations de B en I et de C en H, soit la perpendiculaire, ou son axe AF prolongé tant qu'on voudra vers G. Il est certain qu'il y a un point dans ce triangle où en se remuant et balançant comme j'ay dit, il frappe plus fort qu'en nul autre endroit, et ce point se rencontre dans l'axe AF, prolongé si besoin est, il est donc question de le determiner, et il sera ce qu'on appelle le centre de percussion*). [ *) Cf. Center of percussion.]

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De mesme soit le secteur de cercle ABGC, qui se meuve aussi par CH et BI, ou sera son centre de percussion? Or je suppose que l'angle BAC est de 153 degrez; et à chaque changement d'angle il est certain que le centre de percussion change avec triangles. Tournez la figure sans dessus dessous: et imaginez le triangle renverse CBA suspendu au point F par le milieu de la base, et qu'il se balance vers K et L. Son centre de percussion sera dans l'axe FA, où sera ce? si vous me resolvez cela par raisonnement, eris nobis magnus Apollo*). Ce sera attendant que vous voyiez ce qu'en a dit l'auteur des mouvemens, qui a un grand genie, mais il n'a point touché ce dernier cas que je scasche, ni le 3e, que j'acheve de vous proposer, puisque la mesme figure le permet; soit donc aussi le secteur de cercle renversé CGBAC, pendu par G et se balançant de B vers K et de C vers L en quel point de GA sera son point de percussion? oubien si vous ne prenez que le secteur CGBFC, ou sera ledit centre? Celuy qui soudra ces 3 ou 4 cas a) par raison, devra estre estimé le 1r Geometre de l'Europe°) à mon avis, et c'est ce qu'on n'a pu faire jusques à present. Au reste vous pourrez prendre tel temps qu'il vous plaira pour cela; Et parceque Monsieur vostre pere se plaist grandement à la Musique j'espere que vous prendrez plaisir pour l'amour de luy, de resoudre une dificulte harmonique que vous experimenterez vous mesme sur vostre Luth, ascavoir pourquoy il faut qu'une chorde de Luth tendüe à un certain ton, soit tendüe 4 fois davantage pour monter à l'octave, attendu que l'octave n'a sa raison que de 2 a 1. Soit la corde AB attachée au point A et qui passe au point B sur une poulie; ou si vous aymez mieux, soit vostre Luth vertical αβ, et que la corde attachée à la cheville α passe par dessus le chevalet d'en bas β, pendant librement en γδ, si le poids γ tendant la chorde à quelque ton que vous remarquez en touchant la chorde en ε, ou E 1) est marqué: pour la faire monter de ton jusqu'à l'octave il faut y ajouter encore 3 poids, dont chacun soit egal au premier, donc les poids ou tensions doivent estre en raison doublée des sons. Il semble que cela depend [ *) Vergilius, Eclogae vel bucolica III, 104.] 1) Dans l'autre figure. a) J'ay trouve tout cecy l'an 1664, et bien d'avantage. [Christiaan Huygens.] [ °) Le "pretium ... magnum sane & invidiosum" promis par Mersenne d'après Horologium oscillatorium (1673), p. 91.]

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de la raison des chevalets, car les espaces sont en raison doublée des tensions, voyez si vous la luy pouvez accommoder, ou s'il y a quelque'autre raison. Et si quand la corde de vostre Luth FG est tirée jusques à H par exemple, et qu'elle retourne jusques à L, et qu'elle revient jusques à I, et ainsi des autres retours jusques à la fin, si, disje, ces lignes de retour HL et IL etc. sont en proportion geometrique, geometriques [sic] ou quelquautre. Or je veux vous faire part de ce qu'a produit icy depuis quelque temps nostre Academie Mathematique, et puisque vous aymez les centres de pesanteurs ou gravité, dont celuy de la figure que nous nommons trochoide, ou cycloide, qu'est la courbe ACB, descrite par le cercle AE faisant par son tour entier sur le plan AB la ligne ACB en l'air, et ADB egale à sa circonference. Le centre est au point F, lors que de F a C il y a 8 2) parties et de F à D 5. Si vous imaginez ceste figure ACBD torne autour de sa base AB, elle fait un solide qui est au cylindre de mesme hauteur et dont le diametre est AB, sous sesquiseptieme 3): si la mesme figure torne autour de son axe CD, le solide engendré n'est pas à son cylindre comme 11 à 18, ainsi qu'avoit pensé l'excellent Torricelli 4) de florence, mais en voicy la veritable proportion. Si ex tribus quadrantibus quadrati dimidiae basis, dematur tertia pars quadrati altitudinis, erit ut reliquum ad ipsum dimidiae basis quadratum, ita solidum Trochoidis circa axem conversae ad cylindrum ejusdem basis, ejusdemque cum ipso solido altitudinis. [^] C'est pourquoy je vous prie de corriger ainsi à la fin de l'Errata [^] de mon Livre que vous citez, ce que j'avois aporté de Torricelli de 11 ad 18. J'ajoute la maniere de marquer avec une seule ouverture de compas un espace courbe sur un cylindre egal à un quarré. Soit le quarré donné A, faites un cylindre, dont le diametre de la base EF soit egal à la moitié du coste Bβ, ascavoir BC, qui soit EF. Si vous ouvrez vostre compas comme EF, et que vous le mettiez sur quelque point du cylindre que vous voudrez, comme en G, sur lequel la pointe estant fichée mettez l'autre jambe sur le contour de ce cylindre qui ira juste jusqu'au milieu de l'autre costé et luy faites faire le tour jusque à revenir en G, l'espace qu'il aura circonscrit du cylindre sera egal audit quarre. Ce qui a esté icy demonstré. b) 2) Lisez: 7. 3) Sesquiseptième est 1 + 1/7 = 8/7 (Boethius). Sous-sesquiseptième est donc 7/8. 4) Evangelista Torricelli [... 1608 - 1647 ... Opera geometrica, 1644, cycl.]. b) Il faut que le compas ayt ses jambes crochües pour bien faire cela, comme ceux dont on mesure les globes. [Mersenne.]

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L'on a aussi trouve le centre de gravité de chaque partie de la superficie d'une sphere, en prenant les parties comme des costes de melon de pole à pole. Et la surface d'un spheroide egale à la surface d'un sphere. Ce que jay voulu vous escrire affin de vous faire part de nos petites nouveautez, et de vous tesmoigner le grand estat que je fais de vostre excellent esprit. Je m'asseure qu'aprez avoir vû l'auteur que je vous envoye des centres de percussion, vous renchairez dessus, et que vous trouverez quelque regle plus excelente, ou plus exquisite: et si vous y apercevez des paralogismes vous me ferez plaisir de m'en avertir. Si l'on peut trouver le centre de gravité des 2 susdites solides de la roulette, ou trochoide, l'on aura la quadrature du cercle, que prouve un P. Jesuiste Vincentio 5) qui la faite imprimer à Anvers 6) vous l'avez desja peut estre, je brusle d'en scavoir vostre jugement si tost que vous aurez examiné son memoire. [>] Je veux encore icy ajouster le centre de pesanteur de la demie circonference du cercle si vous l'imaginez uniformement pesant: Continuez dans l'un & l'autre quart la quadratrice BEC, qui passe par les extremitez de cette demie circonference, et qu'elle ayt le mesme centre de grandeur A qu'a ladite demicirconference et le mesme axe AE, et le point E sera le centre de gravité de la mesme demiecirconference. Le Jesuiste susdit promet aussi la quadrature de l'hyperbole, si son livre est en vente à Anvers, je m'assure que si vous priez Monsr vostre pere de vous le faire venir promptement, vous l'aurez incontinent et m'apprendrez ce qui en est. Vous ferez aussi avec luy qu'il vous face venir d'entre les mains du Sr. Tassin au plustost le volume entier du mouvement duquel j'ay choisi ce que vous en recevrez à ce voyage, et puis vous me ferez scavoir vostre advis sur le tout. Enfin, pour achever ce papier, on a trouvé d'un coup, ou d'une ouverture de compas appliqué sur un cylindre droit, une partie de sa courbure ou surface egale à la surface entiere courbée d'un cylindre oblique, ou scalene. Je croy que vous ne serez pas marry, que je vous mette icy la methode de trouver un lieu entre les nombres où il y ayt un espace de 100000000000 nombres, ou tel autre que vous voudrez, dont nul ne soit premier. Il faut multiplier les uns par les autres tous les nombres premiers, moindres que 5) Gregorius a Sancto Vincentio [... 1584 - 1667 ...]. 6) Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni [...] Problema Austriacum [... T. 2], Antv. 1647 (Engl.).

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100000000000, en commencant par 2, si au produit on ajoûte 1, ce sera terminus a quo. Mais parce que cela est trop loin prenez l'exemple de 10, il faut multiplier tous les nombres premiers moindres que 10, ascavoir 2, 3, 5, 7., dont le produit est 210, auquel 1 ajoûté, nous avons 211, joignez 10, ce sont 221, et partant les 2 nombres entre lesquels il y a 10 nombres sans aucun premier sont 211 et 221 differents de 10. Oubien si de 210 vous ostez 1, reste 209, duquel 10 osté, reste 199, entre lesquels il n'y a nul nombre premier. Pour trouver un nombre premier plus grand qu'un nombre donné, par exemple, qu'un million, il faut prendre la suite des nombres premiers, qui surpassent de l'unité les nombres de l'analogie de 2 7), et l'on trouvera la 256e puissance augmentée d'un qui sera le nombre premier qui surpassera de beaucoup ledit milion. Mais ces petites gentillesses de nombres sont trop scabreuses pour vous en entretenir. la Geometrie est plus joyeuse et je vous demande pardon de ma grande longueur, et encore plus pour ma mauvaise escriture 8). Mon retour est à Monsieur vostre pere, qui me fait la faveur de lire mes pieds de mouche: c'est à luy s'il y a quelque mot difficile, que vous vous addresserez s'il vous plaist. Sur ce que je vous ay dit de la tension quadruple de la corde harmonique pour la faire monter à l'octave, il me vient de ressouvenir [?] que j'en avois traité dans la balistique proposition 36. dont la lecture vous fera peut estre venir la veritable demonstration dans l'esprit. Il faut seulement y corriger les lettres capitales page 129 ligne 14, ad B, il faut ad E. page 130, ligne 25 rationes et non rectas [rationem et non rectam]. page 132 L 18 necessaria. L 21. AGF. L 25. au lieu de CD vers BF, il faut BE, vers CF [BE, vel CF]. Certes la 35, et la 37 proposition meriteroient bien vostre examen, car je ne vais quasi qu'en tremblant, de peur de faire tort à la verité: ne nuisant jamais les experiences, qui doivent servir de phenomenes; et je croy avoir faict en cela plus sincerement que si j'eusse construict des demonstrations de bibus, comme l'on dit: tant y a qu'il y a assez de preparation pour exercer un bon esprit. Dans la 38 proposition vous verrez les difficultez de recevoir le principe dont vous vous estes servi en vostre 1e demonstration [<], ascavoir qu'un mobile se mouveroit tousjours de mesme vitesse dans le vuide, dont il auroit este poussé au commencement. Et outre ce que j'en dis en ce lieu là, l'on vous peut encore objecter qu'une pierre estant jettée en haut perpendiculairement, ne devroit jamais retomber, d'autant qu'estant arrivé au dernier point où elle se trouve en equilibre avec sa pesanteur, 7) L'auteur veut indiquer des nombres de la forme 22n + 1. [Tomus III, 181: 'numerus analogiae binariae, plus 1, exponentem ejusdem analogiae habens'.] 8) La qualification n'a rien d'exagéré; l'écriture de Mersenne est une des plus mauvaises qu'on puisse rencontrer. Ce n'est qu'avec beaucoup de peine que les personnes les plus exercées dans la lecture des autographes parviennent à déchiffrer son manuscrit, rendu plus inintelligible encore par le style et l'orthographie peu corrects. Aussi les crochets [ ] de notre texte n'indiquent que trop souvent qu'on n'a pas pu arriver à une solution tout à fait sûre de l'énigme que présentait quelque mot indéchiffrable. [ Voir specimen (No. 46) à la fin du tome II.]

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la force du mouvement qui la conduit en haut, n'a plus de contraire en cet equilibre, donc elle ne le doit point perdre: donc elle ne doit point retomber ce qui est contre l'experience, car de dire que la pesanteur agisse en ce point non comme 1, mais comme 3 et 5, c'est contre l'experience, autrement un plomb pendu à un filet, romperoit bien tost le filet en pesant comme 1, et surtout [?] 3, 5, etc. contre l'experience: de dire que c'est l'air ou autre matiere perpetuellement descendante et tournante qui abate et oste la pierre montée à ce point d'équilibre, c'est deviner sans le voir. Et partant vostre demonstration manque de principe, oûtre que vous ne prouvez par induction que le grave passe par tous les degrez de tardivité: et voyez qu'au mesme moment que nous laschons une pierre en bas elle va viste. C'est chose bien estrange que nous voyions si peu dans la physique, et qu'il y en ayt tant qui disent, ou se vantent de voir si clair dans les choses de la religion, qui depend de ce que nous pouvons beaucoup moins aprocher que ce que nous venons de dire des choses physiques. Il n'y a remede il faut essayer d'avoir patience, puisque la divine providence nous a mis dans cet estat de vie, qui ne depend nullement de nous puisque nous nous trouvons sur la terre sans scavoir qui nous y a mis et d'où nous sommes venus, si on ne nous l'apprend 3 ou 4 ou 8 ans aprez. Je prie Dieu Monsieur, de vous conserver toute cette année en tresbonne santé, et que vous soyez l'Apollonius et l'Archimede de nos jours, ou plustost du siecle à venir, puisque vostre jeunesse vous peut donner un siecle entier. Vostre tresaffectionné serviteur Mersenne, M. Ce 8 du nouvel an. Si vous prenez la peine de lire la 38 proposition, je vous prie d'y corriger cecy. p. 136 L 24, accenseri tout en un mot, p. 137 L 2 observationes. L 12 explosione L 16, pilas maiores eâdem ac minores. L 29 globus, curvatus proportionaliter. p. 138, L 3, 2200 au lieu de 2000, L 9 au lieu de ferè horae dimidiae spatio, mettez multo tempore. Je vous prie aussi qu'à la 39 proposition qui est mal marquée 35, et qui est la derniere, à la page 139 L 14, vous effaciez tout ce qui est depuis Habet jusque à secundum; parce que j'ay experimenté que dans l'espace de cent toises*) qui est la plus grande portée horizontale des meilleurs arquebuses, la bale arrivera au mesme moment que le son: ce qui me fait necessairement conclure que la bale est du moins à 50 toises, quand le son commence a se faire: car autrement il viendroit bien plustost a l'oreille que la bale, puisque le son fait 230 toises dans 1". et la bale n'en fait pas 150 dans ce mesme temps. A la preface generale [^] L 5 et 6 lisez DA sesquidigiti, hoc est octans pedis. pag. 86 Phaen. Mechan. L 2 lisez potentia, resistentia. L 18 et 19, 22464. Il y a page 85 et ailleurs des nombres à corriger, c'est [?] chose horrible d'avoir affaire a des mauvais imprimeurs. [ *) 1 toise = 6 pieds (presque 2 m). A la p. 139 il y a 'leuca', c'est une lieue de 3,2 km.]

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Excusez si je barbouille encore cette page, affin de restituer les vrays nombres de la page 85 des mechaniques. L. 16. propiùs L. 30. 26 au lieu de 50. L. 31. 17, non 13. L. 32. 49 non 338. L 33. 7 au lieu de decimo tertio. L. 34. 7 pour decimi tertii L. 37. 49 pour 338. neque si fuerim Hercules, possim omnes erratorum hydras calami numerorum seu clava delere. p. 86 ultima linea, scribatur cylindrus 26 hexapedanus, . . . . . cum intervallo crassitudinis et materiae erit paulo 312 librarum. Et tout de mesme page 87. L. 4. 26 et 312 pour 338 et 2648 et L. 14. 312.

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No 27. #### M. Mersenne à [Constantyn Huygens, père]. 12 janvier 1647. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur. J'escris fort amplement à Monsieur vostre fils, et je luy envoye la fin du volume des mouvemens, ou de la philosophie demonstrée*) que j'ay achetée pour vous et pour luy en 2 volumes que j'ay mis entre les mains de Mr. Tassin pour vous l'envoyer à la 1e occasion. Et parceque vostre fils sera ravi de voir les centres de percussion, j'ay icy mis les 3 caihers 1) qui apartiennent à ce sujet, et que vous remetterez aysement en leur place, quand vous aurez tout le Livre, qui pourra servir d'exercice à vostre brave geometre pour long temps, et de tout vous m'en direz vostre advis. Il sera bon que Mr. des Cartes jette l'oeil dessus quand vous l'aurez resceu et puis vous m'en escrirez vostre jugement. Nous attendons icy la quadrature du Cercle de vostre voisin qui est imprimé à Anvers par le Jesuiste Vincentio. Je vous donne à penser si elle sera bien examinée par vostre fils et par ses maistres et princhipalement [?] si Mr. des Cartes la void l'un des premiers, son jugement me pourra estre decisif. Faites que le Sieur Tassin donne cent sols, qui est demie pistole pour les 2 volumes. Mr. Gobert m'a promis toute sorte de sollicitation et de diligence envers Ballard. C'est chose estrange qu'en un si grand Royaume, nous n'ayons que ce seul imprimeur de Musique et a peine y a il une ville en Italie où il n'y en ayt quelqu'un. Vous estes de ce costé la encore plus pauvre que nous, car entre tant de villes qui impriment bons et mauvais livres, vous n'en avez point pour la pauvre Musique. Elle sera a ce que je voy tousjours miserable en cest pays francois aussibien qu'en la Turquie. J'attends la relation du concert du Mariage [<]. je ne scay si nous en verrons quelque eschantillon. Vostre Geometre verra si luy ou quelqu'un pourra trouver la proportion de la circonference d'une ellipse avec celle du cercle et de la surface du spheroide avec celle d'une sphere, on y travaille icy, mais si l'on en viendra à bout, hoc opus hic labor°). Si le P. Jesuiste Vincent ouvre la clef de la quadrature du cercle dans son livre, cela servira aux dites questions. La plus grande dificulté que j'aye rencontré dans la Musique, est que quoy et quant et pourquoy la voix qui est l'une des plus basses qu'on puisse prendre, ou plusieurs voix ensemble font oûtre leur propre ton, un autre son en haut à la douzieme ou double quinte. Ce qui arive aussi aux grosses chordes d'une viole touchée. Car si dans un grand silence vous vous mettez en vostre Cabinet avec grande attention, touchant doucement ou faiblement, main lesvée de l'archet, vous entendrez tousjours un son à l'écho qui accompagne le naturel, à la douzieme en haut, et souvent [ *) Fabri, voir p. 48, note 9.] 1) Lisez: cahiers. [ °) Vergilius, Aeneis, VI, 129.]

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un autre à la disseptiesme qui est le diton replique sur la quinzième disdiapason ditonus, ce que fait aussi la voix toute seule qui est grosse et basse. Par exemple si vous prenez ut pour la plus basse de vostre voix ou re ou mi et que vous le tirez long temps par exemple 4 ou 5 mesures, vous entenderez la douzieme et dixseptieme en haut, mais si faibles qu'il y faut une grande attention, et dans nos choeurs, lors qu'on chante bas, l'on entend tousjours une douzieme qui resonne en haut, mais la dixseptieme ne peust souir. Et si tost qu'on hausse la voix d'un ou 2 tons l'on n'entend plus que le ton naturel non plus que sur les cordes de la viole qui sonnent plus haut ni 2) ayant que les grosses qui feront cela. Certes puisqu'à bon droit l'on vous peut appeller pere ou patron de la Musique, cette difficulté mérite que vous ne la laissez pas au monde, et que pour vous mesme elle ne soit demonstrée par qui que ce soit, si clair que chacun en voye la raison. Vous l'avez proposée fort amplement dans mes Physico-mathematiques page 354 prop. 5. Sera il dit que j'aye tranché toutes les dificultéz harmoniques, et que je ne seray point aydé pour les 3 ou 4 difficultés qui restent, et que je propose dans cette 5 proposition. Ne permettez point que prochain [?] siecle vous ayde et qu'elles demeureront sans la vraye solution; que je priseray plus que tout le reste de l'harmonie. Excusez si cette deesse m'a transporté si loin, et me tenez tousjours pour Vostre tresaffectioné serviteur Mersenne M. Ce 12 du nouvel an 1647 à Paris. 2) Lisez: n'y. No. 27a

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No 30. #### M. Mersenne à Christiaan Huygens. 24 janvier 1647. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur aprez avoir admiré vostre speculation de la chorde qui ne fait pas la parabole [<], je vous diray seulement, qu'encores que tout ce qui y est soit veritable, ce n'a pas neantmoins esté par la force de vos demonstrations, que la verité nous en a paru, car il faudroit, ce me semble, commencer par vostre Corollaire de la 2 proposition et la demonstrer, et puis vous pourriez demonstrer le 1 et 2d theoreme et le reste iroit assez bien. Semblablement à la fin de la 4 page hoc tamen eorum situm nihil immutabit nulla enim causa est. encore que vous n'en voyez point de cause, il ne s'ensuit pas qu'il ny en ayt, nous ne voyons pas tout de prime abord, et ce qui ne nous parust pas en un temps paroist souvent dans un autre, il suffit qu'on puisse douter qu'il y ayt quelque cause. Ce que je ne vous dis pas pour amoindrir l'exactitude de vostre speculation, à Dieu ne plaise, car je continue tousjours en mon mesme advis de la grandeur de vostre genie: seulement ne peinez pas trop vostre esprit, car vous aurez tant d'années de reste, que quand vous ne feriez qu'une demonstration chaque année, aussi belle que celle de cette chorde, vous auriez assez pour tenir le haut bout parmi toute la noblesse. Or affin que ma lettre ne s'en aille pas sans quelque chose de nouveau, vous considerez le probleme 1) qui suit, et que je croy que vous jugerez si beau, 1) Voyez le No. 31.

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qu'il a fallu avoir du genie, et du fond de Geometrie pour le trouver: dont la demonstration estant trop longue et difficile, son auteur ne l'a pas voulu escrire. Je vous prie de me dire vostre advis d'un livre d'equations Cubiques 2) du Sr. Scoten, qu'on m'a dit estre icy arrivé depuis peu pour vendre. Monsieur voyla pour ce voyage en attendant encore mieux pour ceux qui suivront, s'il se rencontre quelque chose qui merite vostre lecture, si vous estes à Leyde, lors que vous recevrez la presente et que vous voyiez le Sr. Scoten, je le salue, et suis tousjours Vostre treshumble serviteur Mersenne M. ce 24 de l'an 1647. à Paris où nous vous attendons. A Monsieur Monsieur Chrestien Huijghens. A Leyde. 2) Fr. à Schooten Leydensis, de Organica Conicarum Sectionum in plano Descriptione [...], 1646. No 31. #### M. Mersenne à Christiaan Huygens. Appendice au No. 30.1) Le manuscrit se trouve à Leiden, coll. Huygens. Dato cylindro Scaleno: Invenire cylindrum rectum, atque ex eius superficie Cylindrica quantumvis producta, portionem resecare aequalem superficiei cylindricae scalenae datae, quae portio sit eiusmodi ut à quocunque termini illius puncto, ad unum idemque superficiei inveniendi cylindri punctum, omnia intervalla hoc est omnes rectae lineae ductae inter se sint aequales. Esto recta AB aequalis diametro basis dati Cylindri scaleni secta bifariam in C: recta autem CD. esto aequalis axi eiusdem; et angulus DCB sit inclinatio ipsius axis ad planum basis, ducatur recta DE perpendicularis ad rectam AB productam, si opus fuerit usque in E, 1) Plus tard, le 2 mai 1648, Mersenne envoya encore à Huygens les mêmes théorèmes. Voir la Lettre No. 49. [Correspondance du P. Marin Mersenne XV, 54: L'auteur de cette note latine doit être Roberval.]

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tum intelligatur secundus quidam Cylindrus, sed rectus, super eadem basi, cuius diameter AB, altitudo vero sit aequalis ipsi CD, Intelligatur etiam tertius Cylindrus idemque rectus, cuius diameter basis sit CE, & altitudo aequalis eidem CD. Tandem intelligatur quartus Cylindrus rectus quoque similis tertio. sed cuius superficies aequalis sit dimidiae superficiei secundi. In huius enim quarti Cylindri superficie Cylindrica productâ quantum satis: intervallo autem lateris eiusdem quarti, delineabitur portio quaesita. Demonstratio longa est et difficilis. Quartus autem ille cylindrus sic invenietur, inter AC et CD media proportionalis esto F. Item inter CE et CD media proportionalis esto G. atque ut G ad CD ita fiat F ad H. Et ut G ad CE, ita fiat F ad I, sicuti ergo G media proportionalis est inter CE, CD, sic F media erit inter H et I. eritque proportio eadem: quare Cylindrus rectus, cuius H erit altitudo, I autem diameter basis, est is qui quaeritur: nec difficilis est demonstratio.

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No 37. #### [Constantyn Huygens, père,] à [M. Mersenne]. [ 23 Decembre 1647. ] a) Le manuscrit se trouve à Amsterdam, Acad. Roy. des Sciences. Cette pièce contient la relation de quelques expériences sur le tir des canons, écrite de la main du maître canonier; Constantyn Huygens y ajouta ses remarques. [Cf. la lettre No. 3g de 1644.] Nous publions toute cette correspondance sur la portée des canons puisque, plus tard, Christiaan Huygens s'est occupé de cette question. Voir les Lettres Nos. 48, 49. a) Mandé au P. Mersenne 23 dec. 1647 [Constantyn Huygens, père]. Sur une autre page on lit de la même main: Mers. 3 Jan. 48. Memorie vande Schoten die Ick hebbe gedaen op den 20 Julij Ao 1644 ter presentie vanden Commissarijs vander Maest op het strang tot Seveling. Voor eerst om te sien waer het Ysser soudt vallen geladen met 1½ lb Cruijt op 45 graden is onkenbaer geweest. Twede mede geladen met 1½ lb Cruijt, ende op 45 graden gestelt is oock onkenbaer geweest. Derde mede geladen met 1½ lb Cruijt ende op 45 graden gestelt; is maer gehoort inden lucht van die geen die op 1300 passen stont; ende en is mede niet kennelijck geweest. De vierde schoot sijnde gestelt op 25 graden ende geladen als boven is mede onkenbaer geweest ende dat door het slingren van het stuck. De 5e waterpas gestelt geladen als boven heeft de eerste gegraeft op 398 passen

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ende de tweede mael op | 790 T[reden]
de derde mael | 1065 T.
de vierde mael | 1244 T.
de fijfde mael | 1394 T.
de seste mael | 1475 T.
de sevende mael | 1548 T.
de achste mael | 1626 T.
de negende ende leste mael | 1750 T.
ende daer gesmoort. |

De 6de schoot gestelt op 45 graden ende geladen als boven; doen ben ick selver gegaen om te vernemen of ick niet en soude connen sijen waer het ijsser bleeft ende ick gijng soo veer dat sij, noch ick haer qualyck konde bekennen; ja den rock van het stuck pas sijen; soo komt het ijsser dicht achter mijn vallen ende gaef een groote slach; daer ick op aen ginck 't welcke een kleyn gaetken maer hadde gemaeckt ende was dijep een en een haelf voet dijep; ende bevonden op 3225 b) passen ter vlucht. Soo dat ick hebbe bevonden niet wel van het slyngeren met het ijsser aenden stock*) te recht te raecken alsoo wij daer na noch meer hebben geschooten maer geen ijsser veernomen, alsoo het stuck te seer slijngert ende niet vaest en leijt; alsoo men daer eerst moest espres een roo paert toe laten maecken op sijn scheeps mannier; ende daer soude men wel konnen recht schieten aenders soo schieten wij in see of in duijn. c) b) D'une autre main (de Constantyn Huygens, père): No. Dese 3225. treden zijn (tegens 2. voet in eene Tré) ongevoelich eens soo wijd als de 3072. voet die mersenne zeit de cogel hoogh geweest te hebben. Sulcx hij mede gepronuntieert hadde te sullen geschieden op 45. gr. [ Mersenne, Cogitata, Praefatio Praefationum: "... ab Illustrissimo viro Hugenio ... 3225 passus ... pila verò terram sesquipede subingressa est."] [ *) La pendule à secondes de 3 pieds (p. 74, III); cf. No. 3g: "nous voylà sans mesure de temps". ] c) Cette phrase est écrite de la même main que le commencement; ce qui suit est de la main de Constantyn Huygens.
Gewicht van 't stuck. Lengde van 't stuck. Hoogde van 't stuck. |  | Cogel. Ladinghe.

Hoeverre de Cogel waterpas gaet*), oft wel tot opde Helft van FC. in H 't welck ware 199. passen, de helft van 398. Tijd van de schoot waterpas. FH. Tijd van de schoot FC. Tijd van de schoot AD. op 45. graden.

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Hoe diep de Cogel in d'eerde valt op 45. gr. Hoe diep, recht inde locht geschoten. Of de Cogel uijt de Tromp om leegh, dicht bijder aerde geschoten zijnde, dat is op 2. of 3. voet distantie wel eens soo diep in soude gaen als recht uyt de locht vallende. Het stuck soo gekeert staende soude met den schoot omtrent een huijs hoogh op vliegen, sonder breken. Het stuck wecht 416 lb. De passen syn geweest van 4 inde Roede. Hoe hooch het stuck heeft geleegen uijt de gront hebbe niet gemeeten. Het stuck lach recht waeter pas. d) [ *) Cf. la figure dans Mersenne, Cogitata, 'Pneumatica', p. 136 (et Novarum observ., 1647, p. 142). Isaac Beeckman (Journal, II, 233) écrivait en 1623 "dat den koghel alle oogenblick na het centrum der aerden ten minsten een weynich sinckt, al ist onmerckelick" (qu'il descend toujours). Christiaan H. en 1646: "qu'il descrit une parabole", cf. p. 19. ] d) Les 4 lignes qui précèdent sont les réponses du maître Canonnier aux questions suivantes de C. Huygens: Hoe groot het stuck was dat op het strand waterpas schoot 398. passen? Hoe wyd ontrent elcke pas. van 4. of 5. inde Roede? Hoe hoogh het stuck op het affuijt uyt den grond lagh, te rekenen van d'aerde af, tot het midden vande Tromp. Of het stuck oock heel waterpas leij, oft een weinigh geresen voor? No 38. #### [M. Mersenne] à [Constantyn Huygens, père]. decembre 1647. Le manuscrit se trouve à Amsterdam, Acad. Roy. des Sciences. Memoire pour les Portées de canon. Ayant sceu la longueur, la pesanteur & le calibre de la piece de canon, et la grosseur, et pesanteur du boulet, et la quantité, ou pesanteur de la poudre. I. Il faut tirer à niveau, ou horizontalement; soit donc la terre ou l'horison DE, la hauteur du canon DA, qu'il faut mesurer: par exemple de 4 ou 5 pieds. Il faut scavoir la longueur de la portée droite AB avant qu'elle courbe, et trouver si depuis qu'elle courbe en B, FC, sera aussi long que DF, comme l'on croid ordinairement. supposé que la terre DE soit sans eminences [?]

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II. Si le mesme canon elevé à l'angle de 45 degrez en AG, ira jusques en E, cinq ou 6 fois plus loin que la portée morte en DC, comme l'on croid aussi. III. Par le moyen de l'horloge à secondes avec 3 pieds de chordes comme vous scavez et le plomb au bout scavoir en quel temps le boulet ira de A en B, et B en C, je croy qu'il ira en 2 secondes ou en moins d'A en B, et de 1) 2 de B en C. IV. En combien de temps il ira de G en E; il sera 22 secondes à mon advis, Si c'est un canon de batterie, ou un peu plus ou moins, ce que je vous dis affin d'en estre adverti, et d'y prendre mieux garde. Or il faut mesurer assez exactement DF, C, E, un comptepas y est bon, mais parce que l'on ne fait jamais tous les pas egaux; si on avoit une mesure reduite en cercle de fer, contenant une toise [?] ou 2 ou 3 pas, ou 5 ou 6 pieds qui marqueroit le nombre des tours de cette roue dans son marche, comme un certain Chorez 2) en a icy un, cela seroit fort commode pour compter sans y penser. A ce defaut, il faut avoir une chaine d'arpenteur [^] de 10 toises ou plus et faire toiser, ou mesurer ledit chemin. V. Si apres avoir tiré en lorizont [?], tandis que l'arpenteur mesurera, on veut tirer un coup perpendiculaire en haut de la mesme piece et mesurer le temps jusques a ce que la bale ou boulet retombe, comme vous avez desja fait autresfois*), l'affaire sera accomplie. VI. Il sera bon de voir combien avant cheute [?] aura duré [?] la bale tirée à 45 degrez: aussi bien que la perpendiculaire, et de prendre garde si elle sifflera en descendant: mesurer par secondes le temps qu'elle sifflera à 45 degrez. Ce que pourront mieux observer ceux qui seront vers E à guetter et marquer le temps comme le lieu qu'elle tombera. Et vous la pourrez faire placer à 6 fois plus loin que depuis AC. Et y mettre quelque buche, ou autre chose qui leur oste la crainte du peril, si ce n'est qu'il s'y trouve desja quelque hutte faite propre pour cela. Le surplus viendra de vostre industrie. 1) Lisez: en. 2) C'est le nom, peu lisible ici, d'un fabricant ou marchand d'instruments de physique à Paris, que l'on rencontre aussi parfois dans les lettres de des Cartes. [Photo d'un tel hodomètre chez Epact.] [ *) Mersenne, Novarum observationum ... T. III (1647), p. 128: "cùm pila 6. librarum illius tormenti, quod Hagae Comitis in mei gratiam illustris eques Eugenius explodi curavit, 512. sexpedas in ascensu 16. secundorum tempore percurrerit; quae cadens terram pedibus 3. subingressa est, ut jam monueram epistolâ dedicatoria Mechanicis [1644] praeposita." Cf. 'Praefatio Praefationum', en hierboven de 'Memorie'. Figure (Varignon, 1690): "Retombera-t-il?", "M. Descartes Lett. 73. Tom 1. Exper. du P. Mersenne." Mersenne had zulke proeven gedaan met Petit, en geen kogel teruggevonden. Descartes schreef: de kogels kunnen zo hoog komen dat ze hun zwaarte verliezen. Maar het ging niet alleen om de vraag óf de kogel zal terugvallen, maar ook waar: dichtbij, of ver naar het westen (wat een bewijs zou kunnen zijn voor het draaien van de aarde). [>] Zie Wikipedia, 'Boulet de Mersenne': bij vallen is er een kleine afwijking naar het oosten (de top van een toren draait sneller dan de grond), maar bij stijgen een grotere naar het westen. Mersenne wordt genoemd op de titelpagina van: Military and maritine discipline in three books, London 1672. "The Doctrine of projects applied to gunnery by those late famous authors Galilaeus and Torricelli, now rendered into English. ... Some excellent observations out of Mersennus and other famous authors": p. 65-68, 'Of the swiftness of sound, and force of bullets shot out of guns' is een vertaling van Mersenne, Novarum observationum (1647) Cap. XIV, 126-131 [p. 66: 'Hugenius']; p. 70-72, 'Experiments of shooting', vert. van Cogitata (1644), 'Ballistica', 82-85 (fig. kanon: 84, 89); p. 75, 'The ranges of spouts or squirts compared with the ranges of bullets', vert. van Cogitata, Hydraulica, 135 ("...; vel enim maius tempus impendit globulus descendendo, ...")-136 (fig.). F. Marini Mersenni mimimi Ballistica et acontismologia, Par. 1644.] No 39. #### Christiaan Huygens à [M. Mersenne]. [1647]. Le manuscrit se trouve à Leiden, coll. Huygens. Lemma. 1) Sit parabola ABCD secta in A, B, C, D, à diametris AG, BH, CI, DK aequali spatio distantibus; dico si haec puncta jugantur lineis AB, BC, CD et alijs duabus 1) Ce Lemme a quelque rapport avec la Proposition 12 de la Lettre No. 21.

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AD, BC, prolongentur autem duae AB, DC usque dum sese intersecent in F, et inde ducatur alia diameter FL, hanc divisuram ambas AD et BC bifariam in E et L. Sciendum autem primum est, quod si unam ex ijs ut BC bifariam dividat, alteram AD quoque bifariam divisura sit. Nam si linea FL bifariam dividat BC, eodem modo dividet etiam omnes lineas quae à lineâ AG ad DK pertingunt quia spatia GH, HI, IK sunt aequalia posita, ergo etiam lineam AD. Si itaque dicatur linea FL ne alterutram quidem AD vel BC bisecare, ponatur alia diameter PO quae alterutram atque ideo utramque bisecet: quia igitur linea AD, BC utrinque parabolae occurrunt et à diametro ejusdem bifariam dividuntur sequitur eas debere esse parallelas sed cum parallelae sint et à linea PO bifariam divisae, sequitur quoque si lineae AB, DC quae eas jungunt producantur in eodem puncto P concursuras cum eadem OP, quod est absurdum, cum dictae fuerint concurrere in puncto F.

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