Home | Chr. Huygens | < Oeuvres XVI >

[ 137 ]

### Over beweging

Aanhangsel II 1)

### [1656]

[Eerste Deel] 2)

Wat het wil zeggen. Dat het naar aanleiding van ondervinding door sommigen is geprobeerd. Over gelijke. Over een groter naar een kleiner in rust. Dan ook dit dat verbazend leek enz. over de onbegrensde 1) We hebben gezien (p. 30/31, n.1) dat Huygens in 1656 aan de Roberval schreef dat hij zijn werkje over Stoot had afgemaakt. We geloven dat het gaat om het Manuscript [HUG 26A, 39r-56v], op losse bladen, met de pagina's door Huygens genummerd 1-36 [hierna: H.1 enz.], waaraan we dit Aanhangsel ontlenen. Weliswaar staat het vol doorhalingen en alternatieven maar de verwardheid op het eerste gezicht is maar schijn. Afgezien van het Eerste deel (zie noot 2) ontbreekt er niets aan de logische aaneenschakeling van de Proposities, hier Theorema's genoemd, en hun inhoud komt bijna letterlijk overeen met die van de definitieve verhandeling 'Over beweging', op p. 31-91. Een meer afgerond stuk was ook niet te verwachten, aangezien Huygens in 1670, getroffen door een ziekte die naar hij meende dodelijk was, in zijn onderhoud met Francis Vernon [zie T. XXII, p. 656] het betreffende Manuscript als volgt omschreef: "These Papers containe some propositions about motion rough cast & in their first draught & on the Paper which wraps them up is written on the outside de Motu per impulsum."; zie T. VII, p. 11. 2) Dit Eerste deel bevat een schets van een Voorwoord in de stijl van het 'Aan de lezer' bij Theoremata de Quadratura hyperboles, ellipsis et circuli, 1651 (zie T. XI, p. 283-287) en van het 'Voorwoord' van De circuli magnitudine inventa, 1654 (zie T. XII, p. 115-119). Dit Voorwoord schijnt nimmer te zijn geschreven. Om het op te stellen, gebruikmakend van deze schets, had Huygens de aantekeningen tot zijn beschikking die in Aanhangsel I staan. Hij verwijst er naar, soms impliciet en eenmaal expliciet, zie p. 140, n.19.

[ 138 ]

macht 1). Toen Galileo Galilei over beweging veel nieuwe dingen had gevonden 2), heeft hij zijn scherpzinnigheid 3) ook vaak op deze beschouwing gericht en toch heeft hij daaromtrent niets overgeleverd, behalve dat hij zei dat het een zaak van de hoogste moeilijkheidsgraad was en zo goed als onbereikbaar voor het menselijk verstand. Immers in de dialogen enz. voert hij Sagredo in als volgt sprekend enz. 4). Dit zei Galilei, en tot hoever hij enz. Dit zeker wat hij over de onbegrensde enz. 5). Verder wat hij over de duisterheid van de materie schrijft, als iets waarin allerminst met voor de hand liggende gedachten is door te dringen 6), dat wordt misschien niet zo begrepen uit wat wij zullen leveren, maar het kan zeker vaststaan uit het feit, dat niet weinige uitstekende mensen die dit aanpakten 7) in de fout zijn gegaan, zoals wordt bevonden. Sommigen immers hebben, in de mening dat de zaak niet zo moeilijk was, er niet aan getwijfeld de stoot-gebeurtenissen van het Theorema te begrijpen, bouwend op 8) weinig evidente principes en ook allerlei argumentaties verkopend in plaats van meetkundige bewijzen. [ H.2 ] Daarvan bevind ik 9) dat er meestal slechts juiste worden geleverd, voorzover ze uit makkelijke experimenten geleerd kunnen zijn 10); maar zodra zij zich hiervan verwijderen gaan ze door hun eigen redenering onmiddellijk fouten maken 11). Hier echter gaat Descartes 12) langs een andere weg, en niet zo, dat hij streeft naar experimenten, maar stellend dat deze dingen onderhevig zijn aan onvolmaaktheid 13) van de materie en andere belemmeringen, acht hij dat het van weinig belang is of ze wel bevestigen 14) wat hij heeft gevonden. En daardoor komt het dat hij ook niet door experimenten kan worden overtuigd 15). 1) Dit begin geeft maar een zeer onvolmaakte schets van wat Huygens in het begin van zijn Voorwoord wilde zeggen. Het wordt op hetzelfde blad voorafgegaan door een andere versie:

Wat het wil zeggen. Dat het naar aanleiding van ondervinding door sommigen is geprobeerd. Dat ze foute regels hebben gegeven. Velen willen namelijk allerlei argumentaties verkopen in plaats van bewijzen; die ziend meende ik, niet tevergeefs moeite te zullen doen als ik meer zekere zou trachten te vinden. Want het leek me toe dat grondige kennis zowel nuttig is voor menselijk gebruik, als zeer veel kan bijdragen tot beschouwing van de natuur. Dus begon ik na te denken over het vinden van een principe en ik werkte er lang aan, en toen ik het tenslotte gevonden had, al was het heel zeker, was het toch zo dat ik als meest ware erkende wat over deze materie vroeger is bekend gemaakt door de zeer scherpzinnige Galilei, in de Dialogen over Beweging die hij in het Italiaans heeft geschreven. Daar immers, om te getuigen van de voor hem zeer ingewikkelde en bijna opgegeven kennis hiervan, laat hij Sagredo zo spreken enz. Dit zei Galilei, en tot hoever hij enz. Dit zeker wat hij over de onbegrensde enz. Laten we overigens tot de hypothesen zelf overgaan.

Veel van wat hier duister is valt uit te leggen met het 4e en 5e deel van Aanhangsel I, p. 99-107. 2) Zie het werk van p. 99, n.8 [Discorsi, 1638]. 3) Boven "acumen": "ingenium", verstand. 4) Zie p. 112-113. 5) Vergelijk regel 13-15 van p. 113. 6) Zie 3e alinea van p. 113. 7) Boven "aggredientes": "attentantes", probeerden. 8) Boven "superstruentes": "nixi" en "usi", steunend op, gebruikend. 9) Boven "comperio": "contingit", is het zo. 10) Waarschijnlijk de botsing van gelijke lichamen, zoals bij Marci [<]; zie T. I, p. 307. 11) Boven "in errores incidunt: "devij feruntur" en "abducuntur", van de weg af, dwalen. 12) Andere versie: "Cartesius autem qui et ipse leges quasdam percussioni seu collisioni corporum constituit", Descartes echter die ook zelf enige wetten voor stoot of botsing van lichamen heeft opgesteld. 13) Boven "imperfectioni": "vitijs", gebreken. 14) Boven "sua comprobent: "suis adstipulentur" en "consentiant", hard maken, overeenkomen met. 15) Zie over heel deze passage p. 101, n. 7.

[ 139 ]

Zijn regels dan staan in het boek Principia Philosophiae, 2e deel, en ze zijn als volgt 16). Bespreek ze. Aan deze regels van Descartes hebben velen instemming gegeven, ik weet niet of ze meer zijn overgehaald door waarschijnlijkheid of door de autoriteit van de zeer scherpzinnige Filosoof. Maar mij heeft in de eerste plaats aan het twijfelen gebracht de al te grote tegenspraak ervan met experimenten 17), want bij een bol in rust die door een gelijke werd aangestoten had ik heel vaak waargenomen dat de laatste ten gevolge van de slag in rust bleef en alle beweging op de eerste overdroeg 18), en bovendien had ik ook andere stoot-gebeurtenissen opgemerkt die ik hierboven heb besproken 19) die heel anders zijn en tegen deze regels ingaan 20). En daarna heb ik gemerkt dat zijn wetten ook niet met elkaar in overeenstemming zijn; het zal dienstig zijn dit hier in het voorbijgaan duidelijk te maken. De vijfde leert namelijk dat als een groter lichaam B een kleiner C in rust ontmoet, het iets van zijn snelheid verliest. Maar volgens de tweede wet 21): als B een zelfde kleiner lichaam C ontmoet, dat met gelijke snelheid uit tegengestelde richting komt, zal B niets van zijn snelheid verliezen. Wat wel met elkaar in strijd is, tenzij we zeggen dat een lichaam in rust meer weerstand biedt tegen een lichaam in beweging dan wanneer het uit tegengestelde richting komend er tegenaan slaat; wat zeker ongeschikt is. Deze regels dus volstrekt niet vertrouwend begon ik over de andere na te denken, na alles 22) te hebben geprobeerd. Dus begon ik deze zorgvuldiger te bekijken en tenslotte 23) heb ik juistere, naar ik meen 16) Zie p. 101, noot 4 [<]. 17) Erboven: "eo quod reapse contingere videbam", wat ik zag dat werkelijk gebeurde. 18) Tegen de 6e regel: "Ten zesde, als lichaam C [figuur van p. 93, n.4] in rust zijnde heel nauwkeurig gelijk zou zijn aan het er tegenaan bewegende lichaam B, zou het deels hierdoor in beweging worden gebracht, en deels dit in tegengestelde richting wegstoten. Als B namelijk naar C zou komen met 4 snelheidsgraden, zou het 1 snelheidsgraad aan C toedelen, en met de 3 overige zou het in tegengestelde richting worden teruggekaatst" (p. 69 van T. VIII (1905) van ed. Adam & Tannery). Zie nog de laatste alinea (p. 118) van het Zevende Deel, waar Huygens uitlegt waarom bij het biljartspel de betreffende bal dikwijls nog een kleine snelheid behoudt. 19) Boven "recensui": "commemoravi", vermeld. 20) Boven "adversantia": "adversari videbam", zag ik ertegen ingaan. 21) 2e wet: "Ten tweede, als B maar iets groter zou zijn dan C, met het overige gesteld zoals eerst [gelijke snelheden], dan zal alleen C terugkaatsen, en beide zullen met dezelfde snelheid naar links bewegen" (p. 68 van T. VIII (1905) van ed. Adam & Tannery). 22) Boven "omnibusque": "variisque", van alles. 23) Boven "tandemque": "rationibus tandem", met berekeningen tenslotte.

[ 140 ]

en geheel zekere gevonden, en die niet minder precies door de ondervinding worden bewezen dan welk dan ook 1) van de theorema's uit de mechanica, elk heel bekend. En dit zou niet 2) weinig bijdragen tot het bevestigen van de waarheid van onze theorema's, als ze zo'n bekrachtiging nodig zouden hebben 3) en niet op de meest duidelijke bewijzen zouden steunen, wat het geval is 4), zodat ik nu slechts verlang dat degenen die de regels van Descartes trachten te handhaven, niet denken dat de onze daarom fout zijn, omdat ze overeenkomen met het waargenomene, namelijk omdat het wegens de niet 5) voorbeeldige hardheid van de materie en andere belemmeringen 6) kan gebeuren dat experimenten iets anders laten zien dan wat er uit zal komen zonder deze. [ H.3 ] Want als dit zo was en als onze bewijzen onjuist 7) waren, zou het verbazend zijn 8) als steeds een fout door een andere fout of gebrek van het materiaal zo zou worden gecompenseerd, dat wat wij voorspellen dat er uit zal komen bij de ontmoeting van lichamen er inderdaad uitkomt 9). Overigens stellen ook wij ons volkomen harde lichamen voor en bovendien verwijderen we in gedachten alle belemmeringen die de omgevende lucht zou kunnen aanbrengen. En daarom zullen we ook wat betreft de overige principes of hypothesen, óf dezelfde gebruiken die door Descartes zijn toegepast, of in elk geval geen die ermee in strijd zijn. En 10) wel ten eerste stellen we vast dat elk lichaam afzonderlijk, als de eigenschap zwaarte buiten beschouwing blijft 11), de neiging heeft te bewegen langs een rechte lijn, en te blijven bewegen met de snelheid waarmee het eenmaal in beweging is gebracht, tenzij het wordt belemmerd door een ander lichaam 12). Wat behalve Descartes, ook Galilei en veel anderen hebben gezegd 13). Verder, als we letten op de hardheid van de lichamen en de eigenschap beweging, stellen we dat door een wederzijdse ontmoeting van twee lichamen, niet de hele beweging van elk van beide verloren gaat en tot niets wordt teruggebracht. Maar in welke hoeveelheid ze bij de afzonderlijke behouden blijft bepalen we nog niet 1) "quodlibet" / "quaevis", welk je wilt. 2) "Neque hoc" / "Atque hoc non", En ook dit niet. 3) "opus haberent" / "indigerent", vereisen. 4) Later ingevoegd, "quod faciunt". 5) "non" / "minus", minder. 6) "impedimenta" / "causasque alias", e.a. oorzaken. 7) "falsae" / "vitiosae praeterea", verkeerd bovendien. 8) ^ "esset": "utique", in elk geval. 9) "eveniat" / "minime fallat", geenszins teleurstelt. 10) In de marge: "Pag. 7. 12. 15. 28. 23"; in het Ms van Aanhangsel I, zie p. 92, n.1. Pag. 7 is het 4e deel t/m de 2e alinea van p. 103; pag. 12 vanaf de 3e alinea van p. 105 tot tegen het eind van 1e alinea van p. 106; pag. 15 vanaf de 2e alinea van p. 110 t/m de 5e van p. 111; pag. 28 van de 2e alinea van p. 124 tot het eind van het 9e deel; pag. 23 is het 8e deel behalve de laatste alinea en de zin ervoor. 11) De gecursiveerde woorden werden door Huygens onderstreept. 12) Hypothese I (p. 31). 13) Vergelijk de laatste alinea van p. 105.

[ 141 ]

behalve slechts in de volgende duidelijke gevallen. Namelijk wanneer twee gelijke lichamen elkaar met gelijke snelheid ontmoeten, dat elk met die zelfde snelheid terugspringt 14). Evenzo bij twee lichamen die elkaar ontmoeten, als het na de stoot zo is dat door het ene ervan alle beweging die het eerst had behouden wordt, dat dan ook van de beweging van het andere niets afgaat en niets bijkomt 15). Hierbij, dat steeeds als een groter lichaam een kleiner in rust ontmoet, het daaraan enige beweging geeft, en daarom van zijn snelheid iets verliest 16). En we zullen alleen handelen over de centrale ontmoeting, dat wil zeggen wanneer de beweging en het contactpunt vallen op de rechte lijn die de zwaartepunten van de lichamen verbindt 17). [ H.5 ] Tenslotte, wat in het volgende van het allergrootste belang is, verlangen we dat ermee wordt ingestemd, dat bij een wederzijdse ontmoeting van twee lichamen, ook als beide tegelijk nog aan een andere beweging onderhevig zijn, ze elkaar niet anders wegstoten ten opzichte van iemand die ook door dezelfde beweging wordt meegenomen, dan wanneer deze bijkomstige beweging er niet zou zijn 18). Zoals wanneer iemand op een boot vaart en daar dan twee gelijke bollen met gelijke snelheid tegen elkaar laat slaan en wel ten opzichte van zichzelf en delen van het schip; het zou gebeuren geheel zoals wanneer noch de bolletjes noch degene die ze doet bewegen door de beweging van de boot zouden worden meegenomen. We zeggen dat beide ook met gelijke snelheid moeten terugspringen, en niemand zal het ontkennen die weet dat op een schip dat met een gelijkmatige snelheid voortgaat al het overige met betrekking tot beweging geheel op dezelfde manier uitkomt, als voor iemand op een schip in rust of voor die aan land staat. Zoals al lang geleden zowel door de rede als door veelvuldige 19) ondervinding is bevestigd, want zoals Galilei terecht vermeldt 20): én druppels van water dat druipt in een vat eronder vallen recht neer, én voor iemand die iets weggooit vanaf de achtersteven naar de voorsteven is niet meer krachtsinspanning nodig, al kan het schip lijken weg te glijden, dan wanneer hij het daarentegen vanaf de voorsteven naar de achtersteven zou gooien, én in 21) welke richting we ook springen 22), we leggen gelijke afstanden af. 14) "resilire" / "repelli", weggestoten wordt. Hypothese II (p. 31) en Descartes' 1e regel (zie p. 93, n.4). 15) Hypothese V (p. 41). 16) Hypothese IV (p. 39). 17) Vergelijk de 1e alinea van p. 33). 18) Hypothese III (p. 33). 19) "multiplici" / "quotidiana", dagelijkse. 20) In Dialogo [1632], 2e dag. Zie Le opere, T. VII (1897), p. 212-214, met in de marge: "Experiment dat volstaat om de nutteloosheid aan te tonen van alle experimenten die worden aangevoerd tegen de beweging van de Aarde". [vert. Hans van den Berg; zie ook 'Galileo's ship']. 21) "in" / "versus", naar. 22) "saltando" / subsiliendo", opspringen.

[ 142 ]

Maar ook wat betreft stoot kan het worden ondervonden. Jongens spelen er immers met stenen bolletjes net zoals op een effen grond. En als we binnen een schip dat spel willen beoefenen 1) waarbij op een tafeloppervlak ivoren ballen met van hetzelfde materiaal 2) gemaakte nageltjes worden aangestoten, zullen we bij iedere mogelijke botsing en ontmoeting geheel en al hetzelfde vinden als wat we gewend zijn wanneer we thuis spelen. En zij die zich voorstellen 3) dat de aarde beweegt zullen, ook als ze het nooit hebben geprobeerd, toch geenszins bestrijden dat dit moet gebeuren. Ze twijfelen er immers ook niet aan of, als door mensen die op de aarde staan gezien wordt dat twee bolletjes elkaar met gelijke snelheid ontmoeten, ze ook evenzo terugspringen, afgezien natuurlijk van belemmeringen van de lucht 4). Maar hier zijn de ballen samen met de toeschouwer ook aan de beweging van de aarde 5) onderhevig, en ze gaan alleen met gelijke snelheid ten opzichte van de toeschouwer en delen van de aarde; in werkelijkheid bewegen deze niet méér zo dan die waarvan binnen het schip te zien 6) is voor wie meevaart dat ze zich even snel naar de ontmoeting haasten. Maar zoals hiervan de snelheid gelijk is ten opzichte van delen van het schip en degene die daarin staat, niet echter ten opzichte van wie op de oever staat, zo zijn ook de bewegingen van die andere gelijk ten opzichte van delen van de aarde en degenen die daarop in rust zijn, niet echter ten opzichte van de sterren die de vaste sterren worden genoemd of van willekeurige punten aan de hemel waarvan de positie t.o.v. die sterren wordt bepaald. [ H.6 ] Dus moet worden erkend dat ook lichamen die elkaar aanstoten met een willekeurige snelheid ten opzichte van een voortgaande boot, niet anders terugkaatsen ten opzichte van die boot dan ze, op gelijke wijze ten opzichte van de aarde 7) in beweging gebracht, zouden terugkaatsen ten opzichte van dezelfde aarde. En inderdaad, ook al willen we het nog zo graag, we kunnen beweging of rust van lichamen niet anders beschouwen 8) dan door ze in verband te brengen met andere lichamen en als iemand een andere redenering over beweging zoekt, namelijk een waarbij lichamen werkelijk en op zichzelf bewegen, zonder beschouwing van andere, zal hij zich tevergeefs vermoeien en hij zal terecht komen bij een vraag die geen einde heeft; tenminste zolang hij geneigd is beweging te begrijpen 9) als een verandering van plaats, en hij zal vinden dat een plaats niet anders is te bepalen 10) in de oneindige uitgebreidheid van dit heelal, dan met een constante 11) positie tussen enige lichamen of punten die in rust zijn, zodat hiervan opnieuw de plaats gedefinieerd moet worden. 1) "velimus" / "lubeat en "placuerit", zin hebben. 2) "ex eadem materia" / "item ex ebore", eveneens van ivoor. 3) "intelligunt" / "concedunt", ermee instemmen. 4) in de marge: "Exemplum si a funiculis pendeant ad malum; aut projiciantur. et haec ita se habitura etiam si aer nullus esset", Het voorbeeld als ze aan touwtjes aan de mast hangen; of geworpen worden. En dat dit zo zou zijn ook als er geen lucht was. 5) "motui telluris obnoxij sunt" / "motu telluris abripiuntur", meegesleept. 6) "cernuntur" / "conspiciuntur", bekijken. 7) "terrae respectu" / "super terram", aan land. 8) Erboven: "nihil quicquam de motu aut quiete corporum statuere", niets over beweging of rust van lichamen vast te stellen. 9) "comprehendere nitetur" / "imaginari conabitur", zich tracht voor te stellen 10) "determinari" / "definiri", definiëren. 11) "constante" / "permanente".

[ 143 ]

Voor ons echter is het helemaal niet nodig ons te laten meeslepen 12) in een zo ingewikkelde uiteenzetting, als we ons alleen maar houden 13) aan wat gezegd is over de boot, namelijk dat voor degenen die daarop meevaren de bolletjes op dezelfde manier worden teruggestoten als voor wie aan land staat 14). Dit voorbeeld zullen we namelijk vaak gebruiken in onze bewijzen 15), opdat ze daardoor duidelijker zijn 16). [ H.7 ] Voordat we hiertoe overgaan is te weten: aangezien de afstanden door verschillende lichamen in gelijke tijd afgelegd met een gelijkmatige snelheid, in dezelfde verhouding zijn als de snelheden — wat op zich wel voldoende duidelijk lijkt, en door Galilei zorgvuldig bewezen is 17) — daarom meten we een snelheidsverhouding met de verhouding van de afstanden die in dezelfde of gelijke tijden zijn doorlopen 18). Zoals wanneer een lichaam A wordt gezegd te bewegen met snelheid AC, en tegelijk B met snelheid BC, moet begrepen worden dat in hetzelfde tijdsinterval A de afstand AC doorloopt en B de afstand BC; terwijl de snelheden onderling die verhouding hebben die er is tussen de lijnen AC en BC. 12) "immisceri" / "ingredi", "involvi", ingaan, verstrikt worden. 13) "teneamus" / "tenendum", hebben te houden ["sed tantum" boven "si"]. 14) "stantibus" / "experientibus", de proef doen. 15) Onder "in demonstrationibus": "quo clarior evadat", waarmee het duidelijker uitkomt [...]. 16) Boven "eo magis sint perspicuae": "captu facillimum", heel makkelijk te begrijpen. 17) Zie het begin van de 3e dag van Discorsi [1638], Le opere, T. VIII, p. 191-193 [Engl.]. Op p. 193 het Theorema: "Als een voorwerp twee afstanden in gelijke tijden doorloopt, zullen die afstanden tot elkaar staan als de snelheden. En als de afstanden tot elkaar staan als de snelheden, zullen de tijden gelijk zijn." 18) "percursa" / "decursa", gelopen.

Adriaen van Ostade, ca. 1677, detail: 'schuiftafel' (zie n. 21)
(Bron: NGA Early Golf Webmuseum)

[Tweede Deel] 19) Theorema 1 20) Als een lichaam in rust wordt ontmoet door een gelijk lichaam, zal dit laatste na de aanraking juist in rust zijn, en het eerste zal dezelfde snelheid krijgen die er was in het aanstotende lichaam. 21) 19) Terwijl het 1e deel een voorwoord schetst, gaat het hier om de verhandeling zelf. Vaak zijn de teksten bijna identiek of verschillen ze slechts op punten van minder belang; dan wordt verwezen naar de verhandeling, met vermelding van enige verschillen. 20) Zie de Eerste propositie (p. 33) van de verhandeling. 21) In de marge: "exemplum van de schuyftafel"wat zal gaan over een tafel waarop men schijven schuift [voorloper van de sjoelbak, zie de figuur hierboven]. Een dergelijk spel "grandes dames" wordt genoemd in een brief van de Minderbroeder Gabriel Thibaut aan Mersenne, 1 april 1647:

Op p. 61 [van Principia philosophiae van Descartes, 1644] zegt hij: als een lichaam in rust c heel nauwkeurig gelijk zou zijn aan een er naartoe bewegend lichaam b, zou het deels erdoor voortgestoten worden en deels dit in tegengestelde richting wegstoten. Wat niet juist is, zoals men kan ondervinden bij het biljartspel. Want wanneer men een bal tegen een andere schiet, b.v. b tegen c, zal bal b bal c voortduwen en bewegingloos blijven. We ondervinden hetzelfde wanneer we 'grandes dames' spelen op de tafels van de eetzaal; want heel vaak blijft een schijf, geduwd tegen een andere, bewegingloos op dezelfde plaats waar hij die raakt. (Zie p. 70 van T. V van Oeuvres de Descartes, ed. Adam en Tannery.)

[ 144 ]

Laat een lichaam A in rust zijn 1) en ontmoet worden door een eraan gelijk lichaam B met snelheid BA, ik zeg dat deze hele snelheid overgebracht gaat worden op lichaam A, en dat B na het contact zonder beweging zal blijven. Laat de rechte BA doormidden gedeeld worden in D, en laten we stellen dat de genoemde beweging gebeurt ten opzichte van iemand die vaart, zodat namelijk ten opzichte van die persoon lichaam A zonder beweging op zijn plaats blijft, en lichaam B met snelheid BA naar rechts gaat; en zelf blijft die persoon ondertussen met het schip in dezelfde tijd naar links gaan met snelheid AD, die de helft is van snelheid BA. Dan zal ten opzichte van wie op de oever staat, lichaam A met snelheid AD naar links bewegen, aangezien het ten opzichte van de boot in rust is; en lichaam B zal ten opzichte van dezelfde toeschouwer met snelheid BD naar rechts gaan, omdat het ten opzichte van de boot met snelheid BA ging, terwijl tegelijkertijd de boot in tegengestelde richting vaart met snelheid AD. [ H.8 ] Dus door de genoemde toeschouwer wordt gezien dat beide lichamen met gelijke snelheid botsen, zodat elk ook met dezelfde snelheid behoort terug te springen als waarmee het aankwam, althans ten opzichte van die toeschouwer. Dus na de stoot zal deze lichaam A naar rechts zien bewegen met snelheid DA, en de boot met dezelfde snelheid AD als eerst naar de andere kant zien varen. Waardoor het noodzakelijk is dat lichaam A ten opzichte van de boot en de opvarende beweegt met tweemaal de snelheid DA, dat is snelheid BA, en wel dezelfde als waarmee eerst lichaam B ging. En dezelfde B, aangezien die ten opzichte van de persoon op de oever na de stoot naar links beweegt met snelheid DB, en aangezien ook de boot zelf met dezelfde snelheid in dezelfde richting vaart, blijkt in rust te moeten zijn ten opzichte van de boot en de opvarende. Dus is aangetoond dat, als ten opzichte van iemand in een gelijkmatig voortvarend schip een lichaam A dat in rust is wordt ontmoet door een lichaam B, dit laatste na het contact in rust is ten opzichte van dezelfde opvarende, en dat het eerste alle beweging krijgt. En daarom staat vast dat hetzelfde ook moet gebeuren voor ieamnd op een boot in rust, of aan land. Anders. 2) 1) Het bewijs dat volgt verschilt van dat in de verhandeling (en ook van die op p. 93-94, 109 en 121-122): hier zijn de bewegingen ten opzichte van de boot en niet t.o.v. de oever. 2) In dit 2e bewijs begint Huygens met 2 lichamen met gelijke maar tegengestelde snelheden t.o.v. de boot, dan onderzoekt hij wat een toeschouwer op de oever zal zien. Dit verschilt dus van het 1e bewijs en komt overeen met de bewijzen genoemd in noot 1. Handen die elkaar vasthouden (zoals in de verhandeling), of punten op evenwijdige lijnen (p. 121) komen niet voor en de vorm verschilt niet van die op p. 93-94 en p. 109-111. Het leek niet nodig dit bewijs hier weer te geven.

[ 145 ]

[ H.9 ] Theorema 2 3) Als twee gelijke lichamen bewegend met ongelijke snelheden elkaar aanstoten, zullen ze na het contact met onderling verwisselde snelheden gaan 4). [ H.13 ] Theorema 3 5) Een willekeurig groot lichaam in rust wordt in beweging gebracht door een willekeurig klein lichaam, aangestoten met welke snelheid dan ook. Laat A in rust zijn en laat een kleiner lichaam B het ontmoeten, met een of andere snelheid BA. Aangetoond moet worden dat lichaam A door een stoot hiervan in beweging wordt gebracht. Laat weer gesteld worden dat dit gebeurt op een boot, namelijk dat A daarop in rust is, en B met snelheid BA naar rechts beweegt; en de boot zelf vaart voorbij met dezelfde snelheid BA maar in tegengestelde richting. Dus ten opzichte van de oever zal juist B bewegingloos op zijn plaats blijven, en A zal er naartoe bewegen met de snelheid AB. Nu is B kleiner. 3) Vergelijk Propositie II (p. 37). 4) Het bewijs werd met potlood geschrapt. Verschilt met dat in de verhandeling zijn: 1. de bewegingen zijn t.o.v. de boot, 2. de boot beweegt (in het geval dat de snelheden tegengesteld gericht zijn) met het halve verschil der snelheden in de richting tegengesteld aan die van de grootste, zodat de lichamen bewegen t.o.v. de oever met gelijke en tegengestelde snelheden, 3. geen handen die elkaar vasthouden, 4. het 2e geval met snelheden in gelijke richting (zie 2e alinea van p. 39) wordt even gedetailleerd behandeld als het 1e. Toch menen we dit bewijs weg te kunnen laten, omdat de 3 eerste verschillen er ook zijn tussen bovenstaand bewijs van Theorema 1 (p. 143-144) en dat van Propositie I van de verhandeling. 5) Vergelijk Propositie III (p. 39).

[ 146 ]

[ H.14 ] Dus zal B worden weggeduwd door A en dit lichaam A*) zal ten opzichte van dezelfde oever daarom iets van zijn snelheid verliezen 1) en het zal dus niet dezelfde snelheid AB behouden waarmee het eerst naar links bewoog. Maar nu blijft de boot steeds met de snelheid AB naar links gaan. Dus ten opzichte van de boot zal A na de stoot naar rechts gaan, terwijl het er eerst in rust was. En zoals het op een voortgaande boot gebeurt zo zal het noodzakelijkerwijze overal gebeuren. [ H.10 ] Theorema [4] 3) Steeds als twee lichamen met elkaar botsen is de snelheid ten opzichte van elkaar bij het uiteengaan dezelfde als ze was bij het naderen. 4) [ H.14 ] Theorema 5 3) Een groter lichaam dat een kleiner in rust ontmoet geeft daaraan een kleinere snelheid dan het dubbele van de zijne. 4) [ H.16 ] Theorema 6 6) Als twee lichamen beide met dezelfde snelheid naar elkaar terugkeren als waarmee ze na een stoot teruggesprongen zijn 7), zal elk na de volgende ontmoeting dezelfde snelheid krijgen als waarmee het naar de eerste ontmoeting ging. 4) [ *) "ab A ipsumq. vero A ejusdem" op HUG 26A, 45v.] 1) Vergelijk Hypothese IV (p. 39). Hier als veronderstelling op p. 141, 2e alinea. 2) De bewegingen zijn t.o.v. de boot, in de verhandeling (en op p. 128-129) t.o.v. de oever. 3) Zie de verhandeling, Propositie IV (p. 43). 4) Afgezien van interpunctie en andere details is het bewijs hetzelfde als in de verhandeling. 5) Vergelijk Propositie VII p. 51); zie voor de Proposities V en VI de Theorema's 6 en 7 die volgen. 6) Vergelijk Propositie V (p. 47). 7) Boven "se mutuo revertantur qua ab impulsu resilierunt": "occursum revertantur qua ab occursu discessere", naar een ontmoeting terugkeren als waarmee ze na de ontmoeting uiteengegaan zijn.

[ 147 ]

[ H.17 ] Theorema 7 8) Als twee lichamen elkaar ontmoeten wordt na de stoot niet altijd dezelfde hoeveelheid beweging behouden, in beide samengenomen, die er daarvoor was. Maar deze kan toenemen of afnemen. 9) Zoals over gelijke lichamen 10). [ H.19 ] Theorema I 11) Als twee lichamen elkaar uit tegengestelde richtingen ontmoeten waarvan de grootten in omgekeerde verhouding overeenkomen met hun snelheden, zal elk van beide terugspringen met de snelheid waarmee het aankwam. 4) 8) Vergelijk Propositie VI (p. 49). 9) Zoals bij de drie voorgaande verschilt het bewijs van dit theorema niet merkbaar van dat in de verhandeling; maar hier wordt het gevolgd door:

Het tegengestelde van dit theorema is door Descartes aangenomen als principe, hij heeft immers gesteld dat altijd dezelfde hoeveelheid beweging wordt behouden [zie p. 49, n.2] wat inderdaad heel waarschijnlijk kan lijken. Maar toch hebben wij duidelijk gemaakt dat, als het zo zonder meer wordt voorgesteld, het niet moet worden toegelaten. [ H.18 ] Als we echter zeggen dat altijd dezelfde hoeveelheid beweging wordt behouden in dezelfde richting, zal het geheel en al waar zijn en het kan bewezen worden met het volgende.Met evenwel een zodanige berekening van de hoeveelheid beweging in de ene of in de andere richting, dat bij elkaar opgeteld worden de hoeveelheden beweging die de afzonderlijke lichamen vormen als ze beide in dezelfde richting bewegen; en dat de kleinste hoeveelheid van de grootste wordt afgetrokken als ze in tegengestelde richting bewegen. Als namelijk de verhouding van de grootte van A tot B is van 7 tot 2, en de verhouding van de snelheid waarmee A naar rechts gaat tot de snelheid waarmee B in tegengestelde richting gaat van 5 tot 4, dan zal de hoeveelheid beweging die A vormt naar rechts 35 zijn en die B vormt naar links 8. Deze afgetrokken van 35, aangezien de lichamen in tegengestelde richting gaan, zal overblijven 27 voor de hoeveelheid beweging naar rechts. En na de ontmoeting zullen beide lichamen naar rechts gaan, zoals in het volgende zal worden bewezen, en wel A met snelheid 1, en B met snelheid 10. Zodat A, waarvan de grootte 7 was, een hoeveelheid beweging van 7 zal vormen; en B met grootte 2 een hoeveelheid beweging van 20. En zo wordt dan zoals daarvoor een hoeveelheid beweging van 27 naar rechts gemaakt.

Toevoeging: de eerste regels van deze passage werden met potlood geschrapt. 10) Zie voor wat volgt p. 51, laatste alinea tot aan Prop. VIII. Erboven staat [op H.14], later geschrapt: "Liber II", boek 2. 11) Te weten Theor. I van "Liber II", zie vorige noot. Het is Prop. VIII (p. 53) van de verhandeling.

[ 148 ]

[ H.27 ] Theorema 1) De snelheid die een groter lichaam geeft aan een kleiner in rust, heeft dezelfde verhouding tot die welke het kleinere met een gelijke snelheid in het grotere drukt wanneer dit in rust is, als de grootte van het grotere tot de grootte van het kleinere. 2) [ H.28 ] Problema 3) Bij twee ongelijke lichamen, waarvan elk beweegt, elkaar ontmoetend, met gegeven de grootte en de beweging van elk, te vinden de snelheid waarmee elk afzonderlijk na de ontmoeting gaat. 4) 1) Vergelijk Propositie X (p. 71) en Prop. IX voor het 'Problema' dat volgt. We voegen toe dat dit Theorema in het manuscript wordt voorafgegaan [H.25-26] door 2 andere die geschrapt werden evenals hun bewijzen, het 1e met potlood na te zijn veranderd om aan de twee gevallen te voldoen, en het 2e met pen. Ze zijn als volgt:

1. Als een groter lichaam in rust wordt ontmoet door een kleiner lichaam zal gelden: zoals de grootte van beide samen zich verhoudt tot tweemaal de grootte van het aankomende, zo zal de snelheid hiervan zijn tot de snelheid verkregen bij de stoot door het in rust zijnde. En zoals dezelfde bijeengevoegde grootte tot hun verschil, zo zal de snelheid van het aankomende zijn tot die waarmee dit na de ontmoeting zal bewegen, terugspringend in tegengestelde richting. 2. Als een kleiner lichaam in rust wordt ontmoet door een groter zal gelden: zoals het grotere met het kleinere zich verhoudt tot het grotere, zo zal zijn tweemaal de snelheid waarmee het grotere ging tot de gevraagde snelheid van het kleinere na de stoot. En zoals dezelfde bijeenvoeging van de lichamen tot hun verschil, zo zal de snelheid zijn waarmee het grotere ging tot die waarmee het na de ontmoeting de beweging zal voortzetten in dezelfde richting.

De bewijzen stemmen in principe overeen met die op p. 65-69. Ze zijn vereenvoudigd doordat in het 1e theorema het punt D samenvalt met B en in het 2e met A. De handen die elkaar vasthouden zijn er nog niet. 2) Afgezien van interpunctie en dingen van weinig belang komt het bewijs letterlijk overeen met dat in de verhandeling. 3) Vergelijk Propositie IX (p. 65). 4) Het bewijs verschilt van dat op p. 65-71: de handen die elkaar vasthouden ontbreken en (zie p. 69, n.4) het laatste deel ontbreekt, een eenvoudige manier om de snelheden na de botsing te berekenen. Verder zijn er verschillen van weinig belang.

[ 149 ]

[ H.24, H.29 ] Theorema 5) Als twee lichamen elkaar ontmoeten zal de uitkomst van de vermenigvuldigingen van de afzonderlijke grootten met de kwadraten van hun snelheden, samen opgeteld, gelijk bevonden worden voor en na de ontmoeting van de lichamen. Als namelijk de verhoudingen van de grootten en die van de snelheden worden uitgedrukt in getallen of lijnen. 2) [ H.32 ] Lemma 6) [ H.32 ] Lemma 2 7) [ H.33 ] [Theorema] 8) Als een of ander lichaam een groter of kleiner in rust tegemoet gaat, zal het daaraan een grotere snelheid geven door middel van een tussengeplaatst lichaam van middelbare grootte, eveneens in rust, dan wanneer het daarop stoot wanneer er geen is tussengeplaatst. En de grootste snelheid zal het dan overbrengen wanneer het tusssengeplaatste lichaam middelevenredig is tussen de uitersten. 2) [ H.35 ] Theorema 9) Hoe meer lichamen worden tussengeplaatst tussen twee ongelijke waarvan het ene beweegt en het andere in rust is, des te groter is de beweging die verschaft zal kunnen worden aan het lichaam in rust. En bij elk aantal van de tussengeplaatste zal zo de grootste beweging worden overgebracht, wanneer de tussengeplaatste met de uitersten een continu evenredige reeks vormen. 10) 5) Vergelijk Propositie XI (p. 73). 6) Zie Lemma I (p. 77-79). 7) Zie Lemma II (p. 79-81). 8) Zie Prop. XII (p. 81). 9) Vergelijk Prop. XIII (p. 87). 10) Het bewijs komt weer bijna letterlijk overeen met dat van de verhandeling (p. 87-89). Alleen ontbreekt de laatste alinea (p. 91), zoals eerder vermeld op p. 90, n.1.

Home | Christiaan Huygens | T. XVI | < Over beweging, Aanhangsel II | III