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## Correspondance avec Mersenne [ II, Supplément: No. 3g et No. 11a. ]

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No 12. #### M. Mersenne à Constantyn Huygens, père. [ Septembre 1646. ] a) La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur Puisque vous avez des enfans qui prennent plaisir aux Mathematiques, je veux vous envoyer un theoreme numerique par exemple. Theoreme. La difference des quarrez de 2 nombres, dont l'un est la somme, et l'autre la difference de deux quarrez, est necessairement un quarré.

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Sur quoy je vous entretiendray un peu, affin que vous scachiez que lors que 2 quarrez ne different que de l'unité, ils ont pour difference la somme de leurs racines: par exemple 9 et 16 different de 7, qui est la somme de 3 et 4. Mais lors que les quarrez ne sont pas prochains, et que leurs racines different de plus de l'unité, ils ont pour difference les sommes de chacune de leurs racines jointes avec les nombres prochains qui sont entredeux, et les sommes de chacun desdits nombres qui sont entredeux joint avec leurs prochains. Exemple. les quarrez de 3 et de 6, ascavoir 9 et 36, different des sommes de 3 et 4, de 4 et 5, et de 5 et 6, qui sont 7. 9. 11. qui font ensemble 27. De plus, quand les racines, et les nombres qui sont entredeux sont ensemble en quotité impaire, la plus grande, et la moindre somme des 2 racines jointes chacune avec les nombres intermediats qui leur sont prochaines estant jointes ensemble font le quadruple du nombre qui est au milieu des racines susdites. car chacune de ces 2 sommes contient 2 nombres: si donc on prend deux sommes, on aura 4 nombres, qui pris en distances egales, et correspondant tant dessus que dessous le nombre du milieu, la somme de ces nombres sera quadruple dudit nombre du milieu. Exemple pour scavoir la difference des quarrez de 5 et de 9, cest a dire de 25 et de 81, il faut assembler les racines 5, 6. 6, 7. 7, 8. 8, 9. et le nombre du milieu sera 7, et ces racines estant jointes ensemble deux à deux, feront 11, 13. 15, 17. desquelles sommes si on assemble les plus eloignées 11 et 17; et les suivantes 13 et 15, on aura 28 à chaque addition, et cette somme 28 est quadruple de 7. qui est le nombre du milieu: et par ce que 7 est different de chacun des extremes 5 et 9 par 2, il s'ensuit qu'il faut faire 2 assemblages des sommes desdits nombres, scavoir de 11 et 17, et de 13 et 15, et partant il faut multiplier 28, qui est la somme des extremes 11 et 17, et le quadruple du milieu 7, par la difference du nombre qui est au milieu à l'un des extremes, qui est 2 en cet exemple, et on aura 56 difference de 25 et 81, quarrez de 5 et 9. b) Donc pour avoir la difference des quarrez de 2 nombres de mesme ordre, il faut multiplier le quadruple du nombre esgalement distant des racines des quarrez susdits, par la difference dudit nombre egalement distant de l'un des extremes. Vous aurez encore la difference des quarrez susdits, en aioutant les Racines desdits quarrez et multipliant la somme par leur difference, comme aioutant 5 et 9 vous aurez 14, qui multipliez par 4 difference de 5 et 9, donne 56 pour la difference des quarrez de 5 et 9. Oubien si vous multipliez le nombre egalement distant des racines, par le double de la difference des mesmes racines, vous aurez la mesme difference, car multipliez 7, egalement distant de 5 et 9, vous aurez encore 56. Ce qu'estant posé, on peut monstrer que la difference des quarrez dont les racines sont differentes d'un double quarré, est necessairement un quarré. Mais que direz vous de moy qui ose entretenir un Cavalier entre la poudre et le jeu des canons de ces petites gentillesses, vous me le pardonerez bien pour cette fois. Je ne vous entretiens point de 2 sauvages homme et femme qu'on a vûs et touchez à 3 lieues de Grenobles, parce que ils estoient fuis plus viste que la course ordinaire des hommes, jattends quon les prenne par une chasse générale.

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Au premier voyage, si vostre fils le desire, je luy envoyeray le moyen de trouver le centre de vertu*), ou de percussion de toutes sortes d'epées, et dautres armes. Croyez vous que le Sr. Regius°) explique les mouvements des plantes et des animaux sans leur donner des ames, comme il semble que veulent les principes de Mr. des Cartes? Je ne croy pas qu'il en vienne à bout. Car les passions, et affections du seul chien auroit besoin d'une estrange multitude de ressorts pour pouvoir estre faites sans ame, et je m'assure que vous estes de mon sentiment. Avec cette lettre [?] vous recevrez l'une des plus subtiles philosophies, qui ayent jamais esté faites, avec ses decouvertes. On me dit que vous avez assiegé une place forte pour favoriser la prise de Donkerke, et les autres le nient, vous m'apprendrez ce qui en ser... J'attends tousjours le retour de nostre Cour pour voir le Sr. Gobert #); je le convieray de venir disner chez moy, si tost qu'il sera revenu affin que toute laprezdisnée nous chantions vos Airs, et que nous les baillions à Mr. Ballard pour imprimer. +) En attendant, je suis tousjours Monsieur vostre tresobeissant serviteur Mersenne. Vous aurez icy un mot ou 2 pour le sr sorbiere je vous prie de le luy faire tenir à Leyden ou à la Haye, où il est marié et medecin. c) A Monsieur Monsieur Huijgens sieur de Zuijllichem, et Secretaire de Monsieur le Prince d'Orange au Camp. Recommandé à Monsieur Tassin 6) au petit Bourbon. [ *) Pierre Duhem, Origines de la Statique (1906, T. 2, p.201-202) fait mention de ce 'centre de vertu' chez Roberval et: Mersenne, Cogitata physico-mathematica, Par. 1644, avec un 'Tractatus mechanicus'. ] [ °) Henricus Regius, Fundamenta physices, Amst. 1646; cf. II, 548. (Philosophia Naturalis, 1654.)] [?]: mot indéchiffrable, voir la note 8 de p. 54. #) Thomas Gobert ... Paraphrase des Pseaumes de David ... Antoine Godeau ... 1676 [1659: Constanter]. [ +) Pathodia sacra et profana, Paris 1647 (^), repr. in: W. J. A. Jonckbloet & J. P. N. Land, Musique et musiciens au XVIIe siècle, 1882.]

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a) Rp 23. 8b[re] 1646. [Chr. Huygens] 7)
b) | 25 : 5 36 : 6 | 11 13 15 17 |
| 49 : 7 64 : 8
| 81 : 9
[Mersenne.]
c) | aa + bb aa + bb | aa – bb aa – bb
subtr. { | a 4 + 2aabb + b 4 a 4 – 2aabb + b 4 | a 4 – 2aabb + b 4
| 4 aabb quod est quadratum à 2ab
[Chr. Huygens.]
6) Tassin, Intendant du Cardinal de Mazarin, était grand musicien, et ami de Constantyn Huygens, père. 7) C'est probablement la date à laquelle Christiaan Huygens a reçu de son père cette lettre avec la suivante No 13.

No 13. #### Mersenne à Constantyn Huygens, père. 12 octobre 1646 a) La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur J'attends avec grand desir la demonstration de Mons. vostre fils sur la proportion des cheutes des corps pesans, car il l'aura peut estre prise d'un biais independent des supositions de Galilée 1). L'on vient de me prester la vie de feu Mr. de Berulle 2) Cardinal, in 4o 3) de belle impression, faisant l'un des plus jolies de l'Academie de Paris, si vous voulez stiler quelqu'un de vos amis à la pureté de nostre langue on la trouvera la dedans. J'ay vu le resultat de l'assemblée de Pologne 4) pour les religions ils n'ont rien fait de bien considerable. 1) Galileo Galilei [... 1564 - 1642 ...]. 2) Pierre Bérulle [... 1575 - 1629 ...] était Cardinal, ministre d'Etat et établit l'ordre des Carmélites en France. 3) [Germain Habert, Abbé de] Cerisy, La vie du Cardinal de Bérulle, Paris 1646. 4) C'est à la Diète (^) de Pologne, en 1646, que le roi Wratislaw IV voulut établir l'ordre de l'immaculée conception de la Ste Vierge, introduire plusieurs nouveautés et ainsi humilier la noblesse. Mais celle-ci [...] fit échouer tous les projets du roi.

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Enfin je viens d'aprendre que la Philosophie du Sr. Regius [<] est achevée, vous ferez que nous la verrons des premiers.

Et en attendant je veux envoyer la regle generale pour trouver le centre de percussion de tous les secteurs de cercle*) à Mr. vostre fils; soit donc le secteur quelquonconque ABC pendu à l'axe DE, et qu'estant libre à se mouvoir il fut tiré de C en E ou vers E, voicy la regle. Comme la chorde BC est à l'arc BFC, ainsi 3/4 du rayon AF a une 3e ligne droite prise depuis A vers F, soit qu'elle finisse entre A et F ou qu'elle descende plus bas que F. Si c'estoit pour trouver le centre de gravite du secteur*), il faudroit dire que l'arc BFE a la droite BC, ainsi 2/3 du rayon AF à une 3e ligne. Si c'estoit le triangle ABC dont on voulust trouver le centre de percussion, il est bien plus difficile, il y pourra penser et consulter son Maistre la dessus. Car n'ayant point receu de vos lettres aux 2 ou 3 derniers voyages, j'ay peur que vous vous portiez mal. Je prie Dieu de vous assister en tous vos besoins, et suis tousjours Vostre tresobeissant serviteur Mersenne M. ce 12 octobre 1646. A Monsieur Monsieur Huygens sieur de Zuyllichem et Secretaire de Monsieur le Prince d'Orange au Camp de l'armee Holandoise. a) Rp 23. 8bre [16]46. [Christ. Huygens]. [ *) Correction de "sistemes de .....", "sisteme", T. XVI, p. 350.]

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No 13a. #### M. Mersenne à Christiaan Huygens. [ 13 octobre 1646 ] 1) La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Chr. Huygens y répondit par le No. 14. Monsieur, Comme j'honore grandement Monsieur vostre pere, et que je croy luy faire plaisir de vous parler de vos propositions [<] dont vous dites avoir la demonstration, je vous diray seulement sur la derniere, que je ne croie point que vous en ayez la demonstration, si je ne la voy; dont voicy ma raison. Les graves qui tombent ne vont pas tousjours augmentant leur vitesse suivant les nombres impairs, 1, 3, 5, 7, &c. bien que nous faignions qu'il n'y ayt point d'air qui les empesche parceque tout grave n'est pas capable de recevoir un mouvement si viste que soit celuy du corps 1) C'est la lettre que nous croyions perdue et à laquelle la Lettre No. 14 de Chr. Huygens est la réponse.

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qui auroit descendu d'une ou plusieurs lieues [?] de haut, de mesme qu'un corps poussé par un arquebuse, ou un arbaleste ne peut aller viste, s'il n'est pas assez pesant pour recevoir une si grande impetuosité: comme vous voyez à la paille, ou à la laine poussée par un mousquet, car un corps tombe deja [?] proche de la bouche d'un canon, non seulement à cause de l'empeschement de l'air, mais aussi parce qu'il n'estait pas capable de recevoir une si grande impetuosité. D'ailleurs il faudroit pour garder tousjours in vacuo la proportion des nombres impairs, que le grave tombast par tous les degrez de tardiveté, depuis le commencement de sa cheute, ce qui ne se fait pas quoy qu'aye pensé Galilée, car la pierre a desja une certaine vitesse, en commençant sa cheute*). Troisiemement pour ce qui est de la parabole, que vous croyiez que facent les missiles, l'air n'estant point consideré, cela n'est pas aussi exact, car il faudroit que l'impetuosité communiqué au missile ne cessast jamais or les qualitez qui s'impriment facilement, comme est l'impetus, se perdent aussi bien aysement et bien viste, Violentum non durabile°). Neanmoins si nonobstant cete [?] consideration, vous croyez, que vostre demonstration soit encore valable, vous me ferez plaisir de me la communiquer; et puis, si vous l'avez agreable, je vous entretiendray de monstrer cete violence affin que vous puissiez aprez determiner le lieu, par lequel vostre effect doit fraper avec plus de violence. J'ajoûte que les principes que Galilee a pris dans tout ce qu'il a dit du mouvement, ne sont guere fermes, et que bien qu'en petites hauteurs les proportions suivent d'assez prez, dans les grandes elles manquent quasi tousjours. Je vous envoyrois les proportions qu'ont les solides de la cycloide ou trochoide, qui sont engendrez par sa convulsion autour de la base ou de l'axe de la dite trochoide, avec le cylindre de mesme hauteur qu'a trouvé l'excellent Tauricel 2), successeur de Galilée, n'estoit que vous le trouverez au bout de l'errata de mon livre Physico mathematica, incontinent aprez le titre du synopsis, car je l'ay envoue il y a long temps à Monsieur vostre Pere, que Dieu Vous a donné pour si excellent conducteur, que je voy par le peu qu'il m'a envoyé de vous, que vous devez estre l'un des premiers hommes du monde. Je prie Dieu qu'il vous remplisse de ses graces. Pour ce que vous ne pourrez lire ou ce que vous n'entendez pas de la cycloide vous pourra estre expliqué par luy, car je luy ay parlé il y a long temps de cette figure engendrée par une roulette, ou un cercle roulant. Pour le fils Aisné 3) de Monsieur de Zuyleichem. 2) Lisez: Torricelli. [>] 3) Mersenne se trompe ici. [ *) Pour une épreuve du contraire cf. XVII, 280, fig. 6.] [ °) Cf. Bernardino Baldi, In mechanica Aristotelis problemata exercitationes, 1621, 58: "perpetuum esse non posse horum corporum motum, ea est caussa, quod violentum accidat naturae, & ideo non durabile."]

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No 14. #### Christiaan Huygens à M. Mersenne. 28 octobre 1646. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. Mersenne y répondit par le No. 17. [ Reconstruction d'après t. XXII, 54-55.] 1) Monsieur, J'admire le bonheur, qui a faict tomber encore entre vos mains, le papier [<], qui n'estoit destiné qu'a la veüe de mon Pere a tout le plus; et d'avantage vostre benignité qui m'avez estimé digne d'une lettre si courtoise et pleine de bonne affection, envers moij; en recognoissance de quoy je tascheray de vous rendre tout service et satisfaction que je pourray; Premierement donc je respondray a vos objections, dont la premiere est que tout grave n'est pas capable de recevoir un mouvement si viste que soit celij du corps qui auroit descendu d'une ou plusieurs lieues de haut. Je ne puis pas consentir a cela, et m'en rapporte a la Philosophie de Monsr. des Cartes, qui entre autres loix de la nature a remarqué cellecy, à scavoir que tout corps continue son mouvement de la mesme vistesse que luy a esté donnée unefois, si quelque autre chose ne l'empesche*); si donc la ou il n'y avoit point d'air nous supposions quelqun qui avecq un arc tiroit deux flesches a la fois, l'une de bois pesant et l'autre de paille ou chose semblable, il est manifeste qu'elles voleront de vistesse egale et que celle de bois ne devancera point celle de paille; car ayant eu egale vistesse pendant que la corde de l'arc les poussoit encore, il s'ensuit du principe susdit qu'elles la garderont aussi puis apres. Je dis donc qu'in vacuo tous corps sont capables de quelconque vistesse, et que ce que la paille et la laine poussées par une arquebuse tombent presque seulement hors de la bouche du canon, ne procede d'autre cause que de l'empeschement de l'air. 1) Publiée par M. Henry, d'après une copie de la Bibliothèque Nationale à Paris, qui diffère de la minute. [ ... T. XXII, 54-55: La lettre se trouve à Vienne ... Le texte s'accorde en substance avec celui publié par Ch. Henry ... (XXII, 917: deux corrections).] [ *) Principia philosophiae, Amst. 1644, 54.]

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La seconde objection estoit, que pour garder in vacuo les proportions des nombres 1, 3, 5, 7, il estoit necessaire que le grave tombast par tous les degrez de tardité et que cela n'estoit point, à cause que la pierre avoit au commencement de sa cheute desja une certaine vistesse. Je dis que sans doute elle passe par tous les degrez de tardite, et qu'elle a eu moindre vistesse que quelconque vistesse donnee. Car soit donnee la boule de plomb A qui roule sur le plan horizontal AB de B vers A avecq fort peu de vistesse contre le bras de la balance DCA, dont C est le poinct fixe, il est evident que le poids F, lié de la corde FED qui passe par dessus la poulie, peut estre si peu pesant que la boule A en poussant contre le bras de la balance ACD, le pourra faire sauter quelque peu en haut: prenons derechef la mesme balance comme en la seconde figure, et soit pendu d'un costé le poids R [G] de mesme gravité que la boule A, et d'autre costé, la boule A mise dessus l'autre bras de la balance, cecy donc sera en equilibre: or il est possible de lever si peu en haut la boule A, qu'en tombant derechef sur sa place elle pourra a grand peine faire sauter le poids R [G] avec le poids F adjouxté. Il est donc aussy manifeste qu'en tombant d'une petite hauteur elle peut avoir esgale ou moindre vistesse qu'en roulant de la vistesse donnee sur le plan AB; car en l'un et l'autre cas c'estoit la force du mouvement de la boule qui faisoit sauter le poids F, et la force esgale ne peut estre causée que d'une esgale vistesse. Mais ce qui fait sembler le contraire, a scavoir que la boule aurait une certaine vistesse en commençant sa cheute, c'est qu'on ne voit jamais que fort peu de la tardité avec laquelle elle commence sa cheute; car quand on ne voit aussy qu'un peu sur la fin la course de la boule roulante contre le bras de la balance, il semble qu'elle va fort viste. Or tel est le principe qui m'a fait trouver la proportion des nombres impairs 1, 3, 5, 7 etc. Que si quelque gravite au premier minute de la cheute passe l'espace d'un pied, et qu'au minute suyvant elle passe quelque autre nombre de pieds, prenons 5 pieds; et que la mesme gravité du commencement de la cheute passe par exemple aux 4 premiers minutes 10 pieds: qu'aussy aux 4 suyvants minutes elle en passera 50, parce que 1 est à 5, comme 10 à 50. La minute a: "Or tel est le principe sur lequel est fondee ma raison,*) que si la gravite P en commencant sa cheute passe en certain temps par l'espace PS, et au temps suivant par l'espace SR; et que la mesme en un autre temps du commencement de sa cheute passe par l'espace PV, et au temps suivant par l'espace VM; et que le temps de la cheute par PS soit au temps par SR comme le temps par PV au temps par VM; que alors l'espace PS est a SR comme PV à VM. Comme par exemple, si une pierre en tombant passe au premier minute de sa cheute un pied de mesure, et au second minute 5 pieds; que la mesme pierre parce qu'aux deux premiers minutes elle a donc passe 6 pieds, aussi aux deux suivants minutes elle en passera 30; car 1 est a 5 comme 6 à 30." Au verso de la minute l'auteur a écrit ces mots, que l'on retrouve en partie dans l'édition de M. Henry: "Que si la gravite P au premier minute de sa cheute passe l'espace d'un pied, et qu'au minute suivant elle passe quelque autre nombre de pieds, prenons 5 pieds. et que la mesme gravite du commencement de sa cheute passe par exemple aux 4 premiers minutes 10 pieds; qu'aussi au 4 suivants minutes elle en passera 20 pieds parce que 1 est à 5 comme 4 à 20." [ *) Cf. T. XI, p. 69, n. 6.]

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Cecy estant concedé, soient passé en esgals temps les espaces AB, BC, CD, etc. il est donc manifeste que comme l'espace AB à BC, ainsi est l'espace AC à CE, et AD à DG. Car comme le temps par AB a esté le premier et par BC le second, ainsi le temps par AC a esté le premier et par CE le second, et par AD le premier, par DG le second. Voions a cest heure s'il ij a quelque progression Geometrique, que puissent avoir les espaces AB, BC, CD etc, passez en temps esgaux. Soit donc l'espace AB a d), BC b; si c'est donc une progression Geometrique CD sera bb/a, DE b 3/aa; mais il est necessaire par le principe susdit que
comme AB | à | BC | [ai]nsi | AC | à | CE
a |  | b |  | a + b |  | bb/a + b3/aa
Donc le rectangle AB, CE doit estre esgal au rectangle BC, AC. AB, CE, bb/a + b3/aa ab + bb, BC, AC b3 aab a b De cette Analyse s'ensuit que les dits espaces ne peuvent estre en aucune progression Geometrique que de l'esgalité. Lopinion doncque de ceux qui disent, qu'ils sont en la progression 1, 2, 4, 8 est fort ridicule. Car par exemple, posons que le poids N passe au premier temps par l'espace NO, 1, au second OP 2, au 3me PQ 4, au 4me QR 8: Et prenons a cest heure le[s] deux premiers temps auxquels il a passe par l'espace NP, pour le premier; ayant doncque passé au premier temps par l'espace NP 3 (car NO 1, et OP 2, font 3) il passera au second temps a scavoir au 3me et 4me, selon leur progression 6, d) Dans l'édition de M. Henry on trouve le signe .||., que Huygens n'emploie jamais: il se sert toujours du signe . [Stampioen, 1639, Algebra, Merckt: = .]

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mais au 3me et 4me il a passé par l'espace PR 12 (car PQ 4 et QR 8 font 12), il faudroit donc que 6 fust esgal a 12, ce qu'est absurde. Voions donc s'il y a quelque progression Arithmetique en la quelle les espaces puissent estre. Que le poids L donc aye passé au premier temps par l'espace LM a, au second MN a + x, au troisieme NO a + 2x, au 4me OP a + 3x. il faut donc selon mon principe que
comme LM | à | MN | ainsi | LN | à | NP.
a |  | a + x |  | 2a + x |  | 2a + 5x
LM, NP | MN, LN.
2aa + 5ax 2aa + 3ax + xx, 2ax xx 2a x.
Nous avons doncq trouvé la progression arithmetique en laquelle sont les dits espaces, car x estant trouvé esgal à 2a l'espace MN a + x sera 3a, NO a + 2x sera 5a, OP a + 3x sera 7a. Et de cette Analyse est manifeste qu'il n'y a point d'autre progression Arithmetique en la quelle puissent estre les dits espaces, et par consequent que l'opinion de ceux qui disent qu'ils sont 1, 2, 3, 4, etc. est absurde et contradictoire à soy mesme. Car posons que le poids E passe en esgaux temps les espaces EF, 1, FG 2, GH 3, HI 4; prenons puis les deux premier temps au quels il passe EG, pour le premier; passant doncq au premier temps par EG 3 il passera selon leur progression au temps egal suivant, (qui est esgal au 3me et 4me,) 6; il faudroit donc que l'espace GI fust 6, mais il est 7, estant composé de GH 3 et HI 4; 6 donc devroit estre 7 ce qu'est absurde. Mais si on examine de la mesme façon la progression trouvée 1, 3, 5, 7, 9, 11, on ne trouvera rien d'absurd car 1 est à 3 comme 1 et 3, c'est 4, à 5 et 7, c'est 12; et comme 1, 3, 5, c'est 9 à 7, 9, 11, c'est 27, etc. Et parce que je ne trouve point d'autres progressions qui ayent cette proprieté requise, et outre cela quelque regularité, je croij pour certain que c'est cellecy.*) Tout cecy doit estre considere comme en une place ou il n'y a point d'empeschement d'air ny d'autre chose mais seulement une uniforme attraction d'en bas, soit grande ou petite. Touchant la parabole, que font les missiles cela ne peut pas manquer, car in vacuo le mouvement horizontale demeurera tousjours uniforme tant que quelque chose ne l'empesche; Or l'attraction d'en bas ne luy resiste point du tout, estant supposé qu'elle est à angles droicts au mouvement horizontale. Le reste depend de la proprieté de la parabole qui est assez connüe. [ *) Mersenne sur les nombres impairs: Cogitata, 'Ballistica', p. 47. ]

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Je fineray icij de peur de ne vous detenir pas trop longtemps, et vous envoyeray par une autre lettre la demonstration de ce qu'une corde ou chaine pendue ne faict point une parabole, et quelle doit estre la pression sur une corde matematique ou sans gravité pour en faire une; d'ont j'ay aussi trouve la demonstration, il n'y a pas longtemps. Et en attendant avecq grand desir quelque particularitez des centres de percussion [<,>] car c'est icy une matiere incogneue, je demeureray
Monsieur | Vostre treshumble, Chrestien Huygens.
à Leyden le 28 d'octobre 1646. Au Reverend Pere Le R. P. Marin Mersenne Religieux Minime au Couvent de la place Royale A Paris. Port quatre sols.

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No 17. #### M. Mersenne à Christiaan Huygens. 16 novembre 1646. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Elle est la réponse au No. 14. Huygens y répondit par le No. 20. Monsieur Le peu de temps qui m'est resté depuis vostre demonstration recüe ne m'a pas permis de vous escrire des Centres de Percussion, ce sera dieu aydant à l'autre voyage,

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ou du moins lors que j'auray recu l'autre demonstration, que vous m'asseurez qui prouve que la chaine, ou la corde bandée, et s'affaissant de son poids propre au milieu, ne fait pas la parabole, comme avoit crû Galilée 1); et de plus en quelle maniere [?] doit estre la pression pour luy faire faire ladite parabole, et si vous ajoutez comme il la faut presser pour luy faire faire l'hyperbole et l'ellipse, vous vous surmonterez vous mesme. Je vous asseure que j'ay si fort admiré la gentillesse de vostre demonstration des cheutes, que je croy que Galilée eust esté ravi de vous avoir pour garand de son opinion. Ce n'est pas qu'il ne m'y reste quelque scrupule, mais j'aymeray mieux attendre à vous le proposer lors que vous serez icy, (car Monsieur vostre pere l'honneur [?] des Muses me le fait ainsi esperer). J'ay oublié à scavoir de luy si vous scavez toucher le Luth, si cela est, je vous prie de voir si vous soudrez bien ce beau probleme, a scavoir pourquoy la chorde AB, telle que vous voudrez, par exemple la chanterelle, attachée fermement en A et faisant quelque son, doit elle estre tendüe en B 4 fois plus fort, que devant, pour monter à l'octave, veu qu'il ne faut l'accourcir de moitié en C pour la faire monter à ladite octave. J'entrevoy que vostre fondement de Mechaniques aprand [?] que pour faire un mouvement 2 fois plus viste, il faut peut estre une force quadruple, vous ferez l'ouverture de la demonstration, laquelle me sera bien precieuse de vostre main. Mais affin que la presente ne s'en aille pas sans quelque petit present, vous recevrez nostre miracle [?] de St. Jean*), & le ferez voir à vos professeurs de Leyde qui loueront nos beaux caracteres & vous reconnoistrez la verve francoise d'un jeune homme, qui reussira bien en ces vers avec le temps. Si vous voyez le professeur de Mathematiques de Leyde, tant Monsieur Golius 2), que l'autre 3) que j'ay icy vû, je vous prie de leur presenter mes humbles recommandations. J'ay quasi envie de vous envoyer l'une des belles demonstrations que vous avez jamais vûes, ascavoir d'un cylindre hyperbolique lequel estant infini, est egal a un corps & cylindre fini. Nous avons aussi des espaces ou surfaces qui ont mesme proprieté. Oubien je vous restitueray le tout lors que vous serez en cette ville. Je suis cependant
Monsieur Ce 16 Novembre 1646. | Vostre tres affectionné serviteur Mersenne M.
A Monsieur Monsieur Chrestien Huygens A Leyde.
1) Voir Dialogo Secundo page 146 de l'ouvrage Discorsi ..., Leida 1638. 2) Jacobus Golius [Gool, ... 1595 - 1667...] devint en 1625 professeur d'arabe à Leiden [...] En 1628 il revint à Leiden pour y occuper la chaire des mathématiques, comme successeur de W. Snellius. 3) C'est Frans van Schooten le fils. [ *) Mathias de Saint-Jean, Le Commerce honorable, Nantes 1646 ? ]

[ No. 18a (Const. H. à M.) ]

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No 20. #### Christiaan Huygens à M. Mersenne. Novembre 1646. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens. 1) La lettre est une réponse au No. 17. Mersenne y répondit par le No. 24. Monsieur Avanthier estant arrivé à la Haye j'eu le bonheur d'y rencontrer vostre lettre avecq les beaux characteres d'ont il vous a pleu de me faire part. Touchant le probleme de Musique, que vous me proposez, amplius deliberandum censeo*): L'ayant trouvé dans vostre livre de physicomat. 2) j'y ay souvent faict des speculations dessus; mais la solution en est bien difficile a ce que je voij, et il le faut bien de necessité, car autrement elle n'eust pas esté ignorée de tant de braves esprits j'usqu'a present.

Dans ce mesme vostre livre, la ou vous venez à parler des proprietez de la parabole°) j'ay trouvé celle cy qui est de la superficie du Conoides parabolicum, la quelle si vous me pouvez verifier je vous puis donner une ligne droitte esgalle a la circonference d'une parabole; mais je ne croy pas que vous en ayez la demonstration. 3) A cette heure voyez comment vous aggrée cellecij touchant l'affaire de la chaisne. 1. Je suppose donc premierement que toutes les cordes dont quelque gravité depend librement, tendentes au centre de la terre, sont paralleles l'un à l'autre. 2. Secondement que deux ou plusieurs gravitez A et B attachez à la corde CABD qui est tenue en C et D, ne peuvent demeurer en repos que d'une seule façon. 1) Evidemment incomplète. Il est à supposer que les Nos. 20 et 21 constituent le commencement et la fin d'une même lettre, dont la partie intermédiaire manque. [ *) Terentius, Phormio 2. 457. ] 2) Cogitata Physico-mathematica (1644), 'Harmoniae liber II', p. 266, et 'Ballistica', 129 (prop. 36). Un second volume a pour titre: Universae geometriae mixtaeque mathematicae Synopsis (1644). [ °) Ed. 1644, p. 92: 'Lemma de sectionibus conicis', p. 93: 1, 3, 5, 7; p. 99: "conoideum parabolicum".] 3) L'auteur biffa cet alinéa.

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3. Troisiemement, que si d'une corde ADF dependent quelques gravitez, selon leur situation naturellement requise, et qu'on arreste quelques deux poincts B, E, dans leur situation, que cela ne changera point celle des poincts C et D, qui sont entre deux. 4. Soyent suspendues de la corde ABCDE quelques gravitez comme en B, C, et D, et que celles en B et C pendent selon leur situation naturellement requise quand la corde est tenue au poinct D ou est attachée la gravité G; je suppose qu'il est possible que la main Q tiene en quelque façon le bout E, que le poinct D, demeure en la mesme place, apres que la main P l'aura quitté. No 21. #### Christiaan Huygens à [M. Mersenne.] [ 1646 ]. La minute se trouve à Leiden, coll. Huygens 1). Propositio 5. Si il y a tant de gravitez qu'on veut comme S, R, P, Q pendues à une corde ABCD. je dis que MD et BC continuées s'entre-couppent en L au diametre pendule des gravitez P et Q. AB et DC en K au diametre pendule des gravitez R et P et ainsi du reste. Car si on arreste a) quelque deux poincts A et D (en laissant deux autres entre deux comme B et C), en la situation ou ils sont, cela ne changera poinct celle des poincts B et C b); mais les poincts A et D estant arrestez, l'intersection des continuées AB et DC c) doit estre au diametre pendule des gravitez R et P. C'est donc signe qu'aussi auparavant elle ij a esté: Et ainsi le prouvera ton des autres. 1) Voir la note 1 du No. 20. Les Propositions 1 - 4 ont pu être reconstruites [... cf. le No. 22; t. XI, 37-44, HUG 17: 23v].

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Propositio 6. Eadem methodo probatur si AB, BC, CD etc. sint virgulae ponderantes d) aequalis ponderis, quasque duas productas ut CD, FE, sese intersecare in pendula gravitatis diametro ejus quae intermedia relicta est ut DE. Ergo si omnes aequalis sunt ponderis, DR debet aequalis esse RE, EP aequalis PF etc. e) Propositio 7. Si sint quotcunque pondera vel virgulae aequalis ponderis eo situ ut bina quaeque internodia ut BC, ED producta sese invicem intersecent in pendula gravitatis diametro intermedia CD, dico hunc situm esse, quo pendere possunt, et debent. Si enim punctum D firmetur apparet quidem virgulas AB, BC, CD dato situ mansuras: porro autem si firmetur punctum E omisso D, dico punctum D tamen è loco non recessurum, ideoque virgulas AB, BC, CD, DE dato situ mansuras; si enim firmato puncto E punctum D mutare locum dicatur, (quia ergo per 4tam suppositionem possibile est punctum E eo loci teneri ut punctum D locum non mutet) sit hoc in E. Dicatur itaque oportet hoc situ punctum D locum non mutaturum; Ergo neque si praeterea firmetur punctum B; Sed quoniam ED producta conveniebat in pendula gravitatis diametro cum producta BC, ED producta non illic concurret; Ergo neque firmatis punctis B et E virgulae hunc situm habere possunt, f) ergo neque punctum D. Quia itaque videmus punctum E extra datum locum teneri non posse, ut punctum D suum non mutet, necessario sequitur ex dicta 4ta suppositione datum locum eum esse. Quod erat demonstrandum. Eadem ratione de caeteris punctis F et G demonstrabitur. Propositio 8. Sit suspensa catena HGABCDK constans virgulis aequalis longitudinis, ponderis et figurae; dico puncta juncturarum GABCDK non posse coincidere in eandem lineam parabolicam. Ex propositione 6 apparet quomodo hae virgulae pendere debeant nempe ut H sit in media BC, P in media CD etc. Sit itaque nunc descripta parabola RABCF per tria puncta ABC transiens, dico non transire hanc per punctum D et reliqua: producatur enim ECD donec sit FC ad CE ut AB ad BE, ergo ducaturque AF, haec ergo et parallela erit BC et similiter à linea EL in L bifariam secabitur, ideoque erit punctum F in eadem parabolâ cum punctis ABC, nam EL est diameter parabolae B, et non punctum D. alias enim linea ECDF deberet parabolicam in tribus punctis secare quod est absurdum,

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vel punctum D coincidere cum puncto F quod impossibile est, nam FC major est AB sive DC, quia CE major est BE. Quia itaque parabola descripta per puncta ABC, non transit per punctum D; etiam ea quae per puncta GBD describitur, non transit per puncta A et C sed ea excludit. Demonstrabo autem neque eam per puncta H et K transire; descripta enim sit alia parabola GARCDS, quae transeat per puncta G, A, C, D, quae ideo secabit priorem parabolam in G et D; si itaque parabola GARCDS demonstrata fuerit non transire per puncta H et K, multo minus per ea transibit altera GBDN. At hoc sic demonstratur; Prolongatur EB usque dum occurrat parabolae GARCDS in Q, quia itaque puncta D, C et Q sunt in parabola GARCDS et linea CD in P à diametro parabolae EP bifariam dividitur, oporteret si punctum K in eadem esse dicatur, ut EC esset ad CQ sicut ED ad DK, hoc vero fieri nequit, cum etiamsi CQ non esset longior DK, tamen DE longior sit CE: cum itaque punctum K non possit esse in parabola GARCDS, multo minus erit in parabola GBD, quod erat demonstrandum. Hac ratione iterum demonstrari potest parabolam quae per puncta HBK descripta est non transire per extremitates sequentium virgularum: et sic in infinitum. Propositio 9. Unde itaque manifestum sit, si sit suspensa catena composita ex virgulis ejusdem longitudinis et gravitatis, parabolam quae describitur per extremum ejus A, et duo alia ejus puncta B et C, per nulla alia ejus puncta transire, sed excludere ea omnia quae infra dicta puncta B et C sunt, includere vero ea quae ijs superiora sunt. Nulla ergo catena pendet secundum lineam parabolicam. Propositio 10. Sed ne quis putet quod si ex virgulis valde minutis esset composita, nulla notabilis differentia futura foret inter lineam secundum quam penderet et lineam parabolicam, consideretur catena ABCDEFGHI, composita ex infinitis numero virgulis;

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Et dico nullam notabilem differentiam esse inter lineam secundum quam pendet, et eam secundum quam penderet si esset composita ex virgulis aequalibus AB, BC, CD etc. Ponatur enim inflexibilis fieri catena composita ex virgulis infinitis, praeterquam in punctis A, B, C, D etc. g) habebimusque catenam quae constat ex virgulis incurvatis aliquantum, quae quum sibi invicem tum pondere tum figura quam proxime aequales sint, eodem penè modo pendere debebunt ac virgulae rectae AB, BC etc. ergo et antea catena sic pendebat. quod erat demonstrandum. Lemma. 2) Si duas parallelas lineas BD, AE parabolas utrinque occurrentes diameter parabolae CH in eandem proportionem dividat, utramque bifariam secabit. Si enim dicantur non bifariam sectae in I et H secentur ab alia diametro FG bifariam in K et G. quoniam igitur BK est ad AG ut BD ad AE et etiam BI est ad AH ut BD ad AE, erit BI ad AH ut BK ad AG. et ablatis hinc AG inde BK, remanet KI ad GH ut BK ad AG, quod est absurdum cum KI, GH sint aequales: BK, AG inaequales. Propositio 11. Sit ABCDEFG parabola cujus diameter PD perpendicularis ad horizontem HM sit linea eam in vertice D contingens, quae utrimque ex D in quotlibet aequales partes sit divisa in KLM etc. Hincque perpendiculares erigantur CI, KE, LF, MG, et per puncta ubi parabolae occurrunt B, C, E, F, G, filum tendatur, et filo huic in ijsdem punctis aequalia pondera HIRKLM appendantur; dico, si haec catena in punctis A et G ligetur, ex ijsque libere pendeat, omnia puncta B, C, D, E, F eundem locum retentura quem ante habebant. Producantur namque CD, FE usque ad intersectionem in Q; DE, GF usque ad intersectionem in S. Cum igitur per praemissum lemma Q sit in pendula gravitatis diametro ponderum D et E, S in pendula gravitatis diametro ponderum E et F, sequitur per propositionem 7, non alio quam hoc situ pendere posse. Primo sciendum est KE esse 1, LF 4, MG 9 et sic deinceps. 2) Dans la minute ce Lemma est rayé.

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Propositio 12. Sint appensa filo IGCFH, aequalia pondera, et interstitia AB, BC, CD, DE sint aequalia, dico puncta IGCFH in eadem esse parabola. Cum enim pendere dicantur, sequitur ex propositione 5, productas GC, HF invicem intersecare in L, in pendula gravitatis diametro ponderum pendentium ex C et F. cum igitur LM secet CF bifariam in M, secabit quoque producta bifariam lineam GH, cum spatia BR, RE sint aequalia; et quia GLH est triangulum et in eo lineae GH, CF ex angulo L in eandem proportionem sectae, necessario quoque sunt parallelae, atque adeo puncta G, C, F, H, in eadem parabola cujus diameter KL. Sic quoque demonstratur punctum I in eadem parabola esse cum punctis GCF ergo omnia in eadem parabola, quod erat demonstrandum. Manifestum. 'Phaneron'. Hinc manifestum est si filo ABC etc imponantur trabeculae seu parallelepipeda aequalis ponderis, magnitudinis et figurae, puncta ABC etc in quibus filum premunt, omnia futura esse in eadem parabola, si nempe eo ordine disposita sint ut D et E, C et F, B et G aequali sint altitudine infra vero unica gravitas R appendatur. Cum autem quo minor est latitudo parallelepipedorum eo minoris sit momenti, duplicatio ponderis parallelepipedi infimi; constat inde si infinita sit eorum multitudo, eam ne quidem in considerationem venire. Hinc porro manifestum fit quaenam pressio requiratur supra filum seu lineam mathematicam flexibilem, ut parabolae circumferentiam flectatur, ea scilicet quae secundum latitudinem aequabiliter premit; Sic si sit filum ACB quod teneatur in A et B linea autem quae puncta haec jungit divisa sit in quotlibet partes aequales ut AE, ED, DF etc. fiat autem pressio aequalis in filum dictum, per unumquodque spatiorum AE, ED, DF etc. hanc voco pressionem aequabilem secundum latitudinem. Talem vero ventus efficit, et aqua fluens, adeo ut si velum ABC quod ubique aequalis sit latitudinis suo impetu tendant, illud figuram parabolicam sit relaturum.

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Talis item est quam aqua efficeret si tanta altitudine velo ABC superstaret ut altitudo CP in considerationem non veniret, quia videlicet exterior ejus superficies semper plana est. Denique talis est quâ aqua premit retia piscatorum vel simile quid, quae in eâ vi protrahuntur. Unde et haec videmus parabolam referre.*)
a) muta [Chr. Huygens.] b) demande 3. [Chr. Huygens.] c) Prop. 2. [Chr. Huygens.] d) muta [Chr. Huygens.] |  | e) Prop. 4 [Chr. Huygens.] f) Per Prop. 2 [Chr. Huygens.] g) Hoc enim non mutabit ejus figuram. [Chr. Huygens.]
[ *) Autre exemple: des cylindres minces pendus à une corde, cf. t. XI, 44 (figure).] No 22. #### Christiaan Huygens à [M. Mersenne]. [ 1646 ]. Pour compléter les Nos. 20 et 21. *) Le manuscrit se trouve à Leiden, coll. Huygens. Axiomata. 1. Omnes chordae ex quibus gravitas libere pendet supponuntur parallelae inter se; et eadem ratione pondera non ad centrum sed ad planum descendere conari. 2. Duae vel plures gravitates, ut A et B, alligatae chordae CABD, quae tenetur in punctis C et D, non possunt nisi unico situ quiescere: idque tali ut centrum gravitatis earum, quod hic est E, quantum potest descendat et plano terrae admoveatur. 3. Si ex chorda aliqua ADF pendeant gravitates quotlibet BCDE in situ a natura requesito, et unum duo quaelibet puncta ut B, E, in eo quo sunt situ retineantur, caeterorum ut C, D, situs ideo non mutabitur. *) Voir la note 1 du No. 20 [et T. XI, p. 37, n. 2]. Les Propositions 1 - 4 ont pu être reconstruites à l'aide de quelques autres papiers de Chr. Huygens, qui se trouvaient parmi ses adversaria; on y a laissé la nomenclature qu'ils avaient, c'est-à-dire Axiomata 1 - 5, Lemmata 1, 2, Propositiones 1 - 3, dont la troisième coïncide avec la cinquième de notre lettre [No. 21]. Les Axiomata 1 - 4 remplacent les suppositions 1 - 4 du No. 20.

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4. Si quotlibet gravitates B, C, D, sint annexae chordae A, B, C, D, E, et retento puncto D, gravitates B et C pendeant in situ naturali; potest extremitas E ita disponi, ut punctum D derelictum eodem tamen loco maneat, et per consequens etiam reliquae gravitates B et C. 5. Pars finita circumferentiae circuli infinitae magnitudinis aequipollet rectae lineae. exemplum addendum. Lemma 1. Sit angulus SAR, intra quem moveatur regula NDC, sitque ejus medium D. dico punctum D hoc motu partem ellipseos SDB describere. Sit HR aequalis NC et perpendicularis in SHS ex medio ejus B per A ducatur BAL, sumtisque SA utrinque aequali ND, describatur circa diametros conjugatas SAS, LAB ellipsis. demonstrandum est punctum D esse in hac ellipsi. ducatur ex D ordinatim applicata DF ad diametrum LB. ducaturque praeterea ex C termino regulae CO perpendicularis in NHS quae necessario per F transibit, quum linea CO in duas aequales secetur tam a DF, quam ab AB, ab hac quia RB et BH aequales sunt, ab illa quia ND, DC itidem sunt aequales et DF parallela NO. Demonstratio 1) quadratum BA est ad rectangulum BFL sive differentiam quadratorum BA, AF, ut quadratum BH ad differentiam quadratorum BH, FO, vel ut quadratum EF ad quadratum EO; (quia FE aequalis est BH et per hoc quadratum EO aequale differentiae quadratorum BH, FO). atqui cum aequales sint EO et DF, est quadratum EF ad quadratum EO ut idem quadratum EF ad quadratum DF, ergo et quadratum AB ad rectangulum BFL ut quadratum EF seu AS ad quadratum DF et permutatim quadratum AB ad quadratum AS ut rectangulum BFL ad quadratum DF, et consequenter per pr. 21. 1 l. Con. Ap. 2) punctum D in ellipsi. Lemma 2. Sit angulus SAQ, intra quem motu regulae TDQ punctum D quod in medio regulae est descripserit ellipsin SNDRS, in Ellipsi hac punctum sumatur quodcunque D, transeatque per illud regula TDQ. et ubi lateribus anguli SAQ utrinque occurrit ducantur inde in eadem latera perpendiculares QF, et TF, et ex puncto intersectionis earum F ducatur recta FD, ad punctum D sumptum in ellipsi; 1) Pour comprendre cette démonstration, on doit distinguer le point A, le centre de l'ellipse, de E, à demi-distance entre N et O, de sorte que EF est parallèle à NC. 2) C'est-à-dire: Proposition 21 du Livre I des Coniques d'Apollonius.

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Dico hanc FD ellipsi occurrere ad angulos rectos, sive erectam super DF perpendicularem DL, contingere ellipsin in puncto D. Preparatio. Ducatur AF eâque diametro describatur circulus ABQFG, qui, quia anguli ATF, AQF recti sunt transibit per puncta T et Q. Porro dividatur angulus SAQ bifariam recta AG et in eam perpendicularis statuatur AR quae axis erit ellipseos, et ubi AG circumferentiae circuli occurrit, inde ducatur per D recta GDB, quae (quum anguli TAG, GAQ, et per hoc partes circumferentiae quibus insistunt TG, GQ sint aequales ut et lineae TD, DQ) secabit lineam TDQ ad angulos rectos, ideoque transibit etiam per centrum circuli O, occurretque praeterea circumferentiae circuli in B ubi eadem à recta AR secatur, quia angulus GAB rectus est. Ducatur etiam ex B, BF perpendicularis in AR (quae necessario incidet in punctum F, quia angulus ABF rectus est et AF diameter) et ei parallela DK, cadatque super AG perpendicularis DC. (AB ad AM AF ad AL). Denique ex N ubi AG ellipsin intersecat ducatur tangens SY, et similiter ex vertice ellipseos R ducatur tangens ZX. et postremo jungantur TB, BQ, TG, GQ. Demonstratio. AK est ad KB ut GC ad KD: KB ad KH ut FP sive GC ad KD. ergo AK ad KB ut KB ad KH. ergo AK ad KH ut AK ad KB, vel ut GD ad DB, vel ut AR ad AN, ergo LD tangit ellipsin, per lemma praecedens 3). AR est aequalis GD quia triangulum XAZ simile et aequale o TGQ. Item AN DB quia SAY simile et aequale o TBQ. nam SY TQ et SAY TBQ. Lemma. Sit ellipsis ACB, diameter AB, centrum F, et in circumferentia ejus punctum C. et ordinatim applicata CD, et quam proportionem habet latus transversum ellipseos ad latus rectum eam habeat FD ad DE. et in CE sit perpendicularis CG, quae conveniat cum producta AB in G, dico hanc in C contingere ellipsin. 3) Il veut dire: Sequens.

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Preparatio. diametro AB centro F describatur semicirculus AKB, et producatur DC usque ad ejus circumferentiam in K, ducaturque FK et in eam perpendicularis statuatur KG. jungaturque KB. Demonstratio. Rectangulum ADB sive quadratum DK est ad quadratum DC ut latus transversum figurae ad latus rectum, per 21. 1. Con. Apoll. sed et FD est ad ED in eâdem ratione ex constructione, ergo quadratum KD ad quadratum CD ut FD ad ED et permutando FD ad quadratum DK ut ED ad quadratum DC. ergo DG quae fit ex applicatione FD ad quadratum KD aequatur eidem DG quae fit ex applicatione lineae ED ad quadratum DC. unde apparet tangentes circuli et ellipseos CG, et KG coincidere in prolongata diametro AB in eodem puncto G. Jam porro rectangulum GDF aequatur quadrato DK. additoque utrinque quadrato DF aequatur rectangulum GFD quadrato FK sive FB, unde sequitur per 37. 1. Con. Apoll. lineam GC ellipsin in C contingere. quod erat demonstrandum.

Propositio 1. Quia prolongatio partium funis EA, DB non mutat situm ponderum, imaginemur eas quantumlibet magnae imo infinitae esse longitudinis ita ut partes circumferentiae circulorum descriptorum radijs EA et DB centris E, [D] 4) represententur nobis per rectas KBO, KAN quae ideo ad EA et DB sint ad angulos rectos. et cum pars funis AB semper extensa maneat, oberretque semper extremitatibus suis lineas KBO, KAN, apparet manifesto per lemm....5) punctum F quod in medio ejus est si moveatur non nisi ellipsin describere posse;

quumque CB ad KO faciat angulos rectos ut et CA ad KN et ab intersectione earum ducta sit CF ad ellipsin, mediamque AB, patet ex lemm....5) FO quae perpendicularis est ad CF, contingere ellipsin in F. ideoque punctum F in medio funis AB etiamsi moveatur non posse amplius descendere. ergo neque antea quum funes EA, DB breviores essent amplius descendere potuit. 4) Le papier était déchiré à cet endroit. 5) Chr. Huygens indique ce Lemma par .... Ce sont les Lemmata 1 et 2, de page 41.

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Manifestum. Hinc sequitur duo dicta pondera non posse pendere alio situ quam ut productae EA, DB invicem intersecent in pendula gravitatis diametro; nam quum demonstratum sit situm hunc eorum naturalem esse cum sic pendent, et tantum uno situ possint pendere, sequitur necessario eum hunc esse. Propositio 2. Sint AB, BC, CD virgulae ponderantes similes invicem et aequales, atque ita junctae in B et C ut ibidem libere flecti et circa paxillos A et D circumagi possint. dico eas ita pendere debere ut extremae productae intersecent se invicem in pendula gravitatis diametro ejus quae media est. Sint I, F, K centra gravitatis virgularum. Quia enim per praecedentem dicto situ punctum F quantum potest descendit per propositionem antecedentem adeoque si moveatur ascendit, sequitur si punctum B locum mutet veniatque ad H, punctum F ascensurum, sed cum hinc etiam necessario sequatur punctum B minus descendere cum ad H pervenit quam punctum C ascensurum sit sive I minus descendere quam K ascendat, manifestum est etiam centrum gravitatis quod est inter duas virgulas AB, DC ascensurum; igitur omnium virgularum centrum gravitatis ultro ascenderet quod est absurdum. Propositio 3. Si quotlibet aequalia pondera ex punctis B, C, D, E funi appensa sint, dico quaelibet duo internodia, uno intermedio relicto, producta concurrere in pendula gravitatis diametro duorum ponderum intermediorum quae pendent ex C et D. Dicatur enim producta internodia BC, ED non concurrere in pendula gravitatis diametro ponderum ex C et D pendentium, et firmentur puncta B et E eo quo sunt loco. Igitur quia secundum 3m axioma punctorum C et D situs eo non mutatur, sequeretur ne tunc quidem cum puncta B et E retinentur, BC et ED productas sibi invicem occurrere in pendula gravitatis diametro ponderum ex C et D pendentium quod est contra propositionem primam.

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No 23. #### M. Mersenne à [Christiaan Huygens]. 8 decembre 1646. La lettre se trouve à Leiden, coll. Huygens. Monsieur. j'eusse plustost satisfait à vostre desir pour ce qui concerne le centre de percussion 1), ou d'agitation des corps suspendus qui ont leurs vibrations libres comme le plomb pendu à un filet suspendu lequel j'appelle funependule, pour fuyre les circonlocutions, mais parcequ'il y a tant de differentes figures dans les corps qui font tousjours de nouvelles difficultez, je ne voy pas qu'une seule regle y puisse satisfaire, si ce n'est celle que Mr. des Cartes*), le plus excellent esprit du monde à mon advis, a donné, la quelle je vous repeterois icy, si je ne croiois qu'ayant cette source inepuisable à commandement, puisque je scay qu'il est vostre amy intime, ce seroit vous faire tort comme à luy aussi, de vous envoyer d'icy ce que vous avez bien plus proche & de vous faire boire d'un ruisseau, quand vous avez la source chez vous. Je vous diray seulement que pour la pratique, si tost que je veux trouver le centre d'agitation d'un corps donné, par exemple d'une sphere, demisphere, cylindre, cone, secteur de cercle, triangle, etc. lesquels je suppose matérielles comme de plomb, de bois, etc. je prens une funependule que je peux alonger ou accourcir en un moment que je veux par le moyen d'un noeud coulant et si tost que j'ay trouve la longueur de ce filet, en sorte que ses vibrations se font en mesme temps que celles du corps suspendu, par exemple d'un triangle, je conclus que ce triangle a son centre de percussion ou d'agitation, au lieu où ce funependule descend sur ce triangle. Un exemple vous fera comprendre tout cecy, mieux q'un discours plus long. Soit donc le triangle ABC, pendu a quelque clou par un trou qui luy donne la liberté de se balancer hinc inde, si le funependule dont chasque tour ou vibration est egal a chaque vibration de ce triangle, estant apliqué sur l'axe BD prolongé à l'infini vers E, monstre le centre de percussion, s'il descend de B en D, le centre d'agitation est au point D dans le triangle, si au point E, il est en E hors le triangle, et ainsi des autres corps. Et de cela j'en attends vostre jugement, pour la demonstration si vous pouvez la trouver. A quoy Mr. Scoten 2), lequel je salüe, vous pourra ayder avec son heureuse Analyse, oubien Mr. Pell°) tresexcellent Analyste. Et pour ce sujet je m'en vais vous descouvrir tous les biais, suivant lesquels il faut considerer ces corps balancez, affin que vostre demonstration, ou maniere 1) Voir la lettre No. 14 [p. 28]. [>] [ *) Correspondance du P. Marin Mersenne XIV, 669: Descartes (lettres), Beeckman (Journal III, 183), Mersenne Cogitata, 'Ballistica', 38-44, Tomus III, 152-159. ... (Ibid. XIV, 673: ami intime? expression un peu forcée.)] 2) C'est le professeur Frans van Schooten, le fils. [ °) Ibid. XIV, 671: Chr. Huygens écrira plus tard [>] "... je n'avois point eu M. Pel pour maistre, sinon que j'entendis deux ou trois de ses leçons publiques a Breda...".]

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de trouver lesdictes centres sans l'ayde de mes funependules soit universelle, ou qu'elle ayt du moins des cas differents. soit dans le triangle ABC. par exemple de 160 degrez 3) à l'angle A; et soit isoscele, affin de fuir l'irregularité. Ce triangle se peut mouvoir en 2 façons, où en s'approchant de l'axe DE, auquel il est suspendu en A, en sorte que la corne ou l'angle C aille et monte vers E, et puis de B vers D, en se balancant. oubien se balancant autour dun aissieu DE, comme si vous imaginiez que BC tornast autour de DE, en sorte que BC ne s'approchast point de DE, mais luy fust tousjours parallele. Au premier site le mouvement ou les vibrations de ce triangle sont beaucoup plus lentes qu'au 2d site. Car au 1r site le funependule sera plus que quadruple de l'axe AF, est a dire qu'il viendra par exemple en G, qui sera le poinct ou centre d'agitation de ce triangle: et au 2d site, le triangle fera ses vibrations si viste, que le funependule sera plus court que AF.

Comme vous pouvez aysement experimenter avec dit triangle de carton, ou de bois, qui vous feront tourner le tout au doigt, comme l'on dit ordinairement. Or outre ces 2 considerations, le triangle peut aussi estre suspendu par d'autres lieux, par exemple par la base en cette façon, en A, ou bien par l'une des cornes ascavoir par B ou par C; ce qui donne des nouvelles considerations ausquelles vous penserez. Et si quelque regle se peut trouver a) aussi universelle pour le desterminer geometriquement comme est mon filet pour le trouver par experiment vous m'en ferez part, J'attends cependant ce que vous m'avez fait esperer de la chorde ou chaisne, qui pressee fait la parabole. 4) J'ay bien peur que mon griffonnement [>] soit si mauvais, que vous ne puissiez le lire, Mr. Scoten vous aydera; si vous estiez aussi bien à la Haye qu'à Leyden Monsieur vostre pere vous osteroit de cette peine. Nous sommes icy a dautres speculations, ascavoir de donner telle distance qu'on voudra entre des nombres donnez, dans laquelle distance ou difference il ne se rencontre aucun nombre premier: par exemple donner 100000000000 nombres qui se 3) Dans la figure l'angle BAC est bien de 160°: mais par mégarde Mersenne y a inscrit "60 degrez". 4) Voir la lettre No. 14 [p. 28; No. 21, p. 39].

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suivent immediatement, dont nul ne soit premier [>]. C'est une chose effroyable que cette speculation de nombres tant pour la difficulté que pour l'immensité. Et je croy que dieu est si immense que si nous envisagions un seul rayon de son immensité, nous mourions tout soudain ou d'effroy, ou d'admiration et desperation. Excusez s'il vous plaist ma longueur et me croyez tousjours tant pour l'affection que je porte a Monsieur vostre pere, que pour vos vertus que j'admire
Ce 8 Decembre 1646. | Vostre tres humble serviteur Mersenne M.
Je vous souhaitte le nouvel an favorable. a) J'ay trouvé cette regle en 1664 [Chr. Huygens.] [Cf. V, 120, XVIII, p. 53.] [ No. 23a (Const. H. à M.) ] [ No. 23b (Chr. H. à M.) ] 1647

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