Home | Chr. Huygens | < Oeuvres XIII > | Brontekst

Soort lens , telescoop , licht , opening , tabel

[ 315 ]

[ Afgekeurd, uit onze Dioptrica ]

### Voorstel VIII Bij lenzen van dezelfde soort hebben de aberraties van de uiterste met de as evenwijdige stralen een verhouding, die samengesteld is uit de verhouding van de kwadraten van de openingsdiameters van de lenzen, en die van de brandpuntsafstanden omgekeerd genomen. Maar de diameters van de aberratiecirkeltjes*) hebben de verhouding die samengesteld is uit de verhouding van de derde machten van de genoemde openingsdiameters, en uit de verhouding van de kwadraten der brandpuntsafstanden, omgekeerd genomen. We zeggen dat twee lenzen van dezelfde soort zijn wanneer ze beide ofwel platbol zijn, ofwel dubbelbol, of wanneer ze samengesteld zijn uit een hol en een bol oppervlak, en de halve diameters van beider bol of hol oppervlak dezelfde verhouding tot elkaar hebben. En hier althans verlangen we bovendien dat ze gelijk geplaatst zijn ten opzichte van de evenwijdige stralen die ze opvangen, zodat namelijk het meest bolle oppervlak van beide lenzen er naar toegekeerd is, of ervan afgekeerd. *) Hier verschijnen voor het eerst in het werk van Huygens deze 'aberratiecirkels'; hij is tot de conclusie gekomen dat de gezichtsscherpte afhangt van de diameter van deze cirkels, en niet van de aberratie op de as, die hij tot hier toe beschouwde. Een aantekening zegt hierover:
bij een afbeelding op een paneel [van een donkere kamer] moet gelet worden op OQ, niet op OL.
| L | Q—O
En in het oog, als deze afbeelding met dezelfde verhouding verkleind wordt, zullen de breedten OQ evenzo verkleind worden. Maar als de afbeelding in het oog verkleind wordt, dan wordt OQ ook evenveel verkleind. Neem eerst aan dat het paneel hetzelfde is als de achterkant van het oog.

[ 317 ]

We beschouwen dus twee dergelijke lenzen, waarbij van de ene de opening AB is, de brandpuntsafstand CD; van de uiterste met de as evenwijdige straal is de gebrokene BEF, die de aberratie ED maakt, en de halve diameter van het aberratiecirkeltje is DF. Maar van de andere is de opening GH, de brandpuntsafstand KL; de gebrokene van de uiterste straal is HMN, die de aberratie ML maakt, en de halve diameter van het aberratiecirkeltje is LN. Ten eerste moet dus aangetoond worden dat de aberratie ED tot ML een verhouding heeft die samengesteld is uit de verhouding van het kwadraat van AB tot dat van GH (of het kwadraat van CB tot dat van KH), en uit de verhouding van KL tot CD. Laat een derde lens OP ook van dezelfde soort zijn, waarvan de brandpuntsafstand QR gelijk is aan CD, maar de halve openingsdiameter QP heeft tot de brandpuntsafstand QR een verhouding van HK tot KL. En de gebrokene van de uiterste straal is bij deze lens PST, die de aberratie SR maakt; en de halve diameter van het aberratiecirkeltje is RT. Omdat dus de verhouding ED : ML samengesteld wordt uit de verhoudingen ED : SR en SR : ML, waarvan ED : SR dezelfde is als CB2 : QP2 [<], en de andere SR : ML dezelfde als QR (of CD) : KL, blijkt de verhouding ED : ML samengesteld te worden uit de verhoudingen CB2 : QP2 en CD : KL. De verhouding nu van CB2 tot QP2 is weer samengesteld uit de verhoudingen CB2 : KH2, en KH2 : QP2, of KL2 : QR2 (of CD2). Maar de verhouding CD : KL is dezelfde als CD2 : CD.KL. Dus de verhouding ED : ML is nu samen te stellen uit CB2 : KH2, en KL2 : CD2 en CD2 : CD.KL. De laatste twee verhoudingen geven KL2 : CD.KL, of KL : CD. Dus wordt de verhouding ED : ML samengesteld uit CB2 : KH2 en KL : CD, wat het eerste was om te bewijzen. Nu zullen we ook het andere punt aantonen, te weten dat de verhouding DF : LN samengesteld wordt uit de verhouding CB3 : KH3 en de verhouding KL2 : CD2. Want omdat DF tot LN een verhouding heeft die samengesteld is uit de verhoudingen DF : DE en DE : ML en ML : LN, waarvan de eerste DF : DE dezelfde is als CB : CE (of CD, want het geringe verschil ED is hier van geen belang), en de laatste ML : LN dezelfde als MK (of LK) : KH. Dus de verhouding DF : NL wordt samengesteld uit de verhoudingen CB : CD en KL : KH en ED : ML. Maar de eerste twee hiervan vormen de verhouding van rechthoek BC.KL tot rechthoek CD.KH, dat is dezelfde als die samengesteld uit de verhoudingen CB : KH en KL : CD. Dus de verhouding FD : NL is samengesteld uit de verhoudingen CB : KH en ED : ML en KL : CD. Maar bewezen is dat de verhouding ED : ML samengesteld is uit de verhoudingen CB2 : KH2 en KL : CD. Dus nu is FD : NL samen te stellen uit de verhoudingen CB : KH en CB2 : KH2, die samen de verhouding CB3 : KH3 maken; en uit tweemaal de verhouding KL : CD. Dus blijkt de verhouding FD : NL samengesteld te zijn uit de verhouding CB3 : KH3 en KL2 : CD2. En dit was het andere van wat voorgesteld werd om te bewijzen.

[ 319 ]

### Voorstel IX Uit bolvormige lenzen, hol en bol, telescopen samenstellen die beter zijn dan de tot nu toe bekende van deze soort, de volmaaktheid benaderend van die welke uit elliptische of hyperbolische lenzen bestaan. Bij telescopen, samengesteld uit een bolle en een holle lens, wordt vereist dat evenwijdige stralen, d.w.z. die komen uit een ver verwijderd punt van een object, en die door middel van de bolle lens naar één punt bijeengebracht worden, door de breking van de holle lens weer evenwijdig worden, en zo bij het oog aankomen. Maar ten eerste kan een bolvormige bolle lens evenwijdige stralen niet precies naar één punt afbuigen; en ten tweede kan een holle lens ze, gesteld dat ze al naar één punt gericht zijn, niet weer precies evenwijdig maken. Daarom heeft men tot nu toe geloofd dat het om beide redenen zo was, dat bolvormige oppervlakken minder geschikt waren voor deze toepassingen, en niemand vermoedde dat het gebrek van bolle lenzen opgeheven zou kunnen worden door holle lenzen. Doch we zullen hier aantonen dat dit mogelijk is, en dat daardoor telescopen van deze soort gebouwd kunnen worden die voortreffelijker zijn dan de gewone. En als op gelijke wijze met een bolle lens bij het oog de aberratie van de buitenste lens gecorrigeerd zou kunnen worden (want om naar de hemel te kijken is het nodig dat telescopen uit bolle lenzen zijn samengesteld, voor een groter gezichtsveld), niets zou wenselijker zijn in deze kunst. Maar het is zeker dat die wederzijdse verbetering bij het samenstellen van bolle lenzen met elkaar niet gevonden wordt. Zelfs integendeel, het gebrek van de buitenste lens wordt door de oculairlens altijd enigszins vermeerderd, en dit kan op geen enkele manier verhinderd worden. Doch bij het samenstellen van een bolle lens met een holle zal de methode de volgende zijn.

[ 321 ]

Gegeven de grote of buitenste lens ABCD van een telescoop, met de brandpuntsafstand DE. En bovendien is gegeven de vermenigvuldigingsfactor, d.w.z. waarmee we verlangen dat door een te maken telescoop de dingen vergroot worden, volgens de diameter; we noemen deze b : c, bij voorbeeld 10 : 1. Als dan DE in F verdeeld wordt, zodanig dat b : c (of hier 10 : 1) = DE : EF, staat vast dat de holle lens bij F geplaatst zal moeten worden, opdat de genoemde vermenigvuldiging gemaakt wordt {* voorstel I.II.V}. En van deze lens moet het spreidingspunt van evenwijdige stralen die van de kant van E komen, natuurlijk in E zijn. Maar aangezien ook de oppervlakken van de lens ABCD gegeven zijn, zal ook de Aberratie ervan bekend zijn, dat is de verhouding die de aberratie van de uiterste straal heeft tot de lensdikte, en deze noemen we f : g. B.v. als lens ABCD gesteld wordt van alle de beste te zijn (die we in het voorgaande bepaald hebben [<]), zal de verhouding f : g gelijk zijn aan 15 : 14, omdat de aberratie van een dergelijke lens 15/14 maal zijn dikte is. Zoals nu c : b is (hier 1 : 10), zo moet f /g (hier 15/14) zijn tot een ander getal, dat zal zijn bf /cg (hier 150/14 of 75/7). En gevonden moet worden een holle lens om bij F te zetten, en met FE als afstand van het spreidingspunt, waarvan de aberratie, van een met de as evenwijdige straal die van de kant van E komt, gelijk moet zijn aan zijn dikte maal het getal bf /cg; dat is bij dit voorbeeld: waarvan de aberratie 75/7 maal zijn dikte is. En deze lens zal wel dubbelhol kunnen zijn, als bf /cg kleiner is dan 9/2 [<]; maar als het groter is, zoals hier, moet een bolholle lens gezocht worden, en hij zal beter zijn als het bolle oppervlak ervan naar het oog gekeerd is, omdat hij een minder hol oppervlak vereist dan de andere.

[ 323 ]

Als we dus van het bolle oppervlak van de gezochte lens de halve diameter = a stellen, en de afstand van het spreidingspunt EF = d, en de lensdikte = q, wordt (volgens de boven gegeven regel [<]) de aberratie van de uiterste straal = (27aaq + 24adq + 7ddq) / 6aa. En daarom moet deze gelijk gesteld worden aan bfq /cg, en in dit voorbeeld aan 75/7 q. Uit deze gelijkheid is te vinden a, de halve diameter van het bolle oppervlak, die hier ongeveer 86/100 d zal zijn. En als a bekend is, is ook te vinden n, de halve diameter van het holle oppervlak; omdat (zoals boven [<] gezegd is) n = ad / (2a + d). En hier komt er n = 86/272 d, of 32/100 d. Dus volgens deze halve diameters van bol en hol oppervlak moet de lens GH gevormd zijn. Ik zeg dat een willekeurige straal die evenwijdig is met de as, en die invalt op lens AC, zoals CC en KK, na het doorlopen daarvan, en daarna van GH, weer evenwijdig met de as naar buiten komt. Want om dit eerst te bewijzen voor de uiterste straal CC, stellen we dat deze, als hij uit de lens AC gekomen is, doorgaat langs de rechte CO, die de lens GH snijdt in H, vanwaar HI evenwijdig aan de as getrokken wordt. Vervolgens beschouwen we een andere, platbolle lens PQR, waarvan de brandpuntsafstand ZS, en ook de breedte, dezelfde is als van lens AC. En met ST genomen gelijk aan EF, plaatsen we in T de platholle lens YTV, met het spreidingspunt S. En bij lens PQR is de uiterste met de as evenwijdige straal RR, die na door deze lens gebroken te zijn voortgaat langs de rechte RX, die de lens YTV snijdt in V.

[ 325 ]

Omdat dus de brandpuntsafstand ZS gelijk is aan de bollingsdiameter van PQR [<], en de afstand van het spreidingspunt TS aan de hollingsdiameter van YTV [<], en omdat verder ZS : ST = RZ : VT (want de punten X en S zijn zo weinig van elkaar verwijderd dat de verhouding ZS : ST hier dezelfde geacht kan worden als ZX : XT), zullen de bogen QR en TV gelijkvormig zijn; en daarom zal ook de dikte QZ zich tot de dikte van de holle lens in V verhouden als ZS : ST. Nu is de dikte van lens AC, namelijk BD, gelijk aan de dikte QZ van lens PR, wegens de gelijke brandpuntsafstanden en breedten van beide {* voorstel III}; en om dezelfde reden is van de holle lens GH de dikte in H gelijk aan de dikte van lens YV in V. Dus zal ook de dikte BD tot de dikte van lens GH in H zijn als ZS : ST, of als DE : EF, dat is als b : c. En als DB genoemd wordt e, zal dus de dikte van lens GH in H gelijk zijn aan ce /b; maar nu is de aberratie van straal IH, gebroken in GH, en achterwaarts verlengd, door constructie gelijk aan de dikte die deze lens heeft in H, vermenigvuldigd met bf /cg. Dus deze aberratie zal zijn de uitkomst van ce /b vermenigvuldigd met bf /cg, en wel ef /g. Maar daar dikte DB = e, en daar deze zich verhoudt tot de aberratie van de uiterste straal in lens AC als g : f , blijkt ook deze aberratie te zijn fe /g. Daar dus hieraan gelijk is de aberratie van de straal IH, en daarom de gebrokene ervan, achterwaarts verlengd, correspondeert met punt O, volgt ook dat de straal CH die gericht is naar O, zodanig door de holle lens gebroken wordt in H dat hij vandaar loopt langs de rechte HI, evenwijdig aan de as.

[ 327 ]

En hetzelfde is nu ook gemakkelijk aan te tonen voor een willekeurige straal die dichter bij de as is, zoals KK. Want laat deze, na de breking in lens AC, doorgaan langs de rechte KN, die de lens GH snijdt in L, en die samenkomt met de as in N, en trek LM evenwijdig met de as. Daar dus de afstand van punt H vanaf de as zich verhoudt tot de afstand van L als de afstand van C tot de afstand van K, zullen ook de kwadraten van hun afstanden in dezelfde verhouding zijn. Verder, zoals het kwadraat van de afstand van C tot het kwadraat van de afstand van K, zo is de aberratie van straal CC, die OE is, tot de aberratie van straal KK, die NE is {* voorstel VII}. En zoals het kwadraat van de afstand van H, tot het kwadraat van de afstand van L, zo is de aberratie van straal IH als deze gebroken is in lens GH — welke aberratie gelijk is aan OE, zoals is aangetoond — tot de aberratie van straal ML. Dus de aberratie van straal ML zal ook gelijk zijn aan NE. En daarom, omdat de gebrokene van straal ML, achterwaarts verlengd, correspondeert met punt N, zal de straal KL, die gericht is naar N, afgebogen worden volgens LM, d.w.z. hij zal evenwijdig met de as lopen; wat aangetoond moest worden. Met een volgens het voorgaande opgestelde berekening hebben we de halve diameters van de oppervlakken gevonden, in het volgende tabelletje samengevat, waarmee beide kanten van de bolholle lens gevormd moeten worden, voor enige volmaakte telescopen van deze soort. En hierbij wordt gesteld dat de grote lens platbol is, met het bolvormige oppervlak naar buiten gekeerd, omdat deze lens beter te maken is dan de beste (die boven beschreven is, met zesvoudige verhouding [<]), en omdat de aberratie ervan even goed gecorrigeerd wordt met een holle lens als bij de andere.

[ 329 ]

                                          Halve diam. van     Halve diam. van
    Brandpuntsafstand     Vergroting       bol oppervlak       hol oppervlak
      van de grote       van telescoop    van oculairlens     van oculairlens
     platbolle lens.   volgens diameter.    in duimdelen.       in duimdelen.

    duimen    4               5               1564/1000 *)        318/1000 °)
              8               9                788                284

    voeten    1              12                619/1000           277/1000
              1 1/2          16                519                270
              2              20                452                258
              2 1/2          24                404                245
              3              27                393                247
              3 1/2          30                380                246
              4              34                350                238
              5              40                331                230
              6              46                313                224
              8              58                283                219
             10              68                272                208
             12              78                261                204
             12             100                175                141
                                               __________________________________
                                               *) Lees 2614/1000.    °) Lees 347/1000.

Het gebruik van de tabel is duidelijk. Zoals wanneer ik een platbolle lens heb met een brandpuntsafstand van 3 voet, en ik daarmee een telescoop wens te maken die objecten 27 maal vergroot volgens de diameter; dan leert de tabel dat de halve diameter van het oppervlak van de oculairlens genomen moet worden van 393/1000 of ongeveer 2/5 van een duim; en de halve diameter van het holle oppervlak van dezelfde lens van 247/1000 of ongeveer 1/4 duim. Maar als ik met dezelfde bolle lens van 3 voet een telescoop wil maken waarvan de vergroting veertigvoudig is, en de holle lens wil vinden die hiertoe vereist wordt, is het nodig — aangezien de tabel deze vergroting geeft aan een telescoop van 5 voet, en van diens holle lens de halve diameters zijn 331/1000 en 230/1000 — te maken dat zoals een lengte van 5 voet is tot een lengte van 3 voet, zo 331/1000 tot een andere, te weten 199/1000. En dit zal de halve diameter zijn van het bolle oppervlak van de gevraagde oculairlens; en weer zoals 5 : 3, zo 230/1000 tot een andere, te weten 138/1000, die de halve diameter van het holle oppervlak zal zijn.

[ 331 ]

Verder is al voldoende duidelijk uit wat al gezegd is, dat het bolle oppervlak van de oculairlens naar het oog gekeerd moet worden. Doch men moet er zorg voor dragen dat de assen van beide lenzen precies op eenzelfde lijn komen te liggen, en dat de pupil van het oog bij het middelste punt van de holle lens gebracht wordt; en opdat dit gemakkelijker gebeurt, zijn de overige delen van de lens te bedekken, en is een opening in het midden over te laten ter grootte van de pupil, of ook iets kleiner. Want ook al wordt op deze manier de ruimte kleiner die door de gezichtskring van de telescoop omvat wordt, deze zal in helderheid toch niet afnemen, aangezien de stralingskegel, op de plaats waar de oculairlens zich bevindt, al zo vernauwd is dat hij nog niet de helft en vaak nog niet een derde deel van de pupilbreedte beslaat, zoals door berekening gemakkelijk is in te zien. Want als b.v. bij een telescoop van 12 voet, met honderdvoudige vergroting, de opening van de grote lens 3 duim is (wat ruim voldoende is, zoals in het volgende gezegd zal worden [>], is hier nu de breedte van de stralingskegel, op de plaats waar hij de oculairlens ontmoet, slechts het honderdste deel van drie duim, dat is 3/100 van een duim, welke breedte kleiner is dan een derde deel van een gemiddeld openstaande pupil. Het voordeel en de voortreffelijkheid van dit soort kijkers, boven die welke tot nog toe uit bolle en holle lenzen samengesteld zijn, zal ten eerste dit zijn, dat ze een scherper zicht geven, aangezien ze stralen die uit afzonderlijke punten van een object voortkomen evenwijdig naar het oog zenden, bijna zoals glazen van elliptische en hyperbolische vorm*); maar vooral dat ze, in lengte gelijk aan gewone kijkers, objecten veel meer zullen kunnen vergroten, doordat ze in de buitenste lens een grotere opening verdragen dan de gewone, daar de aberratie van deze lens die afkomstig is van de eigenschap van de bolvorm, door de oculairlens gecorrigeerd wordt. Maar om dit geheel en al te verkrijgen is te weten dat de oppervlakken, zowel van de grote lens als van de oculairlens, een volmaakte bolvorm moeten ontvangen, waarbij aan te nemen is dat ook die, waarvan gedacht wordt dat ze het meest zorgvuldig bewerkt zijn, er nog ver van verwijderd zijn, zoals hierna uitgebreid uiteengezet zal worden°). Zodat ik meen dat men met nieuwe ijver en met nieuwe werktuigen zich op deze zaak moet toeleggen, als we verlangen iets beters te bereiken dan in het verleden, en te maken dat de uitwerkingen overeenkomen met de bewijzen†). *) Zie 'Discours 8' van de Dioptrique van Descartes [Glazemaker, 134]. °) Hier is verder niets over te vinden. †) Later dacht hij iets beters gevonden te hebben (1 feb. 1669, App. VI): een bolle en een holle lens tegen elkaar.

[ 333 ]

### Voorstel X De verhouding van licht en donker onderzoeken bij willekeurige kijkers. Aangezien de groeiverhouding volgens welke de beelden van dingen groter worden in telescopen die uit twee bolle lenzen bestaan, gelijk is aan die van de brandpuntsafstand van de buitenste lens tot de brandpuntsafstand van de binnenste, is duidelijk dat deze binnenste of oculairlens van een zo klein bol oppervlak genomen kan worden, dat objecten, ook met een korte telescoop, zoveel vergroot verschijnen als men wil. En op dezelfde wijze is het gesteld bij die welke uit een bolle en een holle lens samengesteld worden, daar de groeiverhouding gelijk is aan die van de brandpunsafstand van de buitenste lens tot de afstand van het spreidingspunt van de holle lens. Er zijn twee redenen waarom er toch in beide gevallen een grens in acht genomen moet worden: de ene is, dat — bij gelijkblijvende opening van de buitenste lens — hoe meer een telescoop de objecten uitbreidt, des te donkerder hij ze ook laat zien; de andere, dat hij ze ook minder scherp vertoont (waarvan de beschouwing in het volgende komt [App. III]). Om nu te begrijpen hoe de verhouding van de donkerheid geschat moet worden, moet men letten op die afbeelding die er komt achterin het oog (zoals we vaak gezegd hebben [<]), en in gedachten houden dat deze des te lichter of donkerder uitvalt naarmate er meer of minder stralen vanaf het object aankomen voor het vormen ervan. Zoals bijvoorbeeld: wanneer ik eerst gewoon met het oog iets bekijk, en daarna hetzelfde door een opening bezie die heel dicht bij het oog gebracht is, en waarvan de diameter maar de helft is van de pupildiameter, en dus wat er in kan viermaal zo klein. Dan zal achterin het oog het beeld, van het object dat door de opening gezien wordt, ook viermaal zo donker zijn als toen het gezien werd gewoon met het oog; aangezien maar een vierde deel van de stralen die vanaf het object komen de opening binnengaat, waarmee op het netvlies dezelfde ruimte als eerst verlicht moet worden.

[ 335 ]

En als nu een telescoop gemaakt moet worden, die objecten tienmaal vergroot volgens de diameter, en als verlangd wordt dat hij alles even helder weergeeft als wanneer er zonder telescoop naar gekeken wordt, zeg ik dat ook de openingsdiameter van de buitenste lens het tienvoudige moet zijn van de pupildiameter, zelfs in het geval dat geen enkel deel van de stralen onderschept zou worden door terugkaatsing van de lenzen, of door ondoorzichtigheid van het glas. Zoals namelijk het oppervlak van de afbeelding op het netvlies bij zo'n telescoop honderdmaal zo groot wordt al bij iemand die met het blote oog kijkt, zo ook zal de opening van de buitenste lens honderdmaal zoveel stralen moeten omvatten als de pupil van het oog, opdat deze grote afbeelding even helder is in al zijn gedeelten als eerder die kleinere was. Maar toch is te weten dat een veel kleinere helderheid bij telescopen volstaat, zodanig dat we bij die welke we overdag gebruiken vinden dat ze voldoende hebben, als ze maar een tiende deel of ook minder hebben van het licht dat het blote oog ontvangt. En grotere, waarmee we alleen naar de sterren kijken, vereisen maar een zestigste of zeventigste gedeelte. Zo is namelijk mijn ervaring met een telescoop van 22 voet*), die objecten honderdvijfentwintig maal groter weergeeft volgens de diameter, dat de opening van de buitenste lens twee en een derde duim is, d.w.z. ongeveer vijftien maal zo groot als de gemiddelde pupilbreedte is; terwijl die opening deze toch honderdvijfentwintig maal zou moeten omvatten, als hetzelfde licht met de telescoop ontvangen moet worden als met het ongewapende oog. Waaruit volgt dat met de genoemde telescoop slechts ongeveer een zeventigste deel aanwezig is van het licht dat hiervoor vereist is: omdat de oppervlakten van cirkels met diameters als 15 : 125, of als 3 : 25, bijna als 1 : 70 zijn. De oorzaak nu, waardoor we hier tevreden zijn met een zo klein beetje licht, is die buitengewone glans van hemellichamen als de Maan en de overige planeten. Daar deze door de zonnestralen verlicht worden, schitteren ze met een zo intens licht dat er veel minder van nodig is om ze gemakkelijk en scherp te bekijken. Evenals we ook op bewolkte dagen zien dat er meer dan genoeg licht over is om alles gemakkelijk waar te nemen, ook al is dit licht zeer gering vergeleken met wat de zonnestralen geven. Overigens is te weten dat hier ook iets aan bijgedragen wordt door het feit dat de ogen bij duisternis door veel minder licht beïnvloed worden dan overdag, en dingen kunnen zien waarvoor ze volstrekt blind zijn als ze net uit het daglicht komen. *) Waarschijnlijk de kijker waarmee de waarnemingen aan de ring van Saturnus gedaan werden, en die beschreven is in Systema Saturnium (1659): een buis van 23 voet, opening 21/3 duim, vergroting 100 maal. Met een ander oculair kreeg de (zelfde) kijker van 22 voet een vergroting van 127 maal, zoals Huygens schreef aan zijn broer Lodewijk op 5 oktober 1662 (IV, 243).

[ 337 ]

Uit wat we tot hiertoe gezegd hebben vloeit duidelijk voort dat het noodzakelijk is, dat bij twee telescopen waarvan de helderheid gelijk moet zijn, de openingsdiameter van de ene zoveel groter zal zijn dan die van de andere, als de ene objecten meer vergroot in diameter dan de andere. Als echter de opening van een telescoop gelijk blijft, en we willen in plaats van de oculairlens een andere aanbrengen die tweemaal zoveel vergroot, blijkt dat alles viermaal zo donker gezien gaat worden, doordat dezelfde hoeveelheid stralen nu een viermaal zo grote ruimte op het netvlies moet verlichten als eerst. En op dezelfde manier zal deze verhouding in donkerheid altijd het kwadraat zijn van de toename in groeiverhouding. En daarom moet men de oculairlens niet zomaar vervangen door een bollere of hollere, maar nauwgezet afwegen welke vergroting de opening van de buitenste lens kan behouden, zodanig dat tegelijk de telescoop niet van minder licht wordt voorzien dan vereist wordt. En inderdaad hangt alle sterkte en het hele effect van een willekeurige telescoop zozeer af van de grootte van de opening daarvan, dat we, na hierop een blik geslagen te hebben, als ze klein is een zeker oordeel kunnen vellen dat ook de sterkte van de telescoop gering is, hoeveel andere lenzen er ook zijn, en op welke manier ze ook binnen de buis bevestigd zijn. Want om een uitstekende vergroting te verkrijgen met voldoende licht, is het nodig dat er veel stralen verzameld worden, wat zonder een grote opening van de buitenste lens op generlei wijze gebeuren kan. Bij microscopen echter is het anders gesteld, aangezien hiermee, ondanks de kleine opening van de buitenste lens, ja zelfs veel kleiner dan de pupil, een zestigvoudige of honderdvoudige vergroting in diameter (of ook meer) geleverd kan worden, zonder dat de helderheid van het licht te kort schiet. De oorzaak hiervan is geen andere dan de geringe afstand van het object tot het lensje. En om dit met een figuur uit te leggen: C is het object dat onder de microscoop gelegd wordt, waarvan de onderste of buitenste lens K is, met openingsdiameter AB. En de overige lenzen (een enkele of meer, dat doet er niet toe) kunnen zijn D en L. Verder is EF de pupil van het oog. We trekken nu vanuit een of ander punt van het object, zoals C, de rechten CA en CB, die de openingsdiameter AB onderscheppen, en we verlengen die tot in G en H, waar ze een rechte ontmoeten die door de pupil getrokken is en die rechte hoeken maakt met de as van de lenzen. Dan staat vast dat een even grote hoeveelheid stralen die van C komen door de cirkelvormige opening AB omvat wordt, als de pupil van het oog zou omvatten als deze een diameter had gelijk aan het lijnstuk GH. En daarom, als de vergrotingsfactor van deze kijker gelijk is aan die van GH tot de pupildiameter EF, zal het object C evenveel verlicht verschijnen als wanneer het gewoon zonder kijker wordt gezien.

[ 339 ]

Maar aangezien we ook hier, zoals bij telescopen, een groot deel van het licht kunnen missen, kan de vergroting ook veel groter gemaakt worden dan volgens de verhouding van GH tot EF. Zoals wanneer GH tot EF twintigvoudig is, zal de microscoop gemakkelijk een honderdvoudige vergroting in diameter verdragen. Ja zelfs kan er bij één die aan te grote donkerheid lijdt het hulpmiddel toegepast worden: sterker licht dat naar het object wordt geleid, wat op verscheidene manieren gedaan kan worden [>]. ### Voorstel XI De openingsdiameters onderzoeken die geschikt zijn voor de buitenste lenzen van telescopen. Aangezien de grootte van de opening bij telescopen van zo groot belang is, dat hun werkzaamheid en kwaliteit vooral daarnaar beoordeeld wordt, en aangezien deze opening niet naar willekeur kan worden vastgesteld — omdat bij een te groot gemaakte het scherpe zicht verminderd wordt door verwarring van de stralen, terwijl een kleine opening donkerheid veroorzaakt — moet in het algemeen bekeken worden welke afmeting hierbij voorgeschreven kan worden. Wat evenwel niet zover strekt, dat we met deze redenering een onderzoek instellen naar de maximale opening van een gegeven lens, daar de ervaring dit immers het best kan leren; maar dat, als van een of andere heel goede telescoop de opening en de lengte gegeven zijn, ook de openingen bekend worden van andere telescopen, langere en kortere. Namelijk hoe groot ze bij elk afzonderlijk moeten zijn, opdat naar verhouding van de lengte het effect van een telescoop niet kleiner wordt dan het behoort te zijn. En dit niet alleen bij die welke we al hebben, de met vakmanschap gemaakte telescopen van 20, 30 of 40 voet, maar ook bij veel grotere, misschien die verlengd worden tot 100 of 200 voet of meer. Waardoor tegelijk duidelijk wordt hoeveel meer hulp bij het beschouwen van de hemellichamen we ons hierbij in het vooruitzicht kunnen stellen, en hoeveel meer we aangespoord worden om te streven naar wat verder ligt. Doch aangezien er twee soorten telescopen zijn, de ene bestaande uit een bolle en een holle lens, de andere uit alleen bolle lenzen, is te weten dat wat hier gezegd zal worden over openingsverhoudingen alleen betrekking heeft op telescopen die van de laatste soort zijn. Bij de eerste namelijk, die samengesteld worden met een holle en een bolle lens, hebben we hierboven aangetoond [<] met welke kunstgreep een holle lens de aberratie van een bolle kan verbeteren, en dat daardoor de opening van de bolle aanzienlijk verruimd kan worden, zozeer dat ze de grenzen die we hier stellen vergaand overschrijdt. Maar daar een holle oculairlens in zeer lange buizen niet kan worden toegelaten, omdat door een dergelijke telescoop een te nauwe ruimte wordt omvat, moeten we iets uitnemenders om naar de hemel te kijken alleen verwachten van die welke van uitsluitend bolle lenzen zijn voorzien. Dus zullen we bij het behandelen van de buitenste opening van deze telescopen in de eerste plaats beschouwen die afbeelding, die gewoonlijk is te zien met een bolle lens in een donkere ruimte (nu een alledaags kunstje), aangezien deze veel lijkt op de afbeelding die achterin het oog gevormd wordt.

[ 341 ]

Stel dan dat van een dergelijke bolle lens de opening AB is, de as CD, en D het brandpunt, of het punt waarnaar stralen verzameld worden die evenwijdig zijn aan de as. Verder is de aberratie van de uiterste straal DG, en wordt de gebrokene BG van deze straal doorgetrokken totdat hij in E een paneel ontmoet, dat we ons voorstellen door het brandpunt D, evenwijdig met de lens AB. Daar dus van de overige met de as evenwijdige stralen de gebrokenen des te dichter bij het brandpunt D samenkomen, naarmate ze dichter bij de as lopen, volgt dat de uitersten van de hele serie evenwijdige stralen (of: die uit één punt van het object voortkomen) op het paneel een cirkeltje beslaan, met halve diameter DE; en van hoe kleiner grootte dit cirkeltje is, des te perfecter zal de voorstelling van het object zijn op het paneel. Zoals verder de afbeeldingen met twee verschillende lenzen even welgevormd en scherp zullen zijn wanneer ze deze aberratiecirkels gelijk maken, zo ook zal het zicht even scherp worden met verschillende telescopen, wanneer hierdoor ook afbeeldingen achterin het oog geprojecteerd worden die even scherp begrensd zijn, d.w.z. waarin de aberratiecirkels van gelijke breedte zijn. En ik denk dat hier als grondslag niets zekerders of duidelijkers vastgesteld kan worden. Om nu met minder moeite de breedte te onderzoeken van die cirkeltjes achterin het oog, zullen we, aangezien het schijnt dat de oculairlens enige moeilijkheid kan geven, eerst aantonen, De aberratiecirkeltjes achterin het oog van iemand die door een telescoop kijkt, zijn bijna alleen afkomstig van de aberratie van de buitenste lens, terwijl de oculairlens nauwelijks iets aan hun breedte toedoet; zodat deze lens in de telescoop als perfect beschouwd kan worden, d.w.z. alsof hij stralen die vanaf een punt komen exact evenwijdig zou maken. Beschouw namelijk de buitenste lens AB van een telescoop, en het oculair GF, van welke twee lenzen C een brandpunt is. En de uiterste met de as evenwijdige straal MB snijdt de as in D, de aberratie DC makend, en ontmoet de lens GF in G; en trek CG. Als we ons nu voorstellen dat de straal HG evenwijdig met de as invalt op lens FG, zal deze niet met de as samenkomen in C, brandpunt van lens GF, maar vòòr punt C in E, zó dat aberratie CE tot aberratie CD is als CF tot AC. Want daar AB en FG gelijkvormige stukken zijn van lenzen van dezelfde soort, staat vast dat beider aberraties van evenwijdige stralen die in B en G invallen zich tot elkaar verhouden als de brandpuntsafstanden van de lenzen. En daarom zal dus ook andersom een straal die vanuit E invalt langs EG, afgebogen worden langs GH, evenwijdig aan de as. Maar de straal DG zal zo gebroken worden in GL, dat de hoek HGL gelijk wordt aan DGE {* [>]}. Dus zullen beide lenzen samen nu een straal, die evenwijdig met de as zou moeten zijn, doen afwijken met deze hoek HGL, gelijk aan DGE; terwijl deze straal slechts zou afwijken met een hoek gelijk aan DGC, als lens FG zodanig was dat hij stralen komend uit het brandpunt C evenwijdig met de as zou maken. Dan zou namelijk, als straal CG gebroken werd in GH, en straal DG als voren in GL, de hoek LGH gelijk zijn aan de hoek DGC.

[ 343 ]

Het blijkt dus dat lens GF de aberratie van de straal BD vermeerdert met een hoek gelijk aan CGE, die ongeveer tot hoek DGC is als EC : CD, of als FC : CA. Dit laat zien hoe gering dit toevoegseltje is, bijgedragen door de oculairlens, en hoezeer van geen belang, vooral bij zeer lange telescopen die objecten vijftig- of honderdmaal en meer vergroten. Nu zullen we overgaan tot openingsverhoudingen, en we zullen aantonen: Opdat telescopen van verschillende lengte de beelden van objecten even helder en scherp weergeven, moet de verhouding van de brandpuntsafstanden van de buitenste lenzen, die van dezelfde soort zijn [<], gelijk zijn aan de vierderde macht van die van de openingsdiameters van deze lenzen; m.a.w. de derde machten van de genoemde brandpuntsafstanden moeten dezelfde verhouding hebben als de vierde machten van de openingsdiameters. Stel namelijk dat er twee telescopen zijn van verschillende lengte, die de buitenste lenzen van dezelfde soort hebben, en van de ene is de buitenste lens (voorzover geopend) AB, de oculairlens OP, en beider brandpunten vallen samen in het punt D; het is namelijk nodig ze zo bijeen te plaatsen, opdat stralen die van een ver verwijderd punt naar de telescoop lopen evenwijdig bij het oog aankomen. En de pupil is QR, de achterkant van het oog is bij X, en alle middelpunten C, O, Q en X zijn op dezelfde rechte, die de as van de telescoop is. Verder stellen we ons voor dat de gebrokene van de uiterste straal, die op lens AB invalt, BEP is, die de oculairlens ontmoet in P; en de aberratie ervan is ED, maar de halve diameter van het aberratiecirkeltje is DF. We verbinden ook D met P, en PS is evenwijdig met de as. Aangezien dan, als op de oculairlens OP de straal DP invalt, komend uit het brandpunt ervan, deze evenwijdig met de as gemaakt wordt, zodat hij verder zal gaan langs de rechte PS (want we mogen, zoals we hierboven hebben aangetoond, de lens OP hier als vrij van aberratie beschouwen), daarom zal de straal EP lopen volgens PR, zodat hoek SPR gelijk is aan DPE. Hij zal dus de pupil ontmoeten in R, en we trekken RT evenwijdig met de as.

[ 345 ]

Omdat dus de inrichting van het oog zodanig is dat het met de as evenwijdige stralen, zoals TR, bij punt X samenbrengt, volgt dat de straal PR meer naar binnen afgebogen zal worden, neem aan naar punt V van het netvlies, zodat XV daar de halve diameter van het aberratiecirkeltje zal zijn. De grootte hiervan blijkt natuurlijk af te hangen van de grootte van de hoek die de gebrokenen van de stralen PR en TR maken binnen de pupil bij punt R. En deze hoek heeft een bepaalde verhouding tot hoek PRT {* [>]}, die drievierde zou zijn, als de breking van het hoornvlies dezelfde gesteld wordt als die van water; maar hoe groot deze ook is, het doet er hier niet toe. Verder is aan te nemen dat bij de andere telescoop dit alles op dezelfde manier gesteld en gedaan is, en bij de overeenkomstige punten zijn kleine letters geschreven in plaats van hoofdletters. En het staat vast dat dit alles, wat tot nu toe gezegd is, ook betrekking heeft op de tweede telescoop. Dus wordt vereist, opdat het zicht in beide gevallen even scherp wordt, dat XV gelijk is aan xu, en daarom dat hoek TRP gelijk is aan trp. Doch aan hoek TRP of RPS is gelijk DPF, en evenzo is aan hoek trp gelijk dpf. Dus wordt vereist dat gelijk zijn de hoeken DPF en dpf. En opdat dit zo is zal moeten gelden PD : DF = pd : df, en door verwisselen PD : pd, of, wat hier als dezelfde verhouding te beschouwen is, OD : od = DF : df. Zoals CD : DO is, zo maken we cd : dn. Als we dus de lens op weg zouden nemen en een andere oculairlens zouden plaatsen bij n, met de brandpuntsafstand dn, dan zou nu van beide telescopen de vergroting dezelfde zijn {* voorstel I.II.V}; maar die welke de telescoop abop dan zou hebben verhoudt zich tot de vergroting die hij levert als de lens op geplaatst is, als od : dn.

[ 347 ]

Dus blijkt ook de vergroting van de telescoop ABOP zich te verhouden tot die van telescoop abop, wanneer deze voorzien is van lens op, als od : dn. Doch aangezien in beide gevallen een zelfde helderheid voor de objecten verlangd wordt, is het nodig dat od : dn, d.w.z. de ene vergroting tot de andere, is als CB : cb, de ene opening tot de andere. Hiervan uitgaande zullen we nu verder als volgt redeneren. De verhouding OD : od wordt samengesteld uit de verhoudingen OD : dn en dn : do, waarvan OD : dn dezelfde is als CD : cd (omdat we cd : dn gemaakt hebben als CD : DO); en de andere dn : do is dezelfde als cb : CB (zoals we zojuist hebben aangetoond); dus de verhouding OD : od wordt samengesteld uit de verhoudingen CD : cd en cb : CB. En dezelfde verhouding OD : od is (zoals eerder is aangetoond) gelijk aan de verhouding DF : df, waarvan vast staat dat deze samengesteld wordt uit de verhoudingen CB3 : cb 3 en cb 2 : CD2 {* voorstel VIII}. Dus de verhouding samengesteld uit CD : cd en cb : CB zal gelijk zijn aan die, samengesteld uit de verhoudingen CB3 : cb 3 en cd 2 : CD2. We vermenigvuldigen aan beide kanten met de verhouding CD2 : cd 2. Dan zullen gelijk aan elkaar worden: enerzijds de samengestelde uit de verhoudingen CD3 : cd 3 en cb : CB, en anderzijds de samengestelde uit de verhoudingen CB3 : cb 3 en cd 2 : CD2 en CD2 : cd 2, en dit is alleen de verhouding CB3 : cb 3, omdat de laatste twee elkaar opheffen. We vermenigvuldigen weer aan beide kanten met de verhouding CB : cb, dan zullen gelijk worden: enerzijds de samengestelde uit de verhoudingen CD3 : cd 3, en cb : CB en CB : cb, dat is alleen de verhouding CD3 : cd 3, en anderzijds de samengestelde uit de verhoudingen CB3 : cb 3, en CB : cb, en deze twee verhoudingen vormen de verhouding BC4 : bc 4. Dus CD3 : cd 3 = CB4 : cb 4. Wat te bewijzen was. Hieruit volgt: als de verhouding van de brandpuntsafstanden CD : cd gelijk is aan 16 : 1, zal de verhouding van de openingsdiameters BA : ba gelijk zijn aan 8 : 1. En in het algemeen, als in de ene telescoop gegeven is de brandpuntsafstand van de buitenste lens, en de grootste opening die verdragen kan worden, vinden we volgens het voorgaande ook voor een willekeurige andere telescoop, met een buitenste lens van dezelfde soort, de juiste opening, en wel het gemakkelijkst met logaritmen. Wanneer namelijk getalsmatig gegeven worden de brandpuntsafstand CD van een gegeven telescoop, en de openingsdiameter AB, en eveneens de brandpuntsafstand van een andere te bouwen telescoop cd, moet men bij de logaritme van het getal AB optellen drievierde van de logaritme van cd, en van de som aftrekken drievierde van de logaritme van CD; dan is de uitkomst de logaritme van de opening ab.

[ 349 ]

Zoals wanneer een lens, waarvan de brandpuntsafstand 12 voet is, in zijn telescoop een opening kan hebben van twee duim, en de opening gevraagd wordt van een andere lens waarvan de brandpuntsafstand 100 voet is: de logaritme van 100 is 2,00000, waarvan driekwart is 1,50000, en dit opgeteld bij de logaritme van 2 (die 0,30103 is) geeft 1,80103. Als daarvan wordt afgetrokken 3/4 van de logaritme van 12 (dat is 0,80938), is de rest 0,99165, de logaritme van het getal 981/100, dat het aantal duimen aangeeft van de gezochte openingsdiameter, iets minder dan tien zoals blijkt. En op deze manier is de volgende tabel samengesteld, waarbij (zoals we nu gezegd hebben) een opening van 2 duim genomen is bij de lens van 12 voet, aangezien we inderdaad bevonden hebben dat een goede lens tot zo ver geopend kan worden, ook al is hij aan beide zijden even bol; zodat daarom een platbolle lens deze opening des te gemakkelijker zal verdragen, of die met zesvoudige verhouding, waarvan boven is aangetoond dat hij beter is dan alle andere [<]. En als een dergelijke lens gegeven zou worden, waarvan vast zou staan dat hij zeer nauwkeurig gevormd was, zou daarmee de maximale opening van alle andere met zekerheid bepaald kunnen worden. Maar wij richten ons op wat nu al verwacht kan worden van de inspanningen van de vakmensen. In dezelfde tabel hebben we verder ook de oculairlenzen aangegeven die geschikt zijn voor elke grote lens; en om daarvan de brandpuntsafstanden te vinden, stellen we dat die van twee duim goed toegepast kan worden bij de grote lens van 12 voet, zoals de ervaring heeft uitgewezen. En hieraan ontlenen ook alle overige hun afmeting, aangezien geldt: Bij telescopen van verschillende lengte, waarvan de buitenste lenzen van dezelfde soort zijn, moeten de brandpuntsafstanden van de oculairlenzen een verhouding hebben die gelijk is aan de vierdemachtswortel van die van de brandpuntsafstanden van de grote lenzen. Dit wordt op de volgende manier afgeleid uit wat hiervoor bewezen is [<]. Bij de daar behandelde telescopen, die objecten even helder en scherp, al is het niet even groot, binnen het oog afbeelden, hebben de brandpuntsafstanden van de oculairlenzen een verhouding OD : od die (zoals aangetoond) samengesteld is uit de verhoudingen CD : cd en cb : CB [<]

[ 351 ]

Dus is ook de vierde macht van de verhouding OD : od samen te stellen uit de vierde machten van de verhoudingen CD : cd en cb : CB. Maar hiervan wordt CD4 : cd 4 samengesteld uit de verhouding CD : cd en uit CD3 : cd 3. En de andere cb 4 : CB4 is (zoals aangetoond) dezelfde als cd 3 : CD3. Dus de verhouding OD4 : od 4 is nu samen te stellen uit de verhoudingen CD : cd en CD3 : cd 3 en uit cd 3 : CD3. Deze laatste twee heffen elkaar op, zodat overblijft dat de enkele verhouding CD : cd gelijk is aan OD4 : od 4, en daarom zal ook andersom de verhouding OD : od gelijk zijn aan de vierdemachtswortel van de verhouding CD : cd. Wat aangetoond moest worden. Overigens kunnen de afmetingen van bolle oculairen ook op een andere manier uit het boven gezegde verkregen worden. Aangezien namelijk uit een vastgestelde opening bij een lens van 12 voet de openingen van alle andere dergelijke lenzen afgeleid worden; en verder, zoals de openingen zich tot elkaar verhouden, zo ook de vergrotingen van telescopen die een even helder beeld geven; daarom, als de openingen gegeven zijn, en eveneens de vergroting van de telescoop van 12 voet — die 72 : 1 is, daar de oculairlens een brandpuntsafstand heeft van 2 duim — is ook de vergroting van een willekeurige andere telescoop bekend. Maar als de vergroting en de brandpuntsafstand van de grote lens gegeven zijn, kan men ook de brandpuntsafstand van de oculairlens te weten komen, daar de verhouding van deze twee dezelfde is als die van de vergroting van de telescoop die met deze lenzen is samengesteld*). *) Op 23 april 1685 (p. 6 van deel IX) deelde Huygens aan zijn broer Constantijn de nieuwe regels mee die hij gebruikte voor de tabel van p. 497-9.

[ 353 ]

    Brandpuntsafstand   Openingsdiameter   Brandpuntsafstand   Vergroting van
     van grote lens      van grote lens     van oculairlens    de telescoop
       Voeten.             Duimen.           Duimen.           in diameter.

          1                31/100            1  9/100            11
          2                52/100            1 33/100            18
          3                70/100            1 44/100            25
          4                88/100            1 55/100            31
          5              1  4/100            1 62/100            37

          6              1 19/100            1 67/100            43
          8              1 48/100            1 81/100            53
         10              1 74/100            1 90/100            63
         12              2                   2                   72
         15              2 36/100            2 11/100            85

         20              2 93/100            2 28/100           105
         25              3 47/100            2 40/100           125
         30              3 98/100            2 51/100           143
         35              4 46/100            2 60/100           161
         40              4 94/100            2 64/100           178

         45              5 39/100            2 77/100           194
         50              5 83/100            2 84/100           210
         60              6 69/100            2 98/100           241
         70              7 51/100            3 11/100           270
         80              8 30/100            3 21/100           299

         90              9  6/100            3 31/100           326
        100              9 81/100            3 49/100           353
        150             13 30/100            3 73/100           479
        200             16 50/100            4  4/100           594
        250             19 51/100            4 27/100           702

        300             22 36/100            4 47/100           805
        400             27 75/100            4 80/100           999
        500             32 80/100            5  7/100          1183
        600             37 61/100            5 32/100          1354

[ Eind van het tweede deel. ]

Home | Christiaan Huygens | XIII | Over aberratie, b (top) | Over telescopen