Home | Chr. Huygens | Oeuvres XVIII | < Horologium oscillatorium >

Hypothesen, valbeweging , hellend vlak , cycloïde , daaltijd op cycloïde

[ 125 ] | (p. 21)

## H E T S L I N G E R - U U R W E R K ### T W E E D E D E E L. Over het dalen van wat Zwaarte heeft & de beweging ervan op een Cycloïde. Hypothesen. I. ALs zwaarte niet zou bestaan, en lucht niet de beweging van voorwerpen zou hinderen, zou elk daarvan een eenmaal verkregen beweging voortzetten met gelijkblijvende snelheid volgens een rechte lijn. II. Nu echter is het zo door de werking van zwaarte, waarvandaan die ook komt, dat ze bewegen met een beweging die samengesteld is uit een eenparige beweging die ze hebben in een of andere richting, en uit een beweging omlaag die van de zwaarte afkomstig is. III.
[Fig. 23.]
En hiervan kan elke afzonderlijk beschouwd worden, en de ene wordt niet belemmerd door de andere 1). Laat gesteld worden dat een voorwerp C, met zwaarte, losgelaten vanuit rust in een zekere tijd, die F wordt genoemd, door de zwaartekracht een afstand CB aflegt. En ook stellen we ons voor dat hetzelfde voorwerp opnieuw ergens vandaan een beweging heeft gekregen waardoor het, als er geen zwaarte was, in dezelfde tijd F met een eenparige beweging de rechte lijn CD zou afleggen. Met de erbij komende zwaartekracht zal het voorwerp dus niet uit C in D aankomen, in de genoemde tijd F, maar tot een punt E, recht onder D gelegen, zo dat de afstand DE altijd gelijk is aan afstand CB, namelijk zo, dat de eenparige beweging en die welke ontstaat door zwaarte hun rol spelen zonder dat de ene de andere belemmert. En welke lijn het is die het voorwerp bij deze samengestelde beweging doorloopt, wanneer de eenparige beweging niet recht omhoog of omlaag maar schuin gericht is, zal op grond van het volgende kunnen worden bepaald. Maar wanneer de eenparige beweging CD op de loodlijn omlaag verloopt, blijkt dat de lijn CD, als de beweging door de zwaarte erbij komt, wordt vermeerderd 1) Zie noot 1 van p. 126 van T. XVII, waar is opgemerkt dat in de drie Hypothesen van deel 2 het 'relativiteitsprincipe' (om deze moderne uitdrukking te gebruiken) niet zo expliciet is genoemd als in de overeenkomstige beschouwingen van 1659.

[ 127 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN. {p. 22}

met de rechte DE. Evenzo dat, wanneer de eenparige beweging CD omhoog is gericht, die CD wordt verminderd met de rechte DE, zodat namelijk het voorwerp na het verlopen van de tijd F steeds in het punt E wordt aangetroffen. Maar als we in elk van beide gevallen de twee bewegingen afzonderlijk kunnen beschouwen, zoals gezegd, en ons voorstellen dat de ene op generlei wijze wordt belemmerd door de andere, dan zal het mogelijk zijn hieruit voor de versnelling van vallende voorwerpen een oorzaak en wetten te vinden. En wel ten eerste zullen we de volgende twee zaken tegelijk laten zien. Propositie I. 1) VOor een vallend voorwerp groeit de snelheid in gelijke tijden met gelijke delen aan, en de afstanden in gelijke tijden afgelegd vanaf het begin van de daling nemen voortdurend toe met een gelijke overschrijding.
[Fig. 24.]
Laat gesteld worden dat een voorwerp, vanuit rust in A, in de eerste tijd is gevallen over de afstand AB, en als het in B is aangekomen een snelheid heeft gekregen waarmee het daarna, in de tweede tijd, met een eenparige beweging een afstand BD zou kunnen doorlopen. We weten dan dat de afstand die in de tweede tijd afgelegd moet worden groter zal zijn dan afstand BD, omdat zelfs als alle werking van de zwaarte in B zou ophouden de afstand BD zou worden doorlopen. Het beweegt echter met een beweging die is samengesteld uit de eenparige beweging waarmee het afstand BD zou doorlopen, en uit de beweging van voorwerpen, waardoor het moet dalen over een afstand gelijk aan die AB. En daarom, als aan BD wordt toegevoegd DE, gelijk aan AB, weten we dat het voorwerp in de tweede tijd tot E zal komen. {p. 23} Maar als we vragen welke snelheid het heeft in E, aan het eind van de tweede tijd, zullen we vinden dat deze het dubbele moet zijn van de snelheid die het in B had aan het eind van de eerste tijd. We hebben immers gezegd dat het beweegt met een samengestelde beweging, de eenparige beweging met de in B verkregen snelheid, en de beweging voortgebracht door de zwaarte; en daar deze laatste in de tweede tijd volkomen hetzelfde is als in de eerste, daarom moet ze in het verloop van de tweede tijd aan het voorwerp een snelheid hebben toegedeeld gelijk aan die aan het eind van de eerste. En daarom, aangezien het de aan het eind van de eerste tijd verkregen snelheid geheel heeft behouden, blijkt er aan het eind van de tweede tijd tweemaal die snelheid te zijn, die het had gekregen aan het eind van de eerste tijd, oftewel het dubbele. En als het dan, nadat het in E is aangekomen, daarna slechts eenparig zou blijven bewegen met een snelheid, zo groot als het daar heeft gekregen, blijkt dat het in de derde tijd (gelijk aan de vorige) de afstand EF zal doorlopen, die het dubbele zal zijn van de afstand BD; omdat deze zoals we zeiden wordt doorlopen met de helft van die snelheid, met eenparige beweging, en in een gelijk tijdsdeel. Maar nu er weer bijkomt 1) Vergelijk § 1 op p. 125 van T. XVII. Fig. 24 komt overeen met Fig. 31 van p. 127 (zie ook noot 3) van T. XVII.

[ 129 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

de werking van de zwaarte, zal het in de derde tijd behalve afstand EF ook de afstand FG doorlopen, gelijk aan die AB of DE. Dus aan het eind van de derde tijd zal het voorwerp aangetroffen worden in G. En hier zal het een snelheid hebben die al driemaal zo groot is als die welke het in B had, aan het eind van de eerste tijd: omdat behalve de in E verkregen snelheid, die naar we zeiden het dubbele is van de in B verkregene, de kracht van de zwaarte in het verloop van de derde tijd een snelheid heeft bijgedragen, weer gelijk aan die van het eind van de eerste. En daarom zullen beide snelheden samen aan het eind van de derde tijd het drievoudige vormen van de snelheid die er was aan het eind van de eerste tijd. Op dezelfde wijze is aan te tonen dat in de vierde tijd zowel de afstand GH moet worden afgelegd, driemaal de afstand BD, als de afstand HK, gelijk aan AB; en dat de snelheid in K aan het eind van de vierde tijd het viervoudige zal zijn van die welke er in B was, aan het eind van de eerste tijd. En zo is duidelijk, bij beschouwing van hoeveel afstanden ook, die achtereenvolgens in gelijke tijden worden afgelegd, dat ze aangroeien met een gelijke overschrijding, die gelijk is aan BD; en tegelijk ook dat de snelheden gedurende gelijke tijden evenveel toenemen. {p. 24} Propositie II. 1) DE afstand die in een zekere tijd wordt afgelegd door een voorwerp, dat vanuit rust een val begint te maken, is de helft van de afstand die het in dezelfde tijd zou afleggen bij een eenparige beweging, met de snelheid die het op het laatste moment van de val heeft verkregen.
[Fig. 24.]
Laat hetzelfde gesteld worden als in de voorgaande propositie, waar namelijk AB de afstand was die in een zekere tijd is afgelegd door een vanuit A vallend voorwerp. En BD de afstand die naar we ons voorstelden in een gelijke tijd zou worden afgelegd met een gelijkblijvende snelheid, zo groot als verkregen was aan het eind van de eerste tijd, oftewel aan het eind van afstand AB. Ik zeg dus dat de afstand BD het dubbele is van AB. Aangezien immers de afstanden die door het vallende voorwerp in de eerste vier gelijke tijden worden doorlopen zijn AB, BE, EG, GH, die onderling een zekere verhouding hebben: als we van hun tijden de dubbele tijden nemen, zodat bijvoorbeeld in plaats van de eerste tijd nu die twee worden genomen waarin de afstanden AB en BE zijn afgelegd; en in plaats van de tweede tijd de twee overige, waarin de afstanden EG en GK zijn afgelegd, moeten nu de afstanden AE en EK, die vanuit rust in gelijke tijden zijn afgelegd, zich onderling verhouden als de afstanden AB en BE, die eveneens vanuit rust in gelijke tijden werden doorlopen. Daar dus geldt: zoals AB is tot BE, zo is AE tot EK; en door omzetting, zoals EB (of DA) tot AB zo is KE tot EA; zal ook gelden, door verdelen: DB is tot BA zoals de overschrijding van KE boven EA is tot EA.*) En daar nu geldt, volgens wat is aangetoond in de voorgaande propositie, dat KE gelijk is aan tweemaal AB en vijfmaal BD; en EA gelijk aan tweemaal AB en eenmaal BD; blijkt de genoemde overschrijding KE boven EA gelijk te zijn aan viermaal BD. Zoals dus DB is tot BA, zo zal 1) Vergelijk het eind van § 1 (p. 128, met noot 1) en § 2 (p. 128-130) van T. XVII. [ *) De moderne notatie is te vinden in Die Pendeluhr (1913), p. 30: AB/BE = AE/EK;   BE = AD;   AD/AB = EK/AE. Verdelen: (AB + BD)/AB = EK/AE;   BD/AB = (EK – AE)/AE. ]

[ 131 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

viermaal DB zijn tot EA; waaruit volgt dat EA het viervoudige is van BA; maar dezelfde EA is zoals we zeiden gelijk aan tweemaal AB en eenmaal BD; dus zal BD gelijk zijn aan het dubbele van AB. Wat te bewijzen was. {p. 25} Propositie III. TWee afstanden, door een vallend voorwerp doorlopen in willekeurige tijden, waarvan elk van beide vanaf het begin van de daling wordt genomen, zijn onderling in kwadratische verhouding van die zelfde tijden, oftewel zoals de kwadraten van de tijden, of ook als de kwadraten van de snelheden aan het eind van elke tijd verkregen. Daar immers in de vorige propositie is aangetoond dat de afstanden AB, BE, EG, GK [Fig. 24], hoeveel er ook geweest zijn, in gelijke tijden door een vallend voorwerp afgelegd, aangroeien met een gelijke overschrijding, welke overschrijding aan BD gelijk is: Blijkt nu, aangezien BD het dubbele is van AB, dat de afstand BE het drievoud van AB zal zijn; EG het vijfvoud van dezelfde AB; GK het zevenvoud; en dat de andere daarna zullen toenemen volgens de rekenkundige reeks van oneven getallen vanaf de eenheid, 1, 3, 5, 7, 9, enz. En daar een willekeurig aantal van deze getallen, elkaar opvolgend, als som maakt het vierkant, waarvan de zijde juist dat aantal genomen getallen is (bijvoorbeeld als de drie eerste worden opgeteld, komt er negen uit, bij vier zestien) volgt hieruit dat de afstanden, door het vallende voorwerp doorlopen, waarvan elk bij het begin van de val begint, met elkaar in kwadratische verhouding zijn van de tijden die de val heeft geduurd, als de tijden wel onderling meetbaar worden genomen.
[Fig. 25.]
Doch het bewijs is ook uit te breiden tot onderling onmeetbare tijden. Laat er namelijk zulke tijden zijn, waarvan de verhouding tot elkaar gelijk is aan die van de lijnen AB en CD [Fig. 25]; en de in deze tijden doorlopen afstanden zijn E en F, elk van beide natuurlijk genomen vanaf het begin van de daling. Ik zeg dat geldt: zoals het kwadraat van AB is tot het kwadraat van CD, zo is afstand E tot F. Als het namelijk wordt ontkend, laat dan ten eerste zo mogelijk afstand E tot F een grotere verhouding hebben dan die van het kwadraat van AB tot het kwadraat van CD, en wel die van het kwadraat van AB tot het kwadraat van CG, waarbij CG kleiner is genomen dan CD, en laat van CD afgenomen worden het deel DH, kleiner dan DG (waarmee CD CG overschrijdt), en zo dat de rest HC onderling meetbaar is met AB; het staat namelijk vast dat dit kan. Dus CH zal groter zijn dan CG. Nu geldt echter: zoals het kwadraat van de tijd AB tot het kwadraat van de tijd CH is, zo is de afstand E, die is afgelegd in tijd AB, tot de afstand afgelegd in tijd CH, volgens wat boven is aangetoond. En groter dan deze afstand is die welke in tijd CD wordt doorlopen, namelijk afstand F. Dus is de verhouding van afstand E tot afstand F kleiner dan AB kwadraat tot CH kwadraat. Doch zoals afstand E tot F is, zo werd AB kwadraat tot CG kwadraat gesteld, dus zal ook de verhouding van AB kwadraat tot CG kwadraat kleiner zijn dan die van AB kwadraat tot CH kwadraat, en daarom CG kwadraat groter dan CH kwadraat; wat absurd is, daar gezegd is dat CH groter is dan CG. Dus heeft afstand E tot F niet een grotere verhouding dan AB kwadraat tot CD kwadraat.

[ 133 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN. {p. 26}

Laat hij nu zo mogelijk een kleinere hebben: laat de verhouding van afstand E tot F dezelfde zijn als van AB kwadraat tot CL kwadraat, met CL groter dan CD genomen, en laat van CL afgenomen worden LK, kleiner dan LD (de overschrijding waarmee CD wordt overtroffen door CL), en zo dat de rest KC onderling meetbaar is met AB. Omdat dus geldt: zoals het kwadraat van tijd AB is tot het kwadraat van tijd CK, zo is afstand E, afgelegd in tijd AB, tot de afstand afgelegd in tijd CK; en omdat kleiner dan deze afstand is de afstand afgelegd in tijd CD, namelijk afstand F; daarom zal de verhouding van afstand E tot F groter zijn dan die van AB kwadraat tot CK kwadraat. Doch zoals afstand E tot F is, zo werd AB kwadraat tot CL kwadraat gesteld. Dus de verhouding van AB kwadraat tot CL kwadraat zal groter zijn dan die van dezelfde AB kwadraat tot CK kwadraat, en daarom zal CL kwadraat kleiner zijn dan CK kw. Wat absurd is, daar CL groter is dan CK. Dus afstand E tot F heeft ook geen kleinere verhouding dan die van AB kwadraat tot CD kwadraat. En daarom is het noodzakelijk dat hij dezelfde heeft. Verder, daar de snelheden verkregen aan het eind van de tijden AB en CD zich met elkaar verhouden als de tijden zelf, blijkt de verhouding van de afstanden E tot F ook dezelfde te zijn als die van de kwadraten van de tijden AB en CD, waarin ze zijn doorlopen. Dus staat het voorgestelde vast. Propositie IV. ALs een voorwerp met de snelheid die het aan het eind van een daling heeft verkregen begint omhoog te gaan, zal gelden dat het in gelijke tijdsdelen over dezelfde afstanden omhoog gaat die het eerst omlaag ging, zodat het tot dezelfde hoogte stijgt vanwaar het was gedaald. Evenzo dat het in gelijke tijdsdelen gelijke gedeelten van zijn snelheid verliest. {p. 27}
[Fig. 24.]
Laat er namelijk zoals in propositie 2 een aantal afstanden zijn, in gelijke tijdsdelen afgelegd door een vanuit rust vallend voorwerp, waarvan de eerste AB is; de tweede is samengesteld uit BD, die met de gelijkblijvende snelheid, over AB verkregen, was te doorlopen, en uit DE, gelijk aan AB; de derde is samengesteld uit EF, tweemaal BD, en uit FG, gelijk aan dezelfde AB; de vierde is samengesteld uit GH, driemaal BD, en uit HK, eveneens gelijk aan AB, en op dezelfde manier verder aangroeiend, als er meer zijn. Ik zeg dat in evenzoveel gelijke tijden dezelfde afstanden KG, GE, EB, BA, elke afzonderlijk in elke tijd afzonderlijk, moeten worden afgelegd door het voorwerp als het omhoog gaat, en beginnend met de snelheid die aan het eind van de daling in K is verkregen. Laat nu kortheidshalve elke snelheid voortaan aangegeven worden met de lengte van de afstand die het voorwerp bij een eenparige beweging zou doorlopen met die snelheid, en in één zo'n tijdsdeel als we bij de daling hebben beschouwd. Dus volgens wat aangetoond is in de genoemde propositie, wanneer het voorwerp in K is aangekomen, heeft het snelheid GH vermeerderd met snelheid BD, dat is snelheid KF, omdat KF gelijk is aan HG en BD; de afzonderlijke delen HK en FG zijn immers gelijk aan AB, en daarom ook beide samen aan BD,

[ 135 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

en dat deze het dubbele is van AB hebben we in propositie 2 aangetoond. Dus bij omkering naar omhoog van de aan het eind van de daling in K verkregen snelheid: als het voorwerp met een eenparige beweging zou gaan, zou het in één tijdsdeel de afstand KF afleggen. Echter, nu de werking van de zwaarte er bijkomt wordt de stijging KF verminderd met de afstand FG, gelijk aan AB, zoals blijkt uit wat gezegd is bij een hypothese die in het begin is aangenomen. Dus in het eerste tijdsdeel zal het voorwerp slechts over KG stijgen, en met deze zelfde afstand was het gedaald in het laatste tijdsdeel. Maar tegelijk is er ook van de snelheid noodzakelijk zoveel afgegaan, als bij het omlaag vallen in een tijdsdeel verkregen wordt, dat is de snelheid BD. Dus als het voorwerp naar G is gestegen heeft het de overblijvende snelheid HG, aangezien het aan het begin van de stijging snelheid HG samen met snelheid BD had. En aan deze HG is gelijk GD; daar HG gelijk is aan FE samen met DB, dat is samen met het dubbele van AB, dat is samen met FG en ED. Derhalve, als het uit G met gelijkblijvende snelheid, zo groot als het daar heeft, zou doorgaan omhoog, zou het in een tijdsdeel de afstand GD afleggen. Doch met de er bijkomende werking van de zwaarte zal deze stijging worden verminderd met de afstand DE, gelijk aan AB. Daarom zal het in dit tweede tijdsdeel stijgen over de afstand GE, die het in een gelijk tijdsdeel ook bij het vallen had doorlopen. En tegelijk moet van de snelheid opnieuw zoveel zijn afgegaan als in één tijdsdeel wordt verkregen, namelijk snelheid BD. Dus als het tot aan E is gestegen, heeft het niet meer dan de snelheid FE, die namelijk overblijft wanneer van snelheid GD wordt afgenomen snelheid BC. Want BD is, zoals we al zeiden, gelijk aan DE met FG. {p. 28} Nu is aan FE gelijk EA, daar FE gelijk is aan BD tweemaal genomen, dat is aan een BD met tweemaal AB, dat is een met AB en DE. Dus als het vanuit E omhoog zou doorgaan met gelijkblijvende snelheid, zo groot als het daar heeft, zou het in een tijdsdeel de afstand EA afleggen. Maar nu de werking van de zwaarte er bijkomt, zal deze stijging worden verminderd met afstand AB. Daarom zal het in dit tijdsdeel slechts stijgen over de afstand EB, die het in een gelijk tijdsdeel ook dalend had doorlopen. En hier moet weer van de snelheid zoveel afgaan als in een tijdsdeel bij het omlaag vallen verkregen wordt, dat is snelheid BD. Dus als het voorwerp tot B is gestegen heeft het die snelheid BD over, daar het in E de snelheid FE had, het dubbele van BD. Als het dus vanuit B met gelijkblijvende snelheid, zo groot als het daar heeft, omhoog zou gaan, zou het in een tijdsdeel een afstand afleggen gelijk aan DB, dat is het dubbele van AB. Maar nu de werking van de zwaarte er bijkomt, wordt deze stijging verminderd met een afstand die gelijk is aan AB. Dus in dit tijdsdeel zal het slechts over de afstand BA stijgen, die het ook in het eerste tijdsdeel van de daling had doorlopen. En juist aan het eind van dit laatste tijdsdeel zal het voorwerp worden aangetroffen in het punt A. Maar misschien zal gezegd worden dat het hoger is gestegen dan tot A, en vandaar ernaar teruggevallen. Maar dit zou absurd zijn, aangezien het met een beweging geleverd door de zwaarte niet hoger kan stijgen dan vanwaar het is gevallen. Verder, daar van de snelheid die het in B had weer de snelheid BD is afgegaan,

[ 137 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

is duidelijk dat het voorwerp als het zich in A bevindt geen snelheid over heeft, en daarom ook dat het niet hoger zal komen. Dus is aangetoond dat het dezelfde hoogte heeft bereikt vanwaar het gevallen is, en dat het dezelfde afzonderlijke afstanden die het in gelijke tijden van daling had doorlopen, weer terug heeft afgelegd in evenveel tijden van stijging; maar ook is gebleken dat er in gelijke tijden gelijke gedeelten van de snelheid zijn afgegaan. Dus staat het voorgestelde vast. Omdat evenwel in het bewijs van de tweede propositie, waarvan de voorgaande afhangt, aangenomen is dat er een zekere verhouding is van de afstanden die door een vallend voorwerp in opeenvolgende gelijke tijden worden doorlopen, en dat deze dezelfde is, welke gelijke tijden ook worden genomen — wat weliswaar uit de aard van de zaak noodzakelijk zo moet zijn, en als het wordt ontkend moet worden toegegeven dat de verhouding van deze afstanden tevergeefs wordt gezocht 1) — en omdat het voorgestelde ook zonder deze aanname kan worden bewezen, door de methode van Galilei te volgen, zal het toch de moeite waard zijn het bewijs, dat door hem minder volmaakt is gegeven 2), hier nauwkeuriger op te stellen. We zullen het dus hier opnieuw bewijzen. {p. 29} Propositie V. DE afstand in een zekere tijd afgelegd door een voorwerp dat vanuit rust begint te vallen, is de helft van de afstand waarover het in een gelijke tijd zou gaan bij een eenparige beweging, met de snelheid die het heeft verkregen op het laatste moment van de val. Laat de tijd van de gehele daling zijn AH [Fig. 26], in welke tijd het bewegende voorwerp een of andere afstand zal hebben afgelegd waarvan de grootte wordt aangeduid met het vlak P. En als getrokken is HL loodrecht op AH 3), 1) Vergelijk p. 128 (met noot 1) van T. XVII, al aangehaald in noot 1 van p. 129 hiervoor. 2) Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, Giornata Terza, Th. II, Prop. II met Cor. I (Ed. naz. VIII, p. 209-210) [Engl. (1914), p. 174]; deze propositie van Galilei is ook aangehaald op p. 127 (noot 5) van T. XVII. Vergelijk met fig. 26 de Fig. 34, waarschijnlijk later ingelast, van p. 130 van T. XVII. [En: Beeckman en Descartes, 1618.] 3) Huygens tekent in de marge aan met potlood (de woorden zijn nauwelijks leesbaar): "de afstand aangeduid met vlak P had veeleer achter de ruimte van de rechthoek achter de aangeduide [het gaat blijkbaar om de rechthoek AHL] moeten worden gezet, aangezien HL met een willekeurige lengte wordt getrokken".

[ 139 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

[Fig. 26.]

met een willekeurige lengte, laat deze dan de snelheid weergeven die verkregen is aan het eind van de val. Als daarna de rechthoek AHLM voltooid is, stellen we ons voor dat daarmee wordt kenbaar gemaakt de grootte van de afstand die doorlopen wordt in de tijd AH, met de snelheid HL. Aangetoond moet dus worden dat vlak P de helft is van rechthoek MH, dat is, als de diagonaal AL is getrokken, gelijk aan de driehoek AHL. Als vlak P niet gelijk is aan driehoek AHL, zal het dus of kleiner zijn dan deze, of groter. Laat ten eerste, als het mogelijk is, vlak P kleiner zijn dan driehoek AHL. En AH wordt verdeeld in zoveel gelijke delen AC, CE, EG, enz. dat, als bij driehoek AHL wordt omgeschreven een figuur van rechthoeken waarvan de hoogte steeds gelijk is aan elk van de afzonderlijke delen van AH (zoals de rechthoeken BC, DE en FG), en bij dezelfde driehoek een andere figuur ingeschreven van rechthoeken met dezelfde hoogte (zoals KE, OG enz.), zoveel, zeg ik, dat het overschot van de eerste figuur boven de laatste kleiner is dan het overschot van driehoek AHL boven vlak P. Dat dit gedaan kan worden is namelijk duidelijk, daar het hele overschot van de omgeschreven figuur boven de ingeschrevene gelijk is aan de onderste rechthoek, met als basis HL. Dus zal het overschot van driehoek AHL boven de ingeschreven figuur in elk geval kleiner zijn dan dat boven vlak P, en zo is dus de bij de driehoek ingeschreven figuur groter dan vlak P. {p. 30} En verder, daar de rechte AH de tijd van de gehele daling weergeeft, geven de gelijke delen AC, CE en EG ervan gelijke tijdsdelen van die daling weer. En daar de snelheden van het vallende voorwerp aangroeien in dezelfde verhouding als de daaltijden {Prop. I.}, en de aan het eind van de hele tijd verkregen snelheid HL is, zal die welke aan het eind van het eerste tijdsdeel AC wordt verkregen CK zijn; omdat zoals AH tot AC, zo is HL tot CK. Evenzo zal de snelheid die aan het eind van het tweede tijdsdeel CE wordt verkregen EO zijn, en zo voorts. Duidelijk is nu dat in de eerste tijd AC door het voorwerp een afstand is doorlopen, die groter is dan nul; en in de tweede tijd CE is een afstand doorlopen die groter is dan KE, omdat afstand KE doorlopen zou zijn in tijd CE bij een eenparige beweging met snelheid CK. Immers, de afstanden afgelegd bij eenparige beweging hebben een verhouding samengesteld uit de verhouding van de tijden, en de verhouding van de snelheden; en daarom, aangezien we hebben gesteld dat in tijd AH met gelijkblijvende snelheid HL doorlopen wordt MH, volgt dat in tijd CE met snelheid CK de afstand KE wordt doorlopen, daar de verhouding van rechthoek MH tot rechthoek KE wordt samengesteld uit de verhoudingen AH tot CE, en HL tot EO 1). Aangezien dus zoals ik zei de afstand KE die is welke zou worden doorlopen in tijd CE met gelijkblijvende snelheid CK, en het voorwerp beweegt in tijd CE met een versnelde beweging, die al aan het begin van deze tijd de snelheid CK heeft, is duidelijk dat bij deze versnelde beweging in tijd CE een grotere afstand zal worden afgelegd dan KE. Op dezelfde wijze zal het in de derde tijd EG een grotere afstand afleggen dan OG, omdat deze namelijk in dezelfde tijd EG zou worden afgelegd met gelijkblijvende snelheid EO. En zo voorts zullen in de afzonderlijke delen van de tijd AH door het voorwerp grotere afstanden worden afgelegd dan de rechthoeken van de ingeschreven figuur zijn die tegen die delen 1) Lees: CK (correctie van 's Gravesande).

[ 141 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

[Fig. 26.]

aanliggen. En daarom zal de hele afstand die bij de versnelde beweging wordt afgelegd, groter zijn dan de ingeschreven figuur. Maar die afstand werd gelijk gesteld aan het vlak P. Dus de ingeschreven figuur zal kleiner zijn dan de ruimte P. Wat absurd is; er is immers aangetoond dat ze groter is dan die ruimte. Het vlak P is dus niet kleiner dan de driehoek AHL. Maar aangetoond zal worden dat het ook niet groter is. {p. 31} Laat het namelijk zo zijn, als het mogelijk is; en laat AH in gelijk delen worden verdeeld, en volgens hun hoogte wordt weer bij de driehoek AHL zoals eerder met rechthoeken een figuur ingeschreven en omgeschreven, zo dat de ene de andere overtreft met een kleiner overschot dan waarmee het vlak P driehoek AHL te boven gaat; dan zal de omgeschreven figuur noodzakelijk kleiner zijn dan vlak P. Nu staat vast dat in het eerste tijdsdeel AC door het voorwerp een kleinere afstand wordt doorlopen dan BC is, omdat deze zou worden doorlopen in dezelfde tijd AC met gelijkblijvende snelheid CK, die het voorwerp pas aan het eind van tijd AC heeft verworven. Evenzo zal in het tweede tijdsdeel CE bij de versnelde beweging een kleinere afstand worden doorlopen dan DE is, omdat deze zou worden doorlopen in dezelfde tijd CE met gelijkblijvende snelheid EO, die het voorwerp pas aan het eind van tijd CE bereikt. En zo voorts zullen in de afzonderlijke delen van de tijd AH door het voorwerp kleinere afstanden worden overgestoken dan de rechthoeken van de omgeschreven figuur zijn, die aan die delen liggen. En daarom zal de hele afstand die bij de versnelde beweging wordt afgelegd, kleiner zijn dan de omgeschreven figuur. Maar die afstand werd gelijk gesteld aan het vlak P; dus vlak P zal ook kleiner dan de omgeschreven figuur. Wat absurd is, daar is aangetoond dat deze figuur kleiner is dan dit vlak P. Dus het vlak P is niet groter dan de driehoek AHL, maar er is al aangetoond dat het ook niet kleiner is. Dus is noodzakelijk dat het gelijk is; wat te bewijzen was. En bij dit alles wat tot dusver is bewezen, is wel te weten dat het evenzeer past bij voorwerpen die langs hellende vlakken dalen en stijgen, als bij loodrecht bewegende; aangezien dat wat gesteld is over het effect van de zwaarte, op dezelfde manier in beide gevallen kan worden aangenomen 1). En hieruit zal nu niet moeilijk zijn af te leiden de volgende propositie waarvan Galilei verlangde dat men hem die zou veroorloven als in zekere zin vanzelfsprekend. Want dat bewijs dat hij later trachtte aan te voeren, en dat in de laatste uitgave van zijn werken 2) voorhanden is, lijkt niet zo stevig, althans naar mijn oordeel. En de propositie is als volgt. Propositie VI. DE snelheden van voorwerpen, verkregen bij daling op vlakken met verschillende helling, zijn gelijk, als de opheffingen van de vlakken gelijk zijn. Opheffing van een vlak noemen we de hoogte ervan volgens de loodlijn. 1) Vergelijk in T. XVII noot 3 van p. 131, en noot 7 van p. 284. 2) [Opere, 1656, vol. 2, p. 126.] Als een eerste uitgave van de 'Discorsi' is te beschouwen Les mechaniques de Galilee, 1634 [zie p. 78], van Mersenne (T. XVI, p. 336, n. 5). De Italiaanse uitgave Discorsi, Leiden 1638 [p. 166], bevat ook geen bewijs volgens de regels (zie p. 205 e.v. van T. VIII, 1898, van de Ed. naz.) [Engl. p. 169]. Vergelijk p. 346 van T. XVI en 131-132 (§ 5) van T. XVII.

[ 143 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

[Fig. 27.]

Laat er dus hellende vlakken zijn, waarvan de doorsneden gemaakt zijn met een vlak, opgericht op de horizon, AB en CB, en waarvan de opheffingen AE en CD gelijk zijn; en laat een voorwerp vallen uit A over het vlak AB, en weer uit C over het vlak CB. Ik zeg dat in beide gevallen dezelfde snelheidsgraad in het punt B bereikt zal worden. {p. 32} Als namelijk gezegd wordt dat het langs CB vallend een kleinere snelheid krijgt dan langs AB vallend, laat het dan, over CB vallend, slechts die snelheid hebben die het langs FB zou verkrijgen, gesteld natuurlijk dat FB kleiner is dan AB. Maar dan zal het langs CB vallend die snelheid krijgen waarmee het weer kan stijgen langs de gehele BC {Prop. 4.}. Dus ook langs FB zal het die snelheid krijgen waarmee het langs de hele BC kan stijgen. En daarom, als het vallend vanuit F in B de beweging verder voortzet langs BC — wat kan gebeuren bij terugkaatsing tegen een schuin oppervlak [zie fig.] — zal het tot in C stijgen, dat is hoger dan vanwaar het is gevallen, wat absurd is. Op dezelfde manier is aan te tonen dat het ook als het langs AB neervalt niet een kleinere snelheid krijgt dan langs CB. Dus langs beide vlakken wordt dezelfde snelheid verkregen, wat te bewijzen was. Maar indien nu, in plaats van een van beide vlakken, genomen wordt de loodlijn die gelijk is aan de opheffing van die vlakken, en gesteld wordt dat het voorwerp daarlangs neervalt, staat vast dat ook zo dezelfde snelheid erdoor wordt verkregen als langs de hellende vlakken; want het bewijs is hetzelfde. Verder zal hieruit nu ook rechtstreeks voortkomen een bewijs van een ander theorema van Galilei, waarop al het overige dat hij geeft over het dalen op hellende vlakken wordt gebouwd. Namelijk Propositie VII. DE tijden van daling over vlakken met verschillende helling, maar waarvan de opheffing gelijk is, verhouden zich als de lengten van de vlakken. 1) 1) Vergelijk § 6 op p. 132 van T. XVII.

[ 145 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN. {p. 33}

[Fig. 28.]

Laat de hellende vlakken zijn AC en AD, waarvan de opheffing AB dezelfde is. Ik zeg dat de daaltijd langs vlak AC zich verhoudt tot de daaltijd langs vlak AD als lengte AC tot AD. De tijd langs AC is namelijk gelijk aan de tijd van een eenparige beweging langs dezelfde AC, met de halve snelheid van die, verkregen door de val langs AC {Prop. 2.}. Evenzo is de tijd langs AD gelijk aan de tijd van een eenparige beweging langs AD, met de halve snelheid van die, verkregen door een val langs AD. Nu is deze laatste halve snelheid gelijk aan de eerste halve snelheid {Prop. 6.}, en daarom zal de genoemde tijd van de eenparige beweging langs AC zich verhouden tot de tijd van de eenparige beweging langs AD, als AC tot AD. Dus zullen ook de tijden die gelijk zijn aan deze afzonderlijke tijden, namelijk de daaltijd langs AC tot de daaltijd langs AD, dezelfde verhouding hebben, en wel die van AC tot AD. Wat te bewijzen was. Op dezelfde manier is aan te tonen dat ook de daaltijd langs AC tot de valtijd langs de loodlijn AB is als lengte AC tot AB. Propositie VIII. ALs een voorwerp van eenzelfde hoogte daalt met een beweging, voortgezet langs een willekeurig aantal aangrenzende vlakken, welke dan ook, en hoe ook hellend, zal het altijd aan het eind dezelfde snelheid krijgen, die namelijk gelijk is aan die welke het zou krijgen door van gelijke hoogte loodrecht te vallen. 1)

[Fig. 29.]

Laat de aangrenzende vlakken zijn AB, BC en CD, waarvan het uiteinde A boven de horizontale lijn DF, getrokken door het onderste uiteinde D, een hoogte heeft zo groot als de loodlijn EF. En laat het voorwerp vallen langs die vlakken vanaf A tot in D. Ik zeg dat het in D die snelheid zal hebben die het, vallend uit E, in F zou hebben. {p. 34} Laat namelijk de verlengde CB de rechte AE ontmoeten in G. Evenzo ontmoet de verlengde DC dezelfde AE in E. Aangezien dus iets dat langs AB daalt dezelfde snelheid krijgt in het uiteinde B, als iets dat langs GB daalt {Prop. 6.}, is duidelijk — daar gesteld wordt dat de knik bij B de beweging niets in de weg legt — dat het een even grote snelheid zal hebben als het in C aankomt, als wanneer het langs het vlak GC zou zijn gedaald; dat is, even groot als door een daling langs EC het zou hebben. En daarom zal het ook over de rest van het vlak CD op dezelfde manier gaan als wanneer het langs EC zou zijn aangekomen, en zo zal het dus tenslotte in D een zelfde snelheid hebben, als wanneer het langs het vlak ED zou zijn gedaald, 1) Vergelijk § 7 op p. 133 van T. XVII.

[ 147 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

dat is dezelfde als door een loodrechte val langs EF. Wat te bewijzen was. Hieruit is duidelijk dat ook als het voorwerp daalt langs een cirkelomtrek, of langs een willekeurige kromme lijn (want krommen zijn hier te beschouwen alsof ze uit oneindig veel rechten waren samengesteld) het altijd die zelfde snelheid krijgt als het vanaf een gelijke hoogte is gedaald; en dat deze snelheid even groot is als bij een loodrechte val vanaf dezelfde hoogte verworven zou worden. Propositie IX. ALs een voorwerp na een daling zijn beweging naar omhoog wendt, zal het naar dezelfde hoogte stijgen vanwaar het kwam, langs welke aangrenzende vlakke oppervlakken het ook voortgaat, hoe hellend ze ook zijn. 1)

[Fig. 30.]

Laat het voorwerp vallen vanaf een hoogte AB, en laat er vanuit het punt B de omhoog hellende vlakken BC, CD en DE zijn, waarvan het uiteinde E op dezelfde hoogte ligt als het punt A. Ik zeg: als het voorwerp na de val over AB de beweging wendt, zodat het langs de genoemde hellende vlakken doorgaat met bewegen, zal het komen tot in E. {p. 35} Laat namelijk gezegd worden dat het, als het mogelijk is, slechts tot G zal komen. BC en CD worden verlengd, totdat ze de horizontale GF ontmoeten in F en H. Aangezien het voorwerp dus, na over de vlakken BC en CD te zijn gegaan, slechts die snelheid heeft waarmee het kan stijgen langs DG, of langs DH — want dat bij deze beide dezelfde snelheid nodig is staat vast uit propositie 6 — had het dus, na over vlak BC te zijn gegaan, slechts die snelheid waarmee het had kunnen stijgen langs CH, of langs CF. Dus in B had het slechts die waarmee het had kunnen stijgen langs BF, dat is, dezelfde als het zou krijgen door te dalen langs FB. Nu echter heeft het in B een snelheid waarmee het kan stijgen tot in A. Dus met die snelheid die het voorwerp krijgt door te dalen langs FB, zou het kunnen stijgen langs BA, dat is, hoger dan vanwaar het was weggegaan, wat niet kan gebeuren. En het bewijs is geheel hetzelfde, hoeveel vlakken er ook zijn waarlangs een voorwerp stijgt. Daaruit volgt: ook als er een oneindig aantal vlakken is, dat is, als een of ander gekromd oppervlak wordt gesteld, zal ook hierlangs het voorwerp rijzen tot die hoogte waar het vandaan kwam. 1) Vergelijk § 8 op p. 134 van T. XVII.

[ 149 ] OVER HET DALEN VAN ZWARE DINGEN.

Propositie X.
[Fig. 31.]

ALs een voorwerp loodrecht valt, of langs een willekeurig oppervlak daalt, en dan met de ontvangen vaart weer langs een willekeurig ander oppervlak omhoog beweegt, zal het bij stijgen en dalen in even hoge punten altijd dezelfde snelheid hebben. 1) Zoals wanneer een voorwerp van de hoogte AB neervallend daarna de beweging voortzet langs het oppervlak BCD, waarop punt C met de zelfde hoogte ligt als punt E op AB ligt. Ik zeg dat er in C dezelfde snelheid bij het voorwerp is als er in E was. {p. 36} Aangezien immers in C die snelheid voor het voorwerp overblijft waarmee het verder kan stijgen tot aan het punt D, even hoog als A {Vorige Prop.}; en aangezien het ook door een daling langs AE die snelheid krijgt waarmee het, bij verandering van beweging, zal stijgen langs CD {Vorige Prop.}; blijkt het diezelfde snelheid te hebben wanneer het stijgend bij C aankomt, die het in E had bij daling. Wat te bewijzen was. Propositie XI. ALs een voorwerp langs een of ander oppervlak naar beneden gaat, en dan vervolgens na omkering van de beweging naar boven langs hetzelfde oppervlak gaat, of langs een ander dergelijk oppervlak in een dergelijke stand, zal het in gelijke tijden langs dezelfde afstand dalen en stijgen. 2)

[Fig. 32.]

Bijvoorbeeld als een voorwerp langs het oppervlak AB daalt, en zodra het bij B is gekomen, met verandering van de beweging naar omhoog langs dezelfde AB stijgt, of langs een dergelijk oppervlak BC in een dergelijke stand ten opzichte van een horizontaal vlak, dan staat vast uit wat hiervoor is bewezen, dat het tot dezelfde hoogte zal komen vanwaar het gekomen is. En aangezien het in punten waarvan de hoogte hetzelfde is, voortdurend dezelfde snelheid heeft bij stijgen als bij dalen {Vorige Prop.}, blijkt dat dezelfde lijn in elk van zijn delen tweemaal met dezelfde snelheid wordt doorlopen; waaruit volgt dat ook de tijden van beide bewegingen noodzakelijk gelijk zijn. Wat te bewijzen was. {p. 37} 1) Vergelijk § 9 op p. 135 van T. XVII. 1) Vergelijk § 10 op p. 135 van T. XVII.

[ 151 ]

Propositie XII. 1)

[Fig. 33.]
G Egeven een cirkel ABC, met middellijn AC, waarmee rechte hoeken maakt FG; deze ontmoet buiten de cirkel AF, getrokken uit het eindpunt A van de middellijn, die de cirkelomtrek wel noodzakelijk zal snijden, neem aan in B. Ik zeg dat de boog BD, door de lijnen GF en AF onderschept, kleiner is dan de rechte DF. Verbind namelijk B met C, en trek uit punt B als raaklijn aan de cirkelomtrek de rechte BE, die noodzakelijk de rechte FG ontmoet tussen F en D. Dan is de hoek BAC in de cirkel gelijk aan de hoek EBC {Prop. 32. Lib. 3 Eucl.}, en daarom zal ook de hoek FBE, die samen met EBC de rechte hoek FBC maakt, gelijk zijn aan BCA. Omdat nu de driehoeken ABC en AGF gelijkvormig zijn, zal ook hoek F gelijk zijn aan hoek ACB. Dus dezelfde hoek F is gelijk aan hoek FBE. En daarom is driehoek FEB gelijkbenig, met de gelijke benen FE en EB. Als dus bij beide wordt opgeteld de rechte ED komt er FD, gelijk aan BE met ED. En het staat vast dat deze twee samen groter zijn dan boog BD, door dezelfde twee eindpunten onderschept, en naar dezelfde kant hol. Dus ook FD zal groter zijn dan boog BD; waarmee het voorgestelde vaststaat. Propositie XIII. 1)

[Fig. 34.]
M Et hetzelfde gestelde, als de rechte AB die rechte DG ontmoet binnen de cirkel; dan zeg ik dat de boog BD, door de rechten GD en AB onderschept, groter is dan de rechte DF. {p. 38} Verbind namelijk D met C en trek bij boog DB de koorde DB. Aangezien dus hoek ABD gelijk is aan ACD, dat is, aan hoek ADG; en hoek DFB groter dan hoek ADF, of ADG; zal dezelfde DFB ook groter zijn dan DBF. Dus in driehoek DFB is de zijde DB groter dan de zijde DF; waaruit volgt dat de boog DB dezelfde DF nog veel meer te boven zal gaan. En daarom staat het voorgestelde vast. 1) Vergelijk over Prop. XII, XII en XV noot 13 van p. 121 van T. XVII [en p. 374-375 en 203-204 van T. XIV].

[ 153 ]

Propositie XIV. G Egeven een cycloïde ABC, waarvan de basis AC is, de as BD. Op welke wijze deze nu voortgebracht wordt acht ik voldoende duidelijk uit de definitie en mechanische beschrijving hierboven gegeven 1). En om de as BD wordt een cirkel BGD beschreven, en vanaf een willekeurig op de cycloïde genomen punt E wordt EF getrokken evenwijdig aan de basis AC, die de as BD ontmoet in F, en de omtrek BGD snijdt in G. Ik zeg dat de rechte GE gelijk is aan de boog GB. 2)

[Fig. 35.]

Laat namelijk door het punt E een cirkel LEK worden beschreven, gelijk aan BGD, en die de basis van de cycloïde raakt in K; en de middellijn KL wordt getrokken. Dan is de rechte AK gelijk aan de boog EK; maar de hele AD is gelijk aan de halve omtrek KEL; dus KD is gelijk aan de boog EL of GB. Nu is KD of NF gelijk aan EG, aangezien EN gelijk is aan GF, en beide hebben NG gemeen. Dus staat vast dat ook GE gelijk is aan de boog GB. {p. 39} Propositie XV. G Egeven een punt op een cycloïde, een rechte door dit punt te trekken die aan de cycloïde raakt. 3)

[Fig. 36.]

Laat de cycloïde zijn ABC, en het daarop gegeven punt B, waardoor een raaklijn moet worden getrokken. Om de as AD van de cycloïde wordt de genererende cirkel AED beschreven, en getrokken wordt BE evenwijdig aan de basis van de cycloïde, die de genoemde cirkel ontmoet in E, en getrokken wordt AE, en daaraan evenwijdig wordt tenslotte door B getrokken HBN. Ik zeg dat deze de cycloïde raakt in B. Laat namelijk daarop een willekeurig punt genomen worden, verschillend van B, en wel eerst erboven 1) Zie p. 103-105 hiervoor. 2) Huygens had deze propositie in 1658 gevonden; zie p. 347 van T. XIV. 3) Vergelijk het Theorema van p. 375 van T. XIV. Zie ook noot 1 van p. 151 hiervoor.

[ 155 ]

zoals H, en door H wordt evenwijdig aan de basis van de cycloïde een rechte getrokken, die de cycloïde ontmoet in L, de cirkel AED in K, en de rechte AE in M. Omdat dus KL gelijk is aan de boog KA, en de rechte KM kleiner dan de boog KE, zal de rechte ML kleiner zijn dan de boog AE, dat is, dan de rechte EB, of MH; waaruit blijkt dat punt H buiten de cycloïde ligt. Dan wordt op de rechte HN een punt N genomen, lager dan B, en door N wordt getrokken (zoals boven) een aan de basis evenwijdige, die de cycloïde ontmoet in Q, de cirkel AED in O, het verlengde van de rechte AE in P. Omdat dus OQ gelijk is aan de boog OA, en OP groter dan de boog OE, zal PQ kleiner zijn dan de boog EA, dat is, dan de rechte EB, of PN. Waaruit weer blijkt dat punt N buiten de cycloïde ligt. Daar dus elk willekeurig punt behalve B, genomen op de rechte HBN, buiten de cycloïde ligt, staat vast dat die de cycloïde raakt in punt B. Wat te bewijzen was. Ik heb geaarzeld of ik dit bewijs hier zijn plaats zou gunnen, aangezien ik er een vind dat er niet veel van afwijkt, uitgegeven door de beroemde heer Wren in het boek van Wallis over de Cycloïde 1). Nu kan het voorgestelde ook worden afgehandeld met een algemene constructie, die niet alleen bij de cycloïde past, maar ook bij andere krommen die ontstaan door rollen van een willekeurige figuur, zolang de figuur naar dezelfde kant hol is en behoort tot die welke meetkundige krommen genoemd worden. {p. 40} Gegeven namelijk de kromme NAB [Fig. 37] 2), ontstaan door rollen van een figuur OL [NL] over een lat LD, en wel met als beschrijvend punt N, op de omtrek van figuur OL [NL] genomen. En bij het punt A van de kromme moet een raaklijn worden getrokken.

[Fig. 37.]

Trek de rechte CA vanaf punt C, waar de figuur de lat raakte toen het beschrijvende punt in A was; en dit contactpunt kan altijd worden gevonden, aangezien het probleem erop neerkomt dat er twee onderling evenwijdige rechten zijn te trekken, waarvan de ene gaat door het gegeven beschrijvend punt op de omtrek van de figuur, de andere raakt aan de figuur, en die zover van elkaar verwijderd zijn als het gegeven punt A van de lat LD. Ik zeg dat deze CA onder rechte hoeken de kromme ontmoet, oftewel dat de cirkelomtrek MAF beschreven met middelpunt C en straal CA de kromme raakt in punt A, waaruit volgt dat de loodlijn op AC, getrokken door punt A, daar de kromme raakt. 1) P. 71 ('De rectâ tangente cycloidem primariam') [met fig. 14] van Joh. Wallisii Tractatus Duo. Prior, de cycloide ..., Oxoniae, MDCLIX. [GWLB-ex. met marginalia van Huygens, o.a. op p. 75 (nr. 87) en nr. 94 bij 'Finis': "Haec omnia Wrenniana" — het volgende stuk heeft de vorm van een brief aan Huygens.] 2) Vergelijk noot 2 van p. 389 hierna (Aanhangsel bij deel 2). In het Voorbericht hebben we al gezegd (p. 52) dat Huygens hier een idee ontwikkelt dat hij ontleent aan Descartes en van Schooten.

[ 157 ]

Laat namelijk ten eerste worden getrokken CB naar een punt B van de kromme, dat verder dan punt A van de lat LD verwijderd is, en laat worden aangenomen dat de figuur is geplaatst in BED, toen het beschrijvende punt in B was, het contact met de lat in D. En het punt van de kromme dat in C was toen het beschrijvende punt in A was, is hier nu omhooggebracht naar E. En verbind E met C, en met B, en aan de figuur raakt in E de rechte KH, die de lat ontmoet in H. Omdat dus de rechte CD gelijk is aan de kromme ED, en groter dan deze zijn EH en HD samen, zal EH groter zijn dan CH. Waaruit volgt dat de hoek ECH groter is dan CEH, en daarom ECL kleiner dan CEK. Door nu echter op te tellen hoek KEB, die gelijk is aan LCA, bij KEC, ontstaat hoek CEB; en door af te trekken van ECL de hoek LCB, ontstaat ECB. Dus hoek CEB is in elk geval groter dan dan hoek ECB. Dientengevolge zal in driehoek CEB de zijde CB groter zijn dan EB; maar EB blijkt gelijk te zijn aan CA, aangezien het dezelfde is, samen met de figuur verplaatst. Dus CB is ook groter dan CA, dat is, dan CF. Waardoor vaststaat dat het punt B buiten de omtrek MAF ligt. {p. 41}

[Fig. 37.]

Laat weer een punt N op de kromme worden genomen tussen de lat LD en het punt A. En gesteld wordt dat toen het beschrijvende punt in N was, de stand van de figuur was op VL, en het contactpunt was L; het punt evenwel dat eerst de lat in C raakte, is nu omhooggebracht naar V. En getrokken worden CN, NV, VC en VL. Dan zal VN gelijk zijn aan CA, ja zelfs is deze CA naar VN verplaatst. Omdat nu de rechte LC gelijk is aan de kromme LV, en dus ook groter is dan de rechte LV, zal in driehoek CLV de hoek LVC groter zijn dan LCV. En daarom, als bovendien hoek LVN wordt opgeteld bij LVC, zal de hele NVC in elk geval groter worden dan LCV, en zo dus zeker groter dan hoek NCV, die een deel is van LCV. Dus in driehoek CVN zal de zijde CN groter zijn dan de zijde VN, waaraan gelijk is CA, en daarom CN ook groter dan CA, dat is dan CM. Waaruit blijkt dat het punt N valt buiten de cirkel MAF, die daarom de kromme raakt in punt A. Wat te bewijzen was. Nu is zowel de constructie als het bewijs ook hetzelfde, als de kromme is ontstaan uit een beschrijvend punt dat hetzij binnen hetzij buiten de omtrek van de rollende figuur genomen wordt. Behalve dat in dit laatste geval een deel van de kromme onder de lat daalt, waaruit in het bewijs enig verschil ontstaat. {p. 42} Laat namelijk het punt A, waardoor de raaklijn moet worden getrokken, gegeven zijn op een deel van de kromme NAB, dat onder de lat CL daalt [Fig. 38] 1), beschreven namelijk door punt N, buiten de rollende figuur genomen, maar dat een bepaalde positie heeft in hetzelfde vlak daarvan. Als dan het punt C is gevonden, waar de rollende figuur de lat CD raakte toen het beschrijvende punt in A was, wordt de rechte CA getrokken. Ik zeg dat deze de kromme NAB onder rechte hoeken ontmoet, oftewel dat de cirkelomtrek met straal CA en middelpunt C beschreven, de kromme NAB raakt in punt A. Aangetoond zal nu worden dat deze de kromme van buiten raakt, terwijl hij het deel van de kromme boven de lat CD van binnen raakt.

[Fig. 38.]

Met al hetzelfde gesteld en beschreven als hiervoor, wordt namelijk weer aangetoond dat hoek ECH 1) Zie noot 2 van p. 155.

[ 159 ]

groter is dan CEH. Als nu echter bij ECH wordt opgeteld HCB ontstaat hoek ECB; en door van CEH af te trekken HEB, die gelijk is aan DCA, ontstaat hoek CEB. Dus is ECB in elk geval groter dan CEB. Waaruit volgt dat in driehoek ECB de zijde EB groter is dan CB; maar hieraan gelijk is CA, of CF. Dus is ook CF groter dan CB; en daarom is het punt F van de cirkelomtrek verder van het middelpunt verwijderd dan de kromme NAB. Evenzo wordt weer aangetoond dat hoek LVC groter is dan LCV. En daarom zal CVP, die met LVC gelijk is aan twee rechte hoeken, kleiner zijn dan VCD. Door nu echter bij VCD op te tellen de hoek DCN ontstaat VCN; en door van CVP af te trekken hoek PVN ontstaat CVN. Dus hoek VCN is in elk geval groter dan CVN. In driehoek CVN zal dus de zijde VN groter zijn dan CN. Nu is aan deze VN gelijk CA of CM. Dus ook CM is groter dan CN, en daarom zal punt M van de cirkelomtrek verder dan de kromme NAB van het middelpunt C verwijderd zijn. Dus staat vast dat de cirkelomtrek MAF de kromme raakt in punt A. Wat te bewijzen was. En als het punt van de kromme waardoor de raaklijn moet worden getrokken, datzelfde is waar de lat de kromme snijdt, zal de gezochte raaklijn altijd een loodlijn van de lat zijn; zoals gemakkelijk zou zijn aan te tonen.

Propositie XVI.

[Fig. 39.]
A Ls een cirkelomtrek, waarvan het middelpunt E is, wordt gesneden door twee evenwijdige rechten AF en BG, die beide aan dezelfde kant van het middelpunt lopen, of de ene AF door het middelpunt zelf; en vanaf het punt A, waar de lijn het dichtst bij het middelpunt de omtrek snijdt, wordt een rechte getrokken rakend aan deze omtrek; dan zeg ik dat het deel van deze AB, door beide evenwijdigen onderschept, kleiner is dan de boog AC, door beide zelfde evenwijdigen onderschept.

[ 161 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

Getrokken wordt namelijk bij de boog AC de koorde AC. Omdat dus de hoek BAF gelijk is aan die welke door het cirkelsegment AHF wordt omvat, die ofwel groter is dan een halve cirkel, ofwel een halve cirkel, daarom zal hoek BAF ofwel kleiner zijn dan een rechte hoek, ofwel een rechte hoek zijn. Derhalve zal in driehoek ABC de zijde AC, tegenover hoek B, groter zijn dan de zijde AB. Maar dezelfde zijde AC is kleiner dan de boog AC. Dus zal ook AB zeker kleiner zijn dan boog AC. {p. 43}

Propositie XVII.

[Fig. 40.]
A Ls bij hetzelfde gestelde een derde rechte DK, evenwijdig aan de vorige, de cirkel snijdt, die van degene die het dichtst bij het middelpunt is AF, even ver verwijderd is als deze van de andere BG; dan zeg ik dat het deel van de raaklijn in A, onderschept door de laatst toegevoegde evenwijdige AB, en door de middelste, namelijk AD, kleiner is dan de boog AC die door de eerste twee evenwijdigen wordt onderschept. Dit is namelijk duidelijk aangezien AD gelijk is aan AB, waarvan we eerder aantoonden dat hij kleiner is dan boog AC.

Propositie XVIII.

[Fig. 41.]
A Ls een cirkel, waarvan het middelpunt E is, wordt gesneden door twee evenwijdige rechten AF en BG, en vanaf het punt B, waar de lijn die het verst van het middelpunt ligt, of er even ver vanaf als de andere, de omtrek ontmoet, de rechte getrokken wordt die raakt aan de omtrek; dan zal het deel AB ervan, door de evenwijdigen onderschept, groter zijn dan de boog BC, onderschept door diezelfde evenwijdigen. {p. 44} Laat namelijk in het punt C getrokken worden de rechte MCL die de omtrek raakt, en die de raaklijn BA ontmoet in L. Dan is in driehoek ACL de hoek C gelijk aan hoek MCF, dat is, aan die welke door het cirkelsegment CBF wordt omvat. En hoek A is gelijk aan de hoek die door het cirkelsegment BCG wordt omvat, en aangezien dit segment groter dan of gelijk aan het segment CBF is — daar immers BG ofwel verder van het middelpunt ligt dan CF, ofwel even ver — daarom zal van driehoek ACL hoek A kleiner dan of gelijk aan hoek C zijn; en dientengevolge de zijde CL kleiner dan of gelijk aan de zijde AL. Nu is echter CL samen met LB groter dan boog CB. Dus zal ook AL samen met LB, dat is de raaklijn AB, groter zijn dan de boog CB. Wat te bewijzen was.

[ 163 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

Propositie XIX.

[Fig. 42.]
A Ls met hetzelfde gestelde een derde rechte DK, evenwijdig aan de vorige, de cirkel snijdt, die even ver verwijderd is van die welke het verst is van het middelpunt als deze van de andere AF; dan zal het deel van de raaklijn in B, onderschept door de middelste evenwijdige en door de laatst toegevoegde DK, namelijk BD, groter zijn dan de boog BC. {p. 45} Dit is namelijk duidelijk daar BD gelijk is aan BA, waarvan we hebben aangetoond dat hij groter is dan de boog BC. Propositie XX. A Ls een cirkelboog AB, kleiner dan de halve omtrek, in een willekeurig aantal delen wordt gesneden door evenwijdige rechte lijnen, zoals CD, EF, GH, KL, &c., die gelijke intervallen maken, zowel onderling, als met de eraan evenwijdige rechten door de uiteinden van de boog getrokken; en bij het ene uiteinde A van de boog, en bij alle overige snijpunten worden rechten getrokken die raken aan de omtrek, alle naar dezelfde kant, en zo dat elke de dichtstbijzijnde ontmoet van de genoemde evenwijdigen; zoals de raaklijnen AC, DE, FG, HK &c. Dan zeg ik dat deze raaklijnen, zonder de eerste AC, samen genomen, kleiner zijn dan de voorgestelde boog AB. En dat die alle, met AC erbij, groter zijn dan boog AB verminderd met het laatste deel NB, dat is groter dan de boog AN.

[Fig. 43.]
Laten we namelijk eerst stellen dat er aan beide kanten van het middelpunt Z enige van de evenwijdigen lopen, en dat van degene ervan die aan de kant van B zijn, GH het dichtst bij het middelpunt loopt, of door het middelpunt zelf. Dus alle raaklijnen tussen GH en BO, zoals HK, LM en NO, zijn elk kleiner dan hun boog {Prop. 16.}. En verder is ook de raaklijn GF kleiner dan de volgende boog FD {Prop. 17.}, en evenzo de raaklijn ED kleiner dan boog DA. Dus alle raaklijnen die tussen BO en CD liggen zijn kleiner dan de bogen BH en FA, en zo dus zeker kleiner dan de bogen BH en HA, of boog BA, wat als eerste moest worden aangetoond. Voorts zullen we nu bewijzen dat alle raaklijnen tussen BO en A groter zijn dan de boog AN. Het is zeker dat de evenwijdige GH ofwel dichter bij het middelpunt loopt dan de evenwijdige EF — waarvan ik stel dat die het dichtst bij is van die welke aan de kant van A lopen — ofwel er verder van af zal liggen, of even ver. {p. 46} Maar indien EF verder van het middelpunt of even ver is als GH, zal de raaklijn FG groter zijn

[ 165 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

dan zijn boog FH, en de overige raaklijnen in de richting van A, namelijk ED en CA, elk groter dan hun boog {Prop. 18}; zodat alle tegelijk GF, ED en CA groter zijn dan boog HA. Maar ook zal groter dan boog HL zijn de raaklijn LM {Prop. 19}, en groter dan boog LN de raaklijn NO, dus alle raaklijnen behalve HK zullen samen groter zijn dan boog AN; en des te meer zullen, als die HK er bijkomt, alle raaklijnen tussen A en B groter zijn dan dezelfde boog AN. Als evenwel GH verder van het middelpunt ligt dan EF, zal de raaklijn KH groter zijn dan boog HF {Prop. 19.}, en de raaklijn ML zoals tevoren groter dan boog LH, en raaklijn ON groter dan boog NL, en derhalve alle raaklijnen ON, ML, KH groter dan boog NF. Maar ook is raaklijn ED groter dan zijn boog FD {Prop. 18.}, en raaklijn CA eveneens groter dan zijn boog DA. Dus zullen alle raaklijnen tussen BO en A, behalve GF, groter zijn dan boog NA; en des te meer zullen dezelfde raaklijnen, als GF er bijkomt, dat is, alle die tussen BO en A liggen, groter zijn dan dezelfde boog NA. En hieruit is ook het bewijs duidelijk in andere gevallen, hoedanig ook de boog van de halve cirkelomtrek wordt genomen, aangezien het immers of overal hetzelfde is, of slechts een deel van het voorgaande bewijs. Propositie XXI. A Ls een voorwerp daalt met een voortgezette beweging langs willekeurige aangrenzende hellende vlakken, en dan nog eens vanaf dezelfde hoogte daalt langs evenveel aangrenzende vlakken, zo opgesteld dat ze elk in hoogte overeenkomen met elk van de vorige vlakken, maar met een grotere helling dan die; dan zeg ik dat de daaltijd langs de minder hellende korter is dan de daaltijd langs de meer hellende.

[Fig. 44.]

Gegeven twee reeksen van vlakken ABCDE en FGHKL, tussen dezelfde horizontale evenwijdigen bevat, en zo dat elke twee met elkaar corresponderende vlakken van elk van beide reeksen door dezelfde horizontale evenwijdigen worden ingesloten; en elk afzonderlijk van de reeks FGHKL 1) is meer hellend naar de horizon dan het vlak dat ermee in hoogte overeenkomt van de reeks ABCDE. Ik zeg dat de daling langs ABCDE in kortere tijd zal verlopen, dan langs FGHKL. {p. 47} Want ten eerste staat wel vast dat de daaltijd langs AB korter is dan de daaltijd langs FG, aangezien er dezelfde verhouding is van deze tijden als van de rechten AB tot FG {Prop. 7.}, en AB kleiner is dan FG wegens de kleinere helling. Laat nu omhoog worden verlengd de rechten 1) De oorspronkelijke uitgave heeft FGHKH (drukfout).

[ 167 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

CB en HG, en laat ze de horizontaal AF ontmoeten in M en N. Dus de tijd over BC na AB is gelijk aan de tijd over dezelfde BC na MB, daar er in punt B dezelfde snelheid is voor het voorwerp, of het nu langs AB of langs MB daalt {Prop. 6.}, en evenzo zal de tijd over GH na FG gelijk zijn aan de tijd over dezelfde GH na NG. Nu is de verhouding van de tijd over BC na MB, tot de tijd over GH na NG, zoals die BC tot GH in lengte, of als CM tot HN, aangezien deze verhouding geldt voor zowel de tijden over de hele MC en NH, als over de delen MB en NG {Prop. 7.}, en daarom ook voor de overige tijden. En BC is kleiner dan GH wegens de kleinere helling. Het is dus duidelijk dat de tijd over BC na MB, of na AB, korter is dan de tijd over GH na NG, of na FG. Evenzo is aan te tonen, door DC en KH te verlengen naar boven, totdat ze de horizontaal AF ontmoeten in O en P, dat de tijd over CD na ABC, of na OC, korter is dan de tijd over HK na FGH, of na PH. En tenslotte dat de tijd over DE na ABCD korter is dan de tijd over KL na FGHK. En daarom zal de hele daaltijd over ABCDE korter zijn dan de tijd over FGHKL. Wat te bewijzen was.
[Fig. 45.]
En hieruit is duidelijk, door kromme lijnen te beschouwen als samengesteld uit oneindig veel rechte, dat ook als er twee oppervlakken zijn die volgens kromme lijnen met dezelfde hoogte hellen, waarvan in willekeurige even hoge punten de helling van het ene steeds groter is dan van het andere, een voorwerp in kortere tijd zal dalen op het minder hellende dan op het meer hellende oppervlak. Zoals wanneer er twee oppervlakken zijn die hellen volgens de krommen AB en CD, met gelijke hoogte, en waarvan in willekeurige punten E en F die even hoog zijn de helling groter is van CD dan van AB, met andere woorden dat de rechte die de kromme CD in F raakt meer naar de horizon helt, dan die welke de kromme AB raakt in punt E; dan zal de daaltijd over AB korter zijn dan over CD. {p. 48} En hetzelfde is het geval als een van de lijnen recht is; zolang de helling van de rechte, die overal dezelfde is, groter of kleiner is dan de helling van de kromme in elk punt ervan. Propositie XXII. A Ls op een cycloïde waarvan de as loodrecht opgericht staat, met de top naar beneden gericht, twee gedeelten van de kromme worden genomen met gelijke hoogte, maar waarvan het ene dichter bij de top is; dan zal de daaltijd over het bovenste korter zijn dan over het onderste. Gegeven de cycloïde AB [Fig. 46], waarvan de as AC loodrecht is opgericht, de top A is

[ 169 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

omlaag gericht; en daarop worden genomen de gedeelten BD en EF, met gelijke hoogte, dat is, zodanig dat de evenwijdige horizontalen BC en DH, die het bovenste gedeelte BD insluiten, even ver van elkaar liggen als EG en FK, die het onderste gedeelte insluiten; dan zeg ik dat de daaltijd over BD korter zal zijn dan de tijd over EF. {p. 49}

[Fig. 46.]

Laat namelijk op BD een willekeurig pun L worden genomen, en op EF een punt M, zo dat E dezelfde hoogte heeft boven M als B boven L. En als op de as AC een halve cirkel is beschreven, ontmoeten de horizontale rechten LN en MO deze in N en O, en getrokken worden NO en OA. Daar dus punt N hoger is dan punt O is duidelijk dat de rechte NA minder naar de horizon helt dan OA. Nu is aan NA evenwijdig de raaklijn aan de kromme in het punt L {Prop. 15.}, en aan OA is evenwijdig de raaklijn aan de kromme in M. Dus de kromme BD is in punt L minder hellend dan de kromme EF in punt M. Maar als dan wordt aangenomen dat het gedeelte EF met onveranderde helling hoger wordt opgeheven zoals naar ef, zo dat het tussen dezelfde evenwijdigen wordt bevat als het gedeelte BD, zal punt M worden gevonden in m, even hoog als punt L. En dan zal ook de helling van de kromme ef in punt m, die dezelfde is als de helling van de kromme EF in M, groter zijn dan de helling van de kromme BD in L. En evenzo is aan te tonen dat ook in een willekeurig ander punt van de kromme ef de helling groter is dan van de kromme BD in het punt dat even hoog is. Dus de daaltijd langs BD zal korter zijn dan de tijd langs ef {Prop. 21.}, of wat hetzelfde is, langs EF. Wat te bewijzen was. Lemma. G Egeven een cirkel, met middellijn AC die loodrecht wordt gesneden door DE, en de rechte AB die vanaf het uiteinde A van de middellijn is getrokken ontmoet de omtrek in B, en DE in F. Ik zeg dat deze drie, AB, AD, AF, evenredig zijn. Laat namelijk ten eerste het snijpunt F binnen de cirkel liggen; en bij de boog BD wordt de koorde getrokken.

[ 171 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

[Fig. 47.]
Omdat dan de bogen AE en AD gelijk zijn, zullen de hoeken die bij de omtrek die daarop staan, EDA en ABD, gelijk zijn. Dus in de driehoeken ABD en ADF zijn de hoeken ABD en ADF gelijk. Nu hebben beide de hoek bij A gemeen. Dus de genoemde driehoeken zullen gelijkvormig zijn, en daarom is BA tot AD zoals AD tot AF is. {p. 50} Laat nu het snijpunt f buiten de driehoek liggen, en getrokken worden bH evenwijdig met DE. die de rechte AD ontmoet in H. Dus volgens wat al bewezen is zal gelden: zoals DA tot Ab is, zo is Ab tot AH, dat is, zo is Af tot AD. En daarom zullen weer evenredig zijn Af, AD, Ab. Derhalve staat het voorgestelde vast. Propositie XXIII. G Egeven de cycloïde ABC [Fig. 48a], waarvan de top A omlaag gericht is, de as AD loodrecht opgericht; en met een willekeurig punt B erop genomen, wordt daarvandaan omlaag getrokken de rechte BI die raakt aan de cycloïde, en eindigt op de horizontale rechte AI. En de rechte BF wordt loodrecht op de as getrokken, en als FA doormidden is gedeeld in X, wordt daarop een halve cirkel FHA beschreven.
| [Fig. 48a, toegevoegd.]
Dan wordt door een willekeurig punt G, genomen op de kromme AB, getrokken de rechte ΣG evenwijdig aan BF, die de omtrek FHA ontmoet in H, de as AD in Σ, en we stellen ons voor door de punten G en H rakende rechten van beide krommen, en de delen van hun raaklijnen, onderschept door de twee horizontalen MS en NT zijn MN en ST. En door dezelfde rechten MN en ST worden ingesloten het deel OP van de raaklijn BI, en QR van de as DA. Als dit zo is, zeg ik dat de tijd waarin een voorwerp de rechte MN zal doorlopen, met een gelijkblijvende snelheid zo groot als verkregen wordt door te dalen langs de boog BG van de cycloïde, zich zal verhouden tot de tijd

[ 173 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

waarin de rechte OP wordt doorlopen, met een gelijkblijvende snelheid half zo groot als wordt verkregen door te dalen over de hele raaklijn BI, zoals de raaklijn ST tot het deel van de as QR. Laat namelijk op de as AD beschreven worden de halve cirkel DVA [Fig. 48.] die de rechte BF snijdt in V, en ΣG in Φ, en getrokken AV die de rechte OQ snijdt in E, PR in K, en GΣ in Λ. Trek eveneens HF, HA, HX en AΦ, welke laatste de rechte OQ snijdt in punt Δ en PR in Π. Dan heeft de genoemde tijd over MN tot de tijd over OP een verhouding, die wordt samengesteld uit de verhouding van de lijnen zelf MN tot OP, en uit de verhouding van de snelheden waarmee die worden doorlopen, omgekeerd genomen {Prop. 5. Galil. de motu aequab.1)}, dat is: en uit de verhouding van de halve snelheid uit BI of uit FA, tot de snelheid uit BG, of uit FΣ {Prop. 8.}. Nu is echter de hele snelheid uit FA tot de snelheid uit FΣ, in wortelverhouding met de lengten FA tot FΣ {Prop. 3.}, en zo dus dezelfde als van FA tot FH. Dan zal de halve snelheid uit FA tot de snelheid uit FΣ zijn als FX tot FH. Daarom zal de genoemde tijd over MN tot de tijd over OP een verhouding hebben die is samengesteld uit de verhoudingen van MN tot OP, en van FX tot FH. En de eerste van deze verhoudingen, namelijk van MN tot OP, is dezelfde als die van FH tot HΣ, zoals zal worden aangetoond. {p. 51}

[Fig. 48.]

De raaklijn BI aan de cycloïde is namelijk evenwijdig aan de rechte VA, en evenzo is de raaklijn MGN evenwijdig aan de rechte ΦA; en zo is dus de rechte MN gelijk aan ΔΠ, en OP gelijk aan EK. Dan is de genoemde verhouding van de rechte MN tot OP dezelfde als die van ΔΠ tot EK; dat is, ΔA tot EA; dat is, ΦA tot ΛA; dat is VA tot ΦA {Lemma.}. Nu geldt: zoals VA tot AΦ, zo FA tot AH; want omdat het vierkant [kwadraat] van VA gelijk is aan de rechthoek DAF [product van DA en AF], en het vierkant van AΦ gelijk aan de rechthoek DAΣ, welke rechthoeken zich verhouden als FA tot ΣA, dat is als het vierkant van FA tot het vierkant van AH, zal derhalve ook het vierkant van VA tot het vierkant van ΦA zijn zoals het vierkant van FA tot het vierkant van AH; en ook VA tot AΦ in lengte, zoals FA tot AH. Dus de verhouding van MN tot OP zal dezelfde zijn als die van FA tot AH, dat is, vanwege de gelijkvormige driehoeken FAH en FHΣ, dezelfde als die van FH tot HΣ, zoals gezegd was. Dus de genoemde verhouding van de tijd over MN tot de tijd over OP wordt samengesteld uit de verhoudingen FX tot FH en FH tot HΣ, en daarom zal ze dezelfde zijn als die van FX of XH tot HΣ. En zoals de straal XH tot HΣ, zo is de raaklijn ST tot de rechte QR; dit is immers gemakkelijk in te zien. Dus staat vast dat de genoemde tijd van beweging over MN, tot de tijd over OP, is zoals ST tot QR. Wat te bewijzen was. {p. 52} Propositie XXIV. G Egeven weer zoals in de voorgaande propositie een cycloïde ABC [Fig. 49.], waarvan de top A omlaag gericht is, en de as AD loodrecht op de horizon opgericht; en genomen een willekeurig punt B daarop, wordt vandaar omlaag getrokken een rechte BΘ die raakt aan de cycloïde, en die de horizontale rechte AΘ ontmoet in Θ; en de rechte BF wordt loodrecht op de as getrokken, en op FA wordt beschreven een halve cirkel FHA. Verder snijdt een andere rechte GE, evenwijdig met FB, de cycloïde in E, 1) Ed. naz. T. VIII, p. 195 [Engl.].

[ 175 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

de rechte BΘ in I, de omtrek FHA in H, en tenslotte de as in G. Ik zeg dat de daaltijd over de cycloïde-boog BE zich verhoudt tot de tijd over de raaklijn BI met de halve snelheid uit BΘ, zoals de boog FH tot de rechte FG.

[Fig. 49.]

Als dit namelijk niet waar is, zal de tijd over de boog BE tot de genoemde tijd over BI, of een grotere verhouding hebben dan van de boog FH tot de rechte FG, of een kleinere. Laat hij eerst, als het mogelijk is, een grotere hebben. Dus een tijd die wat korter is dan de tijd over BE (noem deze tijd Z) zal tot de genoemde tijd over BI zijn, zoals boog FH tot rechte FG. Maar als nu op de cycloïde boven punt B wordt genomen een ander punt N, zal de tijd over BE na NB, korter zijn dan de tijd over BE. En duidelijk is dat punt N zo dicht bij B kan genomen worden, dat het verschil van hun tijden willekeurig klein is, en zo dus dat het kleiner is dan dat waarmee de tijd Z wordt overtroffen door de tijd over BE. Laat daarom het punt N zo genomen zijn; waaruit volgt dat de tijd over BE na NB juist groter zal zijn dan de tijd Z, en derhalve een grotere verhouding zal hebben tot de genoemde tijd over BI met de halve snelheid uit BΘ, dan van boog FH tot rechte FG. Laat die dus zijn van boog FHO tot rechte FG. {p. 53} Verdeel FG in gelijke delen FP, PQ, enz. waarvan elk kleiner is dan de hoogte van de lijn NB, en eveneens kleiner dan de hoogte van boog HO; dat dit gedaan kan worden is namelijk duidelijk; en vanaf de verdeelpunten worden rechten getrokken, evenwijdig aan de basis, en eindigend bij de raaklijn BΘ, zoals PΛ, QΞ, enz. En in de punten waarin deze rechten de omtrek FH snijden, daarvandaan, en eveneens vanaf punt H, worden de raaklijnen omhoog getrokken tot aan elke dichtstbijzijnde evenwijdige, zoals ΔX, ΓΣ enz. En evenzo worden ook vanaf de punten waarin de genoemde evenwijdigen de cycloïde

[ 177 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

ontmoeten, de raaklijnen omhoog getrokken zoals SV, TM enz. En als aan de rechte FG wordt toegevoegd een deel GR gelijk aan die van de verdeling, en als getrokken wordt RΦ, eveneens evenwijdig aan DC, blijkt dat deze de omtrek FHA ontmoet tussen H en O, omdat GR kleiner is dan de hoogte van punt H boven O. Nu zullen we verder argumenteren als volgt. De tijd over de raaklijn VS met een gelijkblijvende snelheid die wordt verkregen uit BS, is groter dan de tijd van de voortdurend versnelde beweging over boog BS na NB. Want de snelheid uit BS is kleiner dan de snelheid uit NB, en wel omdat de hoogte NS kleiner is dan NB. Maar de snelheid uit BS wordt gesteld gelijk te blijven over de raaklijn VS, terwijl de snelheid verkregen uit NB voortdurend verder versneld wordt over boog BS, welke boog bovendien korter is dan de raaklijn VS, en in al zijn delen steiler dan enig deel van de raaklijn VS. Zodat in elk geval de tijd over raaklijn VS met de snelheid uit BS, groter zal zijn dan de tijd over boog BS na NB. Evenzo zal de tijd over de raaklijn MT, met de snelheid uit BT, groter zijn dan de tijd over boog ST na NS, en de tijd over raaklijn ΠY met de snelheid uit BY, groter dan de tijd over boog TY na NT. En dus: alle tijden van de eenparige bewegingen langs de raaklijnen, tot aan de onderste die de cycloïde raakt in E, waarbij elke snelheid zo groot is als verkregen wordt door vallen vanuit B tot aan hun contactpunt, zullen samen groter zijn dan de tijd over boog BE na NB. Maar dezelfde zouden ook kleiner moeten zijn, zoals we nu zullen aantonen.

[Fig. 49.]

Beschouw namelijk opnieuw dezelfde tijden van de eenparige bewegingen over de raaklijnen aan de cycloïde. En wel: de verhouding van de tijd over de raaklijn VS met de snelheid uit BS, tot de tijd over de rechte BΛ met de halve snelheid uit FA, is zoals die van de raaklijn aan de cirkelomtrek ΔX tot het deel van de as FP {Prop. 23.}. En evenzo is de tijd over de raaklijn MT, met de snelheid uit BT, tot de tijd over de rechte ΛΞ met dezelfde halve snelheid uit FA, zoals de raaklijn ΓΣ tot de rechte PQ. {p. 54} En zo zullen achtereenvolgens de afzonderlijke tijden over de raaklijnen aan de cycloïde, die dezelfde zijn als de bovengenoemde, zich verhouden tot de tijden van een eenparige beweging over de ermee corresponderende delen van de rechte BI met de halve snelheid uit BΘ, zoals de raaklijnen aan de omtrek FH, tussen diezelfde evenwijdigen bevat, tot de delen van de rechte FG die ermee overeenkomen. Er zijn dus enige grootheden van de rechte FP, PQ, enz. en evenzoveel andere, te weten de tijden

[ 179 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

waarin doorlopen worden de rechten BΛ, ΛΞ enz. met een eenparige beweging met de halve snelheid uit BΘ. En elke grootheid onder de eerste wordt door dezelfde verhouding tot de volgende herleid, als elke van de laatste tot de volgende ervan; ze zijn immers aan beide kanten onderling gelijk. En de verhoudingen waarmee de eerste grootheden tot bepaalde andere, namelijk tot de raaklijnen aan de cirkel ΔX, ΓΣ, enz. worden herleid, met diezelfde verhoudingen en in dezelfde volgorde worden ook de laatste herleid tot bepaalde andere, namelijk tot de tijden van beweging zoals we zeiden over de raaklijnen aan de cycloïde VS, MT enz. Dus, zoals alle eerste samen zich verhouden tot die alle waartoe ze herleid worden, dat is, zoals de hele FG tot alle raaklijnen XΔ, ΓΣ enz., zo is de tijd waarin de hele BI wordt doorlopen met de halve snelheid uit BΘ, tot alle tijden van de bewegingen zoals we zeiden over de raaklijnen aan de cycloïde VS, MT, enz. {Prop. 2 Archimedis de Sphaeroid. & Conoid.1)} En door om te keren dus, de tijden van de genoemde bewegingen over de raaklijnen aan de cycloïde, tot de tijd over de rechte BI met de halve snelheid uit BΘ, zullen dezelfde verhouding hebben als alle genoemde raaklijnen aan de omtrek FH tot de rechte FG; en zo dus een kleinere dan die van boog FO tot dezelfde rechte FG; omdat boog FΦ, en daarom in elk geval ook boog FO groter is dan alle genoemde raaklijnen aan boog FH {Prop. 20.}. Nu hebben we echter gesteld dat de tijd over BE na NB, tot de tijd over BI met de halve snelheid uit BΘ, is zoals boog FO tot rechte FG. Dus zullen alle genoemde tijden over de raaklijnen aan de cycloïde samen kleiner zijn dan de tijd over BE na NB, terwijl eerder is aangetoond dat ze groter zijn. Wat absurd is. Dus de tijd over de cycloïde-boog BE, tot de tijd over de raaklijn BI met de halve snelheid uit BΘ of uit FA, heeft geen grotere verhouding dan de cirkelboog FH tot de rechte FG. Laat hij nu, als het kan, een kleinere verhouding hebben. Dus een wat langere tijd dan de tijd over boog BE, (noem deze tijd Z) zal zijn tot de genoemde tijd over BI, als boog FH tot rechte FH. {p. 55} Maar als nu wordt genomen [Fig. 50.] boog NM gelijk in hoogte met boog BE, maar waarvan het bovenste uiteinde N lager is dan punt B, zal de tijd over boog NM groter zijn dan de tijd over boog BE {Prop. 22.}. En duidelijk is dat punt N zo dicht bij punt B kan worden genomen, dat het verschil van de genoemde tijden willekeurig klein is, en dus ook kleiner dan dat waarmee de tijd Z de tijd over boog BE overtreft. Laat punt N dus zo worden genomen. Waaruit juist volgt dat de tijd over NM kleiner zal zijn dan de tijd Z, en daarom tot de genoemde tijd over BI, met de halve snelheid uit BΘ, een kleinere verhouding zal hebben dan 1) Zie over deze propositie noot 5 van p. 251 van T. XIV. [Lat. , Engl.]

[ 181 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

boog FH tot rechte FG. Laat hij dus die hebben van boog LH tot rechte FG.

[Fig. 50.]

Verdeel nu FG in gelijke delen FP, PQ, enz. waarvan elk kleiner is dan de cycloïde-boog BN in hoogte, en eveneens kleiner dan de hoogte van de cirkelboog FL; en als bij FG is opgeteld een van die delen Gζ, worden vanuit de verdeelpunten de rechten PO, QK, enz. getrokken evenwijdig aan de basis DC, en eindigend op de raaklijn BΘ; en evenzo vanuit het punt ζ de rechte ζΩ die de cycloïde snijdt in V, de omtrek in η. En in de punten waar de getrokken rechten de omtrek FH snijden, daarvandaan worden de raaklijnen omlaag getrokken tot aan elke dichtstbijzijnde evenwijdige, zoals θΔ, ΓΣ. En de onderste daarvan, getrokken vanuit punt H, ontmoet de rechte ζΩ in X. En evenzo worden ook vanuit de punten waar de genoemde evenwijdigen de cycloïde ontmoeten, evenzoveel raaklijnen omlaag getrokken, zoals SΛ, TΞ, enz. waarvan de onderste, namelijk de raaklijn vanaf het punt E getrokken, de rechte ζΩ ontmoet in R. {p. 56} Omdat dan Pζ gelijk is aan FG, de hoogte van boog BE, waaraan door constructie gelijk is de hoogte van de boog NM, zal ook Pζ gelijk zijn aan de hoogte van boog NM. Nu is de rechte PO door constructie hoger dan het uiteinde N. Dus is ook ζΩ, en daarop punt V, hoger dan uiteninde M. En daarom, aangezien boog SV dezelfde hoogte heeft als boog NM, maar het uiteinde S hoger is dan N, zal de tijd over SV korter zijn dan de tijd over NM {Prop. 22.}. Nu is echter de tijd over de raaklijn SΛ, met gelijkblijvende snelheid uit BS, korter dan de tijd van de versnelde daling over de boog ST, beginnend in S. Want de snelheid uit BS, waarmee de hele SΛ wordt gesteld doorlopen te worden, is gelijk aan de snelheid uit ST {Prop. 8.}, die voor beweging over boog ST pas aan het eind wordt verkregen; en diezelfde SΛ is kleiner dan ST. Evenzo is de tijd over de raaklijn TΞ, met gelijkblijvende snelheid uit BT, korter dan de tijd van versnelde daling over boog TY na ST; daar de snelheid uit BT, waarmee de hele TΞ gesteld wordt doorlopen te worden, gelijk is aan de

[ 183 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

snelheid uit SY, die pas aan het eind wordt verkregen voor de genoemde beweging over boog TY na ST; en deze TΞ kleiner is dan boog TY. Nu zullen zo echter alle tijden van de eenparige bewegingen over de raaklijnen van de cycloïde, met snelheden over de afzonderlijke zo groot als verkregen worden door te dalen uit B tot aan hun contactpunt, samen kleiner zijn dan de tijd van de versnelde daling over boog SV. Dezelfde zouden evenwel ook langer moeten zijn, zoals we nu zullen aantonen.

[Fig. 50.]

De verhouding namelijk van de genoemde tijd over de raaklijn SΛ, met de gelijkblijvende snelheid uit BS, tot de tijd over de rechte OK bij eenparige beweging met de halve snelheid uit BΘ, is zoals de raaklijn aan de halve cirkel θΔ tot de rechte PQ {Prop. 24.}, En evenzo is de tijd over de raaklijn TΞ, met gelijkblijvende snelheid uit BT, tot de tijd over de rechte KΨ met gelijkblijvende halve snelheid uit BΘ, zoals de raaklijn ΓΣ tot de rechte QΠ. En zo zullen achtereenvolgens alle afzonderlijke tijden over de raaklijnen aan de cycloïde, die dezelfde zijn als de bovengenoemde, tot de tijden van de eenparige beweging over de ermee overeenkomende delen van de rechte OΩ, met de halve snelheid uit BΘ, zijn als de raaklijnen van de cirkelomtrek θη, door die evenwijdigen ingesloten, tot de delen van de rechte Pζ die ermee overeenkomen. Waaruit wordt geconcludeerd, zoals in het vorige deel van het bewijs, dat alle rechten PQ, QΠ enz. samen, dat is, de hele Pζ, zijn tot alle raaklijnen θΔ, ΓΣ enz. samen, zoals de tijd waarin de hele OΩ wordt doorlopen, met de halve snelheid uit BΘ, tot alle tijden van de bewegingen zoals we zeiden over de raaklijnen aan de cycloïde SΛ, TΞ, enz. En daarom ook, door om te keren, dat alle tijden over de raaklijnen van de cycloïde, die verhouding zullen hebben tot de genoemde tijd van de eenparige beweging over de rechte OΩ, of over BI, die alle genoemde raaklijnen van boog θη hebben tot de rechte Pζ of FG, en dus ook groter dan die van boog LH tot rechte FG; boog ΘH namelijk, en dan ook zeker boog LH, is kleiner dan de genoemde raaklijnen aan boog θη {Prop. 20.}. Maar we hebben in het begin gesteld dat de tijd over NM tot die zelfde tijd over BI zich verhoudt als boog LH tot de rechte FG. Dus de tijd over NM, en des te meer de tijd over SV, zal kleiner zijn dan de tijd over de raaklijnen aan de cycloïde. Wat absurd is, aangezien hierboven van deze laatste tijd is aangetoond dat hij kleiner is dan de eerste tijd over boog SV. Dan is duidelijk dat de tijd over de cycloïde-boog BE tot de tijd over de raaklijn BI met gelijkblijvende halve snelheid uit BΘ, niet een kleinere verhouding heeft dan die van de boog FH tot de rechte FG. {p. 57} Maar aangetoond is dat hij ook niet een grotere verhouding heeft. Dus is het noodzakelijk dat hij dezelfde heeft. Wat te bewijzen was.

[ 185 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

Propositie XXV. O P een cycloïde waarvan de as loodrecht is opgericht, en de top omlaag gericht, zijn de daaltijden waarin een voorwerp, losgelaten vanaf welk punt erop dan ook, het onderste punt van de top bereikt, onderling gelijk; en ze hebben tot de tijd van een loodrechte val over de hele as van de cycloïde de verhouding van de halve cirkelomtrek tot de middellijn.

[Fig. 51.]

Laat er een cycloïde ABC zijn, waarvan de top omlaag is gericht, en de as AD loodrecht opgericht, en laat vanuit een willekeurig punt genomen op de cycloïde, zoals B, een voorwerp dalen met van nature verkregen vaart over de boog BA, of liever over een zo gebogen oppervlak. Ik zeg dat de daaltijd hiervan zich verhoudt tot de valtijd over de as DA, zoals de halve cirkelomtrek tot de middellijn. En als dit bewezen is, zal ook vaststaan dat de daaltijden over willekeurige cycloïde-bogen die eindigen bij A, onderling gelijk zijn. Op de as DA wordt een halve cirkel beschreven, waarvan de omtrek de rechte BF, evenwijdig met de basis, snijdt in E; en als de verbinding EA is gemaakt wordt daaraan evenwijdig getrokken BG, die de cycloïde juist zal raken in B. En deze ontmoet de door A getrokken horizontale rechte in G; en ook is op FA beschreven de halve cirkel FHA. Dan is, volgens de voorgaande propositie, de daaltijd langs de cycloïde-boog BA tot de tijd van de eenparige beweging langs de rechte BG, met de halve snelheid uit BG, zoals de boog van de halve cirkel FHA tot de rechte FA. En de tijd van de genoemde eenparige beweging langs BG, is gelijk aan de tijd van de natuurlijk versnelde daling langs dezelfde BG, of langs EA, die daaraan evenwijdig en gelijk is; dat is, aan de tijd van de versnelde daling langs de as DA {Prop. 6. Galil. de motu Accel.1)}. Dus de tijd over 1) Ed. naz. T. VIII, p. 221.

[ 187 ] OVER BEWEGING OP EEN CYCLOÏDE.

boog BA, zal ook tot de daaltijd over de as DA zijn, zoals de halve cirkelomtrek FHA tot de middellijn FA. Wat te bewijzen was. {p. 58} Maar als gesteld wordt dat de hele holte van de cycloïde is gemaakt, staat vast dat het voorwerp, nadat het langs boog BA is gedaald, vandaar met de voortgezette beweging langs de andere daaraan gelijke boog zal stijgen {Prop. 9.}, en daarbij ook evenveel tijd zal gebruiken als bij het dalen {Prop. 11.}. En dat het daarna weer langs A naar B zal komen, en ook dat van elke van zulke heen-en-weer-bewegingen, langs grote of kleine bogen van de cycloïde uitgevoerd, de tijden zich zullen verhouden tot de tijd van loodrechte val langs de as DA, zoals de hele cirkelomtrek tot zijn diameter. Propositie XXVI. A Ls met hetzelfde gestelde bovendien de horizontale rechte HI wordt getrokken die de boog BA snijdt in I, en de cirkelomtrek FHA in H; dan zeg ik dat de tijd over de boog BI, tot de tijd over de boog IA na BI, de verhouding heeft van de omtreksboog FH tot HA.

[Fig. 51.]

Laat namelijk de rechte HI de raaklijn BG ontmoeten in K, de as DA in L. Dus de tijd over boog BA is tot de tijd van de eenparige beweging langs BG met de halve snelheid uit BG, zoals boog FHA is tot rechte FA {Prop. 24.}. Nu is de tijd van de genoemde eenparige beweging langs BG, tot de tijd van de eenparige beweging langs BK, met dezelfde halve snelheid uit BG, zoals BG tot BK in lengte, dat is, zoals FA tot FL. En aan de andere kant is de tijd van de eenparige beweging, met de genoemde snelheid, langs BK, tot de tijd langs boog BI, zoals FL tot boog FH {Prop. 24.}. Dus ex aequo 1) zal de tijd over boog BA tot de tijd over BI, zijn zoals boog FHA tot FH. En door deling en omkering, de tijd over BI, tot de tijd over IA na BI, zoals boog FH tot HA. Wat te bewijzen was. 1) Vergelijk over deze uitdrukking van Euclides p. 396 van T. XVI.

Deel 3

Home | Huygens | XVIII | < Het slingeruurwerk, 1673 - deel 2 (top) | >